內(nèi)蒙古蒙東七校2023-2024學(xué)年高三年級上冊十一月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷

內(nèi)蒙古蒙東七校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期十一月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（2-i）i3的虛部為

A.-2B.2C.-1D.1

2.已知集合人={工|%2<4%},B={x\2<x<5],則Au6=

A.{x\0<x<2]B.{x|4<x<5}C.{x|2<x<4}D.{x|O<x<5}

3.命題“土￡（0,+oo）,tanxW%”的否定是（）

A.VXG（0,-KO）,tanx>xB.G（0,+oo）,tanx>x

C.Vx^（0,+oo）,tanx<xD.（0,+oo）,tanx>x

4.若運行如圖所示的程序框圖，則輸出的％,y分別為（）

A.90,86B.94,82C.98,78D.102,74

5.中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍

上袤，下袤從之.亦倍下袤，上袤從之.各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一.”其計算方法是：將

上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相

加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一.已知一個“芻童”的下

底面是長為5,寬為4的矩形，上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積

為（）

A.38B.97C.74D.37

6.在正項等比數(shù)列｛4｝中，若。3，%是關(guān)于》的方程，7加+4=0的兩實根，則

log2q+log2a2+log24++log2%=()

A.8B.9C.16D.18

7.已知圓C:/+y2=i,直線/：y=M九+2),在［-M］上隨機(jī)選取一個數(shù)3則事件“直線/與圓C

相離”發(fā)生的概率為()

2-石

A.

2,2

8.已知函數(shù)/(%)=sin(s+夕)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x=2和為函數(shù)y=/(x)的圖

6

像的兩條相鄰對稱軸，則/［一辦J=()

A.-且B.--C.1D.立

2222

x_-x

9.函數(shù)/(x)=P土e子的圖像大致為()

B.

10.已知A,5,C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC，3cAe=3C=1,則三棱錐O-ABC

的體積為()

A?R幣^2不

A.D.Cr.U.

121244

11.已知函數(shù)/(無)=/-；灰在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則6的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.［0,1］C.(—』］D.［0,+oo)

12.設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為P，準(zhǔn)線為/,點A為C上一點，以F為圓心，耳為半

徑的圓交/于3,。兩點，若NFBD=30。，AABD的面積為8g,則。=

A.1B.y/2c.y/3D.2

二、填空題

13.已知非零向量d,b滿足W=2|4，且(a+6)，o,則d與b的夾角為.

14.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若S3=9,'=36,則%+融+%=.

15.在(2x-l)6的展開式中式的系數(shù)為.

22

16.已知％鳥分別為雙曲線C：T-2=1(4>0力>0)的左、右焦點，以B為圓心，山段為半

徑的圓交雙曲線C的右支于A,8兩點，若|加仁抬陽名則雙曲線C的離心率為.

三、解答題

17.在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,^/§asinB+6cosA=2b.

(1)求角A的大小；

(2)若c=3,AABC的面積為3粗，求

18.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志

剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號載人飛行任務(wù)圓滿完成.為紀(jì)念中國航天事業(yè)成就，發(fā)

揚并傳承中國航天精神，某校高一年級組織2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識競賽并進(jìn)行紀(jì)錄(滿分：

100分)根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),[80,90],繪制出如下的頻率分布直

方圖

頻率

(1)用頻率估計概率，從該校隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80

分的概率；

(2)從得分在[60,90]的學(xué)生中利用分層抽樣選出8名學(xué)生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識演講

活動，求選出的3人競賽得分不低于70分的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是平行四邊形，尸￡)，平面ABCD,E是棱尸C上的

一點，滿足R4〃平面

(ID^PD=AD=BD=1,AB=e，若下為棱P3上一點，使得直線。廠與平面山汨所成角的

大小為30。，求的值.

20.已知橢圓C:0+%=l(a>b>0),離心率e=；,過點

⑴求C的方程；

⑵直線/過點M(0,l),交橢圓于A、8兩點，記N(o,3),并設(shè)直線N4、直線的斜率分別為總、

^NB>證明：^NA+^NB=。?

21.己知函數(shù)/(x)=ln尤+依+1.

⑴討論的單調(diào)性；

(2)若不等式/(力-配,<0恒成立，求。的取值范圍.(參考數(shù)據(jù)：五，1.6,In2go.7)

1

X=t—,

22.在直角坐標(biāo)系無帆中,曲線C的參數(shù)方程為\(f為參數(shù))，以坐標(biāo)原點。為極點，X

y=t——

It

軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程是。cose-2夕sine+2=0.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

⑵若直線/與曲線C交于A,B兩點，點尸(0」)，求』7+焉的值.

23.已知函數(shù)〃x)=|2x-3|+|x+3].

⑴求不等式/(x)<9的解集;

⑵若/(x)淮㈤恒成立，求a的取值范圍.

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)/=一1化簡（2-i）/=-1-2,根據(jù)虛部的定義即可選出答案.

【詳解】由（2—，）『=-i（2—，）=-1-2,,所以虛部為-2.故選A.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，以及虛部的定義，需要注意的是復(fù)數(shù)z=a+沅的實部為〃，虛部

為屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【分析】解出A集合，再由并集的定義寫出AuB即可.

【詳解】由A={x|f＜4%}nA={x|0vxv4},

則Au3={x|0v%v5}.故選D.

【點睛】本題主要考查集合的并集，正確求解一元二次不等式，是首要條件.屬于基礎(chǔ)題

3.A

【分析】利用特稱命題否定可得出結(jié)論.

【詳解】命題，玉:￡（0,+oo）,1311工4％”的否定是“\/%￡（。,?。?，tanx＞x,\

故選：A

4.C

【分析】由圖可知，該程序框圖需要運行4次才可推出循環(huán)，依次運行即可得出結(jié)果.

【詳解】第一次執(zhí)行循環(huán)體，y=90,s=3+15,不滿足推出循環(huán)的條件，故X=9O；

9043

第二次執(zhí)行循環(huán)體，＞=86,5=y+y,不滿足推出循環(huán)的條件，故X=94;

9441

第三次執(zhí)行循環(huán)體，＞=82,5=y+y,不滿足推出循環(huán)的條件，故X=98；

第四次執(zhí)行循環(huán)體，＞=78,5=27,滿足推出循環(huán)的條件.

所以x=98,y=78.

故選：C.

【點睛】本題考查程序框圖，考查分析和邏輯推理能力和運算求解能力，屬于?？碱}.

5.D

【分析】根據(jù)定義，歹「‘芻童”的體積表達(dá)式求解得答案.

【詳解】結(jié)合題意得“芻童”的體積為!X「（3x2+5）x2+（5x2+3）x4]x3=37,

6

故選：D.

6.B

【分析】由韋達(dá)定理可得的%=4,則由等比數(shù)列性質(zhì)可得％%%?,=2*89,后由對數(shù)運算性質(zhì)可得

答案.

【詳解】由題意及韋達(dá)定理可得見%=4,由等比數(shù)列性質(zhì)可得％%/的=2)

故log2%+log2a2+log2Q3++log2a9=log2axa2a3a9=9.

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離關(guān)系列不等式可得直線/與圓c相離時％的取值范圍，再根據(jù)幾何

概型的方法求解概率即可.

【詳解】當(dāng)直線/與圓C相離時，d=-^=＞l,解得k＞走或k〈-叵,又壯[-1,1],所以

'k+133

_14左＜一立或立〈左VI,故事件“直線/與圓C相離”發(fā)生的概率為

33

(1-§)+(一§+1)3一班

23

故選：C

8.D

5兀

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入彳=-1|即可得到答案.

71271

【詳解】因為，(x)=sin(8+0)在區(qū)間單調(diào)遞增,

6'3

由T27171712兀

所以5■飛—,且0>0,則丁=兀，w=—=2,

當(dāng)尤=5時，/(尤)取得最小值，則29+°=2M一5，keZ,

662

Sir疝2」,

則夕=2E一二，keZ,不妨?。?0,則〃x)=

6I6J

故選：D.

9.B

【詳解】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.

詳解：x^0,/(-x)=-―=-/(x)「./(x)為奇函數(shù)，舍去A,

x

,/⑴舍去D;

w、(ex+e-x)x2-(ex-e-x)2x(x-2)eA+(x+2)e^x.

f(x)=-------------------=-----------------x>2,/(無)>0，

所以舍去C；因此選B.

點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，

由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶

性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

10.A

【分析】由題可得ABC為等腰直角三角形，得出ABC外接圓的半徑，則可求得。到平面ABC的

距離，進(jìn)而求得體積.

【詳解】ACLBC,AC=BC=i,，ABC為等腰直角三角形，.MB=也，

則.ASC外接圓的半徑為正，又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面A3C的距離為"，

所以%-ABC=；SA8c.l=；x；xlxlx￥=備.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心

到截面距離的勾股關(guān)系求解.

11.C

【分析】對函數(shù)y=/(x)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為((無”。恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/'(%),將問題轉(zhuǎn)

化為g0rL>°來求解，即可求出實數(shù)匕的取值范圍?

【詳解】f(x)=ex-^bx2-x,:.f'(x)^ex-bx-l,令g(x)=e"-bx—l,貝l]8⑺面”>0.

g'[x)=ex-b,其中丁>0,且函數(shù)y=g'(x)單調(diào)遞增.

①當(dāng)6W1時，對任意的x>0,g'(x)>0,此時函數(shù)y=g(x)在(O,+e)上單調(diào)遞增，

則g(x)>g(O)=O,合乎題意；

②當(dāng)6>1時，令g'(x)=O,得e*-b=O,：.x=\nb.

當(dāng)0<x<lnb時，g'(x)<0；當(dāng)x>lnb時，g'(x)>0.

此時，函數(shù)y=g(x)在x=ln6處取得最小值，貝!IgGL=g(ln，)<g(O)=O,不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)b的取值范圍是(-8』.故選C.

【點睛】本題考查利用函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題時根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化

為導(dǎo)數(shù)的符號來處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值求解，屬于?？碱},

屬于中等題.

12.D

【分析】因為點/到準(zhǔn)線的距離是P,ZFBD=30,所以半徑I網(wǎng)|=|EB|=2p,|8￡>|=2石p,再

根據(jù)拋物線的定義可知點A到準(zhǔn)線的距離d=\FA\=2p,最后根據(jù)面積計算得到P.

【詳解】因為NF%>=30。，所以圓的半徑|E4|=I尸0=22，|8D|=26P，由拋物線定義，點A到

準(zhǔn)線/的距離d=|E4|=2p,所以(3。1”=石/入2。=86，所以p=2,選D.

【點睛】本題考查了拋物線的定義，以及拋物線內(nèi)的平面幾何長度的求解，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和計

算問題，涉及拋物線幾何性質(zhì)的題型，需記住：焦點到準(zhǔn)線的距離是〃，通徑2p,拋物線上的點

到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，還有焦半徑公式等.

13.空

3

【分析】根據(jù)向量垂直得到(。+6>。=0,再利用向量夾角公式求出答案.

【詳解】因為(a+6)_L。，所以(a+Z?).a=0,

,_/,小無〃一同1

則a)=-a2，cos<a,Z?)=-T-77=——y=--)

\af\2周2

則d與b的夾角為胃2兀.

故答案為：—.

14.45

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列求和公式列方程求出％和d的值，再由等差數(shù)

列的通項公式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

?。3x27小

，=3ct,H----u=9（-1

由題意可得V2<,可,得6=:I,

6X5

。A

%=6%H,----dJ=36i\d=2

、2

所以%+1+%=%+6d+4+7d+%+8d=3%+21d=3x1+21x2=45,

故答案為：45.

15.60

【分析】直接利用二項展開式的通項求解爐的系數(shù).

【詳解】（2X-葉的展開式中含/的項為C：（2x）2（_］）4=60%2,

即在（2x-iy的展開式中/的系數(shù)為60.

故答案為：60.

16.^±1.

2

【分析】根據(jù)已知條件可知|明|=2c,|AH|=&,那么乙48"=60,然后進(jìn)一步求出|前|,根據(jù)

雙曲線的定義可知|A￡|-|A閶=2。，求出離心率.

【詳解】設(shè)A3與x軸交于點H,則|47|=辰，所以NA&?=60。，

所以乙4耳》=30。，所以仙耳|=2病，所以2辰-2c=2a,

所以雙曲線C的離心率e=心土1■.

2

【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，本題的重點是利用半徑等于2c,根據(jù)平面幾何的性質(zhì)將

|秋|和|A閶都表示成與c有關(guān)的量，然后根據(jù)雙曲線的定義求解.

chc

在圓錐曲線中求離心率的方法：（1）直接法，易求?！甑谋戎担唬?）構(gòu)造法，根據(jù)條件構(gòu)造成

關(guān)于。的齊次方程；（3）幾何法，利用橢圓和其他平面圖形的一些幾何性質(zhì)，找到等量關(guān)系，求

離心率.

17.（1）—；（2）a=y/13-

【分析】（1）利用正弦定理，將,asinB+6cosA=2b中的邊化為角，化簡再利用輔助角公式即可

求出角A的值.

（2）根據(jù)鼠4sc=：AsinA可求出6=4,再利用。邊的余弦定理即可求出”的值.

【詳解】（1）因為JGasinB+bcosA=2b,所以由正弦定理，WsinAsinB+sinBcosA=2sinB,

因為所以sinB>0,所以百sinA+cosA=2,BPsin^A+—=1,又0VAv%,所以

A+￡=g，所以

623

（2）由SMBC=<Z?csinA=（x36sin（=^^^=3V^,得5=4.

由余弦定理，得a=Jb2+c2+2bccosA=^42+32-2x4x3xcosy=J9+16-12=岳.

【點睛】本題考查解三角形，正弦定理一般用于等式兩邊為邊或角正弦值的齊次式時邊角的互化,

余弦定理一般用于等式兩邊含有角的余弦值時或具有兩邊的平方和減第三邊的平方的時候，屬于基

礎(chǔ)題.

4

18.CD-

25

Q

⑵分布列見解析，￡（%）=-

【分析】（1）由頻率分布直方圖計算概率;

（2）頻率分布直方圖由求出人數(shù)，得X的可能值是123,可得X~a（3,6,8）,由超幾何分布概率

公式計算出概率后得分布列，由期望公式計算出期望.

【詳解】（1）每名學(xué)生得分低于70分的概率為：1-（0.04+0.02）x10=0.4,不低于80分的概率：

0.02x10=0.2.

4

故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率為：C^x0.4x0.2=—.

（2）由頻率分布直方圖可得8人中，［60,70）的人數(shù)有2人，［70,90）的人數(shù)有6人,

C13

所以X~H（3,6,8）,X的可能取值為123,P（X=1）==—,

P（X=2）=普=||,P（X=3）=m5

14

19.（I）證明見解析（II）PF:FB=1:1

【分析】（I）由R4//平面可得PA〃①W,又因為M是AC的中點，即得證;

（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，TSPF=2PB（0<2<1）,計算平面BDE的法向量，由直線。尸與

平面8DE所成角的大小為30。，列出等式，即得解.

【詳解】（I）如圖,

連接AC交于點M，連接

則EM是平面PAC與平面BDE的交線,

因為R4//平面5￡>E,

故PA//EM,

又因為M是AC的中點,

所以E是尸C的中點，

故PE=EC.

(II)由條件可知，AD2+BD2=AB2，所以AD工BD,故以。為坐標(biāo)原點，ZM為了軸，DB為了

則0(0,0,0),4(1,0,0),*0,1,0),P(0,0,l),C(-l,l,0),小一：：,：］,=1

乙乙乙)

DB=(0,1,0)

T5PF=2PB(0</1<1),

則下(O,Zl—J),￡>F=(O,2,l-2)

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),

n-DE=0-x+y+z=0.,、

則,即y=o，故取”=(1,0,1)

n-DB=0

因為直線。尸與平面BDE所成角的大小為30。

DFn1

所以一^=sin300=-,

叫722

即萬歷97一2,

解得％=L故此時PGEB=1:1.

2

【點睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運算的能力,

屬于中檔題.

20.⑴土+工=1

43

（2）證明見解析

【分析】（1）由已知可得。=2c,b=?,可得出橢圓C的方程為/+/=1,將點（1，胃的坐

標(biāo)代入橢圓C的方程，可得出,?的值，由此可得出橢圓C的方程；

（2）分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線A3的方程為了=丘+1,設(shè)點4（占,%）、3（々,%），

將直線A3的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可證得結(jié)論成

立.

【詳解】（1）解：因為e=—=彳，則〃=2c,〃==7=底，

a2'

2222

所以，橢圓C的方程為券+k=1,即?+q=c2,

將點。，胃的坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得2=上+（U=],

一0-7+3

/V2

因此，橢圓C的方程為工+匕=1.

43

（2）解：若直線43與丁軸重合，此時，直線用、N8的斜率都不存在，不合乎題意.

所以，直線48的斜率存在，設(shè)直線A5的方程為丫=履+1,設(shè)點4（%,%）、周程%），

V；=12可得（3+4廿）/+8"-8=0,

聯(lián)立

A=64Jt2+32（3+4F）＞0,

8k8

由韋達(dá)定理可得%+%=-7,XiXy—~

4左2+31-4左2+3

所以，心"二2+鋁二2=2左一2—2=2左一土四

%元2%%2%%2%%2

2義(一^^1

=2左一2(再+%)=2左一一I4f+3人2"2左=0.

玉/__8―

442+3

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

21.(1)答案見解析;

(2)a<l.

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，分。20,。<0討論導(dǎo)數(shù)值正負(fù)即可作答.

(2)變形給定的不等式，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可作答.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=lnx+依+1的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得：f(x)=/+。，

當(dāng)時，-3>0,函數(shù)/(尤)在(0,+刈上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0時，由廣(%)>0得：0<x<--,由廣(x)<0得：x>--,則函數(shù)在(0,—上)上遞增,

aaa

在(--,+8)上遞減，

a

所以，當(dāng)〃之。時，函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間為(0,+8)；當(dāng)〃<0時，函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間是(0,-3,

a

遞減區(qū)間是(—,+00).

a

X

YP—InY—1

(2)依題意，Vx>0,f(x)-xex<0<=>\nx+ax+l<xQx<=>a<----------，

x

令函數(shù)g(x)=/-工一1,貝|，(元)=/一1,當(dāng)x<0時，g'(x)v。，當(dāng)兀>0時，g'(x)>。，

因此函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在。+8)上單調(diào)遞增，g(x)2g(0)=0,即爐。+1,當(dāng)且僅

當(dāng)兀=0時取等號，

于是有xe，一如T=e"底一如-12(x+lnx+1)-Inx-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)尤+出了=0時取等號，

XXX

令〃(%)=x+lnx,%>0,顯然函數(shù)以工)在(0,+8)上單調(diào)遞增，ffij/i(^)=-1-ln2<0,/i(l)=l>0,

11_1nr_1

即存在毛￡(不1)，使得人(%o)=%o+ln%o=0,因此當(dāng)％=%o￡(不1)時，x+lnx=0,----------取

22x

得最小值1,有

所以〃的取值范圍是aVI.

【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問

題.

22

22.--匕=1；x-2y+2=0

44

⑵述

25

【分析】(1)消去參數(shù)可得C的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式可求直線直角坐標(biāo)方程;

(2)將直線的參數(shù)方程代入普通方程，消元后根據(jù)參數(shù)的幾何意義求解.

1

x=t—,

【詳解】(1)由\G為參數(shù)），得尤2一丁=4,

y=t——

22

故曲線C的普通方程為工-匕=1.

44

由夕cos6-20sine+2=0,得x-2y+2=0,

故直線/的直角坐標(biāo)方程為尤-2