2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題36 復(fù)數(shù)的三角表示-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題36復(fù)數(shù)的三角表示題型一復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互換類型1代數(shù)式化為三角式【例1】將下列各復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式（輻角取輻角主值）：（1）；（2）-2i；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）∵，，，又，∴，∴.（2）∵，，，又，∴，∴.（3）∵，，，又，∴，∴.（4）∵，，，又，∴.∴.【變式1-1-1】把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，所以.（2）.因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，所以.【變式1-1-2】已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式是r(cosθ＋isinθ)，試寫出下列各復(fù)數(shù)的三角形式．（1）z1＝－a＋bi；（2）z2＝－a－bi；(3)z3＝a－bi.【答案】（1）z1＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]（2）z2＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]（3）z3＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]【解析】（1）z1＝r(－cosθ＋isinθ)＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]．（2）z2＝r(－cosθ－isinθ)＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(3)z3＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]．【變式1-1-3】將下列復(fù)數(shù)代數(shù)式化為三角式：（1）；（2）.（3）；（4）.【答案】見解析【解析】（1）=；（2）=.（3）=；（4）=當(dāng)時(shí)∴當(dāng)時(shí)∴=.類型2三角形式化為代數(shù)式【例1-2】把下列復(fù)數(shù)的三角形式化成代數(shù)形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.（2）.【變式1-2-1】復(fù)數(shù)z＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)－isin\f(π,5)))(i是虛數(shù)單位)的三角形式是()A．3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,5)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,5)))))B．3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋isin\f(π,5)))C．3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,5)＋isin\f(4π,5)))D．3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(6π,5)－isin\f(6π,5)))【答案】C【解析】z＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,5)＋isin\f(π,5)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,5)＋isin\f(4π,5))).故選C.【變式1-2-2】將下列各復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.題型二復(fù)數(shù)的輔角主值【例2】復(fù)數(shù)sin40°－icos40°的輻角主值是()A．40°B．140°C．220°D．310°【答案】D【解析】∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°.故復(fù)數(shù)的輻角主值為310°.【變式2-1】復(fù)數(shù)的輻角主值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故復(fù)數(shù)z的輻角主值為.【變式2-2】把復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)和后，重合于向量且模相等，已知，則復(fù)數(shù)的代數(shù)式和它的輻角主值分別是（）A．，B．C．D．【答案】B【解析】由題可知，則，，可知對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則它的輻角主值為.【變式2-3】計(jì)算eq\f(i,cos120°＋isin120°)的輻角主值為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(7π,6)C.eq\f(11π,6)D.eq\f(5π,3)【答案】C【解析】解法一：原式＝eq\f(i,－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i＝coseq\f(11π,6)＋isineq\f(11π,6).故選C.解法二：原式＝eq\f(cos90°＋isin90°,cos120°＋isin120°)＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因?yàn)?30°＝eq\f(11π,6).故選C.【變式2-4】已知復(fù)數(shù)z滿足(z＋1)(＋1)=|z|2，且是純虛數(shù).（1）求z；（2）求z的輻角主值.【答案】見解析【解析】由(z＋1)(＋1)=|z|2得z＋z＋＋1=|z|2.∵z=|z|2，∴z＋＋1=0，∴z＋=－1，由是純虛數(shù)得，∴，∴2z=2，∴z=1.于是z，是方程x2＋x＋1=0的兩根，解得，所以.當(dāng)時(shí)，z的輻角主值為；當(dāng)時(shí)，z的輻角主值為.題型三三角形式下復(fù)數(shù)的乘、除法【例3】計(jì)算下列各式：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）.（2）.【變式3-1】計(jì)算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【變式3-2】（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.【變式3-3】（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.【變式3-4】計(jì)算的結(jié)果是（）A．-9 B．9 C．-1 D．1【答案】B【解析】.題型四三角形式下復(fù)數(shù)乘、除法的幾何意義【例4】把復(fù)數(shù)1＋i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)，所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________．【答案】1－i【解析】(1＋i)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝eq\r(,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝eq\r(,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))))＝eq\r(,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))＝1－i.【變式4-1】將復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量OM繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π4，得到的向量OM1，那么A.2iB.2iC.22+【答案】B【解析】復(fù)數(shù)1+i的三角形式是2那么向量OM12cos【變式4-2】如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到.求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【答案】【解析】向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：.【變式4-3】把復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的向