高斯型求積公式課件

17四月2024高斯型求積公式4.3高斯型求積公式

問(wèn)題:是否有比等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes型求積公式更高代數(shù)精度的求積公式?最高能達(dá)到多大?高斯求積公式高斯求積公式權(quán)函數(shù)定義:設(shè)[a,b]是有限或無(wú)限區(qū)間,

(x)是定義在[a,b]上的非零可積函數(shù)，若其滿足則稱

(x)是[a,b]上的一個(gè)權(quán)函數(shù)。在高等數(shù)學(xué)中介紹付立葉級(jí)數(shù)時(shí)，曾提到函數(shù)系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…中，由于任意兩個(gè)函數(shù)乘積在區(qū)間[-

，+

]上的積分都等于零，則說(shuō)這個(gè)函數(shù)系在[-

，+

]上是正交的，并稱這個(gè)函數(shù)系為正交函數(shù)系。

定義1(a)：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)

[a,b],且

則稱f(x)與g(x)在[a,b]上正交.正交多項(xiàng)式定義1(b)：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)

[a,b],且

則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(quán)

(x)正交.正交多項(xiàng)式稱為權(quán)函數(shù)定義2高斯點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)常見(jiàn)的正交多項(xiàng)式及高斯求積公式勒讓德多項(xiàng)式(Legendre)切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev)拉蓋爾多項(xiàng)式(Laguerre)埃爾米特多項(xiàng)式(Hermite)高斯-勒讓德求積公式2.Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì):nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889高斯-切比雪夫求積公式2.Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì):一般積分區(qū)間[a,b]的處理高斯積分公式的數(shù)值穩(wěn)定型Gauss型求積公式的構(gòu)造方法(1)求出區(qū)間[a,b]上權(quán)函數(shù)為W(x)的正交多項(xiàng)式pn(x).(2)求出pn