2023年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)：動態(tài)幾何問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)

第10天動態(tài)幾何問題

%中考預(yù)測

數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化面精彩紛呈。動態(tài)幾何問題是近年來中

考的一個重難點問題，以運動的觀點探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化

規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問題。隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究

在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不

變”性的試題。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、

精彩四射。

預(yù)測分值：6分左右

難度指數(shù)：★★★★

E必考指數(shù)：★★★★★

D動態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩

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種，那么動態(tài)幾何也有直線型的和曲線型的兩類，即全等三角形、相似三

角形中的動態(tài)幾何問題，也有圓中的動態(tài)問題。有點動、線動、面動，就

其運動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等。根據(jù)其運動的特點，又

可分為（1）動點類（點在線段或弧線上運動）也包括一個動點或兩個動點;（2）

動直線類;（3）動圖形問題。

2）解決動態(tài)幾何題，通過觀察，對幾何圖形運動變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其

中的變量”和“定量”動中求靜，即在運動變化中探索問題中的不變性:

動靜互化抓住“靜”的睡間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動

與靜”的關(guān)系:這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、

結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類問題，要善干探索圖形的運動特點和規(guī)律

抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動。解決運動型試題需

要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過

程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系

或特殊關(guān)系。

3）動態(tài)幾何形成的存在性問題，重點和難點在干應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合

的思想準確地進行分類，包括等腰（邊）三角形存在問題，直角三角形存在

問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等三角形

存在問題，相似三角形存在問題等。

￡—令

/真題回顧

一.選擇題

1.（2022?日照）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形。8C的頂點。在坐

標原點，點E是對角線ZC上一動點（不包含端點），過點E作EF//8C,交4B于

F,點尸在線段EF上.若。4=4,OC=2,ZAOC=45o,EP=3PF,P點的橫坐

標為"？，則的取值范圍是（）

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C.2-√2<m<3D.4<∕n<4+√2

2.（2022?綿陽）如圖1,在菱形/88中，NC=I20。，W是/8的中點，N是對

角線8。上一動點，設(shè)。N長為X,線段MN與/N長度的和為y,圖2是y關(guān)于X

的函數(shù)圖象，圖象右端點尸的坐標為（2√L3）,則圖象最低點E的坐標為（）

3.（2022?貴港）如圖，在邊長為1的菱形/88中，ZABC=GOo,動點E在邊

上（與點4,B均不重合），點尸在對角線/C上，CE與BF相交于點G,連接NG,

DF,若AF=BE,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.DF=CEB.ZSGC=120°

C.AF2=EGECD./G的最小值為述

3

4.（2022?恩施州）如圖，在四邊形NBeZ）中，ΔA=Z.B=90o,AD=IOcm,BC=Scm,

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點尸從點。出發(fā)，以IC機/s的速度向點/運動，點M從點8同時出發(fā)，以相同的

速度向點C運動，當其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動.設(shè)點?

的運動時間為，（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當f=4s時，四邊形/BA行為矩形

B.當f=5s時，四邊形CAPM為平行四邊形

C.當CO=PM時，t=4s

D.當CO=尸歷時，f=4s或6s

5.（2022?大慶）平面直角坐標系中，點M在y軸的非負半軸上運動，點N在X軸

上運動，滿足OM+ON=8.點。為線段MN的中點，則點。運動路徑的長為（）

A.4乃B.8√2C.8πD.16√2

6.（2022?泰州）如圖，正方形的邊長為2,E為與點。不重合的動點，以

OE為一邊作正方形。E尸G.設(shè)OE=4，點尸、G與點C的距離分別為4、di,

則4+4+4的最小值為（)

C.2√2D.4

7.（2022?十堰）如圖，°。是等邊Δ∕15C的外接圓，點。是弧ZC上一動點（不

與4,C重合），下列結(jié)論：①ZADB=NBDC;②DA=DC;③當。8最長時，

DB=2DC;?DA+DC=DB,其中一定正確的結(jié)論有（）

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C.3個D.4個

8.（2022?宜賓）如圖，MBC和Δ∕WE都是等腰直角三角形，NB4C=NDAE=90°,

點。是8C邊上的動點（不與點8、C重合），DE與4C交于點F,連結(jié)CE.下

4

列結(jié)論：?BD=CE；②NDAC=NCED；③若BD=2CD,則一=-；④在A48C內(nèi)

AF5

存在唯---點、P,使得PZ+P8+PC的值最小，若點。在4尸的延長線上，且4P的

長為2,則CE=2+√Γ其中含所有正確結(jié)論的選項是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

9.（2022?泰安）如圖，四邊形48CD為矩形，AB=3,BC=4,點P是線段BC上

一動點，點M為線段4尸上一點,AADM=ZBAP,則BM的最小值為（)

ɑ.J13—D.3—2

2

10.（2022?甘肅）如圖1,在菱形/88中，4=60。，動點尸從點力出發(fā)，沿折

線4D→?OC→C8方向勻速運動，運動到點8停止.設(shè)點尸的運動路程為X,AAPB

的面積為y,y與X的函數(shù)圖象如圖2所示，則48的長為（）

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D.4√3

11.（2022?紹興）如圖,在平行四邊形/BCO中,AD=2AB=2,ZABC=60°,E,

E是對角線8。上的動點，SLBE=DF,M,N分別是邊4）,邊8C上的動點.下

列四種說法：

①存在無數(shù)個平行四邊形MENF;

②存在無數(shù)個矩形MEN尸；

③存在無數(shù)個菱形NENF;

④存在無數(shù)個正方形MENF.

其中正確的個數(shù)是（）

B

A.1B.2C.3D.4

12.（2022?德州）如圖，正方形Z8C。的邊長為6,點E在BC上，CE=2.點M

是對角線8。上的一個動點，則E"+CΛ∕的最小值是（)

B.3√5C.2√Γ3D.4√13

13.（2022?東營）如圖，己知菱形NBC。的邊長為2,對角線AC、8。相交于點0,

點W,N分別是邊8C、CD上的動點，NBAC=NMAN=60°,連接MN、OM.以

下四個結(jié)論正確的是（）

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①Δ∕4MN是等邊三角形;

②MN的最小值是百；

③當MN最小時&曲=（S菱

O^ABCD；

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

14.（2022?資陽）如圖，正方形/88的對角線交于點。，點E是直線BC上一動

點.若/8=4,則/E+OE的最小值是（）

15.（2022?荷澤）如圖，在菱形中，AB=2,ZABC=60o,M是對角線8。

上的一個動點，CF=BF,則M4+W的最小值為（）

A.1B.√2C.√3D.2

16.（2022?廣安）如圖，菱形的邊長為2,點尸是對角線NC上的一個動點,

點、E、尸分別為邊力。、OC的中點，則PE+P尸的最小值是（）

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DFC

A.2B.√3C.1.5D.√5

o

17.（2022?赤峰）如圖，菱形/8CD,點N、B、C、。均在坐標軸上.ZABC=120r

點2（-3,0）,點E是。）的中點，點尸是OC上的一動點，則尸。+PE的最小值是（

C.2√2D.-^3

2

二.填空題

18.（2022?德州）如圖，Δ∕48C是等腰直角三角形，ZACB=90o,AC=BC=4,

點。是斜邊43上一點，且">=L∕8,將MBC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△

4

A'B'C',BC交AB于點、E.其中點C的運動路徑為弧CC,則弧Cc的長度

19.（2022?內(nèi)蒙古）如圖，在等腰直角三角形Z8C中，∕C=8C=1,點P在以斜

邊/8為直徑的半圓上，〃為尸C的中點，當點尸沿半圓從點/運動至點8時，點

用運動的路徑長是

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P

20.（2022?日照）如圖，在平面直角坐標系Xoy中，點4的坐標為（0,4）,尸是X軸

上一動點，把線段4繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段的，連接。尸，則線段。廠長

的最小值是—.

21.（2022?通遼）如圖，OO是ΔJBC的外接圓，NC為直徑，若∕8=2√J,BC=3,

點尸從8點出發(fā)，在根8。內(nèi)運動且始終保持/。尸=/8/尸，當C,P兩點距離

最小時，動點尸的運動路徑長為.

C

22.（2022?大慶）如圖，正方形488中，點E,尸分別是邊/8,BC上的兩個

動點，且正方形N8C。的周長是ΔBEF周長的2倍.連接。E,。P分別與對角線ZC

交于點W,N,給出如下幾個結(jié)論：①若花=2,CF=3,則防=4；②

NEFN+NEMN=180°；③若∕M=2,CN=3,則MN=4；④若"=2,BE=3,

AM

則M=4.其中正確結(jié)論的序號為—.

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23.（2022?黑龍江）在矩形/88中，AB=9,4。=12,點E在邊C。上，且CE=4,

點?是直線8C上的一個動點.若Δ∕IPE是直角三角形，則8P的長為.

24.（2022?黑龍江）如圖，菱形ZBCZ）中，對角線ZC,8。相交于點。，NBAD=60°,

AD=3,Z〃是乙SNC的平分線，CELAH于點E,點尸是直線Z8上的一個動點,

25?（2022?宜昌）如圖，點N,B,C都在方格紙的格點上，ZUBC繞點力順時

針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到4∕8C,則點8運動的路徑前，的長為—.

26.（2022?宿遷）如圖，在矩形/8Cz）中，AB=6,8C=8,點A/、N分別是邊4。、

8C的中點，某一時刻，動點E從點收出發(fā)，沿M4方向以每秒2個單位長度的

速度向點N勻速運動；同時，動點尸從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長

度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連

接過點5作EF的垂線，垂足為在這一運動過程中，點4所經(jīng)過的路徑

長是一.

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E+

D

BNAFC

27.（2022?廣元）如圖，直尺/8垂直豎立在水平面上，將一個含45。角的直角三

角板CDE的斜邊Z）E靠在直尺的一邊N8上，使點E與點4重合，DE=Ucm.當

點。沿以方向滑動時，點E同時從點/出發(fā)沿射線NF方向滑動.當點?；瑒拥?/p>

點/時，點C運動的路徑長為cm.

28.（2022?衡陽）如圖，用一個半徑為6海的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了

120°,假設(shè)繩索粗細不計，且與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了—cm.（結(jié)

果保留》）

29.（2022?寧波）如圖，在中，AC=2,BC=A,點。在BC上，以08為

半徑的圓與4C相切于點4.。是8C邊上的動點，當AzfCC為直角三角形時，AD

的長為—.

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BC

?O

30.（2022?達州）如圖，在邊長為2的正方形中，點E,尸分別為n。，CD

邊上的動點（不與端點重合），連接8E,BF,分別交對角線ZC于點尸，。.點

E,尸在運動過程中，始終保持NESF=45。，連接EF,PF,PD.下列結(jié)論：

①PB=PD;?ZEFD=2AFBC;③P0=Λ4+C0;④A8PF為等腰直角三角形；⑤

若過點8作8∕∕LEF,垂足為“，連接DH,則。”的最小值為2√Σ-2,其中所

有正確結(jié)論的序號是—.

31.（2022?南充）如圖，正方形/8Co邊長為1,點E在邊NB上（不與4,B重

合），將Δ∕1DE沿直線OE折疊，點力落在點4處，連接48,將48繞點8順時針

旋轉(zhuǎn)90°得到A2B,連接A1A,A1C,A2C.給出下列四個結(jié)論：①?ABAλ≡^CBA2；

②N/OE+"C8=45。；③點尸是直線OE上動點，則CP+%P的最小值為√Σ;④

當乙WE=30。時，ZS48E的面積為三A.其中正確的結(jié)論是___.（填寫序號）

6

AEB

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≡.解答題

32.（2022?東營）ZU8C和ΔJ。尸均為等邊三角形，點E、。分別從點4,8同時

出發(fā)，以相同的速度沿N8、BC運動，運動到點8、C停止.

（1）如圖1,當點E、。分別與點力、8重合時，請判斷：線段CO、E尸的數(shù)量

關(guān)系是—，位置關(guān)系是—;

（2）如圖2,當點E、。不與點4,8重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若

成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）當點。運動到什么位置時，四邊形CEQ的面積是Δ^3C面積的一半，請直

接寫出答案；此時，四邊形8。EF是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并

給予證明.

33.（2022?安順）如圖1,在矩形NBCe）中，48=10,AD=S,E是/。邊上的一

點，連接CE,將矩形/8CO沿CE折疊，頂點。恰好落在/8邊上的點尸處，延

長CE交口的延長線于點G.

（1）求線段ZE的長；

（2）求證四邊形。GFC為菱形；

（3）如圖2,M,N分別是線段CG,OG上的動點（與端點不重合），且

ADMN=ZDCM,設(shè)DN=X,是否存在這樣的點N,使ΔOΛ∕N是直角三角形？若

存在，請求出X的值；若不存在，請說明理由.

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動,將/E繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于NBAC，連接CA

(1)當點E在BC上時，作Qvf_LZC,垂足為求證：AM=AB-,

(2)當我=3√Σ時，求CF的長；

(3)連接外■,點E從點8運動到點。的過程中，試探究OF的最小值.

35.(2022?濟寧)如圖，ZVIOB是等邊三角形，過點/作y軸的垂線，垂足為C,

點C的坐標為(0,6).P是直線/8上在第一象限內(nèi)的一動點，過點尸作N軸的垂

線，垂足為。，交NO于點E,連接4),作。交X軸于點Λ/,交/。于點

F,連接BE,BF.

(1)填空：若MOO是等腰三角形，則點。的坐標為—:

(2)當點戶在線段/8上運動時(點P不與點4,8重合)，設(shè)點加的橫坐標為

①求加值最大時點。的坐標；

②是否存在這樣的加值，使BE=BF?若存在，求出此時的加值；若不存在，請

說明理由.

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36.（2022?蘭州）綜合與實踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄

銅遺址出土車喜（Wei）范、芯組成的鑄型（如圖1）,它的端面是圓形.如圖2是

用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端N沿圓周

移動，直到∕8=ZC,在圓上標記/,B,C三點；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左

側(cè)邊落在8點上，“矩”的另一條邊與的交點標記為。點，這樣就用“矩”

確定了圓上等距離的B,C,。四點，連接/O,BC相交于點0,即。為圓

心.

B

問題解決：（1）請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾

何作圖確定圓心O.如圖3,點/,B,C在0。上，ABLAC,且4B=∕C,請

作出圓心。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定

端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果48和/C不相等，用三角板也可以確定圓心0?如

圖4,點4,B,C在0。上，ABLAC,請作出圓心。.（保留作圖痕跡，不寫

作法）

第15頁（共120頁）

拓展探究：（3）小梅進一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存

在誤差，用平時學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點/,B,

C是。。上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心。.（保留作圖痕跡，

不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：—.

連接。8,AD=DB,點尸是邊4C上一動點（點P不與點N,D,C重合），過點

P作/C的垂線，與NB相交于點0,連接。0,設(shè)∕lP=x,ΔP。。與Δ∕J3D重疊部

分的面積為S.

（1）求AC的長；

（2）求S關(guān)于X的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量X的取值范圍.

一.選擇題

1.（2023?泰山區(qū)一模）如圖，矩形Z5C。中，AD=↑2,AB=8,E是4B上一點,

且E8=3,尸是BC上一動點，若將AEBF沿E尸對折后，點8落在點尸處，則點尸

到點。的最短距離為（）

第16頁（共120頁）

C.10√2D.5√2

2.（2023?廬江縣二模）如圖，NZ=ZS=45。，∕3=4√Σ,點C,。分別在4,NB

的另一邊上運動，并保持CD=2,點/在邊8C上，=2,點N是CD的中點,

若點尸為/8上任意一點，則PM+PN的最小值為（）

A.2√2+1B.2√5+1C.2√2-lD.2√5-l

3.（2023?天寧區(qū)模擬）如圖，在Δ∕48C中，34=45。,38=60。,ZB=4,BDLAC,

點、E、F、G分別是4）、BD、BC上的動點，且BF=OE,則正EF+FG的最

2

小值為（）

A.√2B.√3C.—D.—

22

4.（2023?勤州區(qū)一模）如圖，在邊長為8的正方形”8中，點。為正方形的

中心，點E為邊上的動點，連結(jié)OE,作。尸_LOE交8于點尸，連結(jié)EE,P

為跖的中點，G為邊Cz）上一點，且CD=4CG,連結(jié)P/,PG,則P4+PG的最

小值為（）

第17頁（共120頁）

A.10B.4√7C.8√2D.2√29

5.（2023?天長市一模）如圖，在正方形中，/8=4,G是8C的中點，點E

是正方形內(nèi)一動點，且EG=2,連接。E,將線段Z）E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段D尸，連接CT7,則線段CF長的最小值是（）

A.2√5-2B.2C.3D.√5

6.（2023?肇東市一模）如圖，正方形NBCD中，AB=2,連接/C,NZCD的平

分線交AD于點、E,在上截取//=連接。F,分別交CE,4C于點G,H,

點P是線段GC上的動點，P。，/IC于點0,連接P",/W+P0的最小值是（）

A.√2B.2C.2√2D.4

7.（2023?肇東市模擬）如圖，在正方形/88中，E是線段CO上一動點，連接

4E交BD于點F,過點尸作FG交BC于點G,連接4G,EG,現(xiàn)有以下結(jié)

論：①ΔJFG是等腰直角三角形；②DE+BG=EG;③點4到EG的距離等于正方

形的邊長；④當點E運動到8的三等分點時，變=L或空=L以上結(jié)論正確

BC2BC3

第18頁（共120頁）

的個數(shù)有（)

C.3個D.4個

8.（2023?尉氏縣一模）如圖，已知矩形ABCD,對角線AC與8。相交于點O,AB=A,

當P/+Po取最小值時,8尸的長為（

C.2D.√5

9.（2023?遵義模擬）如圖，菱形ZBC。的邊長為2,NB=120。，點P是對角線/C

上的一個動點，點E、尸分別為邊OC的動點，則PE+PF的最小值是（）

A.2B.1.5C.√5D.√3

10?（2023?秀英區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形NBCO中，對角線ZC、8。相交于

點。，點E是8/的延長線上一動點，連接OE交力。于點尸，若CD=5,BC=S,

AE=2,則Z尸的長為（）

第19頁（共120頁）

11.（2023?潘水縣一模）如圖，在RtAABC中，NABC=90。,sinZACB=-,BC=S,

點。是斜邊/C上的動點，將線段8。繞點8旋轉(zhuǎn)60。至"，連接CE,DE,則CE

的最小值是（）

A.√EB.2√5-√f5C.2√5D.√l5-√5

12.（2023?合肥一模）如圖，ΔJ8C為等邊三角形，80平分N∕8C,AB=I,點、E

為8。上動點，連接/E,則/￡+的最小值為（）

B.√2C.√3

13.（2023?安徽模擬）在RtAABC中，斜邊ZC=Io,點8為動點，以ZC為邊長

作等邊Δ∕1CΓ?,連接8。，則8。的最大值是（）

A.10B.5√3C.5√2+5D.5√3+5

14.（2023?滕州市模擬）如圖，已知矩形/BCD,AB=Z,ZQ=4,點E是矩形

內(nèi)部一動點，且NBEC=90。，點尸是”邊上一動點，連接PD,PE,則PZHPE

長度的最小值為（）

D

第20頁（共120頁）

A.8B.4√5C.10D.4√5-2

15.（2023?泰山區(qū)一模）如圖，已知等邊Δ∕18C的邊長為4,P。、R分別為

邊4B、BC、4C上的動點，則PR+Q?的最小值是（）

A.2√2B.2C.2√3D.3√2

16.（2023?貴池區(qū)一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90o,BC=6,/8=30。,

動點N分別在邊/8,BCh,則CM+MN的最小值是（）

A.2√3B.2√6C.6D.3√3

17.（2023?港南區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，Δ∕J8O是邊長為26的等

邊三角形，。。是48邊上的高，點尸是。。邊上的一個動點，若點C的坐標是（0,-1）,

則尸4+PC的最小值是（）

A.19B.2√3C.√19D.18

18.（2023?邯山區(qū)一模）如圖，在一間黑屋子的地面/處有一盞探照燈.，當人從

燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（）

第21頁（共120頁）

fl

A

A.變大B.變小C.不變D.不能確定

19.（2023?南潺區(qū)一模）如圖，點尸是RtAABC斜邊/8上的動點，點。、E分別

在NC、BC邊上，連結(jié)尸。、PEAC=24,BC=I?,,CZ）=8,CE=6,則當尸D+PE

取得最小值時力尸的長是（）

A.18B.—C.—D.—

555

20.（2023?茅箭區(qū)一模）如圖，在Δ∕18C中，Z8=∕C=10,點。是邊8C上一動

點（不與8、C重合），ZADE=ZB=a,DE交AC于點、E,且COSa=?∣.下列結(jié)

論：①當8D=6時，AABD與ADCE全等;②AADESAACD;③ΔDCE為直角三

角形時，8。為8或胃；@CD1=CECA.其中正確的結(jié)論有幾個（）

21.（2023?歙縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-且X-6

22

的圖象與X軸交于點/,C兩點，與y軸交于點8,對稱軸與X軸交于點。，若P

為y軸上的一個動點，連接P。，則gp8+尸。的最小值為（）

第22頁（共120頁）

A.—B.—C.√3D.^√3

424

22.（2023?雨山區(qū)一模）如圖，點E是等邊三角形M8C邊NC的中點，點。是直

線8C上一動點，連接切，并繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段M,連接。F.若

運動過程中NF的最小值為√J+1,則”的值為（）

A.2B.4√3C.2√3D.4

23.（2023春?滑縣期中）如圖，點P是RtAABC中斜邊/C（不與力，C重合）上

一動點，分別作PM1AB于點M,作PNLBC于點N,點。是MN的中點，若A8=3,

AC=5.當點P在/C上運動時，則80的最小值是（）

24.（2023?天山區(qū)一模）如圖，。。的半徑為4,AB、CO是互相垂直的兩條直

徑，點尸是。。上任意一點，過點尸作尸于點M、PNLCD于點、N,點、Q是

MN的中點，當點P從點力順時針運動到點。時，點。所經(jīng)過的路徑長為（）

第23頁（共120頁）

A.4πB.3πC.2πD.π

25.（2023春?深圳期中）如圖，AB=Scm,ZA=ZB=60o,AC=BD=6cm,點、P

在線段AB上以lew/s的速度由點力向點8運動，同時，點Q在線段上以XCM/s

的速度由點8向點。運動，它們運動的時間為f（s）?當MCP與她尸。全等時，X的

值是（）

C.2或1.5D.1或2

26.（2023?沛縣一模）如圖，矩形ZBC。中，AB=2,JD=2√3,動點P從點/出

發(fā)向終點。運動，連接8P,并過點C作C4,8P,垂足為H.①MBPs入HCB;

②/，的最小值為√7-6;③在運動過程中，點”的運動路徑的長2信，其中

3

正確的有（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

27.（2023春?廬江縣期中）如圖，在菱形中，E,產(chǎn)分別是直線48,

CD,BC上的動點（E,尸不與8,C重合），連接PE,PF,G,”分別為PE，

尸尸的中點，連接GH.若N，8C=45。，AB=2y∕3,則G”的最小值為（）

第24頁（共120頁）

A.√3B.—C.√6D.—

22

28.（2023春?伊犁州期中）如圖，圓柱的底面周長為24,BC=I0,動點尸從/點

出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到8C的中點S,則移動的最短距離為（）

29.（2023?宜興市一模）如圖，相是。。的直徑，點C在。。上，CDVAB,垂

足為。，4。=2,點E是G）。上的動點（不與C重合），點尸為CE的中點，若在E

運動過程中。尸的最大值為4,則CO的值為（）

A.2√3B.2√2C.3√2D.-

2

30.（2023?焦作一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ZBCO的頂點8的坐標

為（4,3）,。為OC的中點，E是“8上一動點，將四邊形CMEZ）沿EO折疊，使點力

落在尸處，點。落在G處，當線段OG的延長線恰好經(jīng)過8C的中點H時，點尸的

坐標為（）

第25頁（共120頁）

C.(∣,$D?g學(xué)

31.（2023?包河區(qū)一模）如圖，已知線段｛8=6,點尸為線段/8上一動點，以PB

為邊作等邊APBC,以PC為直角邊，NCPE為直角，在XPBC同側(cè)構(gòu)造RtΔPCE,

點”為EC的中點，連接NM,則4W的最小值為（）

A.1B.2√3C.3D.6

32.（2023?拱墅區(qū)模擬）如圖，Δ∕18C中，ZABC=60o,NACB=I5。，點、D是BC邊

上一個動點，以工。為直徑作。。，分別交48、XC于點E、F,若弦EF長度的

最小值為2,則/8的長為（）

A.4√2B.-√3C.3D.-√6

33

33.（2023?宿遷一模）如圖，在矩形/8CD中，DC=3,AD=6DC,尸是/。上

一個動點，過點尸作PGL/C,垂足為G,連接8P,取8P中點E,連接EG,則

線段EG的最小值為（）

第26頁（共120頁）

APD

C.3D.√3

二.解答題

34.（2023?文山州一模）如圖，0。是/M8C的外接圓，/8是直徑，弦/。平分ZBAC,

過點。作射線XC的垂線，垂足為點尸，點E是線段/8上的動點.

（1）求證：尸。是。。的切線；

（2）若/8=30。，AB=S,在點E運動過程中，EC+EP是否存在最小值？若存

在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

35.（2023春?渦陽縣期中）（1）為了證明勾股定理，李明將兩個全等的直角三

角形按如圖1所示擺放，使點2、E、。在同一條直線上，如圖1,請利用此圖

證明勾股定理；

(2)如圖2,A48C中，ZACB=90°,AB=IOcm,BC=6cm,若點尸從點/出發(fā),

以每秒4cm的速度沿折線/-C-8運動，設(shè)運動時間為/秒（f>0）,若點P在N8/C

的平分線上，求此時，的值.

36.（2023春?西湖區(qū)期中）如圖，?°ABCDΦ,ZBAC=90o,ZABC=ASo,

/Z）=8c加，點尸從點力開始以l0w∕s的速度勻速向。點運動，點E從點。開

始以3cm∕s的速度勻速沿射線CB運動.連接PR記/P=x.

第27頁（共120頁）

(1)①BF=(用含X的式子表示)；

②若PFtBC,求X的值.

(2)若以4B,F,尸為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出X的值.

(3)當點P關(guān)于直線ZR對稱的點恰好落在直線ZB上，請求出X的值.

37.(2023春?武昌區(qū)期中)矩形。IBC的邊O/、OC在坐標軸上，點8(α,b),M(c,0)

其中a、b、C滿足Ja-4+(α+2c))=Jb-2+J2-6.

(1)求出a、b、C的值；

(2)如圖1,E是8C上一點，將Δz!8E沿花折疊得，夕交X軸于點。，

若NAED=45°,求BE的長；

(3)如圖2,點。是直線跖4上一動點，以。。為邊作等腰直角AOPQ,其中

N尸00=90。，。、°、尸按順時針排列，當Q在直線M4上運動時，P8+尸C的最

第28頁(共120頁)

考前押題

一.選擇題

1.如圖，在MBC中，ZABC=90o,NBAC=2NC,AB=6,分別以4,C為圓心,

以大于L/C的長為半徑畫弧，兩弧相交于O,E兩點，作直線DE交/C于

2

交.BC于N,連接ZN.G為AN上一動點、,過G作GPL/8,垂足為尸，連接G8,

則GF+GB的最小值為?（）

A.3B.3√3C.6D.6√3

2.點C是以/8為直徑的半圓。上的動點，。在BC上，且8O=2C。，點E、F、

G分別是/C、DE、4D的中點.若/8=12,則△。尸G的面積最大值為（）

3.如圖，矩形NBCD的對角線4C,BD交于點、O,AB=6,BC=S,尸點是NO上

不與力和。重合的一個動點，過點尸分別作/C和8。的垂線，垂足分別為點E、

F,則PE+P尸的值為（）

第29頁（共120頁）

二.填空題

4.在矩形48。）中，AB=6,4。=15,點E在邊8C上.且4皮）=90。，尸是射

線EO上的一個動點.若4IE尸是等腰直角三角形，則C尸的長為.

三.解答題

5.如圖1,直線與直線OC交于點。，ZSOC=ao（0o<αo<90°）.小明將一個含

30。，60。的直角三角板P0D如圖1所示放置，使頂點尸落在直線相上，過點。作

直線MN///B交直線OC于點"（點”在。左側(cè)）.

3若PD//OC,NNQD=45°,求α的度數(shù).

（2）如圖2,若NPQ”的角平分線交直線48于點E.

①當QE∕∕OC,α=60。時，求證：OCilPD.

②小明將三角板保持P。//OC并向左平移，運動過程中，探究NPE0與α之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2備用圖

第30頁（共120頁）

真題回顧

一.選擇題

1.【答案】A

【解答】解:可得C(√Σ,√2),/1(4,0),5(4+√2,√2),

.?.直線/8的解析式為：y=x-4,

/.X=?+4,

.*.X=4-?-y-2?[2y,

點尸的橫坐標為：y+4,點E的橫坐標為：4+y-2√Σy,

.?.EF=(y+4)-(4+y-2y∕2y)=2-j2y,

?.?EP=3PF,

1-Ji

：.PF=-EF=—y,

42

.?.點尸的橫坐標為：y+4------y,

?.?0<y<y/2,

故答案為：A.

2.【答案】C

【解答】解：如圖，連接/C,MC,

第31頁(共120頁)

?.?四邊形"8是菱形，NBCo=I20。，

.-.AB=BC,/C垂直平分BO,ΛABC=60°,NABD=ZDBC=30°,

AN=CN,MBC是等邊三角形，

.?.AN+MN=CN+MN,

當點N在線段CM上時，∕N+AlN有最小值為CM的長，

???點尸的坐標為(2√J,3),

.?.DB=2y∕3,AB+BM=3,

???點M是N8的中點，

.?.AM=BM,CMLAB,

:.2BM+BM=3,

BM=I,

(~Λ?Λ

`:tanZ.ABC=tan60o==VJ，

BM

.?.CΛ∕=√3,

VcosNABD=cos30o=,

BN,2

：.BN,=正,

3

-.DN'=-,

3

點E的坐標為：(華，√3),

故選：C.

3.【答案】D

【解答】解：?.?四邊形"8是菱形，ZABC=60°,

第32頁（共120頁）

.?.ZBJZ)=120o,BC=AD,ZDAC=-ΛBAD=60o,

2

.?./DAF=NCBE,

???BE=AF9

?ADF三ABCE(SAS),

：.DF=CE9ZBCE=ZADF,故Z正確，不符合題意；

VAB=AD,Z.BAF=/DAF,AF=AF,

:.?BAF=?DAF(SAS),

.?.AADF=NABF,

.?.ZABF=ZBCE,

/.ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°-ZCBE=120°,故5正確,不符合題意;

???ZEBG=ZECB,ZBEG=ZCEB,

.?.?BEGskCEB,

-B-E=-E-G-，

CEBE

:.BE2=CExEG,

?.?BE=AF,

:.AF1=EGEC,故C正確，不符合題意；

以BC為底邊，在8C的下方作等腰AOBC,使/OBC=NoCB=30。,

?.?NBGC=120。，BC=I,

.?.點G在以。為圓心，。8為半徑的圓上運動，

連接/。，交。。于G,此時/G最小，/。是8C的垂直平分線,

?.?OB=OC,NBOC=I20°,

.?.ZBCO=30°,

第33頁（共120頁）

O

.?.ZACO=909

:.ZOAC=30°,

.?.OC=-,

3

:.AO=2OC=—,

3

.?.∕G的最小值為/0-0C=立，故。錯誤，符合題意.

3

故選：D.

4.【答案】D

【解答】解：根據(jù)題意，可得Z)P=Zem,BM=tcm,

?.?AD=IOCrn,BC=8c∕n,

.,.AP=(?O-t)cm,CM=(S-t)cm,

當四邊形ABMP為矩形時，AP=BM,

即IOT=f,

解得f=5,

故/選項不符合題意；

當四邊形CDPM為平行四邊形，DP=CM,

即r=8-/，

解得"4,

故8選項不符合題意；

當Cr)=PA/時，分兩種情況：

①四邊形CDPM是平行四邊形，

止匕時CM=PO,

即8-f=f,

解得f=4,

②四邊形Cz)PM是等腰梯形，

過點/作MGLZO于點G,過點C作CTZJ./。于點“，如圖所示:

第34頁(共120頁)

AH

貝IJ乙MGP=/CHD=90o,

???PM=CD,GM=HC,

:.AMGPwACHD(HL),

:.GP=HD9

???/G=力尸+GP=Io-√+'-(8-f)

2

又BM=t,

［八Z—(8—Z)

.?.10-√+------------=t,

2

解得f=6，

綜上，當C。=PM時,t=4s或6s,

故C選項不符合題意,。選項符合題意,

故選：D.

5.【答案】B

【解答】解：如圖，當點N在X軸的正半軸上或原點時，過點。作QA_LON于點H,

0TJ.OA/于點九設(shè)Q(XJ).