新疆烏魯木齊市第四十中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題

烏魯木齊市第四十中學(xué)2023-2024學(xué)年

高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

總分150分考試時(shí)間120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題（8小題每題5分共60分）

.n7rn7r

1.集合M=xx=sin——,nGZ>,N=.vx=cos——?jiǎng)t"CN=

32

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.0D.{0}

已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=黑，則z-2$=（

2.)

2-1

A."039.3.D.」+2i

B.-----1—i

5555-1555

3.如圖，在5x5的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量。也c滿足a=H?+yc,則

x+尸()

A.0B.1C.5A/5D.7

4.函數(shù)〃6=/_（6+1卜+病在（3,+＜動(dòng)單調(diào)遞增，則，"的取值范圍是

A.(-oo,5)B.(f5]C.[5,+oo)D.(5,-KO)

尤2y214

5.已知雙曲線C與橢圓E：土+匕=1有共同的焦點(diǎn)，它們的離心率之和為三，則雙

9255

曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

B//■DV丁-1

Ac

-1-4412412124

2ccq50。

6.已知sin150-3]--/=——--tanlO0,則sin（60。+a）的值為（）

I2J百sin8(T

￡22

A.B._1C.D.

3333

7.已知.ABC中，點(diǎn)。為邊AC中點(diǎn)，點(diǎn)G為.所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則

I?

“AG=§A8+§AO”為"點(diǎn)G為：4?。重心”（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不

必要

8.計(jì)算下列幾個(gè)式子，①tan25°+tan35°+百tan25°tan35°,

兀

1tis。tan—

(2)2(sin350cos25°+sin550cos65°),(3)，④——結(jié)果為g的是

1—tan"—

6

A.①②B.①③C.①②③D.①@③④

二、多選題（共4小題每題五分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）

9.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：

甲78795491074

乙9578768677

下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲、乙成績(jī)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)均相同

B.甲成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為4,乙成績(jī)的極差為4

C.甲成績(jī)的下四分位數(shù)為5,乙成績(jī)的第70百分位數(shù)為7.5

D.若從甲、乙中選擇一名參加比賽，應(yīng)該選擇乙

10.已知x>0,y>0,且x+2y=個(gè).則下列選項(xiàng)正確的是（）

41

A.x+y的最小值為3+20B.藍(lán)+了的最小值為1

8

v

C.log2x+log2（2>'）>5D.e-->e-l

11.若函數(shù)y=/（x）同時(shí)滿足：（i）對(duì)于定義域內(nèi)的任意人，恒有〃x）+〃r）=。；

（ii）對(duì)于定義域內(nèi)的任意為，々，當(dāng)口力々時(shí)，恒有/（；）[；°°，則稱函數(shù)f（x）

為“二維函數(shù)”.現(xiàn)給出下列四個(gè)函數(shù):①〃x）=L②/（%）=";③f（x）=log』x；

X2

④=是"二維函數(shù)”的有（）

[d,x<0.

A.①B.②C.③D.@

12.在圓錐5。中，C是母線SA上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)，SA=l,底面圓的半徑為r,

圓錐SO的側(cè)面積為3萬(wàn)，則（）

A.當(dāng)r=l時(shí)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞圓錐側(cè)面一周的最小長(zhǎng)度為后

B.當(dāng)r時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為逆

24

QI

C.當(dāng)/=3時(shí)，圓錐SO的外接球表面積為個(gè)7r

O

D.當(dāng)/=3時(shí)，棱長(zhǎng)為名叵的正四面體在圓錐S。內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)

3

三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）

13.從5臺(tái)甲型和4臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各

1臺(tái)，則不同的取法共有種（用數(shù)字作答）.

14.如圖，在正三棱臺(tái)/中，上底面43c是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，下底面DEF

是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，側(cè)面是高為3的等腰梯形，則該三棱臺(tái)的體積為.

/、a-x-2x,x<0

15.已知〃x)=Ml,且函數(shù)y=/(x)-l恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

e1',A:>0

取值范圍是.

16.已知雙曲線J-/=l(〃>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,點(diǎn)A是雙曲線左

支上的一點(diǎn)，若直線A6與直線y=平行且以4片鳥(niǎo)的周長(zhǎng)為9”，則雙曲線的離心率

為.

四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

請(qǐng)根據(jù)答題卡題號(hào)及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無(wú)效。)

41

17.已知在A8C中，cosC=-,sin(A-B)=-.

(1)求證：tanA=2tan3

(2)設(shè)48=3,求AB邊上的高.

18.在如圖所示的幾何體中，E4_L平面ABC,平面ABC,ACIBC,

AC=BC=BD=2AE,M是AB的中點(diǎn).

(1)求證：CMYEM；

(2)求CM與平面CAE所成角的大?。?/p>

(3)求平面ABC與平面CDE所成銳二面角的余弦值.

19.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=x--

（1）若直線了=履+1與〃x）=lnx的圖象相切，求實(shí)數(shù)”的值；

（2）已知不等式2/（x）〈依（力對(duì)任意的xw（l,+?）恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

20.已知等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為5“，/=6,$=20.

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

n

（II）求數(shù)列《■—》的前項(xiàng)和Tn.

21.隨著甜品的不斷創(chuàng)新，現(xiàn)在的甜品無(wú)論是造型還是口感都十分誘人，有顏值、有口

味、有趣味的產(chǎn)品更容易得到甜品愛(ài)好者的喜歡，創(chuàng)新已經(jīng)成為烘焙作品的衡量標(biāo)準(zhǔn).

某“網(wǎng)紅”甜品店生產(chǎn)有幾種甜品，由于口味獨(dú)特，受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，好多外地的

游客專門(mén)到該甜品店來(lái)品嘗“打卡”，已知該甜品店同一種甜品售價(jià)相同，該店為了了解

每個(gè)種類的甜品銷售情況，專門(mén)收集了該店這個(gè)月里五種“網(wǎng)紅甜品”的銷售情況，統(tǒng)計(jì)

后得如下表格：

甜品種類A甜品3甜品。甜品。甜品E甜品

銷售總額（萬(wàn)元）105202012

銷售額（千份）521058

利潤(rùn)率0.40.20.150.250.2

（利潤(rùn)率是指：一份甜品的銷售價(jià)格減去成本得到的利潤(rùn)與該甜品的銷售價(jià)格的比值.）

（1）從該甜品店本月賣(mài)出的甜品中隨機(jī)選一份，求這份甜品的利潤(rùn)率高于0.2的概率；

（2）從該甜品店的五種“網(wǎng)紅甜品”中隨機(jī)選取2種不同的甜品，求這兩種甜品的單價(jià)

相同的概率；

（3）假設(shè)每類甜品利潤(rùn)率不變，銷售一份A甜品獲利巧元,銷售一份B甜品獲利巧元，…,

銷售一份E甜品獲利念元，依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨機(jī)銷售一份甜品獲利的期望為E(x),

設(shè)1=3+￡+；+自+々,試判斷E(x)與戛的大小.

22.已知函數(shù)f(x)="2+|3x-3-Inx|.

(1)求函I數(shù)g(H=3x—3—Inx的最小值；

(2)當(dāng)xe(0,|)時(shí)，記函數(shù)/(x)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度為匕，所有單調(diào)遞減區(qū)

間的長(zhǎng)度為右，證明：右.(注：區(qū)間長(zhǎng)度指該區(qū)間在x軸上所占位置的長(zhǎng)度，與

區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān).)

數(shù)學(xué)月考答案解析

1.D

【分析】分別解出M與N,求出兩集合的交集即可.

【詳解】VM={x|x=sin—,7?eZ}={,0,—},

322

njc

A^={x|x=cos—,/?GN}={-1,0,1},

???MnN={0},

故選O.

2.D

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,再由復(fù)數(shù)線性運(yùn)算及共匏復(fù)數(shù)即可求.

(l+i)(2+i)1+3i19i

【詳解】Z=(2-i)(2i)=^-—H-----

+55,

故選：D

3.D

【分析】建立坐標(biāo)系，可得a也c的坐標(biāo)，再由。=功+”建立方程求解即可.

【詳解】解：將向量/瓦。放入如圖所示的坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

則a=(l,3),0=(l,T),c=(-2,4),

a=功+yc,

/.(l,3)=x(l,-l)+y(-2,4),

\=x-2yx=5

即解得

3=-x+4y)二2

:.x+y=l..

故選：D.

4.B

【詳解】函數(shù)/(X)=X2-(〃7+1)X+〃P為開(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為/呼.

?.?函數(shù)/(力=』一(加+1卜+蘇在(3,物)單調(diào)遞增，

.-.—<3,解得m45.

2

???實(shí)數(shù)加的取值范圍是選B.

5.C

【分析】由橢圓方程求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進(jìn)一步求出雙曲線

的離心率，從而得到雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長(zhǎng)得答案.

>>,>

【詳解】由橢圓工+上=1,得/=25,6=9,

925

22

則C?=a-b=16,

???雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為4(0,T),瑪(0,4),

4144

??.橢圓的離心率為二，則雙曲線的離心率為《-《=2?

4

設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為機(jī)，則一=2,得機(jī)=2,

則虛半軸長(zhǎng)〃=“2—22=26）

???雙曲線的方程是f-二=1.

412

故選C.

6.A

【分析】觀察角的關(guān)系，sin80。用誘導(dǎo)公式化為coslO。，50°=60°-10°,展開(kāi)后化簡(jiǎn)可得

sinfl5°-y\用誘導(dǎo)公式/（60。+。）=8S（30。-0,然后用余弦的二倍角公式可得.

2cos50°

【詳解】由si中5。4廣引-tanlO°

2cos（600-10°）_tani（）o

&OS10。

cosl0°+>/3sinl0o

-tan10°

A/3COS10°

1

F

j3Jrycos（300-a）=l-2sin2H5°--|

2

=I-2XB）

1

=§,

所以sin（600+a）=cos（30°-a）=；.

故選：A.

7.C

17

【分析】AG=-AB+-AD等價(jià)于BG=2GO等價(jià)于點(diǎn)G為二45c重心.

1?

【詳解】充分性：AG=-AB^jAD

等價(jià)于：3AG=AB+2AD

等價(jià)于：AG-AB=2AD-2AG

等價(jià)于：BG=2GD

所以G為的靠近O的三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)G為一"C重心；

1?

必要性：若點(diǎn)G為45c重心，由重心性質(zhì)知BG=2GO，故AG=§A8+§A。

故選：C

8.C

【分析】分別求出①②③④式的值，即可判斷.

tan25tan3

【詳解】Stan60°=tan(25°+35°)=^^=；貝“

''1-tan25°tan35°

tan250+tan35°=G(1-tan25°tan35°),

所以tan25°+tan35°+Gtan25°tan35°=6.則①正確;

2(sin35°cos25°+sin55°cos65°)-2sin600=2xy-,則②正確;

智黑.(45。+方)"6。。=向則③正確;

71八兀

tan12tan

6J6=gtan]=，，則④不正確.

12212

1-tan-冗-1-tan--兀

66

故選：C.

9.ACD

【分析】分別根據(jù)極差，中位數(shù)，平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，以及百分位數(shù)的計(jì)算方法，逐

項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】甲成績(jī)按從小到大排列：4,4,5,1,7,7,8,9,9,10,可知甲成績(jī)的中位數(shù)

4+4+5+7+7+7+8+9+9+10

為7.眾數(shù)為7.平均數(shù)為=7,標(biāo)準(zhǔn)差為

10

2x(-3)*2als2?+3。=4=2,因?yàn)?0x25%=2.5,所以甲成績(jī)的下四分位數(shù)

10

為第三個(gè)數(shù)5；

乙成績(jī)按從小到大排列：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,可知乙成績(jī)數(shù)的中位數(shù)為7,眾

數(shù)為7,平均數(shù)為5+6+6+7+7+7+7+8H+86+y9=7,極差為9一5=4,由10x70%=7,故乙成績(jī)

的第70百分位數(shù)是從小到大排列后的第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)，計(jì)算得7.5；乙得標(biāo)準(zhǔn)差為

](2)一+(1)2*2+,02方=q

vio一,

故由上計(jì)算可得AC正確，甲成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為2,所以B錯(cuò)誤，甲的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙的標(biāo)準(zhǔn)差,

故乙成績(jī)更穩(wěn)定，所以D對(duì).

故選：ACD.

10.AD

【分析】利用基本不等式以及導(dǎo)數(shù)證明不等式，對(duì)下列各項(xiàng)逐一判斷，即可得到本題答案.

【詳解】因?yàn)閤>0,y>。，S.x+2y=xy,所以2+'=l.

xy

選項(xiàng)A：x+y=(x+y)—+—|=3+—+—>3+2>/2,當(dāng)且僅當(dāng)為=*,即x=2+&，

y)xyxy

y=V5+l時(shí)取等號(hào)，故A正確；

(21Y

一+一

選項(xiàng)B：由：+-1Tz2工-工=-,當(dāng)且僅當(dāng)x=4,y=2時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；

x2y222

\/

選項(xiàng)C：因?yàn)閤>0,y>(),且x+2y=孫，所以孫=x+2y，得孫28,當(dāng)且僅當(dāng)

X=4,y=2時(shí)取等號(hào)，所以log2X+log2(2y)=log2(孫)+1之4,故c錯(cuò)誤；

218484

選項(xiàng)D：因?yàn)橐?—=1,所以一二4一一,所以e'--=e'+4,

xyxyxy

4

令g(y)=e"+——4,y>l,

4

則g'(y)=e>'-F,易知g'(y)在(1,討)上單調(diào)遞增，

y

因?yàn)間'⑴=e-4<0,=3-￡>0,所以存在使得g(%)=e"-2=O,

所以當(dāng)y?l,%)時(shí),g'(y)<0,g(y)單調(diào)遞減,

444

當(dāng)ye(%,+co)時(shí)，g'(y)>0,g(y)單調(diào)遞增，所以g(y)1nll,=g(%)=e"+:-4=7+；-4,

%%%

44(5AX4

令3)=7+74,則”(加一亍一十。，

所以/?(x)在［1,r|上單調(diào)遞減，所以'，525，即

故D正確.

故選：AD

11.BD

【分析】滿足(i)函數(shù)為奇函數(shù)，滿足(ii)函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，逐個(gè)判斷函數(shù)是否

滿足條件，即可得出結(jié)論.

【詳解】函數(shù)y=/(x)同時(shí)滿足：(i)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,

恒有〃X)+f(T)=O,則有X)為奇函數(shù),

(ii)對(duì)于定義域內(nèi)的任意巧，々，當(dāng)x尸當(dāng)時(shí)，

恒有以止以至1<0,則/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

所以“二維函數(shù)''是/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的奇函數(shù).

①在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，F(xiàn)(X)不是“二維函數(shù)”;

②/(X)=-/，f(-x)=-(-x)3=/=-f(x),/(X)是奇函數(shù),

且/(X)在定義域(-8,+8)單調(diào)遞減，/(X)是“二維函數(shù)”;

③f(X)=10gjX定義域?yàn)?0,+⑹，/a)不是奇函數(shù),

不是“二維函數(shù)”;

工工臺(tái)-申3=

/(■?)是奇函數(shù)，又X€(O,+8)J(X)=-X2單調(diào)遞減，

xe(-oo,0),/(x)=x2單調(diào)遞減，且/(x)在x=0是連續(xù)的，

所以f(x)在(-8,+e)上單調(diào)遞減，/(X)是“二維函數(shù)”.

故選：BD.

12.ACD

【分析】求出圓錐母線/與底面圓半徑/?的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖判斷A；求出圓錐軸

截面頂角的大小，計(jì)算判斷B；求出圓錐外接球半徑判斷C；求出圓錐內(nèi)切球半徑，棱長(zhǎng)為

正的正四面體外接球半徑判斷D作答.

3

【詳解】依題意，b=3,

對(duì)于A,當(dāng)/*=1時(shí)，/=3,CS=\,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖，

S'-------C-----------------

側(cè)面展開(kāi)圖扇形弧長(zhǎng)即為圓錐的底面圓周長(zhǎng)2萬(wàn)，則NASC=q27r,在ASC中，由余弦定理

得：

AC2=AS2+CS2-2AS-CScosZASC=13,即AC=而，A正確;

3o2j_o2—

對(duì)于B,當(dāng)，?==時(shí)，有/=2,令圓錐SO的軸截面等腰三角形頂角為0,COS0=/'7<0,

22x2x2

。為鈍角，令P,Q是圓錐SO的底面圓周上任意的不同兩點(diǎn)，則0</尸5。40,

則有PSQ的面積J/sinNPS2?gx22=2,當(dāng)且僅當(dāng)NPSQ=90時(shí)取“="，B不正確；

對(duì)于C,當(dāng)/=3時(shí)，r=l,圓錐SO的外接球球心在直線S。上，圓錐的底面圓是球的截面

小圓，而圓錐的高SO=J/2一，=2叵,

設(shè)外接球半徑為凡則有(/?-SO)2+，=/??,即(R_20)2+1=K,解得R=%&,其表面

8

積為4乃/?2=三，c正確;

8

對(duì)于D,棱長(zhǎng)為氈的正四面體BDMN可以補(bǔ)形成正方體G8HQ-A/研戶，如圖,

3

則正方體棱長(zhǎng)半，其外接球即正四面體8DMN的外接球直徑為正，球半徑

當(dāng)/=3時(shí)，r=l,圓錐S。的內(nèi)切球球心在線段SO上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球得大圓，是

圓錐軸截面等腰三角形內(nèi)切圓，

設(shè)其半徑為4,由三角形面積得：g43+3+2)=gx2x2應(yīng)，解得/=立，/?,=/;,

因此，半徑為變的球在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，

2

而棱長(zhǎng)為型的正四面體的外接球的半徑為亞x底=立，

3342

故棱長(zhǎng)為馬叵的正四面體在半徑為變的球內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng),

32

所以當(dāng)/=3時(shí)，棱長(zhǎng)為2叵的正四面體在圓錐S。內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，D正確.

3

故選：ACD

13.70

【分析】根據(jù)題意，分為兩類：(1)甲型1臺(tái)，乙型2臺(tái)；(2)甲型2臺(tái)，乙型1臺(tái)，結(jié)合

組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，從5臺(tái)甲型和4臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型

電視機(jī)各1臺(tái)，可分為兩類：

(1)甲型1臺(tái)，乙型2臺(tái)，有C；C：=30種；

(2)甲型2臺(tái)，乙型1臺(tái)，有C；C：=40種，

由分類計(jì)數(shù)原理可得，不同的取法共有30+40=70利，.

故答案為：70.

【分析】根據(jù)題意求出三棱臺(tái)的高，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，即可求得答案.

【詳解】取AC中點(diǎn)為M,DF中點(diǎn)、為N,連接MN,MB,NE,

設(shè)..ABC一DEF的中心分別為O,。，連接。01,

過(guò)點(diǎn)時(shí)作加“，柩于"，垂足為H,

則00、為正三棱臺(tái)ABC-DEF的高，且四邊形OO\HM為矩形,

則0M=-BM=-xV22-l2=—,O,N=-NE=lx>/42-22=,

3331333

則NH=ON-0口=01N-OM=竿一4=孝，而MW=3,

故00、=MH=yjNM2-NH2=卜-住=普，

則S<^BC=；X2X2X#=仃,S。斯=gx4x4x*=4G，

故三棱臺(tái)ABC-DEF體積為V=gx(6+46+小舟40x號(hào)=當(dāng)6,

故答案為：返

3

15.(0,1]

【分析】當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)-l=0得x=l,可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x40時(shí)，"》)—1=。恰有2個(gè)不同

的零點(diǎn)，利用根的分布可得答案.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=e'x'',

所以由)?=/*)-1=產(chǎn)"-1=0得尤=1,

所以當(dāng)x40時(shí)，/(6-1=。一金一2了一1=0恰有2個(gè)不同的零點(diǎn),

令g(x)=〃x)-l=-x2_2x-l+4,則g(x)在xM0時(shí)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn),

A=4-4(l-a)>0

可得<解得0<a41,

g(0)=a-02-2x0-l<0

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是0<aWl.

故答案為：(05.

［分析】根據(jù)雙曲線的定義及三角形的周長(zhǎng)可求出IAg|=筆3.|A幣=”三，利用直線A￡

與直線y=2%平行知cosNA4瑪=3,結(jié)合余弦定理即可求解.

ac

【詳解】由雙曲線定義知IA七A甲=2a,又|A名|+|AF>9a-2c

ZLTJZPI.，口.11。-2c.._.767—2c

解得I4瑪1=---,1AF}\------

因?yàn)橹本€A￡與直線y=：bx平行,

所以tanNA耳工=2,故cosNA片名=區(qū),

由余弦定理得:

222

/4LLa\AF]|+4c-|Af；|

cosZAFlF2=—

2\AF}\-2c

1—18+4e+4e~曰,八?)

n即n—=--------；—?化簡(jiǎn)得。+2e—8=0,

e14e-4e~

解得e=2或e=-4(舍去).

3

17.(1)證明見(jiàn)解析(2)4

4

433

【分析】(1)由cosC=《得sinC=j,即sin(A+3)=g,利用兩角和的正弦公式展開(kāi)，同理

1?1

將如(4-3)=不用兩角差的正弦公式展開(kāi)，然后聯(lián)立兩式解得5山433=丁8§4413=丁

再把所得結(jié)果相除即可得到所證等式；

(2)過(guò)。作CDJ.AB,垂足為。，則8即為所求，利用3=A8=AD+8O=*C-D+WC-D

tanAtanB

可求得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閏osC=2,所以sinC=J1-cos?C=J1一3=*,

5V255

3

所以sin(A+8)=',

3

所以sinAcosB+cos4sin4=g

又sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=-,

2i

以上兩式聯(lián)立解得sinAcosB=—,cos/Asin5=-,

55

2

ll…sinAcos85

所以----~~=7=2,即nrisinAcosB=2cosAsinB,

cosAsinB2

5

所以tan4=2tan8

3

winA:41

(2)因?yàn)閠anA=-------=—=",所以tan8=—tanA,

cosA442

5

過(guò)C作COLM,垂足為。，則CO即為所求，

因?yàn)锳,8均為銳角,所以。在邊A8C上，

/\\

/

ADB

因?yàn)閠anA=",tan3=C^,

ADBD

CDCD

所以3G,如挪，

所以3=A8=9+如衛(wèi)+包=8+型=衛(wèi),

tanAtanBtanAtanAtanA

所以但…,即"邊上的高為，

18.(1)證明見(jiàn)解析;

(2)45；

(3)|.

【分析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出CM和的坐標(biāo)，計(jì)算=0即可求

證；

(2)取平面。4￡的法向量3=(1,0,0),由空間向量夾角公式計(jì)算CM與平面C4E所成角的

正弦值，進(jìn)而可得所求的角的大?。?/p>

(3)求出平面COE的法向量〃?，平面ABC的法向量p,利用空間向量夾角公式即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)锳C28C,以C為原點(diǎn)，分別以C8,C4所在直線為x,y軸，過(guò)點(diǎn)C且

與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-q，z,

設(shè)AE=a,則M(a,—,a0),E(0,-2a,a),

所以CM=(a,-a,()),EM=(a,a,-a),

所以CATEM=/-a2+o=o，所以CM_LEM即CA/_LEM.

(2)因?yàn)閤軸，面CAE,所以平面C4E的法向量3=(1,0,0),CM=(a,-a,Q),

\CM-r\aV2

設(shè)CM與平面C4￡所成角為，，貝ijsin6=

|CM|.|n|-72axl-2

因?yàn)椋浴?45,即直線C/W與平面C4E所成的角為45.

(3)D(2tz,0,2a),CD=(2a,0,2a),CE=(O,-2^,a),

設(shè)平面CDE的法向量加=(無(wú),y,z)，

m-CE=-lay+az=0

令y=i,則z=2,x=-2，

m-CD=2ax+2az=0

所以“=(-2,1,2),

取平面ABC的法向量〃=(0,0,1),

所以卜os(w,2.._=|

1'Z||m|.|/?|V4+l+4xl3

所以平面ABC與平面COE所成銳二面角的余弦值為;.

【分析】(1)設(shè)切點(diǎn)(%,lnx°),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線過(guò)定點(diǎn)可列方程，即可得解；

(2)設(shè)F(x)=2/(x)—依(x)=21nx-A(x-：),x>I,轉(zhuǎn)化條件為要使尸(x)<0在(1,?)上

恒成立，對(duì)函數(shù)F(x)求導(dǎo)，^(p[x}=-kjc+2x-k,按照憶40、kWl分類,結(jié)

合函數(shù)的單調(diào)性、/(1)=0即可得解.

【詳解】(1)設(shè)切點(diǎn)為(%,In%,因?yàn)?'(*)=：,直線k去+1恒過(guò)點(diǎn)(0,1),

所以InA=所以In%=2即=片,

“0X。

所以％

=e1;

(2)設(shè)尸(x)=2f(x)-&g(x)=21nx-k

則要使尸(x)<0在(1，口)上恒成立,

尸‘("="=

T^(p^x)=-kjc+2x-k,

①當(dāng)kVO時(shí)，r(x)>0,函數(shù)尸(x)在(l,xo)上單調(diào)遞增，

又F⑴=0,所以當(dāng)xe(l,y)時(shí)，函數(shù)F(x)>0,不合題意；

②當(dāng)左>0時(shí)，姒力=-4+2%-2的圖象開(kāi)口朝下，對(duì)稱軸為x=J,

K

當(dāng)，41即&》時(shí)，(p(i)=2-2k<0,

k

所以當(dāng)xe(L”)時(shí)，夕(x)<0,F(x)<0,F(x)單調(diào)遞減，

又尸(1)=0,所以尸(x)<0在(1,內(nèi))上恒成立；

當(dāng)即。<%<1時(shí)，*(1)=2-2%>0,

k

所以存在%>1,使得當(dāng)時(shí),e(x)>0,F'(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增,

由尸⑴=0可得當(dāng)xe(l,x°)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,不合題意;

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為Z21.

77

20.(I)/=2〃；(II)(二——.

77+1

【分析】(I)利用等差數(shù)列公式直接解得答案.

川)S,，="("+l)，(=.=「?，利用裂項(xiàng)求和計(jì)算得到答案?

4+2d=6d=2,

【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,由%=6,，=20得陰+3d=1。,解得

%=2.

/.?！?2〃.

(II)=從而臺(tái)標(biāo)2__i_

nM+1

21.(