2024屆福建寧德市高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆福建寧德市高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A． B．C． D．2．設(shè)M是邊BC上任意一點，N為AM的中點，若，則的值為()A．1 B． C． D．3．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．4．將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論：①它的圖象關(guān)于直線x=對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關(guān)于點(，1)對稱；④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④5．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的左焦點為，直線經(jīng)過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．7．已知平面向量，，，則實數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．8．設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．9．為實現(xiàn)國民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，國家加大了扶貧攻堅的力度．某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為．2015年開始，全面實施“精準(zhǔn)扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數(shù)占比（參加該項目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍10．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．111．已知的內(nèi)角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知是空間中兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，為測量出高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得．已知山高，則山高_(dá)_________．14．若滿足約束條件，則的最大值為__________．15．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.16．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.18．（12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.19．（12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：（）的焦點F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準(zhǔn)線于D，E兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）若F在線段上，P是的中點，證明：.21．（12分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進(jìn)行體育鍛煉體會交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63522．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點是曲線上的任意一點，又直線上有兩點和，且，又點的極角為，點的極角為銳角.求：①點的極角；②面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因為雞蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.2、B【解析】

設(shè)，通過，再利用向量的加減運算可得，結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè)，則有.又，所以，有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.3、A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對稱軸，故①錯誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(，1)對稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯誤；故選：B【點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì)；考查運算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型5、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.6、A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯(lián)立，再由得到兩交點坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則，且將代入雙曲線方程中，得到設(shè)則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.7、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運算，屬于容易題.8、A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9、B【解析】

設(shè)貧困戶總數(shù)為，利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)貧困戶總數(shù)為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B【點睛】本題考查了概率與統(tǒng)計，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

先將，化簡轉(zhuǎn)化為，再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù)，所以，所以的虛部為-1.故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.12、D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對于，當(dāng)，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯；對于，當(dāng)時，不能判定，故錯；對于，若，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯；對于，由可得，又，則故正確．故選：．【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為1．考點：正弦定理的應(yīng)用．14、4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過點時，.15、【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）l：，C：；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

（2）由（1）可得曲線是圓，求出圓心坐標(biāo)及半徑，再求得圓心到直線的距離，即可求得的長.【詳解】（1）由題意可得直線：，由，得，即，所以曲線C：.（2）由（1）知，圓，半徑.∴圓心到直線的距離為：.∴【點睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法、運算求解能力，是中檔題．18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，討論，，三種情況得到單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）設(shè)，要證，即證，，設(shè)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】（Ⅰ），令，，（1）當(dāng)，即時，，，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)，即時，設(shè)的兩根為（），，①若，，時，，所以在和上單調(diào)遞增，時，，所以在上單調(diào)遞減，②若，，時，，所以在上單調(diào)遞減，時，，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）不妨設(shè)，要證，即證，即證，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，證明不等式，意在考查學(xué)生的分類討論能力和計算能力.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）依題意，由點到直線的距離公式可得，又有，聯(lián)立可求離心率；（2）由（1）設(shè)橢圓方程，再設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得，令，可得，即得橢圓方程.試題解析：（Ⅰ）過點的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率.（Ⅱ）由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直.設(shè)其直線方程為，代入（1）得.設(shè)，則，.由，得，解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；（2）法一：設(shè)直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，根據(jù)在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設(shè)，，則，根據(jù)直線的斜率不為0，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出，，化簡，即可得證.【詳解】（1）拋物線C的焦點坐標(biāo)為，且該點在直線上，所以，解得，故所求拋物線C的方程為（2）法一：由點F在線段上，可設(shè)直線，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線的方程為，即.又點在線段上，∴.∵P是的中點，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設(shè)，，則當(dāng)直線的斜率為0時，不符合題意，故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．21、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見解析．【解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表．由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計算可得結(jié)論；（2）由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計算概率得分布列，再由期望公式可計算出期望．【詳解】（1）列出列聯(lián)表，，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．（2）（i）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，男女生人數(shù)比為，用分層抽樣方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）從參加體會交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，人中女生的人數(shù)為，則的可能值為，，，則，，，可得的分布列為：可得數(shù)學(xué)期望．【點睛】本題考查列聯(lián)表與獨立性檢驗，考查分層抽樣，隨機(jī)變量的概率分布列和期望．主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，屬于中檔題．22、（1）曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2