2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)2-1 不等式的性質(zhì)及常見(jiàn)不等式解法

專題2.1不等式的性質(zhì)及常見(jiàn)不等式解法(知識(shí)點(diǎn)講解)

【知識(shí)框架】

【核心素養(yǎng)】

1.結(jié)合集合，考查不等式的概念、性質(zhì)，結(jié)合作差法，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

2.結(jié)合函數(shù)的圖象，考查不等式的解法，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【知識(shí)點(diǎn)展示】

(-)不等式的性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)的大小

(1)數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.

(2)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和從如果a—6是正數(shù)，那么a>6；如果a—b是負(fù)數(shù)，那么如果〃一/)等于

零，那么a=6.2.不等關(guān)系與不等式

我們用數(shù)學(xué)符號(hào)’2"、"W連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符

號(hào)的式子，叫做不等式.

3.比較大小的常用方法

(1)作差法

一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法

把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.

(2)作商法

一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論.

*(3)函數(shù)的單調(diào)性法

將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.

4.判斷不等式是否成立的方法

(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明.

(2)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，可結(jié)合不等式的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

5.求代數(shù)式的取值范圍

利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí).一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得

整體范圍，是避免錯(cuò)誤的有效途徑.

6.不等式性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：a>b<=>b<a.

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c.

(3)可加性：a〉b=a+c>b+c.

(4)可乘性:a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc.

(5)加法法則:a>b,c>d=a+c>b+d.

(6)乘法法則:a>b>0,c>d>O=>ac>bd.

(7)乘方法則：a>b>O=an>b”(neN,n22).

⑻開(kāi)方法則：a>b>0=踞>*(n￡N,n22).

(二)不等式的解法

1.解一元二次不等式的一般步驟

(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.

(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)

根.

(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.

*2.分式不等式的解法

定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.

招>0今外)虱x)>0,喘<0㈡"x)?虱x)v0.

?！?

g(x)|g(x)W0.

Wx)=0

OAx)-g(x)>0或

[g(x)W0

危)？(/)以x)W0,Mx)=0

Wx)-g(x)<0或[g(x)W0.

g(x)[g(x)W0

3.簡(jiǎn)單的高次不等式的解法

高次不等式：不等式最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2,這樣的不等式稱為高次不等式.

解法：穿根法

①將./(X)最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

②將加)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式的積；

③將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方

根穿而不過(guò)，奇次方根穿過(guò))；

④觀察曲線顯現(xiàn)出的/(x)的值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集.

4.含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不

易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論.

(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二

次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式.

(3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.

(三)絕對(duì)值不等式

1.絕對(duì)值不等式的解法

(1)形如|ax+b|2|cx+d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.

(2)形如|ax+b|Wc(c>0)和|ax+b|2c(c>0)型不等式

①絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集

不等式a>0a=0a<0

11ya{jr|一々VnVq)00

Ix\y>a{JC\或/V-a》{x|XTTO)R

Iy

②Iax+b|Wc(c〉O)和ax+b|2c(c>0)型不等式的解法Iax+b|<c=c<，x+l)Wc(c>0),

Iax+b|Nc=ax+bNc或ax+bW-c(c>0).

2.絕對(duì)值不等式的應(yīng)用

如果a,b是實(shí)數(shù),那么|a+b|W|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab20時(shí)，等號(hào)成立.

(四)幾條常用結(jié)論

1.倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論

(1)?>/?,

(2)戰(zhàn)0助=鼻.

,~里八八、ab

(3)a>b>0,0<c<d=^->j.

(4)0<a<x<b或。<了<*0=9￥；.

2.兩個(gè)重要不等式

若a>b>0,加>0,則

b6+加bb~m

(1)<-r―；->---(6—w>0).

'-a+maa—nr)

aa+加aa~ni

(2掌鉆

【?？碱}型剖析】

題型一用不等式表示不等關(guān)系

例1.(2010?浙江?高考真題(文))某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為

500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增x%,九、十月份銷售總額與七、八

月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少至少達(dá)7000萬(wàn)元，則，x的最小值

【答案】20

【解析】

【詳解】

把一月份至十月份的銷售額相加求和，列出不等式，求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.

所以一月份至十月份的銷售總額為：

3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2心7000,解得1+x%92.2(舍)或1+x%>1.2,

所以Xm：20?

【規(guī)律總結(jié)】

用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中不等關(guān)系的步驟：

①審題.通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量.找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不

少于”“不多于”“超過(guò)”“不超過(guò)”等.

②列不等式組：分析題意，找出己知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示.

題型二：比較數(shù)或式子的大小

例2.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(理))已知a>b>,>0,則下列結(jié)論正確的是()

a

A.化卜>1B.

bh

c.bgpiogjD.

bab

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差法比較大小等知識(shí)，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即

可得答案.

【詳解】

因?yàn)椤?gt;b>L>0,所以a>l,

對(duì)于A：a-h>0,所以故人錯(cuò)誤；

對(duì)于B：；>1,所以在(0,內(nèi))上為增函數(shù)，

bb

又a>b,所以bgj'bg/,故B錯(cuò)誤;

bb

，vi-.log?-logb=logo+logb=logab

入JJcL：abaaa，

babbb

因?yàn)?>1,ab>\,所以％2>嗎1=°,

bbb

所以故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：b---(a-^\=b-a+[--=(a-b)[^^],

ha\b)ba\ab)

因?yàn)閍-b>0,ab>\,

所以=—g]<0,即-],故D正確.

aybJ\ab)ab

故選：D

例3.比較大?。?/p>

(1)比較x2+*+l與2(x+y-l)的大小;

(2)設(shè)aWR且存0,比較a與公的大小.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)9+"+I~2(x+y~1)=%2-2X+1+"—2〉+2=(工一1)2+什-1)2+1>0,

，x2+y2+1>2(x+j>—1).

⑵由

當(dāng)。=±1時(shí)，a=>；

當(dāng)一1<。<0或a>I時(shí)，a>：；

當(dāng)aV-l或OVqVl時(shí)，a<k

【領(lǐng)悟技法】

1.比較大小的常用方法

(1)作差法

一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化

等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.

(2)作商法

一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論.

(3)函數(shù)的單調(diào)性法

將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.

題型三：不等式性質(zhì)及其應(yīng)用

例4.(2022?上海?高考真題)已知a>6>c>4,下列選項(xiàng)中正確的是()

A.a+d>b+cB.a+ob+d

C.ad>beD.ac>bd【答案】B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性質(zhì)得解.

【詳解】

3>2>1>0,但3+0=2+1,3xO<2xl,A、C錯(cuò)

\-a>b>c>d,:.a>c,b>d,所以a+c>b+d.B正確.

?.-30>2>-l>-2,fH30x(-l)<2x(-2),D錯(cuò).

故選:B.

例5.（2014?四川?高考真題（文））若a>b>0,c<d<0,則一定有

.ah—abab一ab

A.—>—B.-<—C.—>-D.—<一

cdccldcdc

【答案】D

【解析】

【詳解】

本題主要考查不等關(guān)系.已知a>b>0,c<d<0,所以-1>一1>0,所以-：>-2,故;<2.故選。

acdede

例6.【多選題】（2021?河北高三二模）若實(shí)數(shù)a,b滿足44<。3。，則下列選項(xiàng)中一定成立的有（）

A.“2〈從B.ai<biC.e?-b<1D.In<0

【答案】AD

【解析】

根據(jù)條件，可行0〉a〉b或b〉a〉0,逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】

因?yàn)椤?<〃3/7,所以。3（。一力）<0,

。3<0Q3>0

所以J或,

a-b>0a-b<0

所以0>a>b或b>Q>0,

所以故A正確;

若0>。>。，則〃3>加，故B錯(cuò)誤；若0>a>b,則。一。>0,所以故C錯(cuò)誤;

因?yàn)?>a>b或6〉?！?,所以0<2<1,

b

所以In<0,故D正確.

故選：AD

【規(guī)律總結(jié)】

1.判斷不等式的真假.

（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件.

（2）解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件;

二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.

（3）若要判斷某結(jié)論正確，應(yīng)說(shuō)明理由或進(jìn)行證明，推理過(guò)程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，若要說(shuō)明某結(jié)論錯(cuò)

誤，只需舉一反例.

2.證明不等式

（1）要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

（2）應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推證時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更

不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

3.求取值范圍

（1）建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍.

（2）同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)

化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.

4.掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論.在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯(cuò)，即在不等式的兩邊同時(shí)乘（除）以一

個(gè)數(shù)時(shí)，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定.

題型四：不等式的解法

例7.（2020?全國(guó)?高考真題（理））設(shè)集合Z={x|x2-4W0},5={x|2x+a<0},且力門8="|-2姿1},則a=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意首先求得集合A.B,然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)?的值.

【詳解】求解二次不等式X2-440可得：A={x\-2<x<2},

求解一次不等式2x+a40可得：B=

由于Ac8={xl-24x41},故：一3=1,解得：a=—2.

2

故選：B.

例8.（廣東高考真題（理））不等式卜-1|+卜+2|之5的解集為.

【答案】（F，—3]u[2,yo）.

【解析】

-2%-1,x<—2

令/(x)=|x_l|+|x+2],則/(x)={3,-2<x<l,

2x+l,x>1

(1)當(dāng)x<—2時(shí)，由/(x)25得—2尤—125,解得xW—3,此時(shí)有xW-3；

(2)當(dāng)一時(shí)，/(x)=3,此時(shí)不等式無(wú)解；

(3)當(dāng)x>l時(shí)，由/(x)25得2x+125,解得xN2,此時(shí)有xN2；

綜上所述，不等式k一1|+k+2|N5的解集為(Y°，-3L[2,T8).

例9.(2019?天津?高考真題(文))設(shè)xeR,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為.

【答案】(-1,()

【解析】

【分析】

通過(guò)因式分解，解不等式.

【詳解】

3x2+x-2<0,

即(x+l)(3x-2)<0,

BP-l<x<|,

一2

故式的取值范圍是

例10.(2022?上海?高考真題)不等式上<0的解集為.【答案】｛x|0<x<l｝

X

【解析】

【分析】

根據(jù)分式的運(yùn)算性質(zhì)分類討論求出不等式的解集.

【詳解】

x-1[x—1<01>0

一<°=八或八，解第一個(gè)不等式組，得0<x<l,第二個(gè)不等式組的解集為空集.

x[x>0[x<0

故答案為：｛x|0<x<l)

【規(guī)律方法】

1.解一元二次不等式的一般步驟

(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.

(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.

(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根.

(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.

2.含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不

易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論.

(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二

次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式.

(3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.

【易錯(cuò)警示】忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)致誤

3.形如|x-a|+|x-b2c(或Wc)型的不等式主要有三種解法：

(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(-8,a],(a,b],(b,+8)(此處設(shè)

a〈b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集.

⑵幾何法:利用|x-a1+|x-b|>c(c>O)的幾何意義:數(shù)軸上到點(diǎn)X|=a和x=b的距離之和大于c的全體，

X—a|+|x—b|x—a—(x—b)|=\a-b.

(3)圖象法：作出函數(shù)匕=|x-a|+|x—b]和y?=c的圖象，結(jié)合圖象求解.

題型五：絕對(duì)值不等式的應(yīng)用

例11.(2022?陜西?交大附中模擬預(yù)測(cè)(理))己知wR,則“忖<1且|y|<2"是“|x+小3”的()條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】

判斷充分性可利用絕對(duì)值三角不等式，由|x+M<3分園<1，3<2可以舉反例

【詳解】

解：充分性:若則1+計(jì)4國(guó)+|1<3,充分性得證;

必要性：若卜+)，|<3,取戶2,y=。5滿足條件，但不能得出

故為非必要條件；

綜上所述，"|x|<1,|計(jì)<2”是“|x+M<3”的充分不必要