2023-2024學年河北省衡水高一年級下冊質(zhì)檢檢測數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年河北省衡水高一下冊質(zhì)檢檢測數(shù)學模擬試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.設集合/=卜口2+9>”=卜％<6},則NC(”)=()

A.(2,3)B.(-3,2)C.23)D.(3,+8)

【正確答案】C

【分析】解不等式可得集合48,再根據(jù)集合的運算可得結(jié)果.

【詳解】由一f+9〉0,解得—3<X<3,即/={引一3<%<3},顯然5={x|x<2}

斗,22},.?./口@8)=［2,3).

故選：C.

2.已知第二象限角a的終邊經(jīng)過點(tana+4,12),則tana=()

A.2B.-6C.-2D.6

【正確答案】B

12

【分析】根據(jù)定義得到tana=-------，再確定tana<0,得到答案.

tana+4

12/

【詳解】a的終邊經(jīng)過點(tana+4,12),則tana--------,解得tana=-6或tana=2,

tana+4

a在第二象限，故tana<0,故tana=-6.

故選：B

3.若。=2x2.=sin2.l,c=log]§2.1,則()

A.b<c<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

【正確答案】A

［分析］根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定。>2,1<C<2,根據(jù)三角函數(shù)有界性得到6<1,

得到大小關(guān)系.

【詳解】因為a=2x2.l°」>2x2.1°=2=logi91.92>c=log]92.l>k)g|91.9=l>6=sin2.l,

所以bvc〈a.

故選：A

91

4.已知正實數(shù)〃，b滿足一+—=1,則Q+b的最小值為()

ba

A.8B.16C.12D.24

【正確答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，利用“1”的代換，將。+6轉(zhuǎn)化為伍+6）,再利用基本不等式

求解即可.

91

【詳解】已知正實數(shù)4,b滿足一+—=1,

ba

所以Q+b=(a+b)[，+:]=10+—■+10+2J*(~^~=10+2后=16,

當且僅當2=%，即a=4/=12時，等號成立.

ab

所以a+b的最小值為16,

故選：B.

5.不等式2cosx+JJ20在［一兀，兀］上的解集為（）

2兀2兀2兀

A.-7T,--UT,71B.5

3TT

571571571

C.，71D.

-6~~6，-6

【正確答案】D

【分析】結(jié)合余弦函數(shù)圖象分析運算，即可得結(jié)果.

【詳解】,?*2cosx+A/3>0>則cosxN-乎，

5兀5K

注意到xe[-兀，兀],結(jié)合余弦函數(shù)圖象解得XG

故選：D.

y

_5ny=c學5n

-7t6/6n

6.為了得到函數(shù)y=sin的圖象，只要將函數(shù)y=COS圖象上所有點的（

JT

A.橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移，個單位長度

20

7T

B,橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移上個單位長度

1兀

C.橫坐標縮短到原來的一，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移一個單位長度

45

1兀

D.橫坐標縮短到原來的一，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移一個單位長度

420

【正確答案】D

【分析】變換_y=sin（4x-f）=cos（4x-g）,根據(jù)三角函數(shù)平移和伸縮法則依次判斷每個

選項，對比得到答案.

【詳解】N=sin（4x--|=cos|4x---?=cos|4x--|,

1（兀）4兀（13KI

對選項B:得到的函數(shù)為V=COS-X+-l-y=COS-X-yI,錯誤；

對選項C：得到的函數(shù)為_y=cos4[x-y=cos14x-F卜-cos[4x-,錯誤;

(兀、4兀(3TI1

對選項D：得到的函數(shù)為N=cos4lx+—=cosl4x-^-l,正確;

故選：D

7.函數(shù)/(x)=JJtan[2x—￡)一加在一色，〃上的最大值為3,最小值為-1,則用〃=()

71兀

C.D.

6

【正確答案】D

兀

【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在一,〃上單調(diào)遞增即

/(?)=tan(2n-^\-m=3

解方程即可得出答案.

7171

【詳解】因為XE-，所以〃〉-----

12

~?c兀兀c兀

所以2x——e——,2n——

636

因為函數(shù)/(x)=JJtan|2》一?|一加在一白,〃上的最大值為3,最小值為-I,

LLrIC兀兀Eir兀LL17T兀

所以2〃—<—,即〃<一,所以----<n<—

623123

令f=2x-IV=tanf,因為"tanf在一匕三上單調(diào)遞增,

6L22_

f=2x-F在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由“復合函數(shù)”的單調(diào)性知,

6

函數(shù)/(力=6^11(2工一季)一加在一去〃上單調(diào)遞增，

所以/(一1)=石tan1-g)一加=-1,解得：w=-2,

/'(〃)=Gtan|2/7-—|-w=>/3tan[2/?--|+2=3,

解得：—,因為—上＜〃＜四，則—工＜2〃一百＜二，

V6J3123362

ITT[7T

所以2〃一±=2,解得：n=-

666?

故加〃=-2x—.

63

故選：D.

8.車厘子是一種富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛.根據(jù)車厘子的果

徑大小，可將其從小到大依次分為6個等級，其等級x（x=1,2,3,4,5,6）與其對應等級的市場銷

售單價y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=e“"J若花同樣的錢買到的1級果比5級果

多3倍，且3級果的市場銷售單價為55元/千克，則6級果的市場銷售單價約為（）（參考數(shù)

據(jù)：V2?1.414）

A.156元/千克B.158元/千克C.160元/千克D.164元/千克

【正確答案】A

【分析】利用指數(shù)運算J=e4"=3+1,化簡求的值.

p5a+〃_

【詳解】由題意可知r_=e4fl=3+l，解得ea=V2，由eia+h=55，可得

e6fl+fe=e3a+b-（ea）3=55x（V2）3=11072?156.

故選：A.

二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.-497°與2023°的終邊相同

B.若2a為第三象限角，則tana〉0

C.若cos2a＞0,則a為第一象限角

JT

D.若a+—為第一象限角，則。不可能為第二象限角

4

【正確答案】AD

【分析】由終邊相同角的表示可判斷A；根據(jù)正切函數(shù)值在各象限的符號可判斷B；由cos2a〉0

TT

求得a的范圍可判斷C；由a+一為第一象限角求得a的范圍可判斷D.

4

【詳解】因為2023°=-497°+360°x7，所以-497°與2023°的終邊相同，故A正確：

3兀7T37r

若2a為第三象限角，則兀+2E<2a<--k2kn,keZ,得一+E<a<---\-kTt,keZ,所

224

以tana<0,故B錯誤；

717r7T7T

若cos2a〉0,則——+2hr<2a<—+2kit,keZ,得——+kn<a<—+k7i,keZ,所以a不

2244

一定是第一象限角，故C錯誤;

IT.7T77"JT

若a+—為第一象限角，則2E<a+—<一+2左兀，攵eZ,得---F2kn<a<—+2kn,keZ,

44244

所以。不可能為第二象限角，故D正確.

故選：AD.

10.函數(shù)/(x)=2x2—41nx-3,則()

A./(x)在(1,1)內(nèi)有零點B./(x)在(0,j內(nèi)有零點

C.7(x)在(1,五)內(nèi)有零點D./(X)在卜看)內(nèi)有零點

【正確答案】AC

【分析】利用零點存在定理求解.

【詳解】解：作出函數(shù)丁=2/一3和丁=41nx的圖象，如圖所示,

由圖象可知：/(x)最多有兩個零點,

因為/[5)=:+4-3>0,/(五)

2e—2—3>0,/(1)=2—3<0,/(e)=2e2-4-3>0,

,/(e2)=2e4-8-3>0,

所以⑴<0，/(1)/(Ve)<0，

由零點存在性定理可知/（X）在內(nèi)有零點，在（1,疵）內(nèi)有零點.

故選：AC

11.已知a,夕均為銳角，若sin1a+p+與272(〃叫虛,,,,,.、

----，cos￡+—=——，則()

5I6；2

D.(八20

B.sina+—=----

I3；5

9

Ccos[a+WD.sin2(a+/)=-石

【正確答案】ABD

【分析】由條件結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求?，利用誘導公式求sin[a+：J,結(jié)合同角關(guān)系求

cos（a+W）,利用誘導公式結(jié)合二倍角公式求sin2（a+A）,由此判斷各選項.

7T7T7T27r

【詳解】因為0＜夕＜一，所以一＜￡+—＜—,

2663

Xcos3+—|=——,

I6）2

TTTTTT

所以4+'=’，故尸=上，A正確：

6412

.（n5兀）2-72

因為sin[a+,+7-J=———,

.（無5叫2720n.（TT、2V2

所以sin|a+—+—|=-----,B[Jsina+—+it\=------,

＜124J5V3J5

2>/2m.(兀、2&名

所以一sin(a+g----，所以sina+—=----,B正確;

5I3；5

.-7T._r,口兀兀兀

當0<a<一時，可得一<tzH—<一,

6332

“兀一兀1兀,7157t

當一Ka<一時，可得一Ka+—<一,

62236

所以cosa+—=-/l-sin2f(z+—=———,C錯誤;

I3；VI3)5

sin2(a+￡)=sin[2<z+聿)=一cos12a++^)=一cos2[a+]

所以sin2(a+尸)=-cos2[a+1)=2sin2+yj-l=,D正確；

故選：ABD.

12.已知函數(shù)/(x)=sin(0[(y>0)與函數(shù)g(x)=cos(4x+e)[|?<])的圖象的對稱

中心完全相同，則()

A.函數(shù)/[》+聿]為偶函數(shù)

c71

B.夕=一

3

C.直線X=g是g(x)圖象的一條對稱軸

D.是g(x)圖象的一個對稱中心

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)對稱中心完全相同得到口=4,計算，得到函數(shù)解析式，/[X+FJ=COS4X,

TT

A正確，e=—,B正確，代入驗證知C錯誤D正確，得到答案.

3

【詳解】對稱中心完全相同，則周期相同，T=——=——，則①二4,

co4

/(x)=sin^4x-^,(盤,0)是/(x)的一個對稱中心，

故=cos(2+e)=0,^+0=lai+^,k&Z,即6=左兀+；,左eZ,

又冏＜5,故當左=0,8=1時滿足條件，故g(x)=cos[4x+^J,

對選項A：/(x+.=sin[4(x+2=sin|^4x+-|-^=cos4x,函數(shù)定義域為R,為偶函

數(shù)，正確；

7T

對選項B：6=一,正確；

3

對選項C：當x=W時;4x+四=2不是y=cosx的對稱軸，錯誤；

333

對選項D：當x=^■時，4x+y=,g(w)=0,故是V=cosx的對稱中心，正確.

故選：ABD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線

上.

13.貝雕是海的綺麗與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，具有貝殼的自然美、雕塑的技法美和國畫的格調(diào)美，自古

以來記載著人與海的故事，傳達著人們對美好明天的向往.如圖是一個貝雕工藝品，形狀呈扇形，

已知該扇形的半徑為30cm,面積為30071cm2,則該扇形的弧長為cm.

【正確答案】20K

【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式直接計算作答.

【詳解】設該扇形的弧長為/cm,依題意，-X/X30=300TI,解得/=20兀,

2

所以該扇形的弧長為20兀cm.

故答案為.2071

14.寫出滿足sin7a—cos7a=的。的一個值：?

【正確答案】—（答案不唯一，a滿足a=*+二/eZ）即可）

28287

【分析】先利用輔助角法得到$畝7々一（：0571=>/55淪|7a-3|=、反，再利用正弦函數(shù)的最值

I4）

求解.

【詳解】因為sin7a-cos7a=V2sin（7a--j=V2,

所以sinla--=1,

I4)

冗冗

所以7二一^二5+2左兀(左wZ),

所以a=—+——(kwZ).

287

QTT37r2kJr

故乃(答案不唯一，a滿足a=二+——(左eZ)即可)

28287

15.已知/(co&r)=cos5x,則/卜in78")=.

【正確答案】?##0.5

【分析】通過誘導公式五轉(zhuǎn)化函數(shù)名稱即可.

【詳解】解：由己知可得/（sin78°）=/（cos12°）=cos（5x12°）=

故g

16.在長方形中，4B=4,AD=2,E為邊Z8的中點，G,尸分別為邊上的

27r

動點，且/FEG=—,則GE+斯的取值范圍是.

3

o/V

【正確答案】-y-,2V6

【分析】畫出圖形，用三角函數(shù)的性質(zhì)表示出GE+ER,在根據(jù)輔助角公式化簡，換元法后利用

函數(shù)單調(diào)性求解即可.

【詳解】如圖,

設4EG=e,

2

TT2EF

則=一—a,GE兀

3cosaCOS——a

3

8>/3sin71

a+§

GE+EF=-^—3cosa+6sina

cosa互2a+"2sin（2a+『）+1

22

令/=sin（a+W],則

兀712兀22

sin2?+—=-cos+—+—=-cos2。+2sinfa+yj-1=2/-1,

662

小…尸_8?_873

在piGE+Er=-----=-------

所以4r-1,1?

4t--

兀71兀5兀7兀V6+y/2

易得aw，所以a+;￡二，二，?w

31212~,

V6+V2

因為函數(shù)y=4/-1在

)7上單調(diào)遞增'

所以20W41—1W3,

所以34T

故

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.已知cosa-2sin(;r-a)=0.

(1)若a為第一象限角，求sina,cos2a；

/、_4xl-sinacosa

(2)求——-------L的值.

6sina-cosa

【正確答案】(1)sina=—.cos2a=3

55

(2)r

【分析】(1)利用誘導公式及平方關(guān)系求出sine,再利用二倍角公式求解.

(2)由⑴求出tana,再利用齊次式法計算即可.

【小問1詳解】

因為cosa-2sin(4-a)=cosa-2sina=0,

所以cosa=2sina，則sin2a+cos2a=5sin2a=1.

因為。為第一象限角，所以sina=走，cos2a=1—2sin2a=3

55

【小問2詳解】

由(1)知cosa-2sina=0,所以tana=一,

2

1i1

1-sm?acosas?irr2a+cos~2a-sinacosatarr2a+1i-tana4+1一2=3

所以

6sin%-cos%6sin2a-cos2a6tan2a-l6x1-12

4

18.已知函數(shù)/(x)=tanlOx.

（1）求/（x）的最小正周期；

（2）求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）解方程（l+tanx）/（x）=l-tanx.

TT

【正確答案】（1）—

10

71^7171

---，----1---伏eZ)

201020

klZ兀/,r-?x

(3)x=---1---(kGZ)

1144

【分析】（1）通過正切函數(shù)的周期性可得/（X）的最小正周期;

（2）由函數(shù)的解析式、正切函數(shù)的單調(diào)性可得/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

（3）利用將/（x）的解析式代入，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

/（X）的最小正周期7.

【小問2詳解】

TTTT

令人兀一,<1Ox<E+萬(％wZ),

ku71ku71八r、

得-------<x<一+—(AGZ).

10201020

故/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（77廣元？行十元］（左€Z）.

\X17X\JJ

【小問3詳解】

當l+tanx=O,即tartr=-l時，1-tanxwO,

兀

tan——tanx

1-taax_

所以(l+tanx)/(x)=1-tanx,得tanlOx=4

14-tanxi兀

1+tantanx

4

TT

所以10x=W-x+lat(k€Z),

rklL7C._.

即x=---1---(zAwZ).

1144

19.已知函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)y=3,的圖象關(guān)于直線丁=》對稱.

(1)求/(x-4)在［5,7］上的值域：

(2)判斷函數(shù)g(x)=/(8—x)-log3(x+8)的奇偶性，并說明理由.

【正確答案】(1)［0』］

(2)g(x)為奇函數(shù)，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/'(力的圖象與函數(shù)y=3’的圖象關(guān)于直線丁=》對稱，求出/(x)解析式,

利用單調(diào)性求出其在［5,7］上的值域；

(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷其奇偶性.

【小問1詳解】

由y=3，，可得X=唾3歹，則〃x)=log3X,

因為/(x-4)=log,(x-4)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/(工-4)而"/(5-4)=1嗝1=0,

/(X-4)2=/(7-4)=1嗎3=1,

故/(X—4)在［5,7］上的值域為［0』.

【小問2詳解】

g(x)為奇函數(shù).

理由如下：

8-Y

由(1)可得，g(x)=log3(8-x)-log3(x+8)=log3——-)

x+8

因為g(x)的定義域為(-8,8),關(guān)于原點對稱，

Q1丫Q__X

且g(-x)=log3-----=-log3--=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù).

一x+8x+8

20.已知函數(shù)/。）=%2一化+1卜+16.

（1）若"2）=0,解關(guān)于x的方程/（3、）=7；

（2）若對任意xe（0,+oo）,13＞o恒成立，求左的取值范圍.

x

【正確答案】（1）x=0或x=2

（2）（-oo,7）

【分析】（1）由/（2）=0得左=9,利用換元t=33解方程得f=l或，=9,再解指數(shù)方程即可;

（2）通過不等式的恒成立，對不等式作等價變形，再結(jié)合基本不等式即可求解.

【小問1詳解】

由/（2）=0得，4—2（左+1）+16=0,解得左=9,

所以/（x）=x2-lOx+16,

令f=31則由/（3'）=7得/⑴=7,即RTO/+16=7,解得=1或"9,

所以3*=1或3*=9，解得x=0或x=2,

所以，方程/（3,）=7的解為x=0或x=2；

【小問2詳解】

因為對任意xe（0,+oo）,△?〉（）恒成立，

X

所以/.（x）＞0恒成立，即-—（左+l）x+16＞0恒成立，工+3＞%+1恒成立，

由基本不等式得x+竺＞2、x?3=8,當且僅當彳=生，即x=4時取等號，

X\XX

所以8＞左+1,即左＜7,所以的取值范圍為（一8,7）.

21.已知函數(shù)/（x）=Nsin?x+e）］"＞0,。＞0,網(wǎng)＜^）的部分圖象如圖所示.

（1）求/（尤）的解析式；

Ajr

（2）若方程/（X）-〃7=0在0,-y上恰有三個不相等的實數(shù)根苞,馬63（再＜》2＜七），求根的

取值范圍和tan（x+2々+七）的值.

jr

【正確答案】（1）/（%）=2sin（2x+y）

（2）見解析

【分析】⑴由函數(shù)圖象可得/=2,7=%，求得。=2,將點2代入/（x）的解析式,

77

求得9=即可求得函數(shù)/（X）的解析式；.

Ajr

（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/（力與丁=加的圖象在0,—上有三個不同的交點，結(jié)合圖象以及對

稱性求解即可.

【小問1詳解】

解：由函數(shù)/（X）的圖象可得2=2,且1=（一自=7,解得7=乃，

27r

所以?=亍-=2,即/（%）=2$皿2彳+9）,

將點仔,2）代入/（x）的解析式，可得2X￡+Q=X+2版■，左eZ,

\12j122

JT

解得夕=2左萬+§■，左EZ,

TTTT'fl

因為|夕|＜5,可得夕=§,所以/（x）=2sin（2x+w）.

【小問2詳解】

Ajr

方程/(x)-〃?=0在0,—上恰有三個不相等的實數(shù)根,

則函數(shù)/'（力與＞=加的圖象在0,y上有三個不同的交點,

設交點的橫坐標分別為斗62，毛（玉＜工2＜七）―

?c/、/、/>>7兀313〃1OTZ,

由對L稱性可r知，X]+2工2+工3=(玉+12)+(“2+13)=2X+2X-]2――~一

22.如圖，一個半徑為12m的筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，2分鐘轉(zhuǎn)動一圈，水車的軸心。到水

面的距離為6m,筒車上均勻分布了24個盛水筒，當盛水筒尸剛浮出水面時開始計算時間，記盛

水筒尸到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數(shù)）.

（1）求d與時間/（單位：s）的關(guān)系式;

（2）當盛水筒尸剛浮出水面時，記最高點處的盛水筒為。，求一圈內(nèi)尸到水面的距離與。到水

面的距離之和大于18m的時間.

.I71Tti

【正確答案】(1)rf=12sin+6,>0；

\606)

(2)40s

7T

【分析】（1）根據(jù)每120秒沿逆時針方向轉(zhuǎn)動1圈，求出角速度，求出后，得到時間