數(shù)列求和的基本方法和技巧

關(guān)于數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.第2頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、等差數(shù)列求和公式：

2、等比數(shù)列求和公式：

3、4、5、第3頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例1]

已知

，求

的前n項(xiàng)和由等比數(shù)列求和公式得第4頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例2]

設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

的最大值解：由等差數(shù)列求和公式得∴∴當(dāng)，即n＝8時(shí)，第5頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·

bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.第6頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)………②

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得

（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：

∴

[例3]求和：

………①第7頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例4]

求數(shù)列

前n項(xiàng)的和解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)

…………………①………………②

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得∴第8頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)

.第9頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例5]{理}求證：證明：設(shè)…………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得（反序）

又由可得

…………..……..②①+②得（反序相加）

∴第10頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例6]

求的值解：設(shè)………….①將①式右邊反序得

……..②反序）

又因?yàn)棰?②得＝89∴S＝44.5第11頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.第12頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例7]

求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…

解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得（分組）

當(dāng)a＝1時(shí)，＝（分組求和）

當(dāng)時(shí)，＝第13頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例8]

求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn＝（分組）

第14頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：第15頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例9]]

在數(shù)列{an}中，，又求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和

解：∵∴（裂項(xiàng)）

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和＝＝第16頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例10]

求證：解：設(shè)∵（裂項(xiàng)）

∴（裂項(xiàng)求和）

＝＝＝∴原等式成立

第17頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天

六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.第18頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例11]]

求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°＝0第19頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例12]]

數(shù)列{an}：，求S2002.∵

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

∴S2002＝（合并求和）

第20頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天∵

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

第21頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例13]

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.

解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得

（合并求和）

第22頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和