2023-2024學(xué)年吳忠中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案詳析

2023-2024學(xué)年吳忠中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

（試卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘）2023.11

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.已知直線6x-yT0=。，則直線/的斜率為（）

A.-拒B.3c.GD.3

2.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙均屬于次品，生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.03,丙級(jí)品的概率

為0.01.若從中抽查一件，則恰好得正品的概率為（）

A.0.09B.0.96C.0.97D.0.98

3.直線/過(guò)圓C：（X+3）2+）'2=4的圓心，并且與直線x+y+2=°垂直，則直線/的方程為（）

Ax+y_2=0Bx-y+2=0Qx+y-3=0口工7+3=0

4.如圖，在直三棱柱A'。-A4G中，AC=3,BC=4,CC>3,Z4CB=90°,則8a與4。所成角

的余弦值為（）

述3A/25/2石

A.1°B.1°C.4D.5

5.已知直線K37+6=0,%2x+y+3=0,若則，”的值為（）

A.-2B.2c.2D.2

3=1

6.直線42與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B,以線段AB為直徑的圓的方程為（）

2222

Ax+y-4x-2y-1=0Bx4-y-4x-2y=0

Cx2+y2-4x-2y+1=0口x2+y2-2x-4y=0

7.已知點(diǎn)A（2，D,點(diǎn)B在直線了一丫+3=°上，則AB的最小值為（）

A.石B.而C.2忘D.4

8.如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,℃的中點(diǎn),

則尸G,A8二（）

c

x/3116

A.4B.4c.2D.2

二、多選題（每小題5分，共20分）

9.己知直線/：2x-y+5=°,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線心4》-2丫+5=0與直線］相互平行B直線公》-2），+5=°與直線1相互垂直

C.直線/3：》一丫二°與直線1相交D.點(diǎn)G，Y）到直線1的距離為3—

10.下列結(jié)論正確的有

A.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，恰有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球不是互斥事件

B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4°C時(shí)結(jié)冰為隨機(jī)事件

C.若一組數(shù)據(jù)1,。，2,4的眾數(shù)是2,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3

D.某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校四個(gè)年級(jí)

的本科生中抽取一個(gè)容量為400的樣本進(jìn)行調(diào)查.若該校一、二、三、四年級(jí)本科生人數(shù)之比為6:5:5:4,

則應(yīng)從四年級(jí)中抽取80名學(xué)生

11.過(guò)點(diǎn)/（L2）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）

X—y+\=0Bx+y—3=()c2x—y=0px+y+3=0

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AAGR中，E,尸,G分別為棱A2，AA，c。的中點(diǎn)，則（）

4d

A.BEBF=6B.收，平面8所

4

C.所，BPD.點(diǎn)用到平面8防的距離為§

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.求過(guò)兩條直線*_2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且與3x+4y-2=0平行的直線方程

14.設(shè)空間向量”（T2間，"=（2，"，T）,若a"b,則l"M=

15.假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲

三、解答題（共70分）

17.已知-MC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（L°），B（-3,2）,C（0,3）,

（1）求AB邊上的高所在直線的方程;

⑵求A3C的面積.

18.已知A（2,。），8（1,3）.

（1）求線段AB的垂直平分線/的直線方程；

（2）若一圓的圓心在直線”+2丫-2=°上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,求該圓的方程.

19.為配合創(chuàng)建文明城市，某市交警支隊(duì)全面啟動(dòng)路口秩序綜合治理，重點(diǎn)整治機(jī)動(dòng)車不禮讓行人的行

為.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的治理，從市交警隊(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)中調(diào)取了10個(gè)路口的車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這10個(gè)路口的違章

車次的數(shù)量繪制如下的頻率分布直方圖，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中凡違章車次超過(guò)3。次的路口設(shè)為“重點(diǎn)關(guān)注路口”

⑴根據(jù)直方圖估計(jì)這10個(gè)路口的違章車次的平均數(shù)；

（2）現(xiàn)從“重點(diǎn)關(guān)注路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口安排交警去執(zhí)勤，求抽出來(lái)的路口中有且僅有一個(gè)違章車次

在(叫50］的概率.

20.如圖.在四棱錐尸一他8中，底面ABC。是矩形，AB=2AD=2,PA_L平面ABC。，E為PD中

點(diǎn)，且以=1.

BC

(1)求證：PB〃平面ACE；

(2)求面網(wǎng)與面EAC所成角的余弦值.

21.甲、乙、丙三名學(xué)生一起參加某高校的強(qiáng)基計(jì)劃考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合

格者將成為該高校的預(yù)錄取生(可在高考中加分錄取)，兩次考試過(guò)程相互獨(dú)立，根據(jù)甲、乙、丙三名

學(xué)生的平均成績(jī)分析，甲、乙、丙3名學(xué)生能通過(guò)筆試的概率分別是0.7,0.5,0.6,能通過(guò)面試的概率

分別是0.7,0.6,0.5.

(1)求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩人通過(guò)筆試的概率；

(2)求經(jīng)過(guò)兩次考試后，至少有一人被該高校預(yù)錄取的概率(精確到0.01).

22.在直角梯形A88中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2五,ZABC=90°,如圖①把△A8O沿BO翻

折，使得平面/曲，平面8。(如圖②).

(1)求證：CD~L48；

BN

⑵在線段上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACQ所成的角為60。？若存在，求出正的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1.c

【分析】直線化為斜截式，即可確定其斜率.

【詳解】由題設(shè)，直線可化為，=顯-10,故其斜率為6

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)互斥事件概率公式即得.

【詳解】記事件A=｛甲級(jí)品｝,B=｛乙級(jí)品｝,C=｛丙級(jí)品｝，則A與8+C是對(duì)立事件,

所以「（A）=1_p（8+C）=1—0.03-0.01=0.96

故選：B.

3.D

【分析】求圓心坐標(biāo)，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得.

【詳解】由（x+3）°+V=4可知圓心為（T°）,

又因?yàn)橹本€/與直線x+y+2=°垂直，

所以直線/的斜率為4=1,

由點(diǎn)斜式得直線，：y-0=x+3,

化簡(jiǎn)得直線/的方程是X一曠+3=°.

故選：D.

4.A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出BG，ae以及忸.|，林4,代入異面直線所成角的向量公式中即可得

出答案.

【詳解】因?yàn)锳8C-4SG為直三棱柱，且NACB=90°,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

8(0,4,0),C(0,0,0)C(0,0,3),A(3,0,3)所以BC,=(O,-4,3),AC=(-3,O,-3)

|BC,|=5,|AC|=>/9+9=3^

93a

COS。

設(shè)與AC所成角為先所以記

3&

則BCX與AC所成角的余弦值為元.

故選：A.

a

5.C

【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€4：儂7+6=°,幻2x+y+3=0,（U,

m=-1

所以2利-1=0,解得2.

故選：C.

6.B

【分析】利用截距式的幾何意義得到44,0）,8（0,2）,從而求得該圓的圓心與半徑，進(jìn)而得解.

2+上=1

【詳解】因?yàn)橹本€42■■在x,y軸上的截距分別為4,2,則A（4，0）,以0,2）,

c八r=1|AB|=Ljl6+4=6

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）,且22,

故以線段AB為直徑的圓的方程為（x-2）2+（y-l）2=5,即f+丁-4x-2y=0.

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，易知當(dāng)AB與直線垂直時(shí)滿足題意，求出點(diǎn)A到直線x-y+3=°的

距離即可.

【詳解】如下圖所示：

易知當(dāng)AB與直線》-'+3=°垂直，且8為垂足時(shí)，A8的值最小;

此時(shí)A8的最小值為點(diǎn)A到直線x-y+3=0的距離,

\AB\,=d=)3J=272

即同了

故選：c

8.B

【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得FG-AB.

【詳解】依題意，E，F(xiàn),G分別是AB,AD,OC的中點(diǎn)，

FG//AC,FG=-AC

所以2,

三角形A3C是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1.

FGAB=-AC-/IB=-|AC|-|AB|-COS60O=-

所以221???4.

故選：B

9.ACD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)ABC,根據(jù)直線與直線位置關(guān)系的判斷方法，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可判斷出選

項(xiàng)ABC的正誤；對(duì)于選項(xiàng)D,直接利用點(diǎn)到線的距離公式即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€，：2x-y+5=°,斜率&=2,縱截距為6=5,

,-5八5=5

/]:2x—VH—=0]_勺—>_I5r_II

選項(xiàng)A,因?yàn)橹本€'2，斜率為勺=2,縱截距為2,所以"=占，2,故直線以相互平行,

故A正確；

k=k.k

2=2x—*=]0—[

選項(xiàng)B,因?yàn)橹本€4：x-2y+5=0,斜率為？一2,所以-2一,故直線14相交但不垂直,

故B錯(cuò)誤；

j2x-y+5=0

選項(xiàng)C,由=°,解得x=y=-5,所以直線/，4的交點(diǎn)為(-5,-5),故c正確；

d=|2x3-(-4)+5|=3右

選項(xiàng)D,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的公式知，(3,T)到直線1的距離VP+22,故D正確；

故選：ACD.

10.AD

【解析】A.分別寫出兩個(gè)事件，根據(jù)互斥事件的概念判斷；B.根據(jù)自然知識(shí)之間判斷選項(xiàng)；C.根據(jù)眾數(shù)

和平均數(shù)公式計(jì)算結(jié)果；D.根據(jù)分層抽樣的計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果.

【詳解】A.恰有一個(gè)黑球包含的事件是“一黑一紅”，至少有一個(gè)紅球包含的事件是“一紅一黑''和"兩個(gè)紅

球，，，兩個(gè)事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A正確；

B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4°C時(shí)結(jié)冰為不可能事件，故B不正確

1+2+2+49

C.眾數(shù)是2,所以4=2,平均數(shù)4一~4,故C不正確；

4

--------------x400=80

D.由條件可知6+54-5+4名學(xué)生，故D正確.

故選：AD

11.BC

【分析】根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，分別設(shè)出所求直線的方程，結(jié)合過(guò)點(diǎn)即可

求解.

【詳解】當(dāng)所求直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí);設(shè)所求直線的方程為x+y="，

因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)M(L2),代入可得a=3,即x+y-3=o；

當(dāng)所求直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為'=丘，

因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)“82),代入可得2=2,即2x-y=0,

綜上可得，所求直線的方程為2'-丫=°或無(wú)+丫-3=0.

故選：BC.

12.ABD

【分析】建系，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的垂直垂線的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，向量法

求解點(diǎn)面距，即可分別求解.

［詳解］/

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0)/(2,0,1),E(L0,2),與(2,2,2),8(2,2,0)

G(O,l,O),BE=(-l,-2,2),BF=(O,-2,l),BlG=(-2,-l,-2),EF=(l,O,-l),BBl=(0,0,2).BEBF=6M正

確.

BEBlG=0,BFBlG=0,BFEF^0

所以尸_LgG,4G,平面BEE,直線8尸與直線E尸不垂直，8正確，C錯(cuò)誤.

網(wǎng)?叫_4,/?

點(diǎn)及到平面的的距離為lS|Gl3正確.

故選：ABD.

133x-4y+8=0

【分析】求出直線“一2丫+4=°和x+y-2=°的交點(diǎn)，設(shè)所求直線方程為3x-4y+機(jī)=0,代入交點(diǎn)坐標(biāo)

求解即可.

卜-2y+4=0fx=O

【詳解】聯(lián)立卜+，-2=。，解得［y=2,故交點(diǎn)坐標(biāo)為（°，2）,

設(shè)直線方程為3x-4y+，〃=0,

將（°，2）代入得—8+m=。，解得加=8,

故所求直線方程為3x-4y+8=0

故答案為：3x-4y+8=0

14.9

【分析】先利用空間向量共線定理，得到A=由此求出機(jī)和〃的值，得到。，6的坐標(biāo)，求出a-b的

坐標(biāo)，再利用向量模的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)榭臻g向量"=（-12"），b=（2,〃,Y）,且

所以。二肛

即（2,幾—4）=A（—1,2,〃z）

2=—2

<n=22

可得［-4=而，解得〃?=2,〃=一4,

所以a=（T2,2）,A=（2,TT）

則。一。=（一3,6,6）,

所以卜「〃卜/劣+6+有二）

故答案為：9

15.2##0.5

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)以及古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】解：兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1,2,3,4中的之一.

它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10個(gè)，

10

因此所求的概率為人=05

故答案為：2.

16.1+&

【分析】J（xT）2+（y-lf表示點(diǎn)P（x,y）與點(diǎn)（1,1）的距離，由圓的性質(zhì)可求.

【詳解】圓一+）'2=1的圓心為（°，°）,半徑為1,

圓心到點(diǎn)（L1）距離為J（0T）2+（0T）2=0,

，所求最大值為0+L

【點(diǎn)睛】設(shè)圓的半徑為,，圓心到平面上一點(diǎn)用的距離為"，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)”距離的最大值為d+J

最小值為小工

17.⑴丫=2*+3；

（2）5.

【分析】（1）求出直線AB的斜率，進(jìn)而求出AB邊上的高所在直線的斜率及方程.

（2）求出直線AC的方程，由點(diǎn)到直線的距離求解三角形的高，進(jìn)而求出面積.

2-0_1

【詳解】（1）直線AB的斜率為工1一一5,因此A8邊上的高所在直線的斜率為2,

所以AB邊上的高所在直線的方程為：y=2x+3

土+上=1

（2）直線AC的方程為13，即3x+y-3=0,

^=|3x（3）+2-3[=715

22

于是點(diǎn)8到直線AC的距離為：V3+l,而=W+3=V10；

…八s=—xlAClxJ=—xVlOxVio=5

所以.ABC的面積"C2112

18.⑴Iy+3=0

⑵V+（y-l）2=5

【分析】（1）利用點(diǎn)斜式方程即可求得；、

（2）分別求出圓心和半徑，進(jìn)而求出標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】⑴因?yàn)锳（2，°）,8（1,3）,

k=-=-3

所以A5的中點(diǎn)為22,斜率1-2,

所以線段A8的垂直平分線/的斜率為'3,

即/的直線方程為2312),化簡(jiǎn)得x-3y+3=0

Jx-3y+3=0

⑵聯(lián)立］x+2y-2=°解得x=0,y=l,即圓心為(0,1),

所以圓的半徑〃=JR-。)?+(1-0)2=后,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+3-4=5.

19.(1)29

8

⑵15

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的方法直接計(jì)算即可；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到違章車次在(3°，4°］和(40,50］的路口數(shù)，采用列舉法可得所有基本

事件和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式可計(jì)算得到結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)平均數(shù)'為：

x=(5x0.01+15x0.02+25x0.01+35x0.04+45x0.02)x10=29

(2)由頻率分布直方圖可知：違章車次在(3°40］的路口有4個(gè)，記為AB，C,O；違章車次在(40,50］的

路口有2個(gè),記為

從“重點(diǎn)關(guān)注路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口，則有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,

Ca,Cb,Da,Db,ab,共15種情況；

其中有且僅有一個(gè)違章車次在I406。］的情況有A。，Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,共8種情況;

P=-

??所求概率15.

20.⑴證明見解析;

2

(2)3.

【分析】(1)連接8。交AC于°,易證OE〃PB,由線面平行的判定證結(jié)論；

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面RW與面區(qū)C所成角的余弦值.

【詳解】(1)連接8。交AC于0,底面ABCO是矩形，故。是5。的中點(diǎn)，

E為PD中點(diǎn)、,則OE〃尸8,OEu面ACE,面ACE,

所以PB//平面4CE；

（2）由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系

C(2,1,0),E(0,g,3AC=(2,1,0),AE=(0,，)

所以22,則22,

m-AC=2x+y=0

'1八

m-AE=—y+—z=0

若根=(x,y,z)為面應(yīng)^的一個(gè)法向量，則［2-2

令x=l,則〃?=（1,-2,2）,又"=（0，1，0）為面皿的一個(gè)法向量,

/\m-n22

Icos（/n,-：~~—1=----=—￡9

所以1刈1汨3x13,故面A4B與面E4C所成角的余弦值為獲

21.(1)0.65

(2)0.75

【分析】（1）確定甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩人通過(guò)筆試的情況有4種可能，根據(jù)互斥事件的概率

加法公式以及獨(dú)立事件的乘法公式，即可求得答案.

（2）利用對(duì)立事件的概率求法即可得答案.

【詳解】（1）分別記“甲、乙、丙三名學(xué)生筆試合格”為事件》&人，則4，&4為相互獨(dú)立事件，E

表示事件“至少有兩人通過(guò)筆試”，

則P(E)=P(A44)+尸(A無(wú)A)+P伍&A)+P(4M3)

=0.7x0.5x(1-0.6)+0.7x0.5x0.6+(1-0.7)x0.5x0.6+0.7x0.5x0.6=0.65,

即至少有兩人通過(guò)筆試的概率是0.65；

(2)分別記“甲、乙、丙三名學(xué)生經(jīng)過(guò)兩次考試后合格”為事件A,B,C,

則P(4)=0.7x0.7=0.49,P(B)=0.5x0.6=0.3,尸(C)=0.6x0.5=0.3

事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被該高校預(yù)錄取”，

則不表示甲、乙、丙三人均沒有被該高校預(yù)錄取，F(xiàn)=ABC,

于是P(尸)=I-P(E=I-

=1一(1一0.49)x(1-0.3)x(1-0.3)

=1-0.51x0.7x0.7=0.7501a0.75,

即經(jīng)過(guò)兩次考試后，至少有一人被該高校預(yù)錄取的概率是0.75

22.(1)證明見解析；

BN1

⑵存在，BC~4,理由見解析.

【分析】(1)若。為8。中點(diǎn)，連接4°,易得AO'BO,由面面、線面垂直的性質(zhì)有A°J_CO,最后

根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)證結(jié)論；

(2)過(guò)。作