測(cè)試系統(tǒng)特性

關(guān)于測(cè)試系統(tǒng)特性第三章測(cè)試系統(tǒng)的特性3.1線性系統(tǒng)及其主要性質(zhì)

3.2測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性3.3測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性3.4測(cè)試系統(tǒng)在典型輸入下的響應(yīng)

3.5實(shí)現(xiàn)不失真測(cè)試的條件第2頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

測(cè)試系統(tǒng)是執(zhí)行測(cè)試任務(wù)的傳感器、儀器和設(shè)備的總稱。簡單測(cè)試系統(tǒng)(光電池)V第3頁,共96頁，2024年2月25日，星期天復(fù)雜測(cè)試系統(tǒng)(軸承缺陷檢測(cè))

加速度計(jì)帶通濾波器包絡(luò)檢波器第4頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.1線性系統(tǒng)及其主要性質(zhì)被測(cè)對(duì)象傳感器信號(hào)調(diào)理傳輸信號(hào)處理顯示記錄觀察者激勵(lì)裝置反饋、控制

測(cè)試系統(tǒng)的組成

測(cè)試系統(tǒng)是指由相關(guān)的器件、儀器和測(cè)試裝置有機(jī)組合而成的具有獲取某種信息之功能的整體。第5頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

一般地，把外界對(duì)系統(tǒng)的作用稱之為系統(tǒng)的輸入或激勵(lì)，而將系統(tǒng)對(duì)輸入的反應(yīng)稱為系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)。

測(cè)試裝置

激勵(lì)與響應(yīng)把測(cè)試系統(tǒng)中能夠完成一定功能的部件稱為測(cè)試裝置。

上圖中方塊表示測(cè)試裝置某功能組件，x(t)表示輸入，y(t)表示輸出，h(t)表示由此組件的物理性能決定的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則。整個(gè)圖表示輸入量送入此組件后，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算法則h(t)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵隽?。x(t)h(t)y(t)輸入量系統(tǒng)特性輸出

系統(tǒng)的特性是指系統(tǒng)的輸出和輸入的關(guān)系。第6頁,共96頁，2024年2月25日，星期天測(cè)試系統(tǒng)基本要求

理想的測(cè)試系統(tǒng)應(yīng)該具有單值的、確定的輸入－輸出關(guān)系。對(duì)于每一輸入量都應(yīng)該只有單一的輸出量與之對(duì)應(yīng)。知道其中一個(gè)量就可以確定另一個(gè)量。其中以輸出和輸入成線性關(guān)系最佳。

xy線性xy線性xy非線性

輸出信號(hào)的質(zhì)量必定差于輸入信號(hào)的質(zhì)量。受測(cè)試系統(tǒng)的特性影響；受信號(hào)傳輸過程中干擾的影響。第7頁,共96頁，2024年2月25日，星期天線性系統(tǒng)微分方程(時(shí)域描述)式中：t為時(shí)間自變量；x(t)---輸入量，y(t)-----輸出量，等是由此測(cè)量系統(tǒng)或功能組件的物理性質(zhì)決定的常數(shù)。系統(tǒng)輸入x(t)和輸出y(t)間的關(guān)系可以用常系數(shù)線性微分方程來描述：第8頁,共96頁，2024年2月25日，星期天線性定常系統(tǒng)(linearsystem)

若測(cè)試裝置以及被測(cè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如裝置的質(zhì)量、彈性剛度、阻尼系數(shù)、電感、電容、電阻、比熱、熱阻等不隨時(shí)間而變化（即是常數(shù)），稱為時(shí)不變系統(tǒng)；若輸入輸出呈線性關(guān)系，則稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。定常線性系統(tǒng)主要性質(zhì)

1）疊加原理

當(dāng)幾個(gè)輸入同時(shí)作用于線性系統(tǒng)時(shí)，則其響應(yīng)等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用于該系統(tǒng)的響應(yīng)之和。即

若

則

第9頁,共96頁，2024年2月25日，星期天比例特性若則對(duì)于任意常數(shù)a有：指輸入x(t)增大a倍，那么輸出為輸入為x(t)時(shí)對(duì)應(yīng)輸出的a倍。綜合以上兩點(diǎn)，線性時(shí)不變系統(tǒng)必須符合：

微分性若則系統(tǒng)對(duì)輸入微分的響應(yīng)等于對(duì)輸入響應(yīng)的微分，只要對(duì)微分方程兩邊同時(shí)微分即可得證。

第10頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

積分性若則

如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)對(duì)輸入積分的響應(yīng)等于對(duì)原輸入響應(yīng)的積分。

頻率保持性若線性系統(tǒng)的輸入為某一頻率的簡諧信號(hào)，則其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)必是同一頻率的簡諧信號(hào)。即

若x(t)=Acos(ωt+φx)

則y(t)=Bcos(ωt+φy)第11頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2測(cè)試系統(tǒng)靜態(tài)響應(yīng)特性

如果測(cè)量時(shí)，測(cè)試裝置的輸入、輸出信號(hào)不隨時(shí)間而變化，則稱為靜態(tài)測(cè)量。靜態(tài)測(cè)量時(shí)，測(cè)試裝置表現(xiàn)出的響應(yīng)特性稱為靜態(tài)響應(yīng)特性。在線性系統(tǒng)的描述中，當(dāng)系統(tǒng)的輸入x(t)=c（常數(shù)），即輸入信號(hào)的幅值不隨時(shí)間變化或其隨時(shí)間變化的周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于測(cè)試時(shí)間時(shí),有：理想狀態(tài)：第12頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性

理想線性系統(tǒng)其輸出與輸入之間是呈單調(diào)、線性比例的關(guān)系，即輸入、輸出關(guān)系是一條理想的直線，斜率S為常數(shù)。但是實(shí)際測(cè)試系統(tǒng)并非是理想定常線性系統(tǒng)，輸入、輸出曲線并不是理想的直線，上式實(shí)際上變成：實(shí)際狀態(tài):非線性關(guān)系

靜態(tài)特性曲線由廠家給定，在靜態(tài)校準(zhǔn)情況下由實(shí)測(cè)來確定輸出輸入關(guān)系，稱為靜態(tài)校準(zhǔn)到靜態(tài)校準(zhǔn)線。靜態(tài)校準(zhǔn)條件：指沒有加速度，沒有沖擊，振動(dòng)，環(huán)境溫度為20±5℃，相對(duì)濕度不大于85％，大氣壓力為0.1±0.08MPa的情況。

第13頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

非線性原因：

(結(jié)構(gòu)原理性原因除外)誤差因素測(cè)試系統(tǒng)輸入x輸入y=f(x)溫度濕度壓力沖擊振動(dòng)磁場電場摩擦間隙松動(dòng)遲滯蠕變變形老化外界干擾對(duì)于靜態(tài)測(cè)量，系統(tǒng)的線性特性要求并非是必須的，采取曲線校正和補(bǔ)償技術(shù)來作非線性校正較為容易。第14頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性就是在靜態(tài)測(cè)量情況下描述實(shí)際測(cè)試裝置與理想定常線性系統(tǒng)的接近程度。下面用定量指標(biāo)來研究實(shí)際測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性。靜態(tài)特性指標(biāo)

線性度

回程誤差

分辨力

重復(fù)性

靈敏度

漂移第15頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.2.1靈敏度（sensitity）靈敏度是指裝置在穩(wěn)態(tài)下輸出變化量（增量）與輸入變化量（增量）的比值，即

K=輸出變化量/輸入變化量=ΔY/ΔX

對(duì)于線性傳感器，它的靈敏度就是它的靜態(tài)特性的斜率。非線性傳感器的靈敏度不是常數(shù)而為一變量，用dY/dX表示。yx△x△y第16頁,共96頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.2.2非線性度（linearity

）ymyxAB0xm

定義：定度曲線偏離其擬合直線的程度即為非線性度，常用百分?jǐn)?shù)表示。非線性度═B/A×100%它反映了測(cè)試系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系保持常值線性比例關(guān)系的程度。B---輸出值與理想直線的最大偏差值A(chǔ)----理論滿量程輸出值第18頁,共96頁，2024年2月25日，星期天理想直線：擬合直線一般不存在或很難獲得準(zhǔn)確結(jié)果利用測(cè)量數(shù)據(jù)，通過計(jì)算獲得獲取擬合直線方法：(c)最小二乘法：計(jì)算：有n個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，(n>2)殘差：

i=yi–(a+b

xi)殘差平方和最?。?i=min使得正負(fù)行程的非線性偏差相等且最小(a)端點(diǎn)連線法：檢測(cè)系統(tǒng)輸入輸出曲線的兩端點(diǎn)連線特點(diǎn)：xyΔ算法：簡單、方便，偏差大，與測(cè)量值有關(guān)(b)最佳直線法：精度最高，計(jì)算法（迭代、逐次逼近）算法：特點(diǎn)：算法：特點(diǎn)：精度高xyΔΔ簡單實(shí)用，三點(diǎn)作圖法（兩高一低/兩低一高）第19頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.3回程誤差

（hysteresis）

定義：在輸入量增加和減少的過程中，對(duì)于同一輸入量會(huì)得到大小不等的輸出量，在全部測(cè)量范圍內(nèi)，這個(gè)差別的最大值與標(biāo)稱輸出范圍之比稱回程誤差。

即δh＝hm/ym×100％

ymyhmxmx0

回程誤差是由運(yùn)動(dòng)部件之間的摩擦、間隙、變形材料的內(nèi)摩擦及磁性材料的磁滯現(xiàn)象等引起的。hm：正反行程輸出值的最大偏差第20頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.4分辨力(resolution)

分辨力是指測(cè)試系統(tǒng)所能檢測(cè)出來的輸入量的最小變化量，通常是以最小單位輸出量所對(duì)應(yīng)的輸入量來表示。分辨力與靈敏度有密切的關(guān)系，即為靈敏度的倒數(shù)。

一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的分辨力越高，表示它所能檢測(cè)出的輸入量最小變化量值越小。對(duì)于數(shù)字測(cè)試系統(tǒng)，其輸出顯示系統(tǒng)的最后一位所代表的輸入量即為該系統(tǒng)的分辨力；對(duì)于模擬測(cè)試系統(tǒng)，是用其輸出指示標(biāo)尺最小分度值的一半所代表的輸入量來表示其分辨力。分辨力也稱為靈敏閾或靈敏限。這個(gè)指標(biāo)若用滿量程的百分比表示，則稱為分辨率,如：0.1%,0.02%閥值:在系統(tǒng)輸入零點(diǎn)附近的分辨力第21頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.5重復(fù)性同一條件下，對(duì)同一被測(cè)量，同一方法，多次重復(fù)測(cè)量，差異程度對(duì)同一被測(cè)量值：各次測(cè)量數(shù)值的偏差程度重復(fù)性是檢測(cè)系統(tǒng)最基本的技術(shù)指標(biāo)，是其他各項(xiàng)指標(biāo)的前提和保證測(cè)量數(shù)據(jù)的分散性重復(fù)性誤差：隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差：大，則分散性大；反之亦然計(jì)算：貝塞爾公式y(tǒng)i---測(cè)量輸出值，i=1,2,…,n---輸出值的平均值對(duì)不同被測(cè)數(shù)值：各次測(cè)量曲線的偏差程度第22頁,共96頁，2024年2月25日，星期天測(cè)量范圍：是指測(cè)試裝置能正常測(cè)量最小輸入量和最大輸入量之間的范圍。

可靠性：是與測(cè)試裝置無故障工作時(shí)間長短有關(guān)的一種描述。

穩(wěn)定性：是指在一定工作條件下，當(dāng)輸入量不變時(shí)，輸出量隨時(shí)間變化的程度。第23頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.6漂移

漂移：是指測(cè)試系統(tǒng)在輸入不變的條件下，輸出隨時(shí)間而變化的趨勢(shì)。在規(guī)定的條件下，當(dāng)輸入不變時(shí)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)輸出的變化，稱為點(diǎn)漂。在測(cè)試系統(tǒng)測(cè)試范圍最低值處的點(diǎn)漂，稱為零點(diǎn)漂移，簡稱零漂。漂移產(chǎn)生的原因在于兩個(gè)方面：一是儀器自身結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，另一個(gè)是周圍環(huán)境的變化（如溫度、濕度等）對(duì)輸出的影響。最常見的漂移是溫漂，即由于周圍的溫度變化而引起輸出的變化，進(jìn)一步引起測(cè)試系統(tǒng)的靈敏度和零位發(fā)生漂移，即靈敏度漂移和零點(diǎn)漂移。第24頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性

測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是指輸入量隨時(shí)間變化時(shí)，其輸出隨輸入而變化的關(guān)系。一般地，在所考慮的測(cè)量范圍內(nèi)，測(cè)試系統(tǒng)都可以認(rèn)為是線性系統(tǒng)，因此就可以用定常線性系統(tǒng)微分方程來描述測(cè)試系統(tǒng)以及和輸入x(t)、輸出y(t)之間的關(guān)系，通過拉普拉斯變換建立其相應(yīng)的“傳遞函數(shù)”，該傳遞函數(shù)就能描述測(cè)試裝置的固有動(dòng)態(tài)特性，通過傅里葉變換建立其相應(yīng)的“頻率響應(yīng)函數(shù)”，以此來描述測(cè)試系統(tǒng)的特性。第25頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.3.1傳遞函數(shù)(transferfunction)

定義：在初始條件為零時(shí)，也就是在測(cè)量系統(tǒng)激勵(lì)之前，所有儲(chǔ)能元件（如質(zhì)量件、彈性元件、電器元件等）均沒有積存能量，使系統(tǒng)完全處于零的起始狀態(tài)下工作。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換(Laplacetransform)之比，即

式中s是復(fù)變量，即s=a+jω。

第26頁,共96頁，2024年2月25日，星期天傳遞函數(shù)是一種對(duì)系統(tǒng)特性的解析描述。它包含了瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)時(shí)間響應(yīng)和頻率響應(yīng)的全部信息。傳遞函數(shù)有一下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）H(s)描述了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性，而與輸入量x(t)及系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。（2）H(s)是對(duì)物理系統(tǒng)特性的一種數(shù)學(xué)描述，而與系統(tǒng)的具體物理結(jié)構(gòu)無關(guān)。H(s)是通過對(duì)實(shí)際的物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型后，經(jīng)過拉普拉斯變換后所得出的，所以同一傳遞函數(shù)可以表征具有相同傳輸特性的不同物理系統(tǒng)。（3）H(s)中的分母取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而分子則表示系統(tǒng)同外界之間的聯(lián)系，如輸入點(diǎn)的位置、輸入方式、被測(cè)量以及測(cè)點(diǎn)布置情況等。分母中s的冪次n代表系統(tǒng)微分方程的階數(shù)，如當(dāng)n=1或n=2時(shí)，分別稱為一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)。

一般測(cè)試系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)，其分母中s的冪次總是高于分子中s的冪次（n>m

）。第27頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3.2頻率響應(yīng)函數(shù)(frequencyresponse)

傳遞函數(shù)H(s)與頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系：在測(cè)試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）已知的情況下，可令H（s）中s=jω便可求得頻率響應(yīng)函數(shù)H（jω）式中

H(jω)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，是傳遞函數(shù)的特例，是系統(tǒng)初始條件為零時(shí)輸出傅立葉變換與輸入傅立葉變換之比。第28頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

因?yàn)镠(jω)是復(fù)數(shù)，將它的實(shí)部和虛部分開，用代數(shù)式和指數(shù)式分別表示為：

H（jω）=P（ω）+jQ（ω）

H（jω）=A（ω）ejφ(ω）式中－－幅頻特性－－－－－－相頻特性頻率響應(yīng)的圖形表示法1）幅頻特性曲線(frequencyresponsecurve)

相頻特性曲線第29頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2）伯德圖：對(duì)自變量取對(duì)數(shù)標(biāo)尺，幅值比的坐標(biāo)取分貝（dB）數(shù)標(biāo)尺。相角取實(shí)數(shù)坐標(biāo)。即，由此所作出的曲線稱為對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線，總稱為伯德圖（Bodeplot圖）。第30頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3）實(shí)頻特性曲線虛頻特性曲線4）奈奎斯特圖（Nyquist圖）：將H（jω）的虛部和實(shí)部分別作為縱、橫坐標(biāo)畫出的圖形。它反映了頻率變化過程中系統(tǒng)過程中系統(tǒng)響應(yīng)H（jω）的變化。第31頁,共96頁，2024年2月25日，星期天傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)的區(qū)別在推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的初始條件設(shè)為零。而對(duì)于一個(gè)從t=0開始所施加的簡諧信號(hào)激勵(lì)來說，采用拉普拉斯變換解得的系統(tǒng)輸出將由兩部分組成：由激勵(lì)所引起的、反映系統(tǒng)固有特性的瞬態(tài)輸出以及該激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。對(duì)頻率響應(yīng)函數(shù)H(jω)，當(dāng)輸入為簡諧信號(hào)時(shí)，在觀察的時(shí)刻，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)已趨近于零，頻率響應(yīng)函數(shù)表達(dá)的僅僅是系統(tǒng)對(duì)簡諧輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)輸出。用頻率響應(yīng)函數(shù)不能反映過渡過程，必須用傳遞函數(shù)才能反映全過程。第32頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3.3環(huán)節(jié)的串聯(lián)和并聯(lián)

串聯(lián)：如果測(cè)量系統(tǒng)由兩個(gè)串聯(lián)元件組成，它們的傳遞函數(shù)分別為，那么該測(cè)量系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)為：對(duì)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)有：

第33頁,共96頁，2024年2月25日，星期天而n環(huán)節(jié)串聯(lián)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：其幅頻、相頻特性分別為：

第34頁,共96頁，2024年2月25日，星期天并聯(lián)：

若兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，則因有由n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)組成的系統(tǒng)，則：

n環(huán)節(jié)并聯(lián)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：第35頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3.4典型測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性a)零階系統(tǒng)：微分方程：特點(diǎn)：a)屬于靜態(tài)環(huán)節(jié)：d)實(shí)際零階環(huán)節(jié)：緩慢變化，頻率較低---近似零階環(huán)節(jié)c)與時(shí)間無關(guān)，與頻率無關(guān)，無滯后，無慣性理想環(huán)節(jié)靜態(tài)靈敏度系數(shù)b)輸出輸入又稱：比例環(huán)節(jié)幅頻特性：相頻特性：實(shí)例：電位計(jì)式角位移傳感器微分方程：靜態(tài)靈敏度系數(shù)：UEU0θ第36頁,共96頁，2024年2月25日，星期天b）一階系統(tǒng)的特性

(firstordermeasurementsystem)

一階系統(tǒng)的微分方程:

也可改寫為：其中：τ－系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)(timeconstant)，

S－系統(tǒng)靈敏度。

典型的一階裝置有：RC濾波（積分）電路、零質(zhì)量的單自由度---彈簧—阻尼系統(tǒng)、及溫度傳感器包括液柱式溫度計(jì)、熱電偶、熱敏電阻等。它們分別屬于力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)范疇的測(cè)量裝置。

第37頁,共96頁，2024年2月25日，星期天彈簧—阻尼系統(tǒng)：設(shè)C為阻尼器的阻尼系數(shù)，k為彈簧的剛度，x(t)為外力（輸入信號(hào)），y(t)為位移（輸出信號(hào)）。

外力x(t)與阻尼器產(chǎn)生的阻力（與速度成正比）、彈簧的反力相平衡。有：彈簧—阻尼系統(tǒng)（位移）y(t)

x(t)(力)

k

C令：，S=1/k,為系統(tǒng)的靈敏度。則上式改寫為：

第38頁,共96頁，2024年2月25日，星期天RC積分電路：是最簡單而又應(yīng)用最廣泛的阻容式低通濾波器(low-passfilter)。當(dāng)輸入一電壓，則在電容兩端輸出一電壓，此時(shí)流經(jīng)電阻的電流為：

RC積分電路

輸出電壓變化率為：

即令則上式：

第39頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

例：右圖示出一液柱式溫度計(jì)，則輸入與輸出間有下述關(guān)系

R－傳導(dǎo)介質(zhì)的熱阻；

C－溫度計(jì)的熱容量。 兩邊作拉普拉斯變換，并令τ＝RC（τ為溫度計(jì)時(shí)間常數(shù)），則有 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)：液柱式溫度計(jì)

第40頁,共96頁，2024年2月25日，星期天一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)令S=1，對(duì)上式進(jìn)行拉式變換

，得：

一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)令,則其頻率響應(yīng)函數(shù)為：其幅頻、相頻特性分別為：

上述兩種測(cè)量裝置分屬于力學(xué)、電學(xué)范疇的裝置，兩個(gè)系統(tǒng)的測(cè)量對(duì)象不一樣，一個(gè)是位移，一個(gè)是電量。但描述它們動(dòng)態(tài)特性的傳遞函數(shù)、微分方程、頻率響應(yīng)函數(shù)是一樣的，都?xì)w屬一階系統(tǒng)。它不表明系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，只要?jiǎng)討B(tài)特性相似，就可以有相同的傳遞函數(shù)、微分方程。

第41頁,共96頁，2024年2月25日，星期天一階系統(tǒng)特性曲線可見：①幅值比A（ω）隨ω的增大而減小。A（ω）和φ（ω）的變化表示輸出與輸入之間的差異，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)誤差。②系統(tǒng)的工作頻率范圍取決于時(shí)間常數(shù)τ。在ωτ較小時(shí)，幅值和相位得失真都較小。當(dāng)ωτ一定時(shí)，τ越小，測(cè)試系統(tǒng)的工作頻率范圍越寬。因此為了減小一階測(cè)試系統(tǒng)得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)誤差，增大工作頻率，應(yīng)盡可能采用時(shí)間常數(shù)τ小的測(cè)試系統(tǒng)。失真<<1/時(shí)：A()=K()=0零階無滯后<<1/10時(shí)：>1/時(shí)：A()()幅值衰減相位滯后第42頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－1

設(shè)有一階環(huán)節(jié)其時(shí)間常數(shù)，輸入一簡諧信號(hào)，問：輸入信號(hào)頻率為多少時(shí)，其輸出信號(hào)的幅值誤差不大于6%？這時(shí)輸出信號(hào)的滯后角是多少？解：允許幅值誤差：

又解之，得第43頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－2

設(shè)另有一個(gè)一階環(huán)節(jié)，其時(shí)間常數(shù)。設(shè)輸入信號(hào)的頻率。問此情況下

解：

將例1和例2比較可看出，由于時(shí)間常數(shù)由0.1s加大到0.2s，幅值衰減率由6%加大到1-81%=19%。而滯后角則由，一階環(huán)節(jié)實(shí)際上是一個(gè)低通濾波器。它只允許低頻信號(hào)通過，高頻則劇烈衰減。

第44頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－3求周期信號(hào)，通過傳遞函數(shù)為的裝置后所得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：輸入信號(hào)為，此裝置對(duì)所給輸入信號(hào)x(t)有線性疊加性和頻率保持性。設(shè)即即測(cè)試裝置為一階系統(tǒng)，

。裝置對(duì)該兩頻率信號(hào)分量的增益（幅值比）和相移分別為：第45頁,共96頁，2024年2月25日，星期天由疊加性和頻率保持性，測(cè)試裝置對(duì)輸入x(t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(t)為：第46頁,共96頁，2024年2月25日，星期天二階系統(tǒng)(secondordermeasurementsystem)

二階系統(tǒng)的微分方程為：或

其中，------系統(tǒng)的固有頻率(natuealfrequency)

--------系統(tǒng)的靜態(tài)靈敏度(Sensitivity)

-----系統(tǒng)的阻尼比

(dampingratio)典型的二階系統(tǒng)有RLC電路、彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)(Spring-Mass-Dashpotsystem)、動(dòng)圈式電表等。

第47頁,共96頁，2024年2月25日，星期天RLC串聯(lián)電路

電路的電壓方程式為：

LR

x(t)i=dq/dtCy(t)

第48頁,共96頁，2024年2月25日，星期天彈簧-質(zhì)量-阻尼(Spring-Mass-Dashpot)

m

x(t)y(t)

kC當(dāng)系統(tǒng)受到外力x(t)作用時(shí)，外力與慣性力、阻尼力和彈簧反力相平衡，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：k—彈簧剛度，C—阻尼器的阻尼系數(shù)，m—系統(tǒng)的質(zhì)量令

取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。將帶入上式得：

第49頁,共96頁，2024年2月25日，星期天二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

二階系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)第50頁,共96頁，2024年2月25日，星期天幅頻特性(amplituderesponse)和相頻特性(phaseresponse)分別為：第51頁,共96頁，2024年2月25日，星期天動(dòng)態(tài)特性曲線第52頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

對(duì)二階系統(tǒng)而言，主要的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)是系統(tǒng)固有頻率ωn和阻尼系數(shù)ξ。固有頻率為系統(tǒng)幅頻特性曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率。從特性曲線可看出二階系統(tǒng)大致有如下特點(diǎn)：

①頻率響應(yīng)和阻尼率有關(guān)。從幅頻特性曲線可知：當(dāng)ξ＞0.7時(shí)，幅值比A（ω）≤1，稱為過阻尼；當(dāng)＜0.7時(shí)，在ω/ωn

＝1處產(chǎn)生諧振，稱為欠阻尼；諧振頻率ωγ：對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，A（ω）有峰值，峰值對(duì)應(yīng)頻率，稱為諧振頻率ωγ，低于固有頻率ωn。當(dāng)ξ

＝0時(shí)，A（ω）＝∞，出現(xiàn)共振，稱為無阻尼，此時(shí)，ωγ

＝ωn。第53頁,共96頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)時(shí)，幅頻特性曲線的平坦段最寬，且相頻特性接近于一條斜直線，所以稱為最佳阻尼。它的幅頻特性曲線是一根單調(diào)下降的曲線，因此它與的水平線相比，只有負(fù)誤差，沒有正誤差，而誤差是以絕對(duì)值形式給出的，即相對(duì)于1允許有正誤差，不利用是不合理的，所以通常說二階測(cè)量裝置的最佳阻尼比的根據(jù)就在于此。

從相頻特性曲線可知：當(dāng)時(shí)，在ω/ωn＝1處，φ（ω）從0→-180°，φ（ω）的變化情況與阻尼率有關(guān)，但在ω/ωn＝1時(shí)，對(duì)所有的來講都有φ（ω）＝-90°。第54頁,共96頁，2024年2月25日，星期天②頻率響應(yīng)與ωn有關(guān)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)不但隨阻尼率而變，同時(shí)隨固有圓頻率而不同。固有圓頻率ωn越高，穩(wěn)態(tài)動(dòng)誤差小的工作頻率范圍越寬，反之越窄。當(dāng)

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生共振，因此，作為實(shí)用裝置，應(yīng)該避開這種情況。

當(dāng)系統(tǒng)幅頻特性受阻尼比影響極大。相頻特性隨頻率變化而劇烈變化，且ξ越小，這種變化越劇烈。第55頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－4

設(shè)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的二階測(cè)量裝置，其無阻尼自振頻率相同，而阻尼比不同。一個(gè)是0.1，另一個(gè)是0.65。如果允許的幅值測(cè)量誤差是10%，問：它們的可用頻率范圍是多少？解：由

可知

1）求第56頁,共96頁，2024年2月25日，星期天解此方程，得到兩個(gè)正實(shí)數(shù)根：

2）求此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，即的頻率響應(yīng)曲線的極大值小于1.1。3）求當(dāng)?shù)?7頁,共96頁，2024年2月25日，星期天得：4）求當(dāng)?shù)?8頁,共96頁，2024年2月25日，星期天得一正實(shí)根：5）工作頻率范圍：對(duì)對(duì)由此例可見，阻尼比顯著影響二階測(cè)量系統(tǒng)的可用頻率范圍。1.10.9第59頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例3-5、設(shè)有一力傳感器，可視為二階系統(tǒng)來處理，已知傳感器的固有頻率為1000Hz，阻尼比為0.4，用傳感器測(cè)量頻率為500Hz的正弦外力時(shí)，會(huì)產(chǎn)生多大的振幅誤差和相位誤差？解：

則第60頁,共96頁，2024年2月25日，星期天即輸出相位將延遲28·第61頁,共96頁，2024年2月25日，星期天由上述例題可知，在進(jìn)行動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)，測(cè)量儀器的頻率響應(yīng)特性必須與被測(cè)信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)相適應(yīng)，即要求被測(cè)信號(hào)的有意義的頻率成分必須包容在測(cè)試儀器的可用頻率范圍之內(nèi)。另一個(gè)值得注意的是測(cè)量儀器的可用頻率范圍是與規(guī)定的允許的幅值誤差相聯(lián)系的。允許的幅值誤差越小，其可用頻率范圍越窄。反之，允許的幅值誤差越大，其可用頻率范圍越寬。在選擇測(cè)量裝置、組成測(cè)量系統(tǒng)時(shí)，必須注意這點(diǎn)。任何一個(gè)系統(tǒng)均可視為是由多個(gè)一階、二階系統(tǒng)的并聯(lián)。也可將其轉(zhuǎn)換為若干一階、二階系統(tǒng)的串聯(lián)。

第62頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.4測(cè)試系統(tǒng)在典型輸入下的響應(yīng)

測(cè)試裝置的動(dòng)態(tài)響應(yīng)就是測(cè)試裝置對(duì)輸入的動(dòng)態(tài)信號(hào)（周期信號(hào)、瞬態(tài)信號(hào)、隨機(jī)信號(hào)）所產(chǎn)生的輸出。也就是上述微分方程的解。因此測(cè)試裝置的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與輸入類型有關(guān)。實(shí)際上，輸入信號(hào)千變?nèi)f化，不可能將輸入信號(hào)一一帶入微分方程求解。解決的辦法是選定幾種最典型、最簡單的輸入函數(shù)帶入上述幾種典型的環(huán)節(jié)（一階、二階）找出動(dòng)態(tài)誤差的規(guī)律，據(jù)此確定一些評(píng)定測(cè)試裝置動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)。常用的輸入信號(hào)有：單位脈沖信號(hào)（δ函數(shù)）、階躍信號(hào)、指數(shù)函數(shù)和正弦信號(hào)等。對(duì)這些輸入信號(hào)不僅便于求解，在物理上也較容易實(shí)現(xiàn)，因此是在鑒定測(cè)試裝置時(shí)最常用的標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)，對(duì)正弦輸入信號(hào)（周期信號(hào)）的響應(yīng)屬于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而對(duì)階躍、脈沖、指數(shù)等非周期瞬態(tài)信號(hào)的響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)。最常用的輸入信號(hào)為階躍信號(hào)和正弦信號(hào)。對(duì)應(yīng)的方法為階躍響應(yīng)法和頻率響應(yīng)法。第63頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.4測(cè)試系統(tǒng)在典型輸入下的響應(yīng)3.4.1脈沖響應(yīng)函數(shù)(transientresponse)定義：若輸入為單位脈沖δ(t),其傅立葉變換Δ(jω)=1

則δ(t)的拉氏變換Δ(s)=L[δ(t)]=1

Y(s)=H(s)X(s)=H(s)Δ(s)=H(s)經(jīng)拉普拉斯反變換，有:

h(t)常稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)可作為系統(tǒng)特性的時(shí)域描述。

第64頁,共96頁，2024年2月25日，星期天一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)

由作拉普拉斯逆變換，得

這是一條指數(shù)衰減曲線。在t=0時(shí)達(dá)到最大。時(shí)間常數(shù)越大，最大值越小。衰減的速度也越慢。第65頁,共96頁，2024年2月25日，星期天二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)一階系統(tǒng)的特性可用τ來描述，二階系統(tǒng)的特性需用來描述。隨著ξ的取值不同，二階系統(tǒng)脈沖響應(yīng)也不同。當(dāng)0<ξ<1，對(duì)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求拉譜拉斯逆變換，得二階系統(tǒng)的脈沖輸入和響應(yīng)

第66頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.4.2系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)(stepresponse)

單位階躍輸入的定義為：其拉氏變換為：

X(s)=1/s

故Y(s)=H(s)X(s)=H(s)1/s第67頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

一階測(cè)試裝置的階躍響應(yīng)

X(s)=1/s則對(duì)Y(s)作拉氏逆變換，得第68頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)間的關(guān)系是

亦即 因此系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)便等于系統(tǒng)對(duì)單位脈沖響應(yīng)的積分。第69頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例：一溫度測(cè)量系統(tǒng)由若干線性環(huán)節(jié)組成，總靈敏度為1。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有溫度測(cè)試裝置的一階傳遞函數(shù)所確定，測(cè)試裝置的參數(shù)為：質(zhì)量，表面積，比熱，在空氣中的導(dǎo)熱系數(shù)，在水中的導(dǎo)熱系數(shù)

。測(cè)試裝置的時(shí)間常數(shù)為：。若在t=0時(shí)刻突然將溫度測(cè)試裝置從20℃的空氣放入沸水（100℃）中，一分鐘以后又迅速從水中取出。試計(jì)算該測(cè)量系統(tǒng)在t=10,20,50,120,300秒時(shí)的測(cè)量誤差。第70頁,共96頁，2024年2月25日，星期天解：由題意，該溫度測(cè)量系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)為：其中－－躍變前的值；－－躍變后的值；--系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)把溫度測(cè)試裝置從空氣中放如沸水中時(shí)，輸入溫度從=20℃躍變到測(cè)試裝置在水中的時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)測(cè)出的溫度為：

第71頁,共96頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)把溫度測(cè)試裝置從沸水中取回空氣時(shí)，輸入溫度從

=100℃躍變到＝20℃，測(cè)試裝置在水中的時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)測(cè)得的溫度為：第72頁,共96頁，2024年2月25日，星期天于是，求得系統(tǒng)給定時(shí)刻的測(cè)量誤差ΔT為：t=10s,

t=20s,

t=50s,

t=120s,

t=300s,

℃℃℃℃℃第73頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

按阻尼比不同，階躍響應(yīng)可分為三種情況：1）欠阻尼(underdamped)ξ〈1式中：2)過阻尼(overdamped)ξ〉1當(dāng)

<1時(shí)：產(chǎn)生衰減震蕩欠阻尼

曲線上升塊，響應(yīng)速度高當(dāng)

>1時(shí)：無過沖，無震蕩，過阻尼曲線上升慢，響應(yīng)速度低第74頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

在工程中，對(duì)系統(tǒng)的突然加載或者突然御載都視為對(duì)系統(tǒng)施加一階躍輸入。由于施加這種輸入，既簡單易行，又可以反映出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，因此，常被用于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)標(biāo)定。階躍響應(yīng)指標(biāo)：由于測(cè)試裝置的阻尼比大多比較小，故僅討論欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)指標(biāo)。一般?。?/p>

=0.6~0.83)臨界阻尼(criticallydamped)ξ＝1第75頁,共96頁，2024年2月25日，星期天1、上升時(shí)間

(risetime)：通常是指階躍響應(yīng)曲線由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%之間的時(shí)間。二階測(cè)試裝置系統(tǒng)中隨的增大而增大，當(dāng)2、穩(wěn)定時(shí)間（settlingtime）:或稱調(diào)整時(shí)間、建立時(shí)間。輸出值達(dá)到允許范圍

%的所需時(shí)間上升時(shí)間都是反映系統(tǒng)響應(yīng)速度快慢的參數(shù)。第76頁,共96頁，2024年2月25日，星期天峰值時(shí)間：階躍響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。超調(diào)量（過沖量）（overshoot,overswing）σ%:通常用階躍響應(yīng)曲線第一次超過穩(wěn)態(tài)值的峰高值ΔA（過沖）與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)表示。它與ζ有關(guān)，ζ越大，σ%越小，其關(guān)系式為：超調(diào)量能說明測(cè)試裝置的相對(duì)穩(wěn)定性。第77頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

上述這些時(shí)域響應(yīng)的主要指標(biāo)，對(duì)于一個(gè)測(cè)試裝置，并非每一個(gè)指標(biāo)均要提出，往往只要提出幾個(gè)被認(rèn)為是重要的性能指標(biāo)就可以了。通常二階測(cè)試裝置的動(dòng)態(tài)參數(shù)用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定。即輸入階躍信號(hào)，記錄測(cè)試裝置的響應(yīng)曲線，由此測(cè)出過沖量ΔA。利用上式可算出測(cè)試裝置的阻尼比，測(cè)出衰減振蕩周期T既可由算出測(cè)試裝置的固有頻率和固有周期。其它參數(shù)指標(biāo)如上升時(shí)間、穩(wěn)定時(shí)間及峰值時(shí)間均可在響應(yīng)曲線上求得。第78頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.5實(shí)現(xiàn)不失真測(cè)試的條件

測(cè)試的目的是為了獲得被測(cè)對(duì)象的原始信息。這就要求在測(cè)試過程中采取相應(yīng)的技術(shù)手段，使測(cè)試系統(tǒng)的輸出信號(hào)能夠真實(shí)、準(zhǔn)確地反映出被測(cè)對(duì)象的信息。這種測(cè)試稱之為不失真測(cè)試。設(shè)測(cè)試系統(tǒng)的輸入為x(t)，若實(shí)現(xiàn)不失真測(cè)試，則該測(cè)試系統(tǒng)的輸出y(t)應(yīng)滿足：第79頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)測(cè)試系統(tǒng)的輸出y(t)與輸入x(t)滿足關(guān)系

y(t)=A0x(t-t0)3.5系統(tǒng)不失真測(cè)量條件

該系統(tǒng)的輸出波形與輸入信號(hào)的波形精確地一致，只是幅值放大了A0倍，在時(shí)間上延遲了t0而已。這種情況下，認(rèn)為測(cè)試系統(tǒng)具有不失真的特性。tAx(t)y(t)=A0x(t)y(t)=A0x(t-t0)時(shí)域條件第80頁,共96頁，2024年2月25日，星期天y(t)=A0x(t-t0)

Y(ω)=A0e-jωt0X(ω)

不失真測(cè)試系統(tǒng)條件的幅頻特性和相頻特性應(yīng)分別滿足

A(ω)=A0=常數(shù)φ(ω)=--t0ω做傅立葉變換

頻域定義測(cè)試系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為:

第81頁,共96頁，2024年2月25日，星期天第82頁,共96頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)：

我們研究測(cè)試裝置測(cè)試裝置的特性是為了用好測(cè)試裝置，對(duì)于測(cè)試裝置特性的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三方面：如果輸入、輸出是可以觀察的量（已知），那么通過輸入、輸出就可以推斷系統(tǒng)的傳輸或轉(zhuǎn)換特性，測(cè)試裝置的標(biāo)定就是利用這樣的過程。(系統(tǒng)辨識(shí))如果系統(tǒng)特性已知，輸出可測(cè)，那么通過該特性和輸出可以推斷導(dǎo)致該輸出的相應(yīng)輸入量，信號(hào)檢測(cè)就是利用這樣的過程。如果輸入和系統(tǒng)特性已知，則可以推斷和估計(jì)系統(tǒng)的輸出，干擾的查找就是利用這樣的過程。(預(yù)測(cè))

第83頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.6測(cè)試系統(tǒng)靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性的測(cè)定

為了保證測(cè)試結(jié)果的精度可靠，測(cè)試系統(tǒng)在出廠前或使用前需要進(jìn)行定度或定期校準(zhǔn)。根據(jù)上述分析知，測(cè)試系統(tǒng)特性的測(cè)定應(yīng)該包括靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性的測(cè)定。

3.6.1測(cè)試系統(tǒng)靜態(tài)特性的測(cè)定

測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性測(cè)定是一種特殊的測(cè)試，它是選擇經(jīng)過校準(zhǔn)的“標(biāo)準(zhǔn)”靜態(tài)量作為測(cè)試系統(tǒng)的輸入，求出其輸入、輸出特性曲線。所采用的“標(biāo)準(zhǔn)”輸入量誤差應(yīng)當(dāng)是所要求測(cè)試結(jié)果誤差的1/3～1/5或更小。具體的標(biāo)定過程如下：第84頁,共96頁，2024年2月25日，星期天作輸入-輸出特性曲線

將“標(biāo)準(zhǔn)”輸入量在滿量程的測(cè)量范圍內(nèi)均勻地等分成n個(gè)輸入點(diǎn)，xi(i=1,2,…,n),按正反行程進(jìn)行相同的次測(cè)量（一次測(cè)量包括一個(gè)正行程和一個(gè)反行程），得到2m條輸入、輸出特性曲線。正反行程輸入-輸出曲線第85頁,共96頁，2024年2月25日，星期天求重復(fù)性誤差正行程的重復(fù)性誤差H1為：式中：H1i---輸入量xi所對(duì)應(yīng)