12.2.4三角形全等的判定AAS解析版

三角形全等的判定AAS知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究用AAS判定三角形全等概念兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）【注】：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.題型一：通過(guò)添加條件利用AAS，判定三角形全等【例1】（2022·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線AC上，，AD∥BC，若想利用“”說(shuō)明，需要添加的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)AD∥BC，可得∠A=∠C，再根據(jù)全等三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵，∴A、添加，可利用AAS說(shuō)明，故本選項(xiàng)符合題意；B、添加，不能說(shuō)明，故本選項(xiàng)不符合題意；C、添加，不能說(shuō)明，故本選項(xiàng)不符合題意；D、添加，可利用SAS說(shuō)明，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2021·福建·廈門雙十中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，D在上，E在上，且，要說(shuō)明．（1）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件是________________；（2）若以“”為依據(jù)，還須添加的一個(gè)條件為_(kāi)__【答案】

##

##【分析】（1）根據(jù)的條件證明即可；（2）根據(jù)的條件證明即可；【詳解】（1）∵，，∴當(dāng)時(shí)，；故答案是；（2）∵，，∴當(dāng)時(shí)，；故答案是；【點(diǎn)睛】本題主要考查了探索三角形全等的條件，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2021·山西呂梁·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，且AB＝AC，要依據(jù)“AAS”判定ABE≌ACD，則還需要添加的條件是_____．【答案】∠ADC＝∠AEB（答案不唯一）【分析】添加條件：∠ADC＝∠AEB，再由已知條件AB=AC和公共角∠A可利用ASA定理證明．【詳解】解：添加條件：∠ADC＝∠AEB，在和中，，∴（ASA），故答案為：∠ADC＝∠AEB．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【變式1-3】（2021·湖北武漢·八年級(jí)期中）如圖，AC和BD相交于O點(diǎn)，若OA＝OD，用“AAS”證明△AOB≌△DOC還需增加條件_________．【答案】∠B=∠C【分析】結(jié)合已知和圖形分析，已經(jīng)有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等，而且角是邊的鄰角，所以只需再添加這邊的對(duì)角即可．【詳解】∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，∴當(dāng)∠B=∠C時(shí)，符合AAS定理，故答案為：∠B=∠C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形“AAS”判定定理，能結(jié)合圖形分析是解題關(guān)鍵．題型二：直接利用AAS證明三角形全等【例題2】（2022·湖南永州·八年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．(1)求證：△ABC≌△DFE；(2)若BF＝20，EC＝8，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)14【分析】（1）求出∠ACB＝∠DEF，BC＝FE，利用AAS證明△ABC≌△DFE即可；（2）利用線段和差求出BE的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．（1）證明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（AAS）；（2）∵BF＝20，EC＝8，∴BE＋CF＝20?8＝12，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝6，∴BC＝BE＋EC＝6＋8＝14．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)、線段的和差計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找證明三角形全等的條件解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖，，是內(nèi)部一條射線，若，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)同角的余角相等得到，利用，得到，然后利用“AAS”來(lái)證明三角形全等．【詳解】證明：，，，，，，．

在和中，，

．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，利用“AAS”來(lái)證明三角形全等是解答關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·廣西河池·八年級(jí)期末）如圖，中，是邊上的中線，，為直線上的點(diǎn)，連接，，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】由中線定義得BD=CD，由平行線性質(zhì)得，∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB，即可由AAS得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵BECF，∴∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB，在△CDF和△BDE中，，∴△CDF≌△BDE（AAS）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021·遼寧興城·八年級(jí)期末）如圖，，且，，是上兩點(diǎn)，，．求證：．【答案】見(jiàn)詳解【分析】先根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠A＝∠C，再根據(jù)AAS，即可得到結(jié)論．【詳解】證明∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠C＋∠D＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠AFB＝∠CED＝90°∴∠A＝∠C，又∵AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴（AAS）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練運(yùn)用全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．AAS證明全等的應(yīng)用題型三：全等三角形性質(zhì)與AAS判定的綜合運(yùn)用【例題3】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖，，是線段上的兩點(diǎn)，，EB∥CD，．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求出，然后證明和全等，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行解答．【詳解】，，，即，在和中，≌，．【點(diǎn)睛】方法總結(jié):證明線段相等或角相等可以通過(guò)證明三角形全等而得到，所以可以根據(jù)題目給出的已知條件，考慮證明三角形全等，還需要什么條件這些條件怎樣可以得到.由對(duì)應(yīng)邊角相等的條件邊得到三角形全等，這是全等三角形的判定;由三角形全等得到對(duì)應(yīng)的邊角相等，這是全等三角形的性質(zhì).變式訓(xùn)練【變式3-1】（2022·河北石家莊·八年級(jí)期末）如圖，在的平分線上取點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)C，使，連接．(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用AAS證明△OCE≌△ODE即可；（2）由△OCE≌△ODE，得∠CEO＝∠DEO＝∠CED＝55°，再利用三角形外角的性質(zhì)可得答案．（1）∵，∴，∵平分，∴在和中，∴∴．（2）∵，∴，，

∴，∴【點(diǎn)睛】題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，證明△OCE≌△ODE是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）已知：如圖，，，點(diǎn)，在線段AD上，．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得，然后可得結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2021·陜西師大附中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS證明△ABD≌△EDC，即可得結(jié)論．【詳解】解：證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴DB＝CD．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到證明三角形全等需要的條件．題型四：AAS的實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2020·駐馬店市第一高級(jí)中學(xué)分校七年級(jí)期中）如圖，小明和小華兩家位于A，B兩處，隔河相望．要測(cè)得兩家之間的距離，小明設(shè)計(jì)如下方案：從點(diǎn)B出發(fā)沿河岸畫(huà)一條射線BF，在BF上截取，過(guò)點(diǎn)D作，取點(diǎn)E使E，C，A在同一條直線上，則DE的長(zhǎng)就是A，B之間的距離，說(shuō)明他設(shè)計(jì)的道理．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答；【詳解】解：，，在和中，，，，即的長(zhǎng)就是、兩點(diǎn)之間的距離．【點(diǎn)睛】此題型主要考查了全等三角形的判定方法的開(kāi)放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年級(jí)期末）如圖，小強(qiáng)學(xué)習(xí)全等三角形后，用10塊高度都是5cm的相同長(zhǎng)方體積木，搭了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．【答案】?jī)啥履緣χg的距離為50cm．【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：由圖可得，∠ACB＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°又∠ACD+∠CAD＝90°∠CAD＝∠BCE在和中，AD=CE=3×5=15cmBE=CD=7×5=35cmDE=CD+CE=35+15=50cm答：兩堵木墻之間的距離是50cm．題型五：三垂直模型與AAS的綜合運(yùn)用【例題5】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．【詳解】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，∵BD＝2cm，CE＝4cm，∴DE＝6cm；故答案為：6．變式訓(xùn)練【變式5-1】（2019·福建期中）如圖1，將一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C置于直線l上，圖2是由圖1抽象出的幾何圖形，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E．（1）△ACD與△CBE全等嗎？說(shuō)明你的理由．（2）猜想線段AD、BE、DE之間的關(guān)系．（直接寫(xiě)出答案）【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）AD=BE-DE；【分析】（1）觀察圖形，結(jié)合已知條件，可知全等三角形為：△ACD與△CBE．根據(jù)AAS即可證明；（2）由（1）知△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得出CD=BE，AD=CE，從而求出線段AD、BE、DE之間的關(guān)系．【詳解】證明：（1）∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°-∠ECB．在△ACD與△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）AD=BE-DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CD-DE，∴AD=BE-DE．【變式5-2】（2019·河南月考）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E．求證：△AEC≌△CDB．（2）如圖2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S＝．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）S=50．【分析】（1）因?yàn)锽D⊥l，AE⊥l，可得∠AEC=∠CDB，結(jié)合題意得到∠CAE=∠BCD，再根據(jù)AAS證明即可．（2）利用（1）中結(jié)論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）如圖1中，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠CDB=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠CAE=∠BCD，在△AEC和△CDB中,

∴△AEC≌△CDB（AAS）．

（2）如圖2中，因?yàn)锳E⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，

由（1）可知：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，

∴EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，

∴S=（6+4）×16-18-12=50．

故答案為50．鏈接中考鏈接中考【真題1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，AC平分，垂足分別為B，D．(1)求證：；(2)若，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)12【分析】（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)四邊形ABCD的面積求解即可．(1)AC平分，，，；(2)，，，，，四邊形ABCD的面積．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．【真題2】（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，，，，證明：．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴∠B=∠C，∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【真題3】（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖，點(diǎn)，在線段上，，，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】由可得，，進(jìn)而根據(jù)AAS證明，即可證明．【詳解】，，在與中，（AAS），．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【真題4】（2021·四川南充·中考真題）如圖，，AD是內(nèi)部一條射線，若，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)AAS證明△BAE≌△ACF，即可得．【詳解】證明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2022·山東日照·