寧夏銀川一中高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）

絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題卷(銀川一中第一次模擬考試)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知，則.A． B． C．1 D．23．已知與為非零向量，，若三點(diǎn)共線，則A．0 B．1 C．2 D．34．已知為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則S5等于A． B． C． D．5．自1950年以來，每年于4月7日慶祝世界衛(wèi)生日，旨在引起世界各國(guó)人民對(duì)衛(wèi)生?健康工作的關(guān)注，提高人們對(duì)衛(wèi)生領(lǐng)域的素質(zhì)和認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)健康對(duì)于勞動(dòng)創(chuàng)造和幸福生活的重要性.為了讓大家了解更多的健康知識(shí)，某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行日常衛(wèi)生知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖（如圖1）和前200名學(xué)生中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖2），則下列說法錯(cuò)誤的是A．成績(jī)?cè)谇?00名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30B．成績(jī)?cè)诘?~50名的學(xué)生中，高三最多有32人C．高一學(xué)生成績(jī)?cè)诘?01~150名的人數(shù)一定比高三學(xué)生成績(jī)?cè)诘?~50名的人數(shù)多D．成績(jī)?cè)诘?1~100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多6．在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線（，為常數(shù)）過點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則A．， B．， C．， D．，7．已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，若將的圖象向左至少平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得到的圖象，則A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．C．在上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且為等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 B． C． D．9．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)①是的充要條件②已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為③命題“，”的否定是“，”④關(guān)于x的不等式有解，實(shí)數(shù)a的范圍是或.A．1 B．2 C．3 D．410．拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則A．2 B． C．6 D．11．已知為定義在上的偶函數(shù)，已知，當(dāng)時(shí)，有，則使成立的的取值范圍為A．B．C．D．12．已知一個(gè)圓錐的軸截面為銳角三角形，它的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),M(x,y)為不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),則z=的最大值為___________.14．已知一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則該三棱柱的體積為___________.15．已知，則＝___________.16．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為________.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分)17．(12分)設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，.(1)若，求角的大?。?2)若，求的值和的面積.18．(12分)某醫(yī)療科研項(xiàng)目組對(duì)5只實(shí)驗(yàn)小白鼠體內(nèi)的A，B兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析，得到的數(shù)據(jù)如下表：指標(biāo)1號(hào)小白鼠2號(hào)小白鼠3號(hào)小白鼠4號(hào)小白鼠5號(hào)小白鼠A57698B22344(1)若通過數(shù)據(jù)分析，得知A項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)與B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系．試根據(jù)上表，求B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)y關(guān)于A項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．(2)現(xiàn)要從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只，求至少有1只小白鼠的B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率．參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，．參考數(shù)據(jù)：，．19．(12分)如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．(1)求證：B，D，E，四點(diǎn)共面；(2)求四棱錐的體積．20．(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記直線過定點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求出的面積.21．(12分)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l：y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,0)，求的面積．23．[選修45：不等式選講]不等式選講已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值為4．(1)求證：；(2)求證：．銀川一中2024屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)(文科)參考答案1．【答案】C【詳解】由,解得，又因?yàn)椋?，又由，可得，解得，所以，所以，故選:C.2．【答案】D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的模的公司及即可得解.【詳解】由z1+i=1-則z=?2i，所以故選：D.3．【答案】D【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，由此結(jié)合向量的相等列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，三點(diǎn)共線，故,且共線，故不妨設(shè)，則，所以，解得，故選：D4．【答案】C【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，結(jié)合，利用等比數(shù)列的基本量求得和公比，再由等比數(shù)列的求和公式即可得到.【詳解】因?yàn)榕c的等差中項(xiàng)為，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，又，得：，解得：，或則，或者，根據(jù)答案，只能選C故選：C.5．【答案】D【分析】由餅狀圖可計(jì)算出高一年級(jí)共90人，高二年級(jí)共60人，高三年級(jí)共50人，再由高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖可計(jì)算出各排名段中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，由此即可判斷出答案.【詳解】由餅狀圖可知，成績(jī)?cè)谇?00名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多，A正確；成績(jī)?cè)诘诿膶W(xué)生中，高一人數(shù)為，因此高三最多有32人，B正確；由條形圖知高一學(xué)生的成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)為，而高三的學(xué)生成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)最多為人，故高一學(xué)生的成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)一定比高三的學(xué)生成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)多，C正確；成績(jī)?cè)诘诿膶W(xué)生中，高一人數(shù)為，高二成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)最多為，即成績(jī)?cè)诘?1~100名的學(xué)生中，高一的人數(shù)一定比高二的人數(shù)多，錯(cuò)誤.故選：D6．【答案】C【分析】由題意將點(diǎn)代入得，求導(dǎo)得，由題意將點(diǎn)代入得，聯(lián)立即可得解.【詳解】∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由兩直線平行可得①.又∵點(diǎn)在曲線上，∴②，由①②解得，.故選：C.7．【答案】B【分析】先設(shè)，，從而根據(jù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到方程，求出，A選項(xiàng)，根據(jù)，得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到B正確；C選項(xiàng)，利用整體法判斷函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)，由得到D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，可設(shè)，，因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，則，解得，由于，，故的最小值為，因?yàn)榈膱D象向左至少平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得到的圖象，所以，解得，則.對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，而，所以不是奇函?shù)，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，由，得，又在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故不是圖象的對(duì)稱中心，D錯(cuò)誤.故選：B.8．【答案】D【分析】根據(jù)累加法求得，利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】，，由于為等差數(shù)列，所以，所以，也符合，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D9．【答案】C【分析】由充分、必要性定義判斷①；由基本不等式及最值取值條件判斷②；由特稱命題的否定：存在改任意并否定原結(jié)論判斷③；根據(jù)一元二次不等式有解得求參數(shù)范圍判斷④.【詳解】①由，即同號(hào)，故；由，即同號(hào)，故，對(duì)；②因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，錯(cuò)；③由特稱命題的否定為全稱命題,則，，對(duì)；④由題設(shè)，可得或，對(duì).故選：C10．【答案】C【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，等邊三角形ABF中，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線上方程可得答案．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，又點(diǎn)B在雙曲線上，故，解得．故選：C．11．【答案】D【解析】令，其中，因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，則，所以，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，由可得，則，所以，，解得或，因此，使成立的的取值范圍為.故選：D.12．【答案】B【分析】由圖可得，進(jìn)而，結(jié)合和二次函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合球的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，圓錐的高為，底面半徑為，母線為，高與母線的夾角為，，如圖，在中，，在中，，則，得.如圖，在中，，得，又，所以，所以，又圓錐的軸截面為銳角三角形，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，為，所以.故選：B.13．1【詳解】作出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，如圖所示，因?yàn)?，又因?yàn)榭苫癁橹本€,所以由圖可知,當(dāng)直線過時(shí),直線在軸上的截距最大,此時(shí)的最大值為.14．【答案】 【分析】根據(jù)題意，由三視圖還原幾何體，可得其底面邊長(zhǎng)，再由三棱柱的體積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，則底面正三角形一邊上的高為，正四棱柱的高為2，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，解得，所以三棱柱的體積為.【答案】【分析】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.【詳解】.16．【答案】4【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，再利用圖象的對(duì)稱性即可求得與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【詳解】函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸，定義在R上的偶函數(shù)滿足，則函數(shù)有對(duì)稱軸，又當(dāng)時(shí)，，在同一坐標(biāo)系在內(nèi)作出與的圖象，由圖象可得，與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，又與的圖象均有對(duì)稱軸，則兩函數(shù)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B17．【答案】(1)(2)，的面積為【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和與差的余弦公式可得出的值，利用正弦定理可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則有，可得，因?yàn)?，?（2）解：因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，可得，所以，的面積為.18．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，先計(jì)算，再由公式計(jì)算出，即可得出回歸直線方程；（2）先設(shè)1號(hào)至5號(hào)小白鼠依次為，根據(jù)題中條件，列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件的個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】（1）由題意，可得，，，，．∵，∴．∴所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．（2）設(shè)1號(hào)至5號(hào)小白鼠依次為，則在這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只的抽取情況有，共10種，隨機(jī)抽取的3只小白鼠中至少有1只的B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的情況有共9種．∴從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只，至少有1只小白鼠的B項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率為．19．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題設(shè)，，進(jìn)而有，易得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合，即可證結(jié)論；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直，最后根據(jù)體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，，（1分）因?yàn)?，，即，，所以，?分）則四邊形為平行四邊形，則．（4分）又因?yàn)椋?，故B，D，E，四點(diǎn)共面．（5分）（2）連接，取AC的中點(diǎn)O，連接，BO，如圖所示．（6分）在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，，則，（7分）又，所以為等邊三角形．又O為AC的中點(diǎn)，所以．（8分）又平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC．（9分）又，O為AC的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，，所以，，．?0分）又因?yàn)?，，?1分）所以四棱錐的體積為．（12分）20．【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合題設(shè)條件求得，從而得證；再求得直線所過的定點(diǎn)，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)樵谏?，所以，又，所以，則，所以，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，滿足要求；當(dāng)時(shí)，，不滿足，故，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，消去整理得，所以，且，所以，因?yàn)椋獾?，所以直線的方程為，則直線過定點(diǎn)，直線，即過定點(diǎn)，又，所以，所以.21．【答案】(1)1(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得最小值；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，易知單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．（2）由題，，又，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在唯一的，使，且?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，所以在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)．令，則，令，則．所以單調(diào)