2023-2024學(xué)年上海市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題

一、填空題

1.函數(shù)/(x)=sim的導(dǎo)數(shù)/'(》)=.

【正確答案】COSX

【分析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】由于/(x)=sinx,

所以/'(x)=cosx.

故COSX

2.已知一個(gè)等比數(shù)列的第5項(xiàng)是4,公比是2,它的第1項(xiàng)是.

【正確答案】J##0.25

4

【分析】設(shè)數(shù)列為{4},首項(xiàng)為《，化簡(jiǎn)知=4即得解.

【詳解】設(shè)數(shù)列為{4},首項(xiàng)為《，則%=4,

所以“Ix2'=4,q=:.

所以第一項(xiàng)是

故：

3.在［6-gj的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)

【正確答案】15

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算可得.

(2、*3.33

【詳解】解：如=Cx(-%')=(—l)<x2,令3_1=0,解得k=2,所以常數(shù)

\/

(1Y2

項(xiàng)為4=C；x2=15

\/

故15.

4.已知48是獨(dú)立事件，尸(⑷=0.3,尸(8)=0.6,則尸(/c8)=.

【正確答案】0.18

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?8是獨(dú)立事件，且尸（⑷=0.3,尸（8）=0.6,

則尸（4c8）=尸（/）P（8）=0.3x0.6=0.18

故答案為:0.18

5.為了解某校高三年級(jí)男生的體重，從該校高三年級(jí)男生中抽取17名，測(cè)得他們的體重?cái)?shù)

據(jù)如下（按從小到大的順序排列,單位：kg）：56、56、57、58、59、59、61、63、64、65、66、68、70

、71、73、74、83.據(jù)此估計(jì)該校高三年級(jí)男生體重的第75百分位數(shù)為.

【正確答案】70

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.

【詳解】17x0.75=12.75,

數(shù)據(jù)從小到大第13個(gè)數(shù)是70,

所以第75百分位數(shù)為70kg

故70

6.電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放5個(gè)不同的廣告，其中3個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)

要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有種.

【正確答案】72

【分析】不相鄰的問題利用插空法求解即可.

【詳解】先將3個(gè)商業(yè)廣告排好，有A；種，

再將2個(gè)公益廣告插入4個(gè)空中，有A；種，

所以不同的播放方式共有A；A：=72種.

故答案為.72

7.若一個(gè)圓錐的母線與底面所成的角為自，體積為64兀，則此圓錐的高為____.

6

【正確答案】4

【分析】設(shè)圓錐的高和底面圓的半徑，利用體積和線面角建立方程求解即可.

【詳解】設(shè)圓錐的高為〃，底面圓的半徑為，?，因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為二JT，體積

r=y/ih

為64兀，所以"1,,解得〃=4.

64K

1—3itr'h=

故4

8.已知(l-2x)"關(guān)于x的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的系數(shù)之和為

【正確答案】1

【分析】試題分析：因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以〃=3,

因此展開式的系數(shù)之和為(1-2)6=1.

二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)

9.某醫(yī)院對(duì)某學(xué)校高三年級(jí)的600名學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，采用男女分層抽樣法抽取一

個(gè)容量為50的樣本，已知男生比女生少抽了10人，則該年級(jí)的女生人數(shù)是.

【正確答案】360

【分析】先求分層抽樣比例，然后設(shè)元，根據(jù)題意列方程求解.

【詳解】抽取比例為焉=4，

設(shè)該年級(jí)的女生人數(shù)是x，則男生人數(shù)為600-x,

因?yàn)槟猩扰俪榱?0人，

所以,X=T(600-X)+10,

解得x—3601

故360.

10.某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，其中4名男生和2名女生參加農(nóng)場(chǎng)體驗(yàn)活動(dòng)，體驗(yàn)

活動(dòng)結(jié)束后，農(nóng)場(chǎng)主與6名同學(xué)站成一排合影留念，則2名女生相鄰且農(nóng)場(chǎng)主站在中間的概

率等于(用數(shù)字作答).

【正確答案】自4

【分析】根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計(jì)算“農(nóng)場(chǎng)主與6名同學(xué)站成一排，，和“2名女生相鄰且農(nóng)場(chǎng)

主站在中間”的站法數(shù)目，再由古典概型公式計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意，農(nóng)場(chǎng)主與6名同學(xué)站成一排，有A；=5040種不同的站法,

2名女生相鄰且農(nóng)場(chǎng)主站在中間可分三步完成:

第一步：相鄰女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4種；

第二步：相鄰女生排在一起有A；種；

第三步：4名男生排在剩下的位置有A：種.

因此2名女生相鄰且農(nóng)場(chǎng)主站在中間共有4A；A：=192種站法，

則2名女生相鄰且農(nóng)場(chǎng)主站在中間的概率尸19=2丹=24，

5040105

故￡?.

105

11.已知P為橢圓]+[=1上的一點(diǎn)，若分別是圓(x+3)2+/=3和(X-3)2+/=I上

2516

的點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最大值為.

【正確答案】11+萬(wàn)##百+11

【分析】設(shè)圓(x+3)2+/=2和圓(X-3)2+/=I的圓心分別為48,則根據(jù)橢圓的性質(zhì)可

知IP/+P8為定值，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知|PM|+|PN|的最大值為P/+P8

與兩圓半徑的和可得答案.

【詳解】由題設(shè)圓(x+3>+y2=3和圓(x-3)2+/=1的圓心分別為4,8,

半徑分別為1向4=1，則橢圓(+5=1的焦點(diǎn)為/(-3,0),8(3,0),

|Py4|+|P5|=2x5=10,

XlP^I+r,>\PM\,\PB\+r2>|PAT|,故便M|+|PN|?|PH|+|PB|+4+,

當(dāng)且僅當(dāng)分別在P4P8的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)最大值為陷|+|「用+0+々=11+6.

故答案為.11+0

12.如圖，畫一個(gè)正三角形，不畫第三邊：接著畫正方形，對(duì)這個(gè)正方形，不畫第四邊：接

著畫正五邊形，對(duì)這個(gè)正五邊形不畫第五邊：接著畫正六邊形，…，這樣無(wú)限畫下去，形成

一條無(wú)窮伸展的等邊折線，稱為比爾折線.設(shè)第〃條線段與第”+1條線段所夾的角為

9”(?€e(0,7t),則2O2O=.

【正確答案】174.46。

【分析】根據(jù)正三角形、正方形、正五邊形的角的度數(shù)規(guī)律，類比出"多邊形n-1個(gè)角的度

數(shù)表達(dá)式，再計(jì)算出2022條線段所在的正多邊形的邊數(shù)，進(jìn)一步求出夾角.

【詳解】第一條線段與第二條線段所夾的角4=60',由此類推，%=90：4=90。，

4=108",4=108",4=108°，2=120",4=120',4=120”，6?(,=120°,……

觀察規(guī)律，三角形會(huì)有1個(gè)相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內(nèi)角的度數(shù)，

正方形有2個(gè)900，正五邊形有3個(gè)108°,正六邊形有4個(gè)120。，……

〃多邊形有〃-2個(gè)18°(”2),

n

又觀察圖形得：正三角形畫2條線段，正方形畫2條線段，正五邊形畫3條線段，正六邊形

畫4條線段，……，正〃邊形畫"-2條線段；

二畫到正"多邊形時(shí)，畫線段的條數(shù)為機(jī)=2+2+3+4+…-2)=2J(7),

當(dāng)〃=65時(shí)，/n=2017：當(dāng)〃=66時(shí)，機(jī)=2081,

...第2022條線段應(yīng)在正65邊形中，.?.名期*:63M74.46

65

故答案為.174.46°

二、單選題

13.若C；=C；,貝ljx=()

A.2B.5C.2或5D.7

【正確答案】C

【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)C：=C：f,可知x=2或x=5.

故選：C

14.4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安

排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.36B.64C.72D.81

【正確答案】A

【分析】通過排列組合，先分組，再分配即可.

C；C；C；=6

【詳解】名同學(xué)分成三組:

41,1,2A；"

三組去三個(gè)不同的小區(qū)：A；=6

所以全部的種類數(shù)：6x6=36；

故選：A.

15.已知某射擊愛好者打靶成績(jī)（單位：環(huán)）的莖葉圖如圖所示，其中整數(shù)部分為“莖”，小

數(shù)部分為“葉”，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為（精確到0.01）（）

579

61277

725

A.0.35B.0.59C.0.40D.0.63

【正確答案】B

【分析】根據(jù)莖葉圖求平均值3再由標(biāo)準(zhǔn)差與均值的關(guān)系求s

5.7+5.9+6.1+6.2+6.7+6.7+7.2+7.5

【詳解】由莖葉圖可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為'==6.5,

8

則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為

](-0.8)2+(-0.6f+"4j+卜03；+0.2?+0.2?+0.7714?

S~\820

因?yàn)樨?竺=0.6,所以?很接近0.6,且小于0.6,故只有B選項(xiàng)滿足,

202020

故選：B

16.已知直線/：工+棄=1與圓x2+y2=100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則滿

ab

足4456+5川引蜀的/有（）

A.40條B.46條C.52條D.54條

【正確答案】A

【分析】通過分析得出圓f+V=100上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，由直線為截距式，先排除掉關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線（不含x=0）,

關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線（不含y=0),再結(jié)合4J5a2+5/)2>|al\變形為j1[2-，加，

利用幾何意義得到原點(diǎn)到直線/：￡+?=1的距離小于等于4君，

ab

利用垂徑定理，弦長(zhǎng)越小，原點(diǎn)到直線的距離越大，故先求解最小弦長(zhǎng)，進(jìn)而求出原點(diǎn)到此

類直線的距離，與4石比較后發(fā)現(xiàn)不合要求，進(jìn)而繼續(xù)求解第二小弦長(zhǎng)，第三小弦長(zhǎng)，求出

原點(diǎn)到每類直線的距離，與4右比較得到結(jié)論，利用組合知識(shí)求出答案.

【詳解】圓f+f=ioo上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為

（6,±8）,（-6,±8）,（8,±6）,（-8,±6）,（±10,0）,（0,±10）,

如圖所示，

由題意可知：直線的橫、縱截距都不為0,即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn),

所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線不合題意，有6條，舍去，

關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線（不含x=0）不合題意，有4條，舍去，

關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線（不含，=0）不合題意，有4條，舍去

其中4,5a?+5%2.叫變形為<4^5,

yja2+b2

幾何意義為原點(diǎn)到直線/：-+^=1的距離小于等于475，

ab

這12個(gè)點(diǎn)所連的直線中，除去以上不合要求的直線外，根據(jù)弦長(zhǎng)從小到大分為類,

以下為具體情況：①J(8一可2+(6-8)2=2五,弦長(zhǎng)為2&的直線有4條，

此時(shí)原點(diǎn)到此類直線的距離為標(biāo)彳可=76>4際，不合要求，舍去

②^(O-6)2+(lO-8)2=2M,弦長(zhǎng)為2J證的直線有8條，

此時(shí)原點(diǎn)到此直線的距離為歷了=3/10>4/5,不合要求，舍去

③J(O-8/+(lO-6)2=4有，弦長(zhǎng)為4遙的直線有8條，

此時(shí)原點(diǎn)到此直線的距離為J102T2有J=4卡,滿足要去，

④其他情況弦長(zhǎng)均大于4后，故均滿足要求，

由組合知識(shí)可知：滿足要求的直線條數(shù)為：Cf2-6-4-4-4-8=40

故選：A

對(duì)于比較復(fù)雜一些的排列組合知識(shí)，直接求解比較困難的時(shí)候，可以先求解出總的個(gè)數(shù)，再

減去不合要求的個(gè)數(shù)，得到答案.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=；l-4x+2.

⑴求函數(shù)/(x)在x=3處的切線方程；

(2)求函數(shù)〃x)在［0,3］上的最大值與最小值.

【正確答案】(l?=5x-16

(2)最大值為2,最小值為

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可：

(2)求導(dǎo)分析函數(shù)在xe［0,3］的單調(diào)性與極值再求最值即可

【詳解】(1)因?yàn)椤╔)=$3_4X+2,所以/'(x)=W-4.則所求切線的斜率為

,r(3)=32-4=5,且/(3)=9-12+2=-1,

故所求切線方程為V-(-l)=5(x-3),即尸5x-16；

(2)因?yàn)?(X)=$3-4X+2,X€[0,3],所以八X)=X2-4=0.

令/'(X)=X2_4=0,得X=2(x=-2舍去)，

當(dāng)xe[0,2],f'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe[2,3],Z(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

Q1n

所以/(X)的極小值為/(2)=|-8+2=-y.X/(0)=2,/(3)=-1,

所以/(x)的最大值為2,最小值為

18.如圖，在四棱錐P-Z8CZ)中，尸4，平面力8CD,正方形/8CD的邊長(zhǎng)為2,4=3,設(shè)

E為側(cè)棱PC的中點(diǎn).

(1)求正四棱錐E-ABCD的體積產(chǎn)；

(2)求直線BE與平面PCD所成角e的大小.

【正確答案】(1)2

力.127221

(2)arcsin-----

221

【分析】(1)根據(jù)錐體體積公式求得正四棱錐E-/8co的體積九

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線8E與平面PCD所成角。的大小.

【詳解】(1)設(shè)ZCn8O=O,則。是NC,8。的中點(diǎn)，

]3

連接?！?由于E是PC的中點(diǎn)，所以0E//P4,0E=-PA=-,

22

由于尸Z1平面/8C。，所以O(shè)EL平面Z8CD,

i3

所以產(chǎn)=§x(2x2)x]=2.

(2)依題意可知/反/。,口兩兩相互垂直，

以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

8(2,0,0)/(0,0,3),C(2,2,0)E(1,|)。0,2,0),

麻=(一1,用,皮=(2,0,0),而=圾2,-3),

設(shè)平面PCD的法向量為】=(x,y,z),

[n-DC=2x=0-/、

則一,故可設(shè)〃=0,3,2),

[n-PD=2y-3z=0

設(shè)直線BE與平面PCD所成角為0,

19.某中學(xué)為了解高中一年級(jí)學(xué)生對(duì)《生涯規(guī)劃》讀本學(xué)習(xí)情況，在該年級(jí)600名學(xué)生中隨

機(jī)抽取了40名學(xué)生作為樣本，對(duì)他們一周內(nèi)對(duì)《生涯規(guī)劃》讀本學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)

計(jì)，這些時(shí)間全部介于10至60(單位:分鐘)之間.現(xiàn)將數(shù)據(jù)分組，并制成如圖所示的頻率分

布直方圖.為了研究的方便，該年級(jí)規(guī)定，若一周學(xué)習(xí)《生涯規(guī)劃》讀本時(shí)間多于50分鐘的

學(xué)生稱為“精生涯生”，若一周學(xué)習(xí)《生涯規(guī)劃》讀本時(shí)間小于20分鐘的學(xué)生稱為“泛生涯生”.

(1)求圖中。的值；

(2)用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該年級(jí)“精生涯生”和“泛生涯生”的數(shù)量各為多少人？

(3)從樣本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任選2名學(xué)生，求這兩名學(xué)生一周內(nèi)對(duì)《生涯規(guī)劃》

讀本學(xué)習(xí)時(shí)間的差不超過10分鐘的概率.

【正確答案】⑴0.020

(2)60人；30人

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和為1求解即可：

(2)先求解“精生涯生”和“泛生涯生”的頻率，在通過總數(shù)*頻率=頻數(shù)進(jìn)行計(jì)算；

(3)根據(jù)古典概型和組合知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】(1)由題意，得(0.005+0.035+0.030+a+0.010)xl0=1,解得a=0.020.

(2)“精生涯生”的頻率是10x0.010=0.1,“泛生涯生”的頻率是10x0.005=0.05,

故該年級(jí)600名學(xué)生中“精生涯生”約有600x0.1=60人，

“泛生涯生”約有600x0.05=30人.

(3)樣本中“精生涯生”有40x0.1=4人，“泛生涯生”有40x0.05=2人，

從6人中選2人時(shí)間的差不超過10分鐘，即2人同在一個(gè)時(shí)間組內(nèi)，

則時(shí)間的差不超過10分鐘的概率尸

就C：15

20.已知等差數(shù)列｛叫和正項(xiàng)等比數(shù)列也｝,%=仄=1,%=々=4.

⑴求與，a；

⑵設(shè)q,=log也+對(duì)-5,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，求S?的最小值：

(3)設(shè)也｝的前"項(xiàng)和為7；,是否存在常數(shù)P、%使為=。+1。82(北+。)恒成立？若存在，求

出P、c的值；若不存在，說(shuō)明理由.

［正確答案］(1)?！?a”+5；t>“=；

(2)-10；

(3)存在，其中p=log?(2-C=72+1.

【分析】（1）由題干條件可求出等差數(shù)列公差與等比數(shù)列公比，后可得通項(xiàng)公式：

（2）由（1）可得g=〃-5,后由數(shù)列單調(diào)性結(jié)合項(xiàng)的正負(fù)性可得S“的最小值；

（3）可求得T“=（亞）（亞+1）-（亞'+1），后由=P+bg2（Z,+。）可得

四?興=（M（^2+1）-（72+1）+c,后比較相關(guān)系數(shù)可得答案.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d,等比數(shù)列公比為式夕>0）.

則由題有：d=—...—=—,4=bq，=4=>[=拒.

7-1251

故?！?%+（"T）,=；〃+g；b?=M"'=a）;

（2）由⑴nJWcn=log2/>?+a?-5=^M-i+^n+i-5=H-5,

則｛%｝是以-4為首項(xiàng)，公差為1的遞增等差數(shù)列，注意到o4=-1，=°，。6=1，

則S.2S4=Ss=-4-3-2-1=-10,即求，的最小值為-10；

.碩亞+1卜（應(yīng)+1卜

因/=；(〃+1),則若aa=p+log2(7；+c),可得

(〃+1)=P

2

；(〃+1)-P

；("+1)-P

則（可?q=網(wǎng)（亞+1）-（亞+1）+c恒成立，從而可得

2-8np=log（2-72）；

與=6+\=2〃2

-（Vi+l）+c=0=c=4+l.

則存在常數(shù)P=log?Q-亞），c=M+l，使=P+bg2（1+c）恒成立.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及求數(shù)列通項(xiàng)，前〃項(xiàng)和，及數(shù)列中的恒成立問題.

本題難點(diǎn)在于第三問，關(guān)鍵需整理出關(guān)于。，c,的等式，后通過比較系數(shù)可得關(guān)于P,c的

方程.

21.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知橢圓過右焦點(diǎn)尸作兩條互相垂直的弦

（1）寫出橢圓右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；

（2）證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若弦CD的斜率均存在，求用"N面積的最大值.

【正確答案】（1）答案見解析.

⑵加.

【分析】（1）由題意的方程可得的值，進(jìn)而求出c的值，求出右焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)及該橢圓

的離心率；（2）分直線48,8的斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)月8直線的方程，與橢圓

的方程聯(lián)立，求出兩根之和，可得的中點(diǎn)由題意可得N的坐標(biāo)，分加，N的橫

坐標(biāo)相等和不相等兩種情況，分別求出直線的方程，進(jìn)而可得直線WN必過的定點(diǎn)的坐

標(biāo).（3）由（2）可得直線必過的定點(diǎn)的坐標(biāo)及M,N的縱坐標(biāo)，代入三角形的面積公

式，換元，由函數(shù)的單調(diào)性，求出三角形面積的最大值.

2，

【詳解】(1)由橢圓的方程「:工+匕=1，可得"=3,〃=2,可得a1—b2=3—2=1，

32

所以c=l,即右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(LO),離心率6=?=專=夸

，所以橢圓右焦點(diǎn)下的坐標(biāo)為

(1,0),離心率坐

(2)證明：當(dāng)直線43,8的斜率存在且不為0時(shí),

設(shè)直線的方程為工=〃沙+1,

x=my+l

設(shè)A(xt,yt),B(X2,y2)聯(lián)立-

-----1------=1

32

整理可得：函+3獷+㈣—4=0,

—rm，、c6

可得%+%=一而育/+X2=M(?+乃)+2=彳行

32m

所以48的中點(diǎn)M(

2/+3'2加？+3

32m

同理可得N的坐標(biāo)(?