2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)獨立性檢驗與回歸分析

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)獨立性檢驗與回歸分析

考點梳理考情回顧高考預(yù)測一元線性回歸模

型、回歸方程2022全國乙卷（文、

理）第19題1.一元線性回歸模型：主要

考查數(shù)據(jù)整理與分析，模型

轉(zhuǎn)化與化歸，公式推導(dǎo)與變

形等.2.獨立性檢驗：主要考查模

型建立、數(shù)據(jù)整理、邏輯說

明、結(jié)果解釋等.2×2列聯(lián)表、獨

立性檢驗2023全國甲卷（文、

理）第19題2022新高考Ⅰ卷第20題

（2023·全國甲卷節(jié)選）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：

選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照

組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正

常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.試驗結(jié)

果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排列為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排列為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（1）

求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)

m

，再分別統(tǒng)計兩組樣本中

小于

m

與不小于

m

的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：分組與m比較合計小于m不小于m對照組61420實驗組14620合計202040

6142014620202040單位：只（2）

根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，能否有95％的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度

臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？參考數(shù)據(jù)：α0.100.050.001xα2.7063.8416.635

2.列聯(lián)表與獨立性檢驗（1）

關(guān)于分類變量

X

和

Y

的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d（2）

獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則：當(dāng)χ2≥

x

α?xí)r，推斷

H

0不成立，即認(rèn)為

X

和

Y

不獨立，該推斷犯錯誤的概

率不超過α；當(dāng)χ2＜

x

α?xí)r，沒有充分證據(jù)推斷

H

0不成立，可以認(rèn)為

X

和

Y

獨立.利用χ2的取值推斷分類變量

X

和

Y

是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，

簡稱獨立性檢驗.（3）

獨立性檢驗中概率的含義獨立性檢驗是對兩個分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是

否有關(guān)系的判斷，χ2越大，認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系的把握越大.

熱點1

獨立性檢驗[典例設(shè)計]例1

（2023·錦州模擬）某景區(qū)的調(diào)查組對400名不同年齡段的游客進(jìn)

行了問卷調(diào)查，其中有200名游客進(jìn)行了預(yù)訂，這200名游客中各年齡段

所占百分比如圖所示：

（1）

請將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過

0.001的前提下，認(rèn)為預(yù)訂旅游與是否為青年有關(guān)；單位：人年齡段旅游合計預(yù)定旅游不預(yù)定旅游青年12075195非青年80125205合計200200400（2）

按照分層抽樣的方法，從預(yù)訂旅游的游客中選取5人，再從這5人

中任意選取3人，求這3人中至少有2人是青年的概率.

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[思維導(dǎo)圖]解：（1）

零假設(shè)為

H

0：預(yù)訂旅游與是否為青年無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的

數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2≈20.263＞10.828＝

x

0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的

獨立性檢驗，推斷

H

0不成立，即能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提

下，認(rèn)為預(yù)訂旅游與是否為青年有關(guān).

總結(jié)提煉

利用獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)與注意點：（1）

提出零假設(shè)為

H

0：

X

和

Y

相互獨立，并給出在問題中的解

釋.（2）

根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界

值比較.（3）

根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.（4）

解題時應(yīng)注意準(zhǔn)確計算，不可錯用公式，準(zhǔn)確進(jìn)行比較與判

斷.[對點訓(xùn)練]1.某中學(xué)高三（3）班有學(xué)生50人，現(xiàn)調(diào)查該班學(xué)生每周平均體育鍛煉

時間的情況，得到如下頻率分布直方圖，其中數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，

2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].

（1）

從每周平均體育鍛煉時間（單位：小時）在[0，4]的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求這2人的每周平均體育鍛煉時間都超過2小時的概率.（2）

已知全班學(xué)生中有40％是女生，其中恰有3名女生的每周平均體

育鍛煉時間不超過4小時.若每周平均體育鍛煉時間超過4小時稱為經(jīng)常

鍛煉，則能否有90％的把握認(rèn)為經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)？

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解：（2）

由題意，易得2×2列聯(lián)表如下：

單位：人鍛煉性別合計男生女生經(jīng)常鍛煉281745不經(jīng)常鍛煉235合計302050零假設(shè)為

H

0：經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到

χ2≈0.926＜2.706＝

x

0.100.根據(jù)小概率值α＝0.100的獨立性檢驗，沒有充

分證據(jù)推斷

H

0不成立，即沒有90％的把握認(rèn)為經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān).

（2）

實際投產(chǎn)時，技術(shù)人員微調(diào)了該種零件的生產(chǎn)工藝.微調(diào)后，當(dāng)生

產(chǎn)了1020個零件時，恰好完成訂單.請結(jié)合（1）的結(jié)果，判斷能否有95

％的把握認(rèn)為微調(diào)生產(chǎn)工藝與零件的尺寸誤差有關(guān).

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635[思維導(dǎo)圖]

總結(jié)提煉

理解

X

～

N

（30，σ2）（σ＞0）中參數(shù)的實際意義，利用正態(tài)分布

的性質(zhì)解決實際應(yīng)用問題.本題第（2）問著重于獨立性檢驗的實際應(yīng)

用，即建立解決問題的統(tǒng)計模型，不局限于簡單的套用公式.

α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828

解：根據(jù)題意，可得2×2列聯(lián)表如下：單位：人Ⅰ型?、蛐筒『嫌嬆行詍女性2m合計3m

熱點2

回歸分析[典例設(shè)計]例3噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為

了了解聲音強(qiáng)度

D

（單位：dB）與聲音能量

I

（單位：W/cm2）之間的

關(guān)系，將測得的聲音強(qiáng)度

Di

和聲音能量

Ii

（

i

＝1，2，…，10）的數(shù)據(jù)

作了初步處理，得到如圖所示的散點圖及如表所示的一些統(tǒng)計量的值.1.04×10－1145.7－11.51.56×10－210.516.88×10－115.1表中

Wi

＝lg

Ii

.

（2）

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度

D

關(guān)于聲音能量

I

的經(jīng)驗回歸方程.

[思維導(dǎo)圖]

總結(jié)提煉

非線性回歸分析問題求解策略有些非線性回歸分析問題并不給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出

已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對

數(shù)函數(shù)等）的圖象進(jìn)行比較，挑選一種擬合得最好的函數(shù)，進(jìn)行適當(dāng)

變換，把問題化為線性回歸進(jìn)行分析，使之得到解決.[對點訓(xùn)練]3.為了了解某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的年利潤與年廣告投入的關(guān)系，該企

業(yè)對最近一些相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，得出相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：年廣告投入x/萬元23456年利潤y/十萬元346811

年廣告投入x/萬元23456年利潤y/十萬元346811模型甲3.084.075.728.0311－0.08－0.070.28－0.030模型乙2.44.46.48.410.40.6－0.4－0.4－0.40.63.084.075.728.0311－0.08－0.070.28－0.0302.44.46.48.410.40.6－0.4－0.4－0.40.6（2）

為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù).

②

分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和

Q

1及

Q

2，并通過比較

Q

1，

Q

2的大小，判斷哪個模型的擬