浙江省杭州市西湖區(qū)景匯中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)景匯中學(xué)九年級第一學(xué)期開

學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分.）

1.下列環(huán)保標(biāo)志圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

A.3+272=572B.712-73=9C.(&)2=2D.>/25=±5

3.技術(shù)員分別從甲、乙兩塊小麥地中隨機(jī)抽取1000株苗，測得苗高的平均數(shù)相同，方差

分別為S單2=12（c%2）,S/=a（52）,檢測結(jié)果是乙地小麥比甲地小麥長得整齊，

則。的值可以是（）

A.10B.13C.14D.16

4.把一元二次方程（x-2）（x+3）=1化成一般形式，正確的是（）

A.x^+x-5=0B.x2-5x-5=0C./+工-7=0D./-5x+6=0

5.將拋物線y=-f向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式

是（）

A.y=-（x-1）2-2B.y=-（x-1）2+2

C.y=-（x+1）2-2D.y=-（x+1）2+2

6.已知平行四邊形A8C￡>的對角線AC,8。交于點(diǎn)O,點(diǎn)￡是邊A8的中點(diǎn)，連結(jié)OE,

若△AO￡的周長為15,則△ACO的周長是（）

A.15B.20C.25D.30

7.若點(diǎn)A（-2,州），8（-1,,?。?，C（1,心）都在反比例函數(shù)y=-2的圖象上，

X

則>1,為，”的大小關(guān)系正確的是（）

A.y\<y^<y2B.y3<y2<y\C.y^<y\<yiD.y2<yi<J3

8.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在邊AB上，以。石為邊作矩形。使FG經(jīng)過點(diǎn)G

若AO=2,則矩形。EFG的面積是（)

C.2&D.4&

9.如圖，矩形A8CZ）的對角線BO經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反

2

比例函數(shù)y=k+4k+l,的圖象上,若點(diǎn)斗的坐標(biāo)為（-2,-3）,則k的值為（）

10.如圖，在矩形ABCQ中，將△C￡>E沿。E折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合，連結(jié)EM并延長EM

分別交8。，AD于點(diǎn)N,F,且BE=8N,若48=6,BC=8,則A尸的長是（）

A.5-JI。B.10-I。C.4--JJQD.8-2-JJQ

二、填空題（本大題有6個小題，每小題4分，共24分.）

11.二次根式A/2023-X中字母x的取值范圍是.

12.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為.

13.如圖，拋物線、=加+公+。的對稱軸是直線x=-1,與x軸的一個交點(diǎn)為（-5,0）,

拋物線和與x軸的另一個交點(diǎn)為.

14.已知關(guān)于x的一元二次方程2爐-廣機(jī)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍

是.

15.已知點(diǎn)P(?,1-a)在反比例函數(shù)y=-(4力0)的圖象上，將點(diǎn)P先向右平移9個

x

單位，再向下平移6個單位后得到的點(diǎn)仍在該函數(shù)圖象上，則k的值是.

16.將四塊直角三角形按圖示方式圍成面積為10的口48。，其中AAB尸絲△CDH,其內(nèi)部

四個頂點(diǎn)構(gòu)成正方形EFGH,若/ABF=45°,則CO的長為.

三、解答題(共8小題，滿分66分)

17.(1)計算：/正-2\歷xF.

(2)解方程：%2-4x-1=0.

18.已知拋物線》=浸+〃(aWO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(1,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)請寫出自變量x在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而增大.

19.已知：如圖，在菱形ABC。中，過頂點(diǎn)。作￡>E_LA8,DF1BC,垂足分別為E,F,

連結(jié)E凡

(1)求證：△CEF為等腰三角形.

(2)若/OEF=66°,求NA的度數(shù).

20.為了了解某種電動汽車的性能，某機(jī)構(gòu)對這種電動汽車進(jìn)行抽檢，獲得如圖中不完整

的統(tǒng)計圖，其中A，B,C,D表示一次充電后行駛的里程數(shù)分別為150加%180hw,

210km

電動汽車一次充電電動汽車一次充電

行駛甲.程數(shù)條形統(tǒng)計圖行駛里程數(shù)扇形統(tǒng)計圖

電動汽車（輛）

里程數(shù)（「米）

（1）這次被抽檢的電動汽車共有幾輛？補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（2）求這次被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù).

（3）估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少km?

21.2023年杭州亞運(yùn)會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某商店以每件35元的價格購進(jìn)

某款亞運(yùn)會吉祥物，以每件58元的價格出售.經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月

份的銷售量為400件.

（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降

價1元，月銷售量就會增加20件.當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元？

22.如圖，在。48C。中，。為線段的中點(diǎn)，延長30交C。的延長線于點(diǎn)E,連接AE,

BD,ZBDC=90°.

（1）求證：四邊形48DE是矩形；

（2）連接OC,若AB=2,BD=2&，求OC的長.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)丫=區(qū)(%是常數(shù)，且%#0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(a-1,

x

2).

(1)若。=4,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)8(-2,b)也在反比例函數(shù)》的圖象上.

①當(dāng)-2V6W-1,求a的取值范圍；

②若B在第二象限，求證：2b-a>-\.

24.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在邊BC上(不與點(diǎn)B,C重合)，連結(jié)AE.點(diǎn)。關(guān)

于直線AE的對稱點(diǎn)為P,連結(jié)PA,PB,PD,PO交AE于點(diǎn)F,延長PB交AE的延長

線于點(diǎn)H.

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并判斷AP與AB是否相等.

(2)求的度數(shù).

(3)求證：BH+PH=?AH.

參考答案

一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分.）

1.下列環(huán)保標(biāo)志圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.故本選項符合題意；

D.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故本選項不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度

后與原圖重合.

2.下列計算結(jié)果正確的是（）

A.3+2V2=5\/2B./-百=9C.（e）2=2D.V25=±5

【分析】根據(jù)二次根式的加法運(yùn)算對4選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的減法運(yùn)算對8選

項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對C、。選項進(jìn)行判斷.

解：A.3與2證不能合并，所以A選項不符合題意；

B.氏--M=M，所以8選項不符合題意；

C.（&）2=2,所以C選項符合題意；

D.后=5,所以。選項不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)

鍵.

3.技術(shù)員分別從甲、乙兩塊小麥地中隨機(jī)抽取1000株苗，測得苗高的平均數(shù)相同，方差

分別為SJ=12（cm2）,S乙2=。（。層），檢測結(jié)果是乙地小麥比甲地小麥長得整齊，

則。的值可以是（）

A.10B.13C.14D.16

【分析】根據(jù)方差的定義進(jìn)行判斷.

解：???苗高的平均數(shù)相同，乙地小麥比甲地小麥長得整齊，

:.Si|i2>Sz,2,

即a<12,選項A符合題意.

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查了方差的知識，掌握一組數(shù)據(jù)的極差越大，這組數(shù)據(jù)的波動范圍就越

大，這組數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定.反之，越小越穩(wěn)定是關(guān)鍵.

4.把一元二次方程（x-2）（x+3）=1化成一般形式，正確的是（）

A./+x-5=0B.-5x-5=0C./+x-7=0D.x2-5x+6=0

【分析】根據(jù)一元二次方程五+fex+c=0（〃，b,。是常數(shù)且aWO）的一般形式，〃、b、

c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，可得答案.

解：（x-2）（x+3）=1,

/+x-6=1,

F+x-7=0,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式：加+法+c=0（?,b,c是常數(shù)且a70）

特別要注意“W0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn).在一般形式中加叫二

次項，以叫一次項，c是常數(shù)項.其中dh,c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)

項.

5.將拋物線'=向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式

是（）

A.），=-（X-1）2-2B.-（x-1）2+2

C.y=-（x+1）2-2D.y--（x+1）2+2

【分析】易得新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得新拋物線

的解析式.

解：原拋物線的頂點(diǎn)為（0,0）,向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么新拋

物線的頂點(diǎn)為（-1,-2）;

可設(shè)新拋物線的解析式為y=-（X-〃）2+/代入得：y=-（X+1）2-2.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線平移不改變二次項的系數(shù)的值，

解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

6.已知平行四邊形ABC。的對角線AC,8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)。E,

若△AOE的周長為15,則△AC。的周長是（）

A.15B.20C.25D.30

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到AB=C。，AD=BC,OA=OC=^AC,根據(jù)三角形中

位線的判定與性質(zhì)求出OE=[BC=/A。，CO=A8=%E,根據(jù)三角形周長定義求解

即可.

：.AB=CD,AD=BC,OA=OC=—AC,

2

?.?點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，

是△ABC的中位線，C￡）=AB=24E,

：.OE^—BC^—AD,

22

；△AOE的周長=AE+OE+OA=15,

.?.△ACO的周長=CO+AQ+AC=2AE+2OE+2OA=2（AE+OE+OA）=30,

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，熟記平行四邊形的性質(zhì)、

三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

7.若點(diǎn)A（-2,力），B（-1,,以），C（1,"）都在反比例函數(shù)y=-2的圖象上,

則y【，”的大小關(guān)系正確的是()

A.y\<y3<y2B.y3<yi<y\C.y3<y\<yiD.y2<y]<y3

【分析】把點(diǎn)A(-2,y),B(-1,,”)，C(1,”)代入反比例函數(shù)的關(guān)系式求

出V，”，券，比較得出答案.

解：..?點(diǎn)A(-2,%)，B(-1),以),C(l,>3)都在反比例函數(shù)y=一2的圖象上一

x

；.yi=3,竺=6,>3=-6,

'-y3<y\<j2>

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是常用

的方法.

8.如圖，在正方形ABCO中，點(diǎn)E在邊AB上，以DE為邊作矩形OEFG,使尸G經(jīng)過點(diǎn)C,

若AQ=2,則矩形QEFG的面積是()

【分析】連接CE,則△QCE的面積為2,而矩形的面積是△OCE面積的2倍，所以矩

形的面積為4.

解：連接CE,過點(diǎn)C作C4LOE,如圖：

則SAOCE=/X2X2=2,

；?S拉形￡>EFG=2SaocE=2X2=4.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)和矩形的面積，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

9.如圖，矩形A3CO的對角線8。經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反

2

比例函數(shù)y=X~強(qiáng)士L的圖象上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,-3）,則上的值為（）

X

【分析】根據(jù)矩形的對角線將矩形分成面積相等的兩個直角三角形，找到圖中的所有矩

形及相等的三角形，即可推出S四邊形CEO尸=S四邊形"AGO,根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意

義即可求出F+必+1=6,再解出k的值即可.

解：如圖：

;四邊形48CD、HBEO、OECF.GOH）為矩形，

又???8。為四邊形HBEO的對角線，0D為四邊形OGDF的對角線，

SA,BEO=S&BHO,S&OFD=SAOGD,S^CBD=S￡\ADB,

S^CBD-S^BEO-SAOFD=S小DB-S&BHO-SAOGD，

：?S四邊形CEOF—S四邊形WAGO=2X3=6,

/.xy=lc+4k+1=6,

解得，k=l或攵=-5.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)&的兒何意義、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解法，關(guān)

鍵是判斷出S四邊形CEOF=S四邊形/MG。?

10.如圖，在矩形48。中，將△<?￡>￡沿。E折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合，連結(jié)EM并延長EM

分別交8。，A3于點(diǎn)N,F,且BE=BN,若48=6,BC=8,則AF的長是（）

A.5--\/10B.10-25/y3C.4-y/lOD.8-

【分析】由矩形的性質(zhì)得/C=90°,AQ=8C=8,AD//BC,CD=AB^6,貝ijBD=

22=10,

VBCX!D由BE=BN,得NBEN=NBNE,即可證明/QFN=NZWF,則DF

=DN,由折疊得MD=CD=6,ME=CE,NDME=/C=90°,NFED=NCED,而

NFDE=NCED,所以NFED=NFDE,則E尸=OF=￡W,設(shè)ME=CE=m,則BE=BN

=8-,EF=DF=DN=2+m,可求得MF=EF-ME=2,貝I]。尸={}102+]||尸2=

所以A尸=8-2百5,于是得到問題的答案.

解：：四邊形ABCO是矩形，AB=6,8c=8,

，/C=90°,AD=BC=S,AD//BC,CC=A8=6,

=2222

???^DVBC<D=VS+6=1。，

?：BE=BN,

:?NBEN=/BNE,

?:/BEN=/DFN,/BNE=/DNF,

：./DFN=NDNF,

:?DF=DN,

由折疊得A/O=CD=6,ME=CE,ZDME=ZC=90°,ZFED=ZCED9

?:NFDE=NCED,

：.NFED=NFDE,

：?EF=DF=DN,

設(shè)ME=CE=m,則BE=BN=8-m,

：?EF=DF=DN=10-(8-m)=2+〃z,

：?MF=EF-ME=2+m-m=2,

VZDMF=180°-ZDME=90°,

.*.DF=A/HD2+HF2=iy62722=27io，

：.AF=AD-DF=8-27y3，

故選：D.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性

質(zhì)、二次根式的化簡等知識，證明NFEZ）=NF￡>E是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題有6個小題，每小題4分，共24分.）

11.二次根式-四2R-v中字母x的取值范圍是XW2023.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件解答即可.

解：由題意得，

2023-x20,

，xW2023,

故答案為：XW2023.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件.概念：式子八（?！?）叫二次根式.性質(zhì)：

二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

12.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為6.

【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題.

解：???多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，

則內(nèi)角和是720度，

720+180+2=6,

.??這個多邊形的邊數(shù)為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)

鍵.

13.如圖，拋物線+法+c的對稱軸是直線x=-1,與x軸的一個交點(diǎn)為（-5,0）,

拋物線和與x軸的另一個交點(diǎn)為（3,0）.

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可得出結(jié)論.

解：?.?拋物線、=加+法+。的對稱軸是直線x=-1,與X軸的一個交點(diǎn)為(-5,0),

...拋物線和與x軸的另一個交點(diǎn)為(3,0),

故答案為：(3,0).

【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對稱性，關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)

用.

2

14.已知關(guān)于x的一元二次方程2X-x+m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是

-一1.

一8—

【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于〃?的一元一次不

等式，解之即可得出，〃的取值范圍.

解：?.?關(guān)于x的一元二次方程2?-x+m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

△—(-1)2-4X2/n=l-8機(jī)>0,

解得：加〈看.

故答案為：，

O

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時，根的判

別式△>()”是解題的關(guān)鍵.

15.已知點(diǎn)P(?,1-“)在反比例函數(shù)y=-(�)的圖象上，將點(diǎn)P先向右平移9個

X

單位，再向下平移6個單位后得到的點(diǎn)仍在該函數(shù)圖象上，則％的值是一-12.

【分析】根據(jù)平移的特性寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，由點(diǎn)尸、。均在反比例函數(shù)y=K(&WO)的

X

圖象上,即可得出z=2〃=3(H-1),解得即可.

解：???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ml-。)，

.??將點(diǎn)P先向右平移9個單位，再向下平移6個單位得到點(diǎn)為(a+9,1-。-6),即

(。+9,-5-a)

依題意得：k=a(1-。)=(〃+9)(-5-，

解得：a=-3,

：.k=-3(1+3)=-12,

故答案為：-12.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，

解題的關(guān)鍵：由P點(diǎn)坐標(biāo)表示出平移后的點(diǎn)的坐標(biāo).

16.將四塊直角三角形按圖示方式圍成面積為10的口488,其中AAB尸絲△C￡W,其內(nèi)部

四個頂點(diǎn)構(gòu)成正方形EFGH,若/ABF=45°,則CO的長為_百5_.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EF=FG=HG=EH,/AFG=/FEH=NEHG=NFGH

=90",求得NAE￡>=NAFB=NCHO=NAE￡>=90°,得至I」AF=BF,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到4尸=8尸=。"=?！ǎO(shè)EF=FG=HG=EH=x,AF=BF=CH=DH=y,

根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理即可得到結(jié)論.

解：,??四邊形EFGH是正方形，

:.EF=FG=HG=EH,NAFG=NFEH=NEHG=NFGH=90°,

AZAED=ZAFB=ZCHD=ZAED=90Q,

?.*/ABF=45°,

：.AF=BF,

'：△ABgACDH,

:.AF=BF=CH=DH,

設(shè)EF=FG=HG=EH=x,AF=BF=CH=DH=y,

?*.BG=DE=x+yfAE=CG=x-y,

.,.°ABCD=2X-1-X>'2+2X-1(y-x)(y+x)+N=10,

'.ly1—10,

*'?CD=d2y2—V10)

故答案為：Tio.

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共8小題，滿分66分)

17.(1)計算：//瓦xF.

(2)解方程：x2-4%-1=0.

【分析】(1)先將京五化為遙，化為2&，即可求解；

(2)先將方程兩邊同時加上5進(jìn)行配方，再進(jìn)行求解.

解：(1)原式

=氓-2娓

~~娓；

(2)Vx2-4x-1=0,

-4x-1+5=5,

.".x2-4x+4=5,

(x-2)2—5,

.,?x-2=±遙，

；.x=2+遙或x=2-辰.

【點(diǎn)評】本題考查解一元二次方程，二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一

元二次方程的方法和二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則.

18.已知拋物線(aWO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)請寫出自變量x在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而增大.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求出解析式即可；

(2)求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)拋物線性質(zhì)可得答案.

解：(1)把A(1,3)代入得：

3=a+2,

解得a—1,

拋物線的解析式為>=(+2%；

(2),：y=x2+2x=(x+1)2-1,

拋物線y=^+2x的對稱軸為直線x=-l,

Vl>0,

拋物線y=r+”的開口向上，

.?.當(dāng)x2-1時，y隨x的增大而增大.

【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式.

19.已知：如圖，在菱形ABC。中，過頂點(diǎn)。作OEL4B,DFVBC,垂足分別為E,F,

連結(jié)防.

(1)求證：△￡>￡尸為等腰三角形.

(2)若NDEF=66°,求NA的度數(shù).

【分析】(1)利用菱形的性質(zhì)得到AO=C。，/4=/C,進(jìn)而利用AAS證明兩三角形

全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定解答即可；

(2)求出N￡>EF=/￡>FE=66°,由菱形的性質(zhì)可得出答案.

【解答】(1)證明：；四邊形ABCO是菱形，

：.AD=CD,NA=NC,

,：DEA,BA,DFLCB,

:./AED=NCFD=90°,

在和△<?￡>「，

'AD=CD

?<NA=Nc>

ZAED=ZCFD=90"

A/XADE^/XCDF(A4S),

：.DE=DF,

是等腰三角形；

(2)解:?:DE=DF,

：.ZDEF=ZDFE=66°,

:?/BEF=/BFE=96°-66°=24°,

，N8=180°-24°-24°=132°,

???四邊形ABC。是菱形，

J.AD//BC,

：.ZA=180°-N8=48°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

菱形的性質(zhì)以及A4S證明兩三角形全等，此題難度一般.

20.為了了解某種電動汽車的性能，某機(jī)構(gòu)對這種電動汽車進(jìn)行抽檢，獲得如圖中不完整

的統(tǒng)計圖，其中A,B,C,D表示一次充電后行駛的里程數(shù)分別為150奶?，180^,

2]0km,

電動汽車一次充電電動汽車一次充電

行駛里.程數(shù)條形統(tǒng)計圖行駛電程數(shù)扇形統(tǒng)計圖

里程數(shù)（『米）

（1）這次被抽檢的電動汽車共有兒輛？補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（2）求這次被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù).

（3）估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少km?

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形圖可知，將一次充電后行駛的里程數(shù)分為B等級的

有30輛電動汽車，所占的百分比為30%,用30?30%即可求出電動汽車的總量；根據(jù)各

組頻數(shù)之和等于總數(shù)求得A的頻數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計圖；

（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得；

（3）用總里程除以汽車總輛數(shù)，即可解答.

解：（1）這次被抽檢的電動汽車共有：304-30%=100（輛），

A等級電動汽車的輛數(shù)為：100-30-40-20=10（輛），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

電動汽午一次允電

行駛R程數(shù)條形統(tǒng)計圖

里〃?數(shù)（T乂）

（2）一次充電后行駛的里程數(shù)為210千米的電動車最多，有40輛，

二被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的眾數(shù)為210；

???100兩電動車行駛的第50、51個里程數(shù)為210千米、210千米，

...被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的中位數(shù)為純產(chǎn)=210；

（3）這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為：7rLx（10X150+30X180+40X

100

210+20X240）=201（千米）,

...估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為201千米.

【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、眾數(shù)及中位數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是明確

題意，找出所求問題需要的條件.

21.2023年杭州亞運(yùn)會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某商店以每件35元的價格購進(jìn)

某款亞運(yùn)會吉祥物，以每件58元的價格出售.經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月

份的銷售量為400件.

（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降

價1元，月銷售量就會增加20件.當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元？

【分析】（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為X,利用6月份的

銷售量=4月份的銷售量X（1+該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率）2,

可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為（y-35）元，月銷售量為400+20（58

-y）=（1560-20y）件，利用月銷售利潤=每件的銷售利潤X月銷售量，可列出關(guān)于y

的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

解：(1)設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x,

根據(jù)題意得：256(1+x)2=400,

解得：?=0.25=25%,Xi--2.25(不符合題意，舍去).

答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%；

(2)設(shè)該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為(y-35)元，月銷售量為400+20(58

-y)=(1560-20y)件，

根據(jù)題意得：(y-35)(1560-20)，)=8400,

整理得:113>3150=0,

解得：>1=50,”=63(不符合題意,舍去).

答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達(dá)8400元.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

22.如圖，在。ABC。中，O為線段4。的中點(diǎn)，延長8。交的延長線于點(diǎn)E,連接AE,

BD,NBDC=90°.

(1)求證：四邊形ABOE是矩形：

(2)連接OC,若48=2,BD=2&，求OC的長.

【分析】(1)證△AOB絲/XCOE(ASA),得AB=OE,再證四邊形ABQE是平行四邊

形，然后證/BOE=90°,即可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)O作OELDE于點(diǎn)F,由矩形的性質(zhì)得。E=AB=2,OD=OE,再由等腰三

角形的性質(zhì)得="=焉?！?,則。尸為的中位線，得OF[BD=&，然后

由平行四邊形的性質(zhì)得CD=AB=2,進(jìn)而由勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???。為AO的中點(diǎn)，

???AO=。。,

???四邊形A8CD是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.NBAO=NEDO,

又?:/AOB=NDOE,

：./\AOB^/\DOE(ASA),

J.AB—DE,

二四邊形ABDE是平行四邊形，

,:NBDC=90°,

/.ZBDE=90°,

.?.平行四邊形ABOE是矩形；

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作OFLQE于點(diǎn)尸,

；四邊形ABDE是矩形，

：.DE=AB=2,OD=—AD,OB=OE=—BE,AD=BE,

22

：.OD=OE,

'：OF±DE,

：.DF=EF=—DE=\,

2

尸為△BDE的中位線,

???OF]BD=&，

?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

：.CD=AB=2,

：.CF=CD+DF=3,

在RtZkOC/中，由勾股定理得：℃=10三2式尸2=.(&)2+32=VTi，

即0C的長為J石.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=K是常數(shù)，且&六0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(a-1,

x

2).

(1)若a=4,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)8(-2,b)也在反比例函數(shù)》的圖象上.

①當(dāng)-2C6W-1,求a的取值范圍；

②若8在第二象限，求證：2b-a>-\.

【分析】(1)。=4可知點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入解析式即可求出/值，即可得到解析式；

(2)①反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(?-1,2)8(-2,b)也在反比例函數(shù)圖象上，2

(a-1)=_2b,b=l-a,-2<b^-1,即0Wa<l.

@b=]-a,a=]-by8在第二象限，b>0,-1>-1,-a=b-I>-1,2b-a>-

1.

解：(1)若。=4,則A(3,2),

；?A=2X3=6,

...反比例函數(shù)解析式為：y=~；

X

(2)①??,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(a-1,2)B(-2,b)也在反比例函數(shù)圖象上，

.'.2((7-1)--2b,

.*./?=1-a,

V-2<b^-1,即-2<1-W-1,

解得：2W〃<3.

②?：b=1-a,

*.a=1-b

???B在第二象限，b>0,

；?b-1>-1,

/