2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題44 平面與平面平行-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練(解析版)

專題44平面與平面平行題型一面面平行的概念辨析【例1】已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，給出下面三個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③若是兩條異面直線，且，則.其中正確結(jié)論的序號為（）A.①②B.①③C.②③D.③【答案】D【解析】由題意，若，，則與平行或異面，故①錯(cuò)誤；若，則與可能平行也可能相交，故②錯(cuò)誤；若，是兩條異面直線，且，則，故③正確.故正確的結(jié)論只有③，故選D.【變式1-1】α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，a，b，c為三條不同的直線，則有下列說法，不正確的是()①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；④?α∥β；⑤?α∥a；⑥?a∥α；A．④⑥B．②③⑥C．②③⑤⑥D(zhuǎn)．②③【答案】C【解析】由基本事實(shí)4及平行平面的傳遞性知①④正確.舉反例知②③⑤⑥不正確.②中a，b可以相交，還可以異面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α內(nèi)；⑥中a可以在α內(nèi);故選C.【變式1-2】平面與平面平行的條件可以是（）A．內(nèi)有無數(shù)多條直線都與平行B．直線，且C．直線，且直線不在內(nèi)，也不在內(nèi)D．一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面【答案】D【解析】對于,內(nèi)有無數(shù)多條直線都與平行，則可能相交，錯(cuò)；對于,直線，，且，，則可能相交，錯(cuò)；對于,直線，，且直線不在內(nèi)，也不在內(nèi),，則可能相交，錯(cuò)；對于,一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線必相交，根據(jù)平面與平面平行的判定定理知正確．【變式1-3】平面平面，直線，，那么直線與直線的位置關(guān)系一定是（）A．平行B．異面C．垂直D．不相交【答案】D【解析】由題平面平面，直線，，則直線與直線的位置關(guān)系平行或異面，即兩直線沒有公共點(diǎn)，不相交.故選D.【變式1-4】已知是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面與平面平行的是（）A．內(nèi)有無窮多條直線與平行B．直線////C．直線滿足//////D．異面直線滿足，且////【答案】D【解析】A錯(cuò)內(nèi)有無窮多條直線與平行，平面與平面可能平行，也可能相交，B錯(cuò)若直線////，則平面與平面可能平行，也可能相交，C錯(cuò)若//////，則平面與平面可能平行，也可能相交，D正確當(dāng)異面直線滿足，且////時(shí)，可在上取一點(diǎn)，過點(diǎn)在內(nèi)作直線//，由線面平行的判定定理，得//，異面，所以相交，再由面面平行的判定定理，得//，【變式1-5】已知a，b表示兩條直線，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，給出下列說法：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且a∥b，則α∥β；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，則α∥β；③若a∥α，b∥β，且a∥b，則α∥β；④若a?α，a∥β，α∩β=b，則a∥b.其中正確說法的序號是________.【答案】②④【解析】①中，α與β可能相交，②由平面與平面平行的判定定理知正確，④由線面平行的性質(zhì)知正確,故填②④.題型二面面平行的證明【例2】如圖，在四棱錐中，，，，，分別為，的中點(diǎn),證明：平面平面【答案】證明見解析；【解析】連接，∴，，∴為正三角形.∵為的中點(diǎn)，∴.∵，平面，∴.又平面，平面，∴平面.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴.又平面，平面，∴平面.又平面，，∴平面平面.【變式2-1】已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，求證：平面BDF∥平面B1D1E.【解析】如圖，取BB1的中點(diǎn)G，連接EG、GC1，則有EGA1B1.又A1B1C1D1，∴EGC1D1.∴四邊形EGC1D1是平行四邊形，∴D1EGC1.又BGC1F，∴四邊形BGC1F為平行四邊形，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E.又BF?平面B1D1E，D1E?平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又∵BF∩BD＝B，∴由平面與平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E.【變式2-2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為PA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．求證：平面EFO∥平面PCD【答案】見解析【解析】因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，所以EO∥PC，又EO?平面PCD，PC?平面PCD，所以EO∥平面PCD，同理可證，F(xiàn)O∥平面PCD，又EO∩FO＝O，所以平面EFO∥平面PCD．【變式2-3】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分別是AB、AC、A1B1、A1C1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.【解析】∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1GEB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【變式2-4】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn)．求證：平面EFG∥平面BDD1B1.【解析】如圖所示，連接SB，SD，∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.同理可證EG∥平面BDD1B1，又∵EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.題型三利用面面平行證明線線平行【例3】如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點(diǎn),求證：.【答案】證明見解析【解析】因?yàn)锽E∥AA1，AA1?平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE∥平面AA1D。因?yàn)锽C∥AD，AD?平面AA1D，BC平面AA1D，所以BC∥平面AA1D。又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D。又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D。【變式3-1】如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)．M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接FN，求證：FN∥CM．【答案】見解析．【解析】因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【變式3-2】如圖，在四面體中，點(diǎn)分別為棱上的點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且平面平面，）求證：【答案】證明見解析【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以有為的中點(diǎn)，同理：為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以.【變式3-3】如圖，平面，平面，，求證：【答案】證明見解析【解析】由題意，平面，平面，∴平面，又平面，，∴平面平面，而平面平面，平面平面，∴.題型四利用面面平行證明線面平行【例4】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一點(diǎn)，M，N分別是AE，CD1的中點(diǎn)，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求證：MN∥平面ADD1A1.【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)K，連接MK，NK.因?yàn)镸，N，K分別是AE，CD1，CD的中點(diǎn)，所以MK∥AD，NK∥DD1.又MK平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以MK∥平面ADD1A1.同理NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面ADD1A1，又MN平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.【變式4-1】如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC,AS=AB,過點(diǎn)A做AF⊥SB，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱EG上，求證：PF//平面ABC.【解析】∵點(diǎn)E，G分別是側(cè)棱SA，SC的中點(diǎn)，∴EG∥AC，∵AC在平面ABC中，EG在平面外，∴EG∥平面ABC，∵AS=AB，AF⊥SB，∴點(diǎn)F為SB的中點(diǎn)，∴EF∥AB，∵AB在平面ABC中，EF在平面外，∴EF∥平面ABC，∵EF與EG相交于點(diǎn)E，且EF，EG在平買EFG中，∴平面EFG∥平面ABC，∵PF?平面EFG，∴PF∥平面ABC【變式4-2】如圖，四邊形ABCD為矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求證：BF∥平面CDE.【答案】證明見解析【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB∥CD，因?yàn)锳B平面CDE，CD?平面CDE，所以AB∥平面CDE；又AF∥ED，因?yàn)锳F平面CDE，ED?平面CDE，所以AF∥平面CDE；因?yàn)锳F∩AB＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，又BF?平面ABF，所以BF∥平面CDE.【變式4-3】如圖所示，兩條異面直線，與兩平行平面，分別交于點(diǎn)，和，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，如圖所示：因?yàn)?，所以，確定平面.則平面，平面，因?yàn)?，所?又分別為，的中點(diǎn)，所以，，，所以.又分別為，的中點(diǎn)，所以，且，所以，因?yàn)?，所以平?又平面，所以平面.題型五面面平行的簡單應(yīng)用【例5】如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形為截面，則四邊形的形狀為________.【答案】平行四邊形【解析】∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【變式5-1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足_____時(shí)，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M在線段FH上移動(dòng)【解析】此時(shí)HN∥BD，MH∥DD1，∴平面MNH∥平面BDD1B1，∴MN∥平面B1BDD1．【變式5-2】過三棱柱ABC－A1B1C1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．【答案】6【解析】各中點(diǎn)連線如圖，只有面EFGH與面ABB1A1平行，在四邊形EFGH中有6條符合題意．【變式5-3】如圖，在多面體中，平面平面，且，則()A.平面B.平面C.D.平面平面【答案】A【解析】如圖所示，取DG的中點(diǎn)M，連AM、FM，．則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，∴且。∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM。又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四邊形ABFM是平行四邊形，∴BF∥AM。又BF平面ACGD，AM平面ACGD，∴BF∥平面ACGD。選A．題型六面面平行中的動(dòng)點(diǎn)問題【例6】在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，，，如圖.（1）若交平面于點(diǎn)，證明：、、三點(diǎn)共線；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且.【解析】（1），平面，平面，所以，點(diǎn)是平面和平面的一個(gè)公共點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn)，則平面和平面的交線為，平面，平面，所以，點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn)，由基本事實(shí)3可知，，因此，、、三點(diǎn)共線；（2）如下圖所示：設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，下面證明平面平面.、分別為、的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.又，平面，平面，平面，，、平面，因此，平面平面.下面來確定點(diǎn)的位置：、分別為、的中點(diǎn)，所以，，且，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，易知，即，又，所以，四邊形為平行四邊形，，四邊形為正方形，且，則為的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因此，線段上是否存在點(diǎn)，且時(shí)，平面平面.【變式6-1】如圖，在正三棱柱中，的面積為，.點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在線段上找一點(diǎn)，使得平面平面，并證明【解析】取的中點(diǎn)，連接.，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；同理可得，四邊形為平行四邊形，平面；，平面，平面.平面平面.【變式6-2】已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)、、分別在、、上.（1）若，求證：平面平面；（2）若滿足，則點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，面.【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，面.【解析】（1），，四邊形是平行四邊形，，，平面，平面，平面.又，，平面，平面，平面.，、平面，平面平面；（2）連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、、，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，下面證明：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面.且為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，同理，平面.，、平面，平面平面.平面，平面.因此，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，面.【變式6-3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面A