數(shù)學物理中的偏微分方程

關(guān)于數(shù)學物理中的偏微分方程2

數(shù)學物理方程指從物理學或其他各門自然科學、技術(shù)科學中的某些物理問題導出的偏微分方程(有時也包括積分方程、微分積分方程等)。它們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時間的導數(shù)和與空間變量的導數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學、電磁學、量子力學等方面的基本方程都屬于數(shù)學物理方程的范圍。

教學目的通過本課程的教學使學生獲得有關(guān)偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三類典型方程定解問題的解法，進一步擴大學生的數(shù)學知識面，為后繼課程提供必要的數(shù)學基礎(chǔ)。第2頁,共81頁，2024年2月25日，星期天3參考書目《數(shù)學物理方程》,王明新,清華大學出版社?！稊?shù)學物理方程》，姜禮尚，高教出版社?！豆こ碳夹g(shù)中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大學出版社。第3頁,共81頁，2024年2月25日，星期天41.1偏微分方程的一些基本概念第4頁,共81頁，2024年2月25日，星期天5一.偏微分方程（partialdifferentialequation)（PDE）的基本概念自變量未知函數(shù)偏微分方程的一般形式第5頁,共81頁，2024年2月25日，星期天6PDE的階：PDE的解

古典解廣義解概念是指這樣一個函數(shù)，它滿足方程，并且在所考慮的區(qū)域內(nèi)有m階連續(xù)偏導數(shù)。線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE自由項在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項稱為自由項．第6頁,共81頁，2024年2月25日，星期天7線性PDE：PDE中對所含未知函數(shù)及其各階導數(shù)的全體都是線性的。例如：常系數(shù)線性PDE:不然稱為變系數(shù)的．齊次線性PDE:不然稱為非齊次的．線性PDE的主部:具有最高階數(shù)偏導數(shù)組成的部分．主部第7頁,共81頁，2024年2月25日，星期天8PDE中對最高階導數(shù)是線性的。例如：半線性PDE：完全非線性PDE：PDE中對最高階導數(shù)不是線性的。擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導數(shù)的系數(shù)僅為自變量的函數(shù)。例如：非線性PDE第8頁,共81頁，2024年2月25日，星期天9舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）1.2.變換解為：解為：第9頁,共81頁，2024年2月25日，星期天10舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）4.3.解為：變換解為：第10頁,共81頁，2024年2月25日，星期天115.不易找出其通解，但還是可以找出一些特解任意解析函數(shù)的實部和虛部均滿足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）`第11頁,共81頁，2024年2月25日，星期天127.擬線性PDE8.擬線性PDE9.半線性PDE10.半線性PDE11.完全非線性PDE第12頁,共81頁，2024年2月25日，星期天131.2三個典型的方程

第13頁,共81頁，2024年2月25日，星期天14舉例(多元函數(shù))拉普拉斯(Laplace)方程熱傳導方程波動方程第14頁,共81頁，2024年2月25日，星期天15物理模型與定解問題的導出第15頁,共81頁，2024年2月25日，星期天16弦振動方程的導出第16頁,共81頁，2024年2月25日，星期天17

一長為L的柔軟均勻細弦，拉緊后，當它受到與平衡位置垂直的外力作用時，開始作微小橫振動。假設(shè)這運動發(fā)生在同一平面內(nèi)，求弦上各點位移隨時間變化規(guī)律。

弦上各點作往返運動的主要原因在于弦的張力作用，弦在運動過程中各點的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運動規(guī)律。由此可以建立弦上各點的位移函數(shù)所滿足的微分方程。第17頁,共81頁，2024年2月25日，星期天物理背景：

波的傳播和彈性體振動。弦振動方程的導出

首先，考察弦橫振動這個物理問題：給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其長度為l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動，求弦上各點的運動規(guī)律。

把實際問題提煉為數(shù)學模型時必須做一定的理想化假設(shè)，以便抓住問題的最本質(zhì)特征。第18頁,共81頁，2024年2月25日，星期天基本假設(shè)：1.弦的質(zhì)量是均勻的，弦的截面直徑與長度相比可以忽略。

弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。

（細弦）2.弦在某一個平面內(nèi)作微小橫振動。

弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動。

（微幅）3.弦是柔軟的，它在形變時不抵抗彎曲。

弦上各質(zhì)點的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長變形與張力的關(guān)系服從虎克定律。

（橫振動）基本規(guī)律：牛頓第二定律（沖量定律）第19頁,共81頁，2024年2月25日，星期天弦線上任意一點在t時刻沿y軸上的位移研究對象：

在右圖所示的坐標系，用u(x,t)表示弦上各點在時刻t沿垂直于x方向的位移。在這條弦上任意取一弦段(x,x+Δx)，它的弧長為：

由假設(shè)3，弦線張力T(x)總是沿著弦在x處的切線方向．由于弦只在垂直x軸的方向進行橫振動，因此可以把弦線的張力T(x)在x軸的方向的分量看成常數(shù)Ｔ。對于圖中選取的弦段而言，張力在x軸的垂直方向上的合力為：假設(shè)2和假設(shè)3第20頁,共81頁，2024年2月25日，星期天在時間段(t,t+Δt)內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：另一方面，在時間段(t,t+Δt)內(nèi)弦段(x,x+Δx)的動量變化為：于是由沖量定理：從而有：第21頁,共81頁，2024年2月25日，星期天進一步由Δt，Δx的任意性，有

假定有垂直于x軸方向的外力存在，并設(shè)其線密度為F(x,t)，則弦段(x,x+Δx)上的外力為：它在時間段(t,t+Δt)內(nèi)的沖量為：第22頁,共81頁，2024年2月25日，星期天類似地，三維波動方程可以表示為：于是有：第23頁,共81頁，2024年2月25日，星期天簡化假設(shè)：(2)振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。牛頓運動定律：橫向：縱向：其中：第24頁,共81頁，2024年2月25日，星期天其中：其中：第25頁,共81頁，2024年2月25日，星期天………一維波動方程令：------非齊次方程自由項------齊次方程忽略重力作用：第26頁,共81頁，2024年2月25日，星期天非均勻弦的強迫橫振動方程一維波動方程不僅可以描述弦的振動，還可以描述：彈性桿的縱向振動管道中氣體小擾動的傳播………等等

因此，一個方程反應的不止是一個物理現(xiàn)象，而是一類問題。第27頁,共81頁，2024年2月25日，星期天282+1維波動方程或膜振動方程

一塊均勻的拉緊的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動，其運動規(guī)律滿足其中：u(x,y,t)表示在t時刻、膜在(x,y)

點處的位移f(x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力a2=T/

：T表示張力、為線密度第28頁,共81頁，2024年2月25日，星期天293+1維波動方程或聲波方程n+1維波動方程第29頁,共81頁，2024年2月25日，星期天301.4定解條件和定解問題第30頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

列出微分方程的目的是要從微分方程中求得具體問題的解或者研究解的性質(zhì)。前面我們看到，弦振動方程描述的是弦作微小橫振動時的位移函數(shù)u(x,t)所應滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運動狀況。這是因為弦的運動還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關(guān)系，因此對于具體的弦振動問題而言，還需要結(jié)合實際問題附加某些特定條件。

例如:在前面的推導中，弦的兩端被固定在x=0和x=l兩點，即

u(0,t)=0，

u(l,t)=0，這兩個等式稱為邊界條件。此外，設(shè)弦在初始時刻t=0時的位置和速度為這兩個等式稱為初始條件。邊界條件和初始條件總稱為定解條件。把微分方程和定解條件結(jié)合起來，就得到了與實際問題相對應的定解問題。對于弦振動方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問題可以描述為：定解條件第31頁,共81頁，2024年2月25日，星期天要在區(qū)域上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要求這樣的連續(xù)函數(shù)u(x,t)

，它在區(qū)域0<x<l,t>0中滿足波動方程(2.1)；在x軸上的區(qū)間[0,l]上滿足初始條件(2.2)；并在邊界x=0和x=l上滿足邊界條件(2.3)和(2.4)。

一般稱形如(2.3)和(2.4)的邊界條件為第一類邊界條件，也叫狄利克雷（Dirichlet）邊界條件。定解條件第32頁,共81頁，2024年2月25日，星期天波動方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度定解條件第33頁,共81頁，2024年2月25日，星期天(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況波動方程的三類邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承?；蛑Z依曼（Neumann）邊界條件狄利克雷（Dirichlet）邊界條件第34頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。定解條件第35頁,共81頁，2024年2月25日，星期天定解問題定解問題適定性概念(1)初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。

把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個定解問題。定解問題的檢驗

解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應的微小變動。第36頁,共81頁，2024年2月25日，星期天37經(jīng)典的定解問題舉例維波動方程(弦振動方程)的初值問題第37頁,共81頁，2024年2月25日，星期天38經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導方程的初值問題第38頁,共81頁，2024年2月25日，星期天39經(jīng)典的定解問題舉例二維調(diào)和方程的邊值問題第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neumann）第三邊值問題（Robin）第39頁,共81頁，2024年2月25日，星期天40經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導方程的初、邊值問題第40頁,共81頁，2024年2月25日，星期天41何為適定性？存在性唯一性連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、唯一而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問題在相應的函數(shù)類中為適定的。穩(wěn)定性：只要定解條件的偏差足夠小，相應的定解問題解的偏差也將非常?。?1頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

除了研究定解問題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的問題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問題的求解方法（精確解、漸近解、數(shù)值解）等。定解問題適定性概念第42頁,共81頁，2024年2月25日，星期天43定解問題的適定性定解問題PDE定解條件初值條件initialcondition邊值條件boundarycondition初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題第43頁,共81頁，2024年2月25日，星期天44熱傳導方程第44頁,共81頁，2024年2月25日，星期天45熱傳導分析：設(shè)桿長方向為x軸，考慮桿上從x到x+dx的一段(代表)，其質(zhì)量為dm=ρdx，熱容量為cdm。設(shè)桿中的熱流沿x軸正向，強度為q(x,t)，溫度分布為u(x,t)，則問題：一根長為L的均勻?qū)峒殫U，側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。由能量守恒定律

cdmdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由熱傳導定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxx第45頁,共81頁，2024年2月25日，星期天46推廣：情況：內(nèi)部有熱源(或側(cè)面不絕熱)分析：設(shè)熱源強度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt方程：cρut=kuxx+Fut=a2uxx+f，f=F/(cρ)第46頁,共81頁，2024年2月25日，星期天47穩(wěn)定場方程第47頁,共81頁，2024年2月25日，星期天48產(chǎn)生：在演化問題中，有時會到達一個不隨時間變化的穩(wěn)定狀態(tài)，對應的方程稱為穩(wěn)定場方程。形式：在對應的演化方程中取消時間變量t，對t的導數(shù)為零。分類：無外界作用情況拉普拉斯方程：Δu=utt+uyy+uzz=0有外界作用情況泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型應用靜電場方程：Δu=-ρ/ε穩(wěn)定溫度分布：Δu=-F/k第48頁,共81頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學物理方程的分類在數(shù)學物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動方程；熱傳導方程；穩(wěn)定場方程．這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程．49

第49頁,共81頁，2024年2月25日，星期天50

二階線性PDE方程的分類兩個自變量，齊次主部目的：通過自變量的非奇異變換來簡化方程的主部，從而據(jù)此分類。非奇異（1）第50頁,共81頁，2024年2月25日，星期天51復合求導第51頁,共81頁，2024年2月25日，星期天52系數(shù)之間的關(guān)系（2）（1）（3）第52頁,共81頁，2024年2月25日，星期天53其他系數(shù)之間的關(guān)系（3*）第53頁,共81頁，2024年2月25日，星期天54考慮如若能找到兩個相互獨立的解那么就作變換從而有（4）第54頁,共81頁，2024年2月25日，星期天55假設(shè)是方程的特解，則關(guān)系式是常微分方程（4）（5）的一般積分。反之亦然。引理

由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微分方程（5）的一般積分。第55頁,共81頁，2024年2月25日，星期天56定義稱常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程。稱（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。（6）第56頁,共81頁，2024年2月25日，星期天57記定義方程(1)在點M處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點M處，有若在點M處，有若在點M處，有第57頁,共81頁，2024年2月25日，星期天58雙曲型PDE右端為兩相異的實函數(shù)它們的一般積分為由此令，方程（1）可改寫為雙曲型方程的第一標準型雙曲型方程的第二標準型第58頁,共81頁，2024年2月25日，星期天59拋物型PDE由此得到一般積分為由此令，其中與獨立(線性無關(guān))的任意函數(shù)。第59頁,共81頁，2024年2月25日，星期天60由于由此推出第60頁,共81頁，2024年2月25日，星期天61因此，方程（1）可改寫為拋物型方程的標準型而第61頁,共81頁，2024年2月25日，星期天62橢圓型PDE右端為兩相異的復數(shù)由此推出兩族復數(shù)積分曲線為其中第62頁,共81頁，2024年2月25日，星期天63由此令從而方程（1）可改寫為，滿足方程（4）橢圓型方程的標準型第63頁,共81頁，2024年2月25日，星期天64例1拋物型方程令第64頁,共81頁，2024年2月25日，星期天65例2雙曲型方程第65頁,共81頁，2024年2月25日，星期天66例3Tricomi方程橢圓型雙曲型拋物型第66頁,共81頁，2024年2月25日，星期天67第67頁,共81頁，2024年2月25日，星期天疊加原理弦振動方程的達朗貝爾解法第68頁,共81頁，2024年2月25日，星期天疊加原理從本節(jié)開始我們討論弦振動方程的各類定解問題。在此之前，先介紹疊加原理在物理學研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨（假設(shè)其他原因不存在）產(chǎn)生的效果的累加。這就是疊加原理。典型例子：力和加速度的關(guān)系，萬有引力場的可疊加性復雜的聲音——各種單音的疊加電磁場中的疊加原理第69頁,共81頁，2024年2月25日，星期天則對于任意的常數(shù)C1、C2，函數(shù)是方程的解。例如：若u1(x,t)是方程的解，而u2(x,t)是方程的解，因此，弦振動方程滿足疊加原理線性方程都滿足疊加原理第70頁,共81頁，2024年2月25日，星期天線性方程解（線性系統(tǒng)）具有疊加特性

幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)第71頁,共81頁，2024年2月25日，星期天弦振動方程的達朗貝爾解法先從最簡單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計的情況（如果所考察的物體（弦線）長度很長，而我們所關(guān)注的又只是在較短時間內(nèi)且距離邊界較遠的一段范圍中的運動情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長度視為無限長）。這樣的情況下，定解問題歸結(jié)為如下形式：

這個定解問題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問題(也稱柯西（Cauchy）問題）。相應地，前一節(jié)中的定解問題(1.1)~(1.4)由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問題或混合問題。方程(1.5)中的自由項f(x,t)是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程(1.5)中f(x,t)恒為零的情況對應于自由振動；f(x,t)不為零的情況對應于強迫振動。第72頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

下面，我們求解上述初值問題。首先注意到微分方程及定解條件都是線性的。對于這種定解問題，同樣存在疊加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分別是下述初值問題和的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值問題(1.5)、(1.6)的解(證明作為課后習題)。這樣求解初值問題(1.5)、(1.6)就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的初值問題(I)和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問題(II)單獨初始振動狀態(tài)對振動過程的影響。單獨考慮外力因素對振動過程的影響。第73頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

首先，我們考察代表自由振動情況的初值問題(I)，它可以通過自變量變換的方法求解。引如新自變量：ξ=x-at，η=x+at。利用復合函數(shù)求導的法則，有類似地，從而，方程(1.7)就化為，這個方程可以直接求解。把它關(guān)于η積分一次，再關(guān)于ξ積分一次，就可以得到它的通解為u(ξ,η)=F(ξ)+G(η)，其中，F(xiàn)和G是任意兩個可微分的單變量函數(shù)。代回原來的自變量，方程(1.7)的通解表示為u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。第74頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

利用這個通解表達式，就可以利用初始條件(1.8)來決定函數(shù)F和G，進而求出初值問題(I)的解。把上述通解表達式代入初始條件(1.8)，得到：(1.12)式是一個簡單的常微分方程，求解它得到由(1.11)和(1.13)式聯(lián)立求解可以得出函數(shù)F和G把它們代入方程(1.7)的通解表達式就得到了初值問題(I)的解第75頁,共81頁，2024年2月25日，星期天

這個公式(1.14)稱為達朗貝爾公式。從以上推導過程可以看出：如果初值問題(I)有