無窮積分的性質(zhì)與收斂判別

關(guān)于無窮積分的性質(zhì)與收斂判別一、無窮積分的性質(zhì)第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證極限的柯西準(zhǔn)則,此等價于收斂的充要條件是:(無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則)無窮積分定理11.1第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天h(x)在任意[a,u]上可積,且證因?yàn)槭諗?由柯西準(zhǔn)則的必要性,例1,f(x),g(x),若第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天再由柯西準(zhǔn)則的充分性,第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.何有限區(qū)間[a,u]上可積,性質(zhì)3

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天因此再由柯西準(zhǔn)則的充分性,又對任意證由柯西準(zhǔn)則的必要性,對因第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例2的收斂性.判別解由于第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法引理(非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在

上的非負(fù)函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證設(shè)增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天非負(fù)函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.2(比較判別法)

設(shè)定義在上的兩個存在滿足第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證

由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法,第二個結(jié)論是第一個結(jié)論的逆否命題,因此也成立.第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例3判別的收斂性.解顯然第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天設(shè)f(x),g(x)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).證例4證由于第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天推論1設(shè)非負(fù)函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證

即第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天推論2設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何有說明:

推論3是推論2的極限形式.第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例5

討論的收斂性(k>0).解(i)第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天Ex1解所給廣義積分收斂．Ex2解根據(jù)柯西極限審斂法

，所給廣義積分發(fā)散．第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天Ex3解根據(jù)柯西極限審斂法

，所給廣義積分發(fā)散．第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證Ex6:

用比較審斂法證明：即收斂.第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天Ex7解所以所給廣義積分收斂.第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天三、一般函數(shù)無窮積分的判別法狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.定理11.3(狄利克雷判別法）證故第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天使得因此,由柯西準(zhǔn)則，第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證[證法1]定理11.4(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意的使得第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天由柯西準(zhǔn)則,第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天[證法2]由狄利克雷判別法收斂,所以第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例6的收斂性.收斂.解由狄利克雷判別法推知另一方面，第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期天狄利克雷判別法條件,是收斂的；第34頁,共38頁，2024年2月25日，星期天類似可證:第35頁,共38頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)x→+∞時,被積

函數(shù)即使不趨于0,

甚至無界,無窮積

分仍有可能