適用于新高考新教材備戰(zhàn)2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練66求曲線軌跡方程的方法新人教A版

課時(shí)規(guī)范練66求曲線軌跡方程的方法基礎(chǔ)鞏固練1.已知點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當(dāng)a為3和5時(shí),點(diǎn)P的軌跡分別是()A.雙曲線的右支B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線D.雙曲線的一支和一條射線2.已知點(diǎn)A(-2,-1),B(2,1),若動(dòng)點(diǎn)P滿足直線PA與直線PB的斜率之積為12,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(A.x26+y23=1,x≠±2 B.x2C.x22-y2=1,x≠±2 D.y2-x22=1,3.已知△ABC的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)B(0,-4),C(0,4),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.x236+y220=1(x≠0) B.y2C.y220+x26=1(x≠04.(多選題)(2024·湖南瀏陽模擬)已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),直線AP,BP相交于點(diǎn)P,直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,則下列說法正確的是()A.當(dāng)k1·k2=-2時(shí),點(diǎn)P的軌跡為除去A,B兩點(diǎn)的橢圓B.當(dāng)k1·k2=2時(shí),點(diǎn)P的軌跡為除去A,B兩點(diǎn)的雙曲線C.當(dāng)k1-k2=2時(shí),點(diǎn)P的軌跡為拋物線D.當(dāng)k1k2=2時(shí),5.兩條直線x-my-1=0和mx+y-1=0的交點(diǎn)的軌跡方程是.

6.已知點(diǎn)P為橢圓x225+y216=1上的任意一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M滿足OM=7.橢圓x29+y2=1上有動(dòng)點(diǎn)P,點(diǎn)F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),則△PF1F2的重心M的軌跡方程為8.動(dòng)圓M過點(diǎn)A(2,0),且與圓C:x2+y2+4x+3=0外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是.

綜合提升練9.(2024·江蘇南通模擬)已知圓C的方程為x2+y2=16,直線l為圓C的切線,記A(-2,0),B(2,0)兩點(diǎn)到直線l的距離分別為d1,d2,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=d1,|PB|=d2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x2+y2=4 B.x216C.x216-y212=1 D10.(多選題)(2024·湖南邵陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)P為定圓O上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A為圓O所在平面上的定點(diǎn)且不與點(diǎn)O重合,線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的軌跡可能是()A.一個(gè)點(diǎn) B.直線C.橢圓 D.雙曲線11.已知MN是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦,A,B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),則直線AM創(chuàng)新應(yīng)用練12.(2024·浙江紹興模擬)蒙日是法國(guó)著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)橢圓或雙曲線上兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡為圓,該圓稱為蒙日?qǐng)A,如圖所示.則雙曲線C:x29-y24A.4π B.5π C.9π D.13π

課時(shí)規(guī)范練66求曲線軌跡方程的方法1.D解析依題意得|F1F2|=10.當(dāng)a=3時(shí),2a=6<|F1F2|,且|PF1|-|PF2|=6>0,所以點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支;當(dāng)a=5時(shí),2a=10=|F1F2|,故點(diǎn)P的軌跡為一條射線.2.C解析設(shè)P(x,y)(x≠±2),因?yàn)橹本€PA與直線PB的斜率之積為12,所以-1-y-2-x·1-y3.B解析∵△ABC的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)B(0,-4),C(0,4),∴|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12.∵12>8,∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值,∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓.∵a=6,c=4,∴b2=20,∴橢圓的方程是y236+x24.AB解析設(shè)P(x,y),x≠±1.A選項(xiàng),k1·k2=-2,故yx+1·yx-1=-2,變形為x2+y22=1,且x≠±1,故點(diǎn)P的軌跡為除去A,B兩點(diǎn)的橢圓,A正確;B選項(xiàng),k1·k2=2,故yx+1·yx-1=2,變形為x2-y22=1,且x≠±1,故點(diǎn)P的軌跡為除去A,B兩點(diǎn)的雙曲線,B正確;C選項(xiàng),k1-k2=2,故yx+1-yx-1=2,變形為y=1-x2,且x≠±1,故點(diǎn)P的軌跡為除去A,B兩點(diǎn)的拋物線,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),k5.x2+y2-x-y=0解析兩直線的方程分別變形為x-1=my,1-y=mx,即x2-x=mxy,y-y2=mxy,故x2-x=y-y2,也就是x2+y2-x-y=0.6.x2254+y24=1解析設(shè)點(diǎn)M(x,y),由OM=12OP,得點(diǎn)P(2x,2y),而點(diǎn)P為橢圓x225+y216=7.x2+y219=1(y≠0)解析設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),點(diǎn)M(x,y).橢圓的焦點(diǎn)為F1(-22,0),F2(22,0).∵△PF1F2存在,∴y1≠0∵y1≠0,∴y≠0.∵點(diǎn)P在橢圓上,∴x129+y12=1,∴(3x)29+(3y)2=1(y≠0),故△PF18.x214-y2154=1(x≥12)解析圓C:x2+y2+4x+3=0的圓心為C(-2,0),半徑為R=1.因?yàn)閯?dòng)圓M過點(diǎn)A(2,0),且與圓C外切,所以|MA|=r,|MC|=r+R,所以|MC|-|MA|=1<|AC|=4.由雙曲線的定義得點(diǎn)M的軌跡是以A,C為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線的右支,因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為1,焦點(diǎn)為C(-2,0),A(2,0),所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x214-y29.B解析如圖,分別過點(diǎn)A,O,B作直線l的垂線,垂足分別為A1,O1,B1,則AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切點(diǎn)為O1.因?yàn)锳(-2,0),B(2,0),所以O(shè)是AB的中點(diǎn),所以O(shè)O1是梯形ABB1A1的中位線,所以|OO1|=|又圓C的方程為x2+y2=16,其半徑為4,所以|OO1|=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓,設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),則2a=8,c=2,所以a=4,b2=a2-c2=10.ACD解析分以下幾種情況討論:設(shè)定圓O的半徑為R,①當(dāng)點(diǎn)A在圓O上時(shí),連接OA,則|OA|=|OP|.所以點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上,又因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段AP的垂直平分線與OP的公共點(diǎn),所以點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合,此時(shí),點(diǎn)Q的軌跡為圓心O,故A正確.②當(dāng)點(diǎn)A在圓O內(nèi),且點(diǎn)A不與圓心O重合時(shí),連接AQ,由垂直平分線的性質(zhì)可得|QA|=|QP|,所以|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=R>|OA|,此時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)A,O為焦點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為R的橢圓,故C正確.③當(dāng)點(diǎn)A在圓O外時(shí),連接AQ,由垂直平分線的性質(zhì)可得|QA|=|QP|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=R<|OA|,此時(shí)點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)A,O為焦點(diǎn),且實(shí)軸長(zhǎng)為R的雙曲線.故D正確.故選ACD.11.x2a2-y2b2=1(x≠±a)解析設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1),P(x,y).橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A(-a,0),B(a,0).因?yàn)锳,M,P三點(diǎn)共線,所以yx+a=y1x1+a,x≠-a.因?yàn)镹,B,P三點(diǎn)共線,所以yx-a=-y1x1-a,x≠a.兩式相乘得y2x2-a2=-y12x12.B解析設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為P(x0,y0),由題可知,雙曲線上兩條互相垂直的切線的斜率均存在且均不為0,設(shè)過點(diǎn)P且與雙曲線C相切的一條切線方程是y-y0=k(x-x0),k≠0,由x29-y24=1,y-y0=k(x-x0),消去y,整理得(4-9k2)x2+(18x0k2-18ky0)x-9(kx0-y0)2-36=0,4-9k2≠0,則Δ1=0,