第章第十二次課課件

17四月2024第章第十二次課2線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄本章要點(diǎn)本章定位：本章是對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的較為系統(tǒng)和全面地討論。

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的前提

穩(wěn)定性是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為的一個(gè)重要結(jié)構(gòu)特性。理解李雅譜諾夫穩(wěn)定性的定義掌握李雅譜諾夫穩(wěn)定性判斷的兩種方法。

第二法已成為當(dāng)今系統(tǒng)控制理論中研究穩(wěn)定性問(wèn)題的最基本的理論工具，是本章的重點(diǎn)?！镎莆站€性系統(tǒng)李雅譜諾夫函數(shù)的求法3線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄內(nèi)容與要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn)Lyapunov穩(wěn)定性概念平衡點(diǎn),穩(wěn)定性,漸近穩(wěn)定性,全局漸近穩(wěn)定性Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù),漸近穩(wěn)定性判據(jù),全局漸近穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)間接法判據(jù)，直接法判據(jù)離散時(shí)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)間接法判據(jù)，直接法判據(jù)4線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄一、簡(jiǎn)介5線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄一、簡(jiǎn)介6線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄一、簡(jiǎn)介7線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄一、簡(jiǎn)介8線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄一、簡(jiǎn)介（Lyapunov）AleksandrMikhailovichLyapunov（1857~1918），俄羅斯數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和物理學(xué)家。Lyapunov在微分方程、位勢(shì)理論、系統(tǒng)穩(wěn)定性理論以及概率論等領(lǐng)域做出了重大貢獻(xiàn)。編輯了歐拉（Euler）文集第18、19卷。Lyapunov是俄羅斯科學(xué)院院士，意大利林琴科學(xué)院以及法國(guó)巴黎科學(xué)院的外籍院士。9線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄一、簡(jiǎn)介（Lyapunov）1892年，莫斯科大學(xué)的博士學(xué)位論文：“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題”（TheGeneralProblemofTheStabilityofMotion）Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)于現(xiàn)代控制理論的發(fā)展具有非常重要的意義，為此國(guó)際控制界于1992年還舉行了該論文發(fā)表100周年的紀(jì)念活動(dòng)。Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)于控制理論學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，已成為現(xiàn)代控制理論的一個(gè)非常重要的組成部分。10線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義11線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義12線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義13線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義例:單擺兩個(gè)平衡點(diǎn)14線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義15線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義16線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義17線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義18線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義19線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義20線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義21線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義22線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義23線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義24線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義25線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義26線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義27線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義28線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義29線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義30線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義31線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄二、Lyapnov穩(wěn)定性定義32線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法33線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法34線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法35線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法李雅普諾夫第一方法

設(shè)為與x同維數(shù)的非線性向量函數(shù)，為孤立平衡點(diǎn)。（1）平衡點(diǎn)平移：令，則。將在原點(diǎn)展開(kāi)得，其中

三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法(2)近似線性化：如果,則漸近穩(wěn)定，如果存在，則不穩(wěn)定；如，則的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)來(lái)決定。

例：5.2.1已知非線性系統(tǒng)其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法38線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄解:求平衡狀態(tài)，由知系統(tǒng)有平衡點(diǎn)三、Lyapnov穩(wěn)定性判別第一法系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的一次近似方程為特征方程設(shè)則①當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；②當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在不穩(wěn)定；③如果,其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。40線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄四、

Lyapnov穩(wěn)定性判別第二法41線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄四、

Lyapnov穩(wěn)定性判別第二法42線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄四、

Lyapnov穩(wěn)定性判別第二法1、預(yù)備知識(shí)2、Sylvester判據(jù)3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理43線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄1、預(yù)備知識(shí)44線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄1、預(yù)備知識(shí)45線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄1、預(yù)備知識(shí)46線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄1、預(yù)備知識(shí)47線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄1、預(yù)備知識(shí)48線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄1、預(yù)備知識(shí)49線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄1、預(yù)備知識(shí)50線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄2、Sylvester判據(jù)51線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄2、Sylvester判據(jù)52線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄2、Sylvester判據(jù)53線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄補(bǔ)充：特征值判據(jù)特征值判據(jù)54線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄2、Sylvester判據(jù)例：考察標(biāo)量函數(shù) 的定號(hào)性。解：即A為不定的,所以V(X)為不定的。

55線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理56線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理57線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理58線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理59線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理60線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理61線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理62線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理63線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理64線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理65線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理66線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理67線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄回顧：極限環(huán)極限環(huán)是非線性系統(tǒng)的一種特殊運(yùn)動(dòng)情況。在時(shí)間響應(yīng)上表現(xiàn)為非線性的自持振蕩在相平面上成為閉合的相軌跡68線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理69線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Lyapnov穩(wěn)定性判別定理70線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)講義龔道雄3、Ly