隨機(jī)變量的方差高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征(方差)1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望是反映離散型隨機(jī)變量的平均水平4.樣本方差3.特殊分布----兩點(diǎn)分布的均值若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則溫故知新

叫做這組數(shù)據(jù)的方差.4.樣本方差叫做這組數(shù)據(jù)的方差.溫故知新

各個(gè)數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的偏差平方的平均值思考：你能否類比上式歸納得到隨機(jī)變量X的方差？各個(gè)數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的偏差平方的加權(quán)平均值如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.問題

從兩名同學(xué)中挑選出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄,甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列為兩個(gè)均值相等探究：離散型隨機(jī)變量的方差6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03

探究：離散型隨機(jī)變量的方差比較兩個(gè)圖形,哪一名同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定?除平均中靶環(huán)數(shù)以外,還要考慮穩(wěn)定性,即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.乙同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定下圖分別是X和Y的概率分布圖.YP1098706XP1098706如何量化這個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)？如何定量刻畫離散型隨機(jī)變量取值的離散程度？樣本的方差：隨機(jī)變量的方差(1)樣本的離散程度是用哪個(gè)量刻畫的？(2)能否用一個(gè)與樣本方差類似的量來刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性呢？偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均探究：離散型隨機(jī)變量的方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：隨機(jī)變量X的方差為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映隨機(jī)變量取值的離散程度.隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差為：概念：離散型隨機(jī)變量的方差6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03D(X)>D(Y)，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定下面用兩名同學(xué)射擊成績(jī)的的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫他們射擊成績(jī)的穩(wěn)定性

離散型隨機(jī)變量的方差例6.投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示.(1)投資哪種股票的期望收益大？

(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)高？解：(1)股票A的期望收益為E(X)=(?1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，股票B的期望收益為E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.∵E(X)>E(Y)，∴投資股票A的期望收益較大.(2)股票A的收益的方差為D(X)=(?1)2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12=1.29，股票B的收益的方差為D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3?12=0.6.∵E(X)和E(Y)相差不大，但D(X)>D(Y)，∴投資A股票比投資B股票的風(fēng)險(xiǎn)高.離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)數(shù)學(xué)含義不一定成立離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)，方差會(huì)有怎樣變化？離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=

D(X)

而離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)=a2D(X)

離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)

離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)

離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)

方差性質(zhì)應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X).(2)優(yōu)勢(shì)：既避免了求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過程.常見概率分布的方差

X10Pp1－p則D(X)=p(1－p).

離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征的應(yīng)用離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征的應(yīng)用設(shè)投到項(xiàng)目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，則X1和X2的分布列分別為X20.3x－0.1xPbc(1)求a，b，c的值；E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2. ①又b＋c＝1，

②離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征的應(yīng)用離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征的應(yīng)用(2)若將100萬元全部投資其中一個(gè)項(xiàng)目，請(qǐng)你從投資回報(bào)穩(wěn)定性的角度考慮，為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.選擇項(xiàng)目B.理由如下：當(dāng)投入100萬元資金時(shí)，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，說明雖然項(xiàng)目A和項(xiàng)目B的平均收益相等，但項(xiàng)目B更穩(wěn)妥，所以從投資回報(bào)穩(wěn)定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項(xiàng)目B.1.離散型隨機(jī)變量取值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差3.求離散型隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的一般步驟：①理解X的意義，寫出X