山西省運(yùn)城市垣曲縣2024年八年級下冊數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題含解析

山西省運(yùn)城市垣曲縣2024年八年級下冊數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．為測量操場上旗桿的高度，小麗同學(xué)想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理，她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺，先將鏡子放在腳下的地面上，然后后退，直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E，標(biāo)記好腳掌中心位置為B，測得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50cm，鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4m，如圖所示．已知小麗同學(xué)的身高是1.54m，眼睛位置A距離小麗頭頂?shù)木嚯x是4cm，則旗桿DE的高度等于（）A．10mB．12mC．12.4mD．12.32m2．下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．某工廠計劃用兩年時間使產(chǎn)值增加到目前的4倍，并且使第二年增長的百分?jǐn)?shù)是第一年增長百分?jǐn)?shù)的2倍，設(shè)第一年增長的百分?jǐn)?shù)為x，則可列方程得（）A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝44．根據(jù)《九章算術(shù)》的記載中國人最早使用負(fù)數(shù)，下列四個數(shù)中的負(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．5．將直線y=-2x向上平移5個單位，得到的直線的解析式為（

）A．y=-2x-5

B．y=-2x+5

C．y=-2(x-5)

D．y=-2(x+5)6．如圖，點(diǎn)A（0，2），在x軸上取一點(diǎn)B，連接AB，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、AB于點(diǎn)M、N，再以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD并延長交x軸于點(diǎn)P．若△OPA與△OAB相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）7．已知一次函數(shù)y＝2x+a，y＝﹣x+b的圖象都經(jīng)過A（﹣2，0），且與y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．4 B．5 C．6 D．78．下列各比值中，是直角三角形的三邊之比的是（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：6 D．1：3：29．如圖，已知菱形的兩條對角線分別為6cm和8cm，則這個菱形的高DE為()A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm10．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點(diǎn)M、N，連接AM、CN、MN，若AB=，BC=，則圖中陰影部分的面積為（）A．4 B．2 C．2 D．211．下列屬于菱形性質(zhì)的是（）A．對角線相等 B．對角線互相垂直C．對角互補(bǔ) D．四個角都是直角12．若點(diǎn)P（﹣3+a，a）在正比例函數(shù)y=﹣x的圖象上，則a的值是（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1二、填空題（每題4分，共24分）13．菱形的周長為8，它的一個內(nèi)角為60°，則菱形的較長的對角線長為__________.14．如圖，在菱形ABCD中，∠C＝60o，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF＝5，則菱形ABCD的周長為____________．15．當(dāng)__________時，分式的值等于零.16．古語說：“春眠不覺曉”，每到初春時分，想必有不少人變得嗜睡，而且睡醒后精神不佳．我們可以在飲食方面進(jìn)行防治，比如以下食物可防治春困：香椿、大蒜、韭菜、山藥、麥片．春天即將來臨時，某商人抓住商機(jī)，購進(jìn)甲、乙、丙三種麥片，已知銷售每袋甲種麥片的利潤率為10%，每袋乙種麥片的利潤率為20%，每袋丙種麥片的利潤率為30%，當(dāng)售出的甲、乙、丙三種麥片的袋數(shù)之比為1：3：1時，商人得到的總利潤率為22%；當(dāng)售出的甲、乙、丙三種變片的袋數(shù)之比為3：2：1時，商人得到的總利潤率為20%：那么當(dāng)售出的甲、乙、丙三種麥片的袋數(shù)之比為2：3；4時，這個商人得到的總利潤率為_____（用百分號表最終結(jié)果）．17．一個有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時刻開始，2min內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的4min內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個常數(shù)，容器內(nèi)的水量y（單位：L）與時間x（單位：min）之間的關(guān)系如圖所示，則每分鐘出水____________升．18．在△ABC，∠BAC90,ABAC4,O是BC的中點(diǎn)，D是腰AB上一動點(diǎn)，把△DOB沿OD折疊得到△DOB'，當(dāng)∠ADB'45時，BD的長度為_____.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，已知四邊形DFBE是矩形，C，A分別是DF，BE延長線上的點(diǎn)，，求證：（1）AE=CF．（2）四邊形ABCD是平行四邊形．20．（8分）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長交BC于點(diǎn)G，連接AG．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求BG的長．21．（8分）計算與化簡：計算：化簡：已知，求：的值22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．（1）先作出，再將向下平移5個單位長度后得到，請畫出，；（2）將繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得得到，請畫出；（3）判斷以，，為頂點(diǎn)的三角形的形狀．（無需說明理由）23．（10分）如圖，一次函數(shù)y=x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱.動點(diǎn)P、Q分別在線段AC、AB上(點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合），且滿足∠BPQ=∠BAO．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及線段BC的長度；(2)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時，△APQ≌△CBP,說明理由；(3)當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).24．（10分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、O、Q，連接BP、QE（1）求證：四邊形BPEQ是菱形：（2）若AB＝6，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，OF＝4，求菱形BPEQ的面積．25．（12分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點(diǎn)，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點(diǎn)F.試通過觀察、測量、猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關(guān)系，并說明你猜想的正確性．26．如圖，直線y＝3﹣2x與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P（x，y）是線段AB上的任意一點(diǎn)，并設(shè)△OAP的面積為S．（1）S與x的函數(shù)解析式，求自變量x的取值范圍．（2）如果△OAP的面積大于1，求自變量x的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解析】試題分析：由題意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m，△ABC∽△EDC，則，即，解得：DE=12，故選B．考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用．2、C【解析】

判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】，，分母中含有字母，因此是分式；，的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式．故分式有3個．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的定義，注意判斷一個式子是否是分式的條件是：分母中是否含有未知數(shù)，如果不含有字母則不是分式．3、D【解析】

設(shè)第一年增長的百分?jǐn)?shù)為x，則第二年增長的百分?jǐn)?shù)為2x，根據(jù)“計劃用兩年時間使產(chǎn)值增加到目前的1倍”列出方程即可．【詳解】解：設(shè)第一年增長的百分?jǐn)?shù)為x，則第二年增長的百分?jǐn)?shù)為2x，根據(jù)題意，得（1+x）（1+2x）＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．4、C【解析】

將各數(shù)化簡即可求出答案．【詳解】解：A.原式，故A不是負(fù)數(shù)；B.原式，故B不是負(fù)數(shù)；C.是負(fù)數(shù)；

D.原式，故D不是負(fù)數(shù)；

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是將原數(shù)化簡，本題屬于基礎(chǔ)題型．5、B【解析】

直接根據(jù)一次函數(shù)圖象與幾何變換的有關(guān)結(jié)論求解．【詳解】y=-2x向上平移5個單位，上加下減，可得到y(tǒng)=-2x+5故答案為：B【點(diǎn)睛】考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換：一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象為直線，當(dāng)直線平移時k不變，當(dāng)向上平移m個單位，則平移后直線的解析式為y=kx+b+m．6、C【解析】

根據(jù)點(diǎn)D的畫法可得出AD平分∠OAB，由角平分線的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得出∠OBA＝∠OAB，利用二角互補(bǔ)即可求出∠OBA＝∠OAP＝30°，通過解含30度角的直角三角形即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：由點(diǎn)D的畫法可知AD平分∠OAB．∵△OPA∽△OAB，∴∠OAP＝∠OBA＝∠OAB．∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝60°，∠OAP＝30°，∴AP＝2OP．在Rt△OAP中，∠AOP＝90°，OA＝2，，∴OP＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及解含30度角的直角三角形，求出∠OAP＝30°是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】根據(jù)題意得：a=4，b=-2，所以B(0，4)，C(0，-2)，則△ABC的面積為故選C.8、D【解析】

根據(jù)勾股定理的逆定理對各個條件進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、12+22≠32，故不是直角三角形的三邊之比；B、22+32≠42，故不是直角三角形的三邊之比；C、32+42≠62，故不是直角三角形的三邊之比；D、12+(3)2=22，故是直角三角形的三邊之比．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.9、B【解析】

解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，∴AB=，∵菱形ABCD的面積=AB?DE=AC?BD=×8×6=24，∴DE==4.8；故選B．10、B【解析】

根據(jù)矩形的中心對稱性判定陰影部分的面積等于空白部分的面積，從而得到陰影部分的面積等于矩形的面積的一半，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，M、N分別為DE、BF的中點(diǎn)，∴矩形繞中心旋轉(zhuǎn)180陰影部分恰好能夠與空白部分重合，∴陰影部分的面積等于空白部分的面積，∴陰影部分的面積＝×矩形的面積，∵AB=，BC=∴陰影部分的面積＝××＝2．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了矩形的中心對稱性，判斷出陰影部分的面積等于矩形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．11、B【解析】

根據(jù)菱形的對角線的特征，內(nèi)角的特征，對稱性來判斷即可．【詳解】A.矩形的對角線平分、相等，故A選項錯誤；B.菱形的對角線平分、相等，故B選項正確；C.矩形的對角互補(bǔ)，故C選項錯誤；D.矩形的四個角都是直角，故D選項錯誤；故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握菱形的性質(zhì)12、C【解析】

把點(diǎn)P坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式得到關(guān)于a的方程，解方程即可得.【詳解】解：由題意得：a=﹣(-3+a)，解得：a=1，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足正比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、【解析】

由菱形的性質(zhì)可得AB=2，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性質(zhì)可得AO=1，由勾股定理可求BO的長，即可得BD的長．【詳解】解：如圖所示：∵菱形ABCD的周長為8，∴AB=2，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=∠ABC=30°，∴AO=1，∴BO=，∴BD=,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．14、1【解析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)菱形的周長公式即可得．【詳解】四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)又是等邊三角形則菱形ABCD的周長為故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15、-2【解析】

令分子為0，分母不為0即可求解.【詳解】依題意得x2-4=0,x-2≠0，解得x=-2，故填：-2.【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的值，解題的關(guān)鍵是熟知分式的性質(zhì).16、25%．【解析】

設(shè)甲、乙、丙三種蜂蜜的進(jìn)價分別為a、b、c，丙蜂蜜售出瓶數(shù)為cx，則當(dāng)售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶數(shù)之比為1：3：1時，甲、乙蜂蜜售出瓶數(shù)分別為ax、3bx；當(dāng)售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶數(shù)之比為3：2：1時，甲、乙蜂蜜售出瓶數(shù)分別為3ax、2bx；列出方程，解方程求出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)甲、乙、丙三種麥片的進(jìn)價分別為a、b、c，丙麥片售出袋數(shù)為cx，由題意得：，解得：，∴，故答案為：25%．【點(diǎn)睛】本題考查了方程思想解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是通過題意列出方程，得出a、b、c的關(guān)系，進(jìn)而求出利潤率．17、7.1【解析】

出水量根據(jù)后4分鐘的水量變化求解．【詳解】解：根據(jù)圖象，每分鐘進(jìn)水20÷2=10升，設(shè)每分鐘出水m升，則10×（6-2）-（6-2）m=30-20，解得：m=7.1．故答案為：7.1【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論．18、.【解析】

由勾股定理可得，由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，即可求的長.【詳解】如圖，，，，，是的中點(diǎn)，，把沿折疊得到，，，，，，，，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.三、解答題（共78分）19、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得出∠DEB=∠BFD=90°,DE=BF，故∠DEA=∠BFC，由ASA證明△ADE≌△CBF即可得出結(jié)論；（2）由△ADE≌△CBF可得∠DAE=∠BCF,由矩形的性質(zhì)得出∠EDF=∠ABF=90°可得∠ADC=∠ABC，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在矩形DFBE中，∠DEB=∠BFD=90°，DE=BF∵∠AED+∠DEB=180°，∠CFB+∠BFD=180°∴∠AED=∠CFB=90°又∵∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF∴AE=CF（2）∵△ADE≌△CBF∴∠A=∠C∵在矩形DFBE中，∠EDF=∠FBA=90°∴∠EDF+∠ADE=∠FBA+∠CBF即∠ADC=∠ABC又∵∠A=∠C∴四邊形ABCD是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．20、（1）證明見解析（2）2【解析】試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，∠AFE=∠D=90°，從而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，結(jié)合AG=AG得到三角形全等；根據(jù)全等得到BG=FG，設(shè)BG=FG=x，則CG=6－x，根據(jù)E為中點(diǎn)得到CE=EF=DE=3，則EG=3+x，根據(jù)Rt△ECG的勾股定理得出x的值.試題解析：（1）、∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，由折疊的性質(zhì)可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF，∴∠AFG=∠B，又AG=AG，∴△ABG≌△AFG；（2）、∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，設(shè)BG=FG=，則GC=,∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=EF=DE=3，∴EG=，∴，解得，∴BG=2.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理.21、（1）；（2）；（3）2.【解析】

（1）根據(jù)二次根式的化簡、零指數(shù)冪及負(fù)指數(shù)冪計算即可；（2）先算括號里分式的減法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法約分即可；（3）先將分式的分子和分母因式分解再將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算，最后算加法，化簡后將代入求解即可.【詳解】解：（1）；（2）；（3）當(dāng)時，原式.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的計算及分式的加減乘除混合運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)冪及負(fù)指數(shù)冪的計算公式及分式加減乘除運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.22、（1）見解析；（2）見解析；（3）等腰直角三角形【解析】

（1）利用描點(diǎn)法作出△ABC，再利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)特征寫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1，然后描點(diǎn)得到△A1B1C1；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A2、B2，C2，從而得△A2B2C2；（3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可證明△OA1B為等腰直角三角形．【詳解】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求．（3）三角形的形狀為等腰直角三角形．∵OB=，OA1=，BA1=，∴OB2+OA12=BA12，∴△OA1B為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．23、A（－4，0），B（0，3），BC=1；（1，0）；（1，0）或（，0）．【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)解析式和勾股定理求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)以及BC的長度；根據(jù)全等的性質(zhì)得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；本題分PQ=PB，BQ=BP乙BQ=PQ三種情況分別進(jìn)行計算得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．試題解析：（1）點(diǎn)A坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，3），BC=1．（2）點(diǎn)P在（1，0）時（3）i）當(dāng)PQ=PB時，△APQ≌△CBP，由（1）知此時點(diǎn)P（1，0）ii）當(dāng)BQ=BP時，∠BQP=∠BPQ∠BQP是△APQ的外角，∠BQP＞∠BAP，又∠BPQ=∠BAO∴這種情況不可能iii）當(dāng)BQ=PQ時，∠QBP=∠QPB又∠BPQ=∠BAO，∴∠QBP=∠BAO，則AP=4+x，BP=∴4+x=，解得x=，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用24、（1）詳見解析；（2）．【解析】

（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB＝PE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）先證明OF為△BAE的中位線，然后依據(jù)三角形的中位線定理得出AE∥OF且OF＝AE．求得OB的長，則可得到BE的長，設(shè)菱形的邊長為x，則AP＝8﹣x，在Rt△APB中依據(jù)勾股定理可列出關(guān)于x的方程，然后依據(jù)菱形的面積公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）證明：∵PQ垂直平分