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17四月2024高斯型求積公式4.3高斯型求積公式

問題:是否有比等距節(jié)點的Newton-Cotes型求積公式更高代數(shù)精度的求積公式?最高能達到多大?高斯求積公式高斯求積公式權(quán)函數(shù)定義:設(shè)[a,b]是有限或無限區(qū)間,

(x)是定義在[a,b]上的非零可積函數(shù)，若其滿足則稱

(x)是[a,b]上的一個權(quán)函數(shù)。在高等數(shù)學(xué)中介紹付立葉級數(shù)時，曾提到函數(shù)系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…中，由于任意兩個函數(shù)乘積在區(qū)間[-

，+

]上的積分都等于零，則說這個函數(shù)系在[-

，+

]上是正交的，并稱這個函數(shù)系為正交函數(shù)系。

定義1(a)：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)

[a,b],且

則稱f(x)與g(x)在[a,b]上正交.正交多項式定義1(b)：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)

[a,b],且

則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(quán)

(x)正交.正交多項式稱為權(quán)函數(shù)定義2高斯點與正交多項式的零點常見的正交多項式及高斯求積公式勒讓德多項式(Legendre)切比雪夫多項式(Chebyshev)拉蓋爾多項式(Laguerre)埃爾米特多項式(Hermite)高斯-勒讓德求積公式2.Legendre多項式的性質(zhì):nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889高斯-切比雪夫求積公式2.Chebyshev多項式的性質(zhì):一般積分區(qū)間[a,b]的處理高斯積分公式的數(shù)值穩(wěn)定型Gauss型求積公式的構(gòu)造方法(1)求出區(qū)間[a,b]上權(quán)函數(shù)為W(x)的正交多項式pn(x).(2)求出pn

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