【講與練】高中物理人教版(2019)必修1：第2章專題強(qiáng)化2初速度為零的勻變速直線運動的常用推論追及和相遇問題學(xué)案

專題強(qiáng)化2初速度為零的勻變速直線運動的常用推論追及和相遇問題課程標(biāo)準(zhǔn)1．掌握初速度為零的勻變速直線運動比例式的推導(dǎo)及應(yīng)用。2．進(jìn)一步加深學(xué)生逆向思維的靈活運用。3．會分析追及相遇問題，理解兩者速度相等為臨界條件。探究初速度為零的勻變速直線運動的常用推論要點提煉1．等分運動時間(以T為時間單位)。(1)1T末、2T末、3T末…瞬時速度之比v1∶v2∶v3＝1∶2∶3…(2)1T內(nèi)、2T內(nèi)、3T內(nèi)…位移之比x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…(3)第一個T內(nèi)、第二個T內(nèi)、第三個T內(nèi)…的位移之比：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…＝1∶3∶5…2．等分位移(以x為單位)。(1)通過x、2x、3x…所用時間之比：t1∶t2∶t3…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)…(2)通過第一個x、第二個x，第三個x…所用時間之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))…(3)x末、2x末、3x末…的瞬時速度之比：v1∶v2∶v3＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)(1)以上比例成立的前提是物體做初速度為零的勻加速直線運動。(2)對于末速度為零的勻減速直線運動，可把它看成逆向的初速度為零的勻加速直線運動，應(yīng)用比例關(guān)系，可使問題簡化，同時注意初末時刻與實際問題對應(yīng)。典例剖析典題1(2023·內(nèi)蒙古赤峰高一期中)港珠澳大橋上的四段長度均為110m的等跨鋼箱連續(xù)梁橋如圖所示，汽車從a處開始做勻減速直線運動，恰好行駛到e處停下。汽車通過ab段所用的時間為t1，汽車通過de段所用的時間為t2，則eq\f(t2,t1)滿足(C)A．1<eq\f(t2,t1)<2 B．2<eq\f(t2,t1)<3C．3<eq\f(t2,t1)<4 D．4<eq\f(t2,t1)<5解析：將汽車的運動過程反向來看，即從e到a進(jìn)行勻加速運動，設(shè)加速度大小為a，每段梁跨長度為L，根據(jù)初速度為零的勻變速運動公式x＝eq\f(1,2)at2，可得t2＝eq\r(\f(2L,a))，同理可得t1＝tae－tbe＝eq\r(\f(2×4L,a))－eq\r(\f(2×3L,a))，所以有eq\f(t2,t1)＝eq\f(\r(\f(2L,a)),\r(\f(2×4L,a))－\r(\f(2×3L,a)))＝2＋eq\r(3)，即3<eq\f(t2,t1)<4，故選C。對點訓(xùn)練?(多選)(2023·湖北高一期中)小球在光滑斜面上下滑，從a點由靜止開始下滑，通過ab、bc、cd各段所用時間均為T。若從b點由靜止開始下滑，則該小球(AC)A．通過bc、cd段的位移之比為3∶5B．通過bc、cd段的時間均小于TC．通過c、d點的速度之比為eq\r(6)∶4D．通過c點的速度等于通過bd段的平均速度解析：從a點由靜止開始下滑，通過ab、bc、cd各段所用時間均為T。則根據(jù)初速度為零的勻變速運動相等時間的位移關(guān)系可知，通過ab、bc、cd段的位移之比為1∶3∶5，選項A正確；當(dāng)從a點下滑時，到達(dá)b點已經(jīng)有了速度，此時通過bc、cd段的時間均等于T；若從b點由靜止開始下滑時，在b點的速度為零，則通過bc、cd段的時間均大于T，選項B錯誤；設(shè)bc＝3x，cd＝5x，則通過c點的速度vc＝eq\r(2a·3x)，通過d點的速度vd＝eq\r(2a·8x)，通過c、d點的速度之比為eq\r(6)∶4，選項C正確；通過bd段的平均速度eq\x\to(v)bd＝eq\f(vd,2)＝2eq\r(ax)≠vc，選項D錯誤。探究追及和相遇問題要點提煉兩物體在同一直線上運動，它們之間的距離發(fā)生變化時，可能出現(xiàn)最大距離、最小距離或者是距離為零的情況，這類問題稱為追及和相遇問題，討論追及和相遇問題的實質(zhì)是兩物體能否在同一時刻到達(dá)同一位置。1．要抓住一個條件、兩個關(guān)系(1)一個條件：速度相等。這是兩物體是否追上(或相撞)、距離最大、距離最小的臨界點，是解題的切入點。(2)兩個關(guān)系：時間關(guān)系和位移關(guān)系。通過畫示意圖找出兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口。2．常用方法(1)物理分析法抓住“兩物體能否同時到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運動關(guān)系的圖景，并畫出運動情況示意圖，找出位移關(guān)系。(2)圖像法：將兩者的v－t圖像在同一坐標(biāo)系中畫出，然后利用圖像求解。(3)數(shù)學(xué)極值法：設(shè)從開始至相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進(jìn)行討論，若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇。若Δ<0，說明追不上或不能相碰。3．解題思路eq\x(\a\al(分析兩物體,運動過程))→eq\x(\a\al(畫運動,示意圖))→eq\x(\a\al(找兩物體,位移關(guān)系))→eq\x(\a\al(列位移,方程))(1)在解決追及、相遇類問題時，要緊抓“一圖三式”，即過程示意圖，時間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外還要注意最后對解的討論分析。(2)分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。典例剖析典題2一輛汽車在十字路口等待綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試問：(1)汽車從路口開動后，在趕上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠(yuǎn)？此時距離是多少？(2)汽車什么時間追上自行車？此時汽車的速度是多少？思路引導(dǎo)：本題屬于追及相遇問題，可用多種方法求解。物理分析法解題快，函數(shù)法解題步驟清晰，易于表達(dá)，而圖像法不但能找到極值點，還能找到相遇點，能得出當(dāng)兩物體相距最遠(yuǎn)時的時間t、速度v，同時能得出當(dāng)兩物體相遇時用的時間和速度。同學(xué)們可嘗試用不同的方法求解。解析：(1)解法一(函數(shù)法)：當(dāng)運行時間為t時，兩車相距的距離為Δx＝6t－eq\f(3,2)t2當(dāng)t＝－eq\f(b,2a)＝2s時，有極值Δx＝eq\f(4ac－b2,4a)＝6m。(其中字母a、b、c是二次函數(shù)中的系數(shù))解法二(方程法)：當(dāng)運行時間為t時，兩車相距的距離為Δx＝6t－eq\f(3,2)t2，則eq\f(3,2)t2－6t＋Δx＝0。當(dāng)判別式Δ≥0時方程有實數(shù)解，即Δx≤6m，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁匠闪r有極值。解法三(物理分析法)：當(dāng)兩車的速度相等時，兩車間的距離最大，則at＝6m/s，t＝2s，Δx＝6t－eq\f(3,2)t2＝6m。解法四(圖像法)：畫出v－t圖像，如圖所示。圖線與時間軸圍成的面積就是位移。經(jīng)分析得兩車的速度相等時，兩車間的距離最大，則6＝3t，Δx＝6t－eq\f(6t,2)解得t＝2s，Δx＝6m。(2)解法一(物理分析法)：汽車追上自行車時，兩車位移相等v自t′＝eq\f(1,2)at′2，代入數(shù)值得t′＝4s，v汽＝a汽t′＝3×4m/s＝12m/s。解法二(圖像法)：由前面的v－t圖像可看出當(dāng)t′＝2t＝4s時，兩車位移相等，此時汽車的速度v汽＝2v＝12m/s。答案：(1)2s6m(2)4s12m/s對點訓(xùn)練?(2023·山東臨沂高一期末)A、B兩輛列車在能見度很低的霧天里在同一軌道上同向行駛，A車在前，速度vA＝10m/s，B車在后，速度vB＝30m/s。當(dāng)B車發(fā)現(xiàn)A車時就立刻剎車。已知B車在進(jìn)行剎車測試時發(fā)現(xiàn)，若車以30m/s的速度行駛時，剎車后至少要前進(jìn)1800m才能停下，假設(shè)B車剎車過程中加速度恒定。為保證兩輛列車不相撞，則能見度至少要達(dá)到(B)A．600m B．800mC．1000m D．1600m解析：由于B車以30m/s的速度行駛時，剎車后至少要前進(jìn)1800m才能停下，則a＝eq\f(v\o\al(2,0),2x0)＝eq\f(302,2×1800)m/s2＝0.25m/s2，設(shè)經(jīng)歷時間t0B車減速至與A車速度相等，則有vA＝vB－at0，為保證兩輛列車不相撞，則能見度至少要達(dá)到xmin＝eq\f(vA＋vB,2)t0－vAt0，解得xmin＝800m，故選B。一、初速度為零的勻加速直線運動的比例關(guān)系1．一個物體從靜止開始做勻加速直線運動，它在第1s內(nèi)與第2s內(nèi)的位移之比為x1∶x2，在走完第1m時與走完第2m時的速度之比為v1∶v2。以下說法正確的是(B)A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq\r(2)C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq\r(2)解析：由初速度為零的勻變速直線運動的比例關(guān)系知x1∶x2＝1∶3，由x＝eq\f(1,2)at2知，走完1m與走完2m所用時間之比為t1∶t2＝1∶eq\r(2)，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶eq\r(2)，B正確。2．(2023·山東臨沂高一?？计谀?如圖所示，相同的木塊A、B、C固定在水平地面上，一子彈(視為質(zhì)點)以水平速度v0擊中并恰好穿過木塊A、B、C，子彈在木塊中受到的阻力恒定，子彈射穿木塊A所用的時間為t，則子彈射穿木塊C所用的時間約為(C)A．t B．2tC．3t D．4t解析：子彈在木塊中受到的阻力恒定，則子彈做勻減速直線運動，由于恰好穿過木塊A、B、C，表明穿過C時速度恰好為0，根據(jù)逆向思維，初速度為0的勻加速直線運動，在連續(xù)相鄰相等位移內(nèi)的時間之比為tC∶tB∶tA＝1∶(eq\r(2)－1)：(eq\r(3)－eq\r(2))，根據(jù)題意有tA＝t，解得tC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\r(2)))t≈3t，故選C。二、追及和相遇問題3．(多選)(2023·湖南常德高一校聯(lián)考階段練習(xí))A和B兩物體在同一直線上運動的v－t圖像如圖所示。已知在第3s末兩個物體在途中相遇，則下列說法錯誤的是(ACD)A．兩物體從同一地點出發(fā)B．出發(fā)時B在A前3m處C．3s末兩個物體相遇后，兩物體可能再相遇D．運動過程中B的加速度大于A的加速度解析：速度—時間圖像與時間軸所圍成的面積代表位移，那么前3秒A的位移為xA＝eq\f(3×5,2)m＝7.5m，B的位移xB＝eq\f(3×3,2)m＝4.5m，而AB在3s末相遇，xA≠xB，所以AB不是同一點出發(fā)，選項A錯誤，符合題意；出發(fā)時B在A前Δx＝xA－xB＝3m，選項B正確，不符合題意；3s前A比B的速度大，3s末追上B此后A的速度仍大于B的速度，所以二者不會再次相遇，選項C錯誤，符合題意；速度—時間圖像的斜率代表加速度，A的斜率大于B，即A的加速度大于B的加速度，選項D錯誤，符合題意。故選ACD。4．(2023·陜西渭南高一階段練習(xí))足球運動員將一個靜止的足球以20m/s的速度踢出，足球沿草地做直線運動，速度不斷減小，設(shè)加速度大小恒為4m/s2，同時足球運動員以4m/s的恒定速度去追足球，下列說法錯誤的是(D)A．足球通過的位移大小為50mB．足球運動的時間為5sC．足球停下后運動員才追上足球D．運動員追上