【利用高等數(shù)學(xué)證明不等式的基本方法探析2400字】

PAGE15利用高等數(shù)學(xué)證明不等式的基本方法分析目錄TOC\o"1-2"\h\u28007利用高等數(shù)學(xué)證明不等式的基本方法分析 115191摘要 113309引言 1180131不等式的基本性質(zhì) 1284752證明方法 255882.1構(gòu)造函數(shù)證明不等式 2150692.2利用條件極值方法證明不等式 3194472.3用定積分知識(shí)證明不等式 630708用上面的性質(zhì)可以證明一些不等式 730287結(jié)論 721435參考文獻(xiàn) 7摘要不等式在當(dāng)代高等數(shù)學(xué)中具備關(guān)鍵位置，其是學(xué)習(xí)與分析當(dāng)代科學(xué)與技術(shù)的主要工具，在多種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中得到普遍使用。因?yàn)椴坏仁筋?lèi)型不同，因此證明并不存在穩(wěn)定的程序，技巧眾多，方式靈活。然而在教科書(shū)上通常并未全面的匯總與不等式問(wèn)題相關(guān)的知識(shí)。本人在論文撰寫(xiě)時(shí)期匯總與不等式相關(guān)的知識(shí)，此外在上述前提下主要彰顯以條件極值為主的使用高等數(shù)學(xué)知識(shí)證明不等式的多種方式。關(guān)鍵詞：證明不等式；高等數(shù)學(xué)；構(gòu)造輔助函數(shù)；條件極值引言在分析數(shù)學(xué)不等式的時(shí)候，大部分內(nèi)容都具備一定的價(jià)值，比如，不等式性質(zhì)、證明方式以及解法。在本文中，就不詳細(xì)表述，而重點(diǎn)敘述部分證明不等式的普遍方式、使用函數(shù)證明不等式的方式。利用上述方式的學(xué)習(xí)，能夠全面了解數(shù)學(xué)的相關(guān)特征。進(jìn)而拓展數(shù)學(xué)視野，加深對(duì)不等式證明方式的認(rèn)知，進(jìn)而站在合理的角度來(lái)分析數(shù)學(xué)不等式。和等式的可確定性相比，不等式就是明確界限，確定條件來(lái)規(guī)范以及劃分相應(yīng)的范圍，因此不等式的證明具備一定的樂(lè)趣以及價(jià)值。1不等式的基本性質(zhì)實(shí)數(shù)集內(nèi)的所有兩個(gè)數(shù)一直能對(duì)比大小，假如是正數(shù)，那么;假如是零，那么；假如是負(fù)數(shù)，那么。反之也是如此。也就是a≧b此處符號(hào)代表等價(jià)于。此概念即便簡(jiǎn)單，但是事實(shí)上其表示不等式的性質(zhì)。大部分不等式的證明，主要從此概念著手。第一，依照不等式概念，容易證明以下不等式的單純性質(zhì)，上述性質(zhì)是證明其余不等式的主要方式。（1）(對(duì)稱性)（2）若,,則(傳遞性)（3）若,則(加法保序性)（4）若,，則(乘正數(shù)保序性)若,,則.（5）若,,則若,,則.（6）若,,則.（7）若,,則（8）若,,則（9）若,（10）若,,含絕對(duì)值的不等式以下幾個(gè)含絕對(duì)值的基本不等式，在后面的討論中是常常用到的。(1)(2)(3)(4)2證明方法2.1構(gòu)造函數(shù)證明不等式證明不等式中構(gòu)造輔助函數(shù)方方式相對(duì)普遍，其主要理論是把不等式利用等價(jià)變形，尋找出輔助函數(shù)，主要方式是直接把不等號(hào)右端項(xiàng)移到不等號(hào)左端，此時(shí)右端是零，左端就是需要尋求的輔助函數(shù)。例1證明不等式：證明：構(gòu)造函數(shù)====故是偶函數(shù)，其圖像對(duì)于y軸對(duì)稱。當(dāng)想時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,故即，可得例2已知，，，求證：證明：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)?所以，即在上是增函數(shù)，即可得2.2利用條件極值方法證明不等式用求函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法來(lái)證明部分不等式相對(duì)直接與淺顯，為敘述此方式，需要提前回顧將求一個(gè)函數(shù)在約束條件下的條件極值的拉格朗日乘數(shù)法：求元函數(shù)在約束條件下的極值，尋求輔助函數(shù)：得出輔助函數(shù)對(duì)的一階偏導(dǎo)數(shù)，讓其等于零，得出個(gè)方程構(gòu)成的方程組，解此方程組：得出函數(shù)的穩(wěn)定，假設(shè)點(diǎn)是方程組的解，（在此處，要求函數(shù)和在以點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域上的偏導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)且連續(xù)）。此時(shí)，可依照問(wèn)題的實(shí)際或深入研究來(lái)判定函數(shù)在點(diǎn)是否取極大值或極小值。接下來(lái)將證明幾個(gè)不等式當(dāng)做案例進(jìn)行詳細(xì)解釋：例3已知，，都是正數(shù)，且，求證。分析：這道題明顯地表示出一個(gè)條件極值問(wèn)題，當(dāng)我們肯定函數(shù)在約束條件下的最小值是9的時(shí)候，就證明了這個(gè)不等式。證明：先作輔助函數(shù)求出輔助函數(shù)對(duì)的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，得出4個(gè)方程組成的方程組，解這個(gè)方程組：因?yàn)?，，都是正?shù)，方程組有唯一解取?？紤]到在中，當(dāng)為很小的正數(shù)時(shí)，的值可以充分大，從這道題的實(shí)際就能判斷當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值9，所以有。例4證明不等式，其中，，。分析：為證明這個(gè)不等式，我們先考慮，在曲線（，，為常數(shù)）上取值，從求函數(shù)在約束條件下的最大值來(lái)證明上述不等式在指定曲線上成立。因?yàn)閷?duì)于第一象限（，）這個(gè)閉區(qū)域上的任意一點(diǎn)，可以通過(guò)變動(dòng)的值使它落在某一條曲線上，因而當(dāng)，時(shí)上述不等式也成立。證明：設(shè)，，（當(dāng)或或時(shí)，不等式顯然成立。）先作輔助函數(shù)：求出輔助函數(shù)對(duì)的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，得出3個(gè)方程組成的方程組，解這個(gè)方程組：得考慮到在中，當(dāng)很小時(shí)，不等式的左邊的值比右邊的值?。ǎ┖芏啵梢耘袛喈?dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，于是有。2.3用定積分知識(shí)證明不等式定積分知識(shí)是證明不等式的全新方式，對(duì)于特殊和式不等式的證明有明顯的優(yōu)點(diǎn)。依照不等式的特點(diǎn)直接構(gòu)造函數(shù)，使用函數(shù)的定積分處理不等式問(wèn)題具備非常重要的現(xiàn)實(shí)影響。在解題的工程中假如可以了解定積分理論，就可以把大部分問(wèn)題“化難為易”。例5證明證明：此題利用定積分來(lái)證明，首先引入函數(shù)，則可得因此。在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，因此定積分的幾何價(jià)值是：代表由連續(xù)曲線和三條直線，，軸所圍成的曲邊梯形的面積。根據(jù)上述幾何價(jià)值可知：定積分的性質(zhì)：若函數(shù)，在區(qū)間上可積，且，則。用上面的性質(zhì)可以證明一些不等式例6當(dāng)時(shí)，證明證明：因?yàn)?，，?duì)積分變量，時(shí)，有，由性質(zhì)得，即當(dāng)時(shí)，有。結(jié)論不等式在高等數(shù)學(xué)中具備關(guān)鍵位置。因?yàn)椴坏仁筋?lèi)型不同，因此證明并不存在穩(wěn)定的程序，技巧眾多，方式靈活。和等式的可確定性相比，不等式如同明確界限，修訂某個(gè)條件來(lái)規(guī)范，以及確定相應(yīng)的范圍，因此不等式證明具備一定的趣味性以及挑戰(zhàn)性。其最主要的方式是使用定義和主要性質(zhì)，且利用代數(shù)變換進(jìn)行證明。本文主要使用高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)證明不等式的重要方式，上述方式為證明不等式的過(guò)程準(zhǔn)備了高效的理論工具。顯然，證明方式不僅本文敘述的幾類(lèi)，由于證明不等式缺少相應(yīng)的程序，證法根據(jù)問(wèn)題變化而變化，具有眾多證明方式。然而上述方式包含大多數(shù)不等式證明。參考文獻(xiàn)[1]潘娟娟,凌雪岷.高等數(shù)學(xué)中不等式證明的幾類(lèi)常用方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,33(04):1-3.[2]葛喜芳.高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種方法[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2017,16(03):61-63.[3]楊雪.高等數(shù)學(xué)中不等式證明的方法示例[J].科技風(fēng),2020(18):105-106.[4]景慧麗,王兆強(qiáng).一道含有積分上限函數(shù)的不等式證明方法探討[J].