2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-把握特殊情形-堵住丟分漏洞-提高復(fù)習(xí)質(zhì)量

2024數(shù)學(xué)解題中忽視特殊情形致錯的破解方略在高考數(shù)學(xué)閱卷中，我們發(fā)現(xiàn)，許多同學(xué)在答題時的思路是基本正確的，結(jié)果也大致出來了，但過程卻時常丟三落四，出現(xiàn)漏洞，丟掉了本應(yīng)得到的分?jǐn)?shù)。其實(shí)，這種“會而不對，對而不全”的現(xiàn)象也一直是平時教學(xué)中師生揮之不去之痛，而解題中忽視問題的特殊情形致錯則更為令人困惑，如何解決這一問題直接關(guān)系到高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的質(zhì)量，現(xiàn)就相關(guān)問題作如下例析：一、忽視空集情況致錯例1.已知集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1}，若A∩B=B，則實(shí)數(shù)a∈錯解：A={x|x2+4x=0}={－4，0}，由A∩B=B知BA①若B={0}，則解得a=－1②若B={－4}，則無解③若B={－4，0}，則解得a=1所以a∈{－1，1}剖析：在應(yīng)用A∩B=BAB時，需進(jìn)行分類討論，但在上述解答中忽視了“空集是任何集合的子集”這一基本事實(shí)，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。事實(shí)上，當(dāng)B=時，有△=4(a+1)2－4(a2－1)<0，即a<－1，因此，正確結(jié)果應(yīng)該是{a|a≤－1或a=1}。評注：解答集合問題時，要注意集合中元素的“確定性、無序性、互異性”以及集合語言和自然語言之間的相互轉(zhuǎn)化，同時，對空集的情形應(yīng)予特殊關(guān)注。二、忽視函數(shù)的定義域致錯例2.求函數(shù)f(x)=的最小正周期錯解：f(x)==tan2x..故f(x)的最小正周期T=剖析：T=不是f(x)的周期，否則應(yīng)有f(0)=f(0+)=f()，但f(0)=0，而f()不存在，出現(xiàn)矛盾。致錯的原因是在轉(zhuǎn)化過程中忽視了定義域的變化。事實(shí)上，在f(x)中，由1－tan2x≠0可得tanx≠±1，∴f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ±且x≠kπ+，（k∈Z）}，但y=tan2x的定義域?yàn)閧x|x≠kπ±，（k∈Z）}，顯然函數(shù)的定義域被擴(kuò)大了。由以上分析和函數(shù)f(x)的圖象（如圖）不難得其周期為T=π。評注：求函數(shù)周期或判斷函數(shù)奇偶性，一般要對所給函數(shù)進(jìn)行化簡變形，但轉(zhuǎn)化過程中要注意保持函數(shù)的等價性，否則容易造成錯誤的判斷。三、應(yīng)用基本不等式時，忽視取等條件致錯例3.已知：a>0，b>0，a+b=1，求(a+)2+(b+)2的最小值。錯解：(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8故得(a+)2+(b+)2的最小值為8剖析：上述解答中，兩次運(yùn)用基本不等式，第一次取等條件是a=b=，第二次取等條件是ab=即ab=±1，顯然兩條件不可能同時成立，因此所求結(jié)果是錯誤的。事實(shí)上，原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4=(1－2ab)+()+4=(1－2ab)(1+)+4.由ab≤()2=,得1－2ab≥1－=,1+≥1+42=17.故原式≥×17+4=（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取“=”）.∴(a+)2+(b+)2的最小值是.評注：應(yīng)用基本不等式的前提是“一正、二定、三相等”，解題中不能忽視對取等時變量的值是否在其定義域內(nèi)的驗(yàn)證工作。四、求數(shù)列通項(xiàng)時，忽視n=1的情況致錯例4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)為 .錯解：∵an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1①∴an+1=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1+nan②②－①得an+1－an=nan，故=n+1∴an=…=n·(n－1)…3·2=n！即an=n！剖析：上述解答中，忽視了a1=1這一特殊情況，事實(shí)上，由條件知當(dāng)n≥2時，才有=n+1，又由a2=a1=1知=1.所以an=評注：對于數(shù)列an與Sn之間有如下的關(guān)系：an=，求an時，若a1適合an=Sn－Sn－1(n≥2)時才可以合并，否則要將an寫成分段函數(shù)的形式。五、等比數(shù)列求和時忽視公比q=1的情況致錯例5.數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，數(shù)列{an·an+1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列且anan+1+an+1an+2>an+2an+3，求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和S2n錯解：由anan+1+an+1an+2>an+2an+3即anan+1+anan+1q>anan+1·q2得1+q>q2即q2－q－1<0（q>0），解得0<q<又=q∴=q故數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和所有偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，且公比均為q，又a1=1，a2=2.于是S2n=a1+a2+a3+a4+…a2n－1+a2n=(a1+a3+…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=剖析：上述解答中，忽視了公比q=1的情況。事實(shí)上，當(dāng)q≠1時，由上可知Sn=；當(dāng)q=1時，a1=a3=…=a2n－1=1，a2=a4=…=a2n=2，于是a2n=a1+a2+a3+a4+…a2n－1+a2n=(a1+a3+…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=na1+na2=n+2n=3n.評注：①=q是解題的關(guān)鍵。雖然數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列且公比相等，但是整個數(shù)列未必成等比數(shù)列。②等比數(shù)列求和時一定要注意公比q=1這一特殊情況。六、忽視直線斜率不存在情況致錯例6.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC//x軸，求證：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。AABCxyO錯解：設(shè)直線AB的方程為y=k(x－)（如圖）.A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（－，y2）∴即y2－－p2=0∴y1y2=－p2，kOC=又∵y12=2px1，∴kOC=∴kOA==kOC，故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.剖析：以上只證明了當(dāng)直線AB的斜率k存在時的情況。事實(shí)上，當(dāng)k不存在，即當(dāng)AB⊥x軸時，有A（，p），B（，－p），C（－，－p），易知點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對稱，于是得AC經(jīng)過原點(diǎn)O.評注：凡涉及求直線方程或關(guān)于直線與曲線位置關(guān)系問題，一般都要考慮斜率存在和不存在的兩種情況，否則容易出現(xiàn)思維漏洞.七、三角換元時，忽視換元前后變量的等價性致錯例7.已知sinx+siny=，求M=siny－cos2x的最大值.錯解：由已知得siny=－sinx∴M=siny－cos2x=－sinx－cos2x=sin2x－sinx－令t=sinx∈[－1，1]于是M=t2－t－=(t－)2－∴當(dāng)t=－1時，Mmax=(－1－)2－=剖析：上述解答中，新元t的范圍有誤，因而結(jié)果是不對的。事實(shí)上，由siny=－sinx∈[－1，1]，結(jié)合sinx∈[－1，1]，可得sinx∈[－，1]，亦即t∈[－，1]，于是當(dāng)t=－時，得Mmax=。評注：換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，即變換研究對象，將問題置于新的情況和背景中，達(dá)到顯露隱含和化繁為簡的目的，換元時要保持新舊元取值范圍的等價性。八、忽視向量的共線情況致錯例8.已知=（m－2，m+3），=（2m+1，m－2），若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)m的范圍。錯解：設(shè)與的夾角為θ，且<θ<π，則cosθ=<0，故·<0。即(m－2)(2m+1)+(m+3)(m－2)<0，解得－<m<2，此即所求的實(shí)數(shù)m的范圍。剖析：·<0是與夾角θ為鈍角的必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng)·=－1時，θ=π就不是鈍角。以上所求范圍中包括了θ=π時對應(yīng)的m的值。事實(shí)上，由與不共線，可得(m－2)2－(m+3)(2m+1)≠0，∴m≠，因此m的范圍是(－，)∪（，2）。評注：θ為鈍角－1<cosθ<0，即·<0且與不共線。知識是基礎(chǔ)，方法是手段，思想是深化，在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，只有仔細(xì)體會數(shù)學(xué)思想方法，注重思維的嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性，有效地避免在解題中出現(xiàn)的思維漏洞，才能切實(shí)提高復(fù)習(xí)的質(zhì)量。不等式證明中的構(gòu)造函數(shù)策略有些不等式證明問題，如能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，從函數(shù)的單調(diào)性或有界性等角度入手，則可以順利得到證明。把握這種構(gòu)造函數(shù)的證題策略，有利于證明一些用常規(guī)方法難以證明的命題.一、構(gòu)造一次函數(shù)證明不等式例1.設(shè)0<x<1，0<y<1，0<z<1，求證：x(1－y)+y(1－z)+z(1－x)<1.分析：把結(jié)論的左式看成以x為主元的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得證.證明：設(shè)f(x)=x(1－y)+y(1－z)+z(1－x)=(1－y－z)x+(y+z－yz)（0<x<1）∵0<y<1，0<z<1∴f(0)=y+z－yz=1－(1－y)(1－z)<1f(1)=1－yz<1∴當(dāng)x∈(0，1)時，f(x)<1即x(1－y)+y(1－z)+z(1－x)<1評注：⑴f(x)=(1－y－z)x+(y+z－yz)在x∈(0，1)上的圖象是線段（不含端點(diǎn)），故f(x)<1f(0)<1且f(1)<0.⑵本題也可就1－y－z在（－1，1）內(nèi)的不同情況分類說明.二、構(gòu)造二次函數(shù)證明不等式例2.若0<a<，求證：b－b2<.分析：結(jié)論即b2－b+>0，可將左式看成是以b為主元的二次函數(shù)（其中0<b<），再予以證明.證明：令b=x，由0<a<，得x=b∈(0，).構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=x2－x+，x∈(0，).其對稱軸為x=⑴當(dāng)≤，即a≥2時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減.于是f(x)>f()=>0⑵當(dāng)>，即0<a<2時，有f(x)>f()=－>0綜上，當(dāng)x∈(0，)時，f(x)=x2－x+>0恒成立,即不等式b－b2<成立.評注：1、本題旨在構(gòu)造二次函數(shù)，并對定軸x=與動區(qū)間（0，）間的不同位置情況分類討論。2、本題也可將結(jié)論轉(zhuǎn)化為(b－b2)a+(b－b2)－1<0（0<a<），把左式看作是以a為主元的一次函數(shù)，再予以證明.三、構(gòu)造分式函數(shù)證明不等式例3.設(shè)a、b、c∈R+，且a+b>c，求證.分析：不等式中各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)相同，只是字母不同，故可構(gòu)造分式函數(shù)f(x)=進(jìn)行證明.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)==1－（x∈R+），易證函數(shù)f(x)在其定義域R+上是單調(diào)遞增函數(shù).∵a+b>c>0，∴f(a+b)>f(c)，即又故.評注：函數(shù)與不等式之間如同一對孿生兄弟，通過對不等式結(jié)構(gòu)特征的分析，來構(gòu)造函數(shù)模型，常?？梢允盏匠銎嬷苿俚男Ч?四、構(gòu)造三角函數(shù)證明不等式例4.已知集合M={x||x|≤1}，x1、x2∈M，求證x1x2+≤1.分析：分析條件和結(jié)論的形式特征及其內(nèi)在聯(lián)系，聯(lián)想到正、余函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)公式，可構(gòu)造三角函數(shù)來轉(zhuǎn)化并證明結(jié)論.證明：由題意，構(gòu)造函數(shù)x=f(θ)=cosθ，于是x1=cosθ1，x2=cosθ2.∴x1x2+=cosθ1cosθ2+=cosθ1cosθ2+|sinθ1sinθ2|=cosθ1cosθ2±sinθ1sinθ2=cos(θ1±θ2)≤1即x1x2+≤1評注：對于和三角有一定聯(lián)系或結(jié)構(gòu)上有相似之處的不等式證明問題，根據(jù)題目的特點(diǎn)，合理構(gòu)造三角函數(shù)，利用三角公式和性質(zhì)進(jìn)行證明，不失為處理問題的一條捷徑.在不等式證明中，通過構(gòu)造函數(shù)模型來探求證題思路是優(yōu)化思維品質(zhì)的有效途徑，也是解題者認(rèn)識問題本質(zhì)的具體體現(xiàn).參數(shù)法巧解直線與圓錐曲線問題直線與圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考中的熱點(diǎn)問題，同時它廣泛地存在于科學(xué)研究、工程技術(shù)中.下面我們運(yùn)用參數(shù)法來解決直線與圓錐曲線的一些常見問題，本文試圖就幾類較為常見問題的探究，給讀者一些有益的啟示.1.弦長問題例1過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),求弦的長.解(一)求出直線方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由坐標(biāo)求出線段長.該法思路較清晰，但在計算交點(diǎn)的時，計算量往往較大.解(二)求出直線方程，并與雙曲線方程聯(lián)立消元，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為再利用韋達(dá)定理求出線段長.該法解題中較常用，但要注意變形過程.下面我們用參數(shù)法來解：解(三)直線的參數(shù)方程為，將直線的參數(shù)方程代入雙曲線方程，得．設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為，,＝.線段的長為.2.中點(diǎn)弦問題例2已知直線過點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn),且點(diǎn)平分弦求直線的方程.解(一)可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,分別代入橢圓方程，并聯(lián)立作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)，可以求出直線斜率，進(jìn)而求出直線方程，并檢驗(yàn)所求的直線與橢圓是否有兩個交點(diǎn),但該法還不應(yīng)忽視特殊情況時.下面我們用參數(shù)法來解：解(二)設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為，將直線的參數(shù)方程代入橢圓方程，得，設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為，點(diǎn)為中點(diǎn)，則有即，所以直線的方程為.3.直線與圓的位置關(guān)系問題例3過圓外一點(diǎn)作直線(1)若與圓相切，求直線的方程.（2）若與圓相交，求直線的斜率的范圍.(1)解(一)討論直線斜率不存在時，是否符合，進(jìn)而討論斜率存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑，求出斜率.該法在解題中較常用，但要容易忽視直線斜率不存在的情形.解(二)設(shè)出直線方程，再與圓的方程聯(lián)立利用求出斜率.但仍不能忽視直線斜率不存在的情形.下面我們用參數(shù)法來解：解(三)設(shè)過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程方程為，其中為傾斜角.將直線的參數(shù)方程代入圓方程，得直線