專(zhuān)題04 二次根式（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：二次根式的基本性質(zhì)與化簡(jiǎn)【高頻考點(diǎn)精講】1．二次根式有意義的條件（1）二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；（2）如果所給式子中含有分母，那么除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零。2．二次根式的基本性質(zhì)（1）≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）。（2）（）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式）。（3）＝＝3．二次根式的化簡(jiǎn)（1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知識(shí)點(diǎn)02：同類(lèi)二次根式及分母有理化【高頻考點(diǎn)精講】1．同類(lèi)二次根式（1）一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，那么把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。（2）合并同類(lèi)二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變。2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式。①＝＝；②＝＝．（2）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。知識(shí)點(diǎn)03：二次根式混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值【高頻考點(diǎn)精講】1．二次根式的混合運(yùn)算順序：先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。2．在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”。3．二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式。四、二次根式的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)精講】二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念，性質(zhì)和運(yùn)算方法。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿(mǎn)分：100分難度系數(shù)：0.61一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?煙臺(tái)）下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（）A． B． C． D．解：A．＝2，和不是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．和不是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．＝2，和是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；D．＝2，和不是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（2分）（2023?西寧）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．解：A．+無(wú)法合并，故此選項(xiàng)不合題意；B．＝5，故此選項(xiàng)不合題意；C．（3﹣）2＝11﹣6，故此選項(xiàng)符合題意；D．6÷×＝9，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．3．（2分）（2023?通遼）二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則1﹣x≥0，解得：x≤1，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為：．故選：C．4．（2分）（2023?巴中）下列運(yùn)算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．×＝ C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m解：A、x2與x3，不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、×＝，計(jì)算正確，符合題意；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、當(dāng)m≥0時(shí)，|m|＝m，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．5．（2分）（2022?廣州）代數(shù)式有意義時(shí)，x應(yīng)滿(mǎn)足的條件為（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1解：代數(shù)式有意義時(shí)，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故選：B．6．（2分）（2023?濟(jì)寧）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2解：由題意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故選：D．7．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）不等式x﹣1＜的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)解：x﹣1＜，即x＜+1，又知≈2.236，即x＜+1≈3.236，故正整數(shù)解為3，2，1．故選：A．8．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）下列運(yùn)算正確的是（）A．+2＝2 B．（﹣a2）3＝a6 C．+＝ D．÷＝解：A．+2＝3≠2，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．+＝+＝≠，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.÷＝×＝，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．9．（2分）（2021?荊門(mén)）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1解：A．（﹣x3）2＝x6，錯(cuò)誤，不滿(mǎn)足題意．B.＝|x|，錯(cuò)誤，不滿(mǎn)足題意．C．（﹣x）2+x＝x2+x，錯(cuò)誤，不滿(mǎn)足題意．D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正確，滿(mǎn)足題意．故選：D．10．（2分）（2020?呼倫貝爾）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a﹣1|﹣的結(jié)果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3解：由圖知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故選：D．二．填空題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?哈爾濱）計(jì)算的結(jié)果是2．解：原式＝3﹣＝2，故答案為：2．12．（2分）（2022?濟(jì)寧）若二次根式有意義，則x的取值范圍是x≥3．解：根據(jù)題意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案為：x≥3．13．（2分）（2021?哈爾濱）計(jì)算﹣2的結(jié)果是2．解：原式＝3﹣2×＝3﹣＝2．故答案為：2．14．（2分）（2023?綏化模擬）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱(chēng)為海倫﹣秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，記，那么三角形的面積為．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別記為a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，則△ABC的面積為．解：∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝＝9，則S＝＝＝6．故答案為：6．15．（2分）（2023?池州模擬）要使式子有意義，則x的取值范圍為x≥﹣3且x≠1且x≠2．解：根據(jù)題意，得．解得x≥﹣3且x≠1且x≠2．故答案為：x≥﹣3且x≠1且x≠2．16．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：＝2﹣m．解：由數(shù)軸可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴＝|m﹣2|＝2﹣m．故答案為：2﹣m．17．（2分）（2023?濰坊）從﹣，，中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式（□+〇）2÷里面的“□”與“〇”中，計(jì)算該算式的結(jié)果是﹣2（答案不唯一）．（只需寫(xiě)出一種結(jié)果）解：若“□”是﹣，“〇”是，則（﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；若“□”是﹣，“〇”是，則（﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；若“□”是，“〇”是，則（+）2÷＝（9+2）÷＝+6；故答案為：﹣2（答案不唯一）．18．（2分）（2023?臨汾模擬）計(jì)算：＝2．解：＝＝﹣1＝3﹣1＝2，故答案為：2．19．（2分）（2023?錦江區(qū)校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)m＝﹣1，則代數(shù)式m2+2m+1的值為2．解：∵m＝﹣1，∴m2+2m+1＝（m+1）2＝（﹣1+1）2＝2．故答案為：2．20．（2分）（2023?大同模擬）計(jì)算（）（）的結(jié)果等于4．解：原式＝7﹣3＝4．故答案為4．三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分60分）21．（6分）（2023?陜西）計(jì)算：．解：原式＝﹣3++1＝2﹣3+1＝2﹣2．22．（6分）（2023?金昌）計(jì)算：÷×2﹣6．解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．23．（8分）（2023?龍巖模擬）（1）計(jì)算：；（2）解不等式組：．解：（1）＝﹣2×﹣＝﹣﹣＝；（2），解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞3，故原不等式組無(wú)解．24．（8分）（2023?晉城模擬）高空拋物嚴(yán)重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見(jiàn)小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時(shí)很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿(mǎn)足公式t＝（不考慮風(fēng)速的影響，g≈10m/s2）．（1）求從60m高空拋物到落地的時(shí)間．（結(jié)果保留根號(hào)）（2）已知高空墜物動(dòng)能（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.2kg的玩具被拋出后經(jīng)過(guò)3s后落在地上，這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（注：傷害無(wú)防護(hù)人體只需要65J的動(dòng)能）解：（1）由題意知h＝60m，∴t＝＝＝2（s），故從60m高空拋物到落地的時(shí)間為2s；（2）這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人，理由：當(dāng)t＝3s時(shí)，3＝，∴h＝45，經(jīng)檢驗(yàn)，h＝45是原方程的根，∴這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，∴這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人．25．（8分）（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長(zhǎng)分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]?[（a+）﹣a]＝（2a+）?＝b+2a例如：當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，S2﹣S1＝3+2根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，S3﹣S2＝9+2，S4﹣S3＝15+2；（2）當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，把邊長(zhǎng)為a+n的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計(jì)算結(jié)果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a+）2＝a2+4a+4b﹣a2﹣2a﹣b＝2a+3b，當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，S3﹣S2＝9+2；S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2＝a2+6a+9b﹣a2﹣4a﹣4b＝2a+5b，當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，S4﹣S3＝15+2；故答案為：9+2；15+2；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2；證明：Sn+1﹣Sn＝（1+n）2﹣[1+（n﹣1）]2＝[2+（2n﹣1）]×＝3（2n﹣1）+2＝6n﹣3+2；（3）當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，T＝t1+t2+t3+…+t50＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50＝S51﹣S1＝（1+50）2﹣1＝7500+100．26．（8分）（2023?晉城模擬）閱讀與思考請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．＝，＝＝＝3+像上述解題過(guò)程中，與、﹣與+相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱(chēng)為互為有理化因式，上述解題過(guò)程被稱(chēng)為分母有理化．任務(wù)：（1）的有理化因式（答案不唯一）；﹣2的有理化因式是+2（答案不唯一）．（2）寫(xiě)出下列式子分母有理化的結(jié)果：①＝；②＝﹣1．（3）計(jì)算：+……+．解：（1）的有理化因式是，﹣2的有理化因式是+2，故答案為：（答案不唯一），+2（答案不唯一）；（2）①＝＝，②＝＝﹣1，故答案為：，﹣1；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+……+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．27．（8分）（2023?晉城模擬）問(wèn)題：先化