2024數(shù)學(xué)論文求圓的切線方程的幾種方法

2024利用洛必達(dá)法則來(lái)處理高考中的恒成立問(wèn)題求圓的切線方程的幾種方法在高中數(shù)學(xué)人教版第二冊(cè)第七章《圓的方程》一節(jié)中有一例題：求過(guò)已知圓上一點(diǎn)的切線方程，除了用斜率和向量的方法之外還有幾種方法，現(xiàn)將這些方法歸納整理，以供參考。例：已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線的方程。解法一：利用斜率求解圖1解法二：利用向量求解圖1（這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于不用考慮直線的斜率存不存在）圖2圖2解法三：利用幾何特征求解解法四：用待定系數(shù)法求解利用點(diǎn)到直線的距離求解利用直線與圓的位置關(guān)系求解：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值方面的誤區(qū)ⅰ.將“穩(wěn)定點(diǎn)”等同于“極值點(diǎn)”定義1：可導(dǎo)函數(shù)的方程的根，稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)。定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若，且存在的某鄰域，，有，則稱是函數(shù)的極大點(diǎn)（極小點(diǎn)），是函數(shù)的極大值（極小值）。極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。對(duì)于“”只是它為“函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要而不充分條件。即函數(shù)的極值點(diǎn)必然在函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)的集合之中，反之，不成立，即穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。例3中的函數(shù)，它在上可導(dǎo)，由方程，解得唯一穩(wěn)定點(diǎn)，從圖像上看，顯然點(diǎn)不是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)。例6.函數(shù)的極值點(diǎn)是┈┈┈┈┈┈┈┈（）錯(cuò)解：導(dǎo)函數(shù)，令，解得，故答案應(yīng)選C。剖析：這三點(diǎn)都是穩(wěn)定點(diǎn)，那是不是極值點(diǎn)？存在極值點(diǎn)條件：導(dǎo)函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)的兩側(cè)有不同的符號(hào)，必是函數(shù)的極值點(diǎn)。顯然導(dǎo)函數(shù)在兩側(cè)有相同的符號(hào)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)。正解：由知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù)。因此，只有為極小值點(diǎn)，而和不是極值點(diǎn)（實(shí)際上是函數(shù)的拐點(diǎn)），故應(yīng)選D。例7.函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極值，那么的值為。誤解：導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，可得，解得或因此或。剖析：上述解題忽略了一個(gè)細(xì)節(jié)，解題過(guò)程中只用到，和，這能說(shuō)明它是極值點(diǎn)嗎？當(dāng)、時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，顯然不是函數(shù)的極值點(diǎn)；驗(yàn)證當(dāng)、時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)。故。ⅱ.誤把極值當(dāng)最值例8.求函數(shù)在區(qū)間上的最值。誤解：導(dǎo)函數(shù)，解得，或，經(jīng)驗(yàn)證，和都是函數(shù)的極值點(diǎn)，即為極大值，為極小值，因此函數(shù)的最大值為，最小值為。剖析：本題是誤把“極值”當(dāng)成“最值”所導(dǎo)致的錯(cuò)誤。對(duì)于上面所給出的定義可知，極值是一個(gè)局部概念，是函數(shù)在某一點(diǎn)的小領(lǐng)域內(nèi)的最值；而最值是整體概念，是在整個(gè)閉區(qū)間上的最值。在一個(gè)區(qū)間上可能有很多極大值（極小值），而且某些極大值還可能小于某些極小值，但只能有一個(gè)最大值（如果存在最大值）和一個(gè)最小值（如果存在最小值）。因此求函數(shù)閉區(qū)間上的最值，需要將函數(shù)的一切極值與其端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定。本題兩端點(diǎn)值，所以函數(shù)的最大值為，最小值為。ⅲ.把極值點(diǎn)的取值范圍擴(kuò)大例9.函數(shù)在區(qū)間上的極大值就是最大值，則的取值范圍。誤解：導(dǎo)函數(shù)，令，解得，經(jīng)驗(yàn)證是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，故的取值范圍是。剖析：定義2，即極值定義，不難發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部（即不能是區(qū)間的端點(diǎn)），是函數(shù)的極值是與函數(shù)在的某個(gè)領(lǐng)域上的函數(shù)值比較而言。因此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，有題意得，，解得，故的取值范圍是。這是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線方程的求法，若圓心不在原點(diǎn)，也可以用這些方法求解。同樣一道題，思路不同，方法不同，難易程度不同。顯然在以上的幾種解法中，用向量法和幾何特征求解相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單一些。實(shí)際上在圓這一章，很多時(shí)候用幾何特征求解圓的方程和直線方程是教簡(jiǎn)單的方法，同學(xué)們下來(lái)可以嘗試。一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的交匯例1．（2006年山東卷）設(shè)函數(shù),其中,求的單調(diào)區(qū)間.解析：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且（）?）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由，解得.、.隨的變化情況如下表:極小值從上表可知當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增.【評(píng)注】利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性一直是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn),?？汲Ｐ?主要有:根據(jù)對(duì)參數(shù)的討論來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性;已知含參函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍.二、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的交匯例2．（2006年江蘇卷）對(duì)正整數(shù)，設(shè)曲線在處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的公式是解析：曲線在處的切線的斜率為又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以切線方程為，令得,令.數(shù)列的前項(xiàng)和為【評(píng)注】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率,數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率時(shí),要首先判斷所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是否為切點(diǎn).否則容易出錯(cuò).三、導(dǎo)數(shù)與三角的交匯例3．（2005年湖北）若，則與的大小關(guān)系（）A．B．C．D．與的取值有關(guān)解析：令,由，在上的正負(fù)可知與的取值有關(guān)。故答案應(yīng)選D.例4．（2005年全國(guó)1）設(shè)函數(shù)，圖象的一條對(duì)稱軸是直線（1）求;（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（3）證明直線與函數(shù)的圖象不相切.解析：（1）是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸,（2）由（1）知因此由題意可得.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（3）證明:曲線的切線斜率的取值范圍為.而直線的斜率為,直線與函數(shù)的圖象不相切.【評(píng)注】（1）例3若直接比較與的大小關(guān)系,則比較麻煩.而采用構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),判斷函數(shù)在所給區(qū)間的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較兩個(gè)代數(shù)式,有事半功倍之效.（2）例4.的第3小題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)證明直線與函數(shù)的圖象不相切.起到化繁為簡(jiǎn)的作用.四、導(dǎo)數(shù)與向量、方程的交匯例5．（2001年天津高考模擬試題）已知平面向量，（1）證明（2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)和，使，且，試求函數(shù)關(guān)系式（3）據(jù)（2）的結(jié)論，議論關(guān)于的方程的解的情況。解析：（1）（2）即整理得上式化為（3）討論方程的解的情況，可以看作曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。于是，令解得，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：極大值極小值當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為而時(shí)，得所以的圖象大致如圖所示：于是當(dāng)或時(shí)，直線與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有一解；當(dāng)或時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩解；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，但不同時(shí)為零，故此時(shí)方程也有兩解；當(dāng)或時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則方程有三個(gè)解；【評(píng)注】本題考查了平面向量的數(shù)量積、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)和方程有關(guān)知識(shí)，同時(shí)又運(yùn)用了轉(zhuǎn)化化歸思想，邏輯性強(qiáng)，是一道典型的融向量、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程為一體的綜合性題目，符合高考在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題的原則。五、導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯例6.（2006年四川）已知函數(shù),的導(dǎo)函數(shù)是,對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),證明:（1）當(dāng)時(shí),（2）當(dāng)時(shí),解析:（1）略.（2）證法一:由,得下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立,即證成立.設(shè),則令，得，列表如下：極大值對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),當(dāng)時(shí),證法二:由,得是兩個(gè)不相等的正數(shù)設(shè)，則，列表：極大值即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),當(dāng)時(shí),【評(píng)注】本題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及運(yùn)用比較法、放縮法證明不等式的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。六、導(dǎo)數(shù)與解析幾何的交匯例7．（2004年福建高考模擬試題）設(shè)函數(shù)分別在、處取得極小值和極大值，平面上點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，該平面上動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡。解析：（1）令得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、坐標(biāo)分別為（2）設(shè)則①又②又的中點(diǎn)在上，③由①、②、③消去，得，其中動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓?！驹u(píng)注】本題以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值為載體，利用向量設(shè)計(jì)點(diǎn)的軌跡，借助對(duì)稱建立相關(guān)點(diǎn)間的聯(lián)系，是典型的解析幾何中求軌跡的問(wèn)題。七、導(dǎo)數(shù)與立體幾何的交匯例8．（2005年全國(guó)3）用長(zhǎng)為90cm、寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成（如圖），問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？解析：設(shè)容器高為cm，容器的容積為cm，則求的導(dǎo)數(shù)，令，得（舍去）當(dāng)時(shí)，，那么為