2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專(zhuān)題 524個(gè)題型專(zhuān)題71 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專(zhuān)題71橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程題型一利用橢圓定義求方程1．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，則橢圓的方程為（）A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【答案】A【解析】∵橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5，0)和(5，0)，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝5，a＝13，∴＝12，∴橢圓的方程為＝1．故選：A．2．已知圓，定點(diǎn)，是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交半徑于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡的方程是_____________.【答案】【解析】由題意得，因?yàn)槭菆A上的一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交半徑于點(diǎn)，所以；因此，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)的軌跡是，為焦點(diǎn)，以為實(shí)軸長(zhǎng)的橢圓，所以，，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為：.故答案為：.3．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在橢圓上，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】．【解析】解：，，，又，，由橢圓定義可知，，從而得，，橢圓方程為：．題型二橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離及最值4．已知橢圓的左焦點(diǎn)是F1，右焦點(diǎn)是F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|∶|PF2|＝（）A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3【答案】C【解析】由＝1可知，，所以，所以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，∵線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，且原點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，所以軸，∴可設(shè)P(2，y)，把P(2，y)代入橢圓，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故選：C5．已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是3，則P點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．5 B．3 C．2 D．7【答案】D【解析】解：由題意得，，，由橢圓的定義可知點(diǎn)P到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離和為10，因?yàn)辄c(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是3，所以點(diǎn)P到橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7故選：D6．已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由，則，根據(jù)橢圓的定義可得，所以7．設(shè)分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，則=______.【答案】【解析】設(shè)，中點(diǎn).由題意得，，由線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，則有，，代入中得P點(diǎn)坐標(biāo)為或根據(jù)焦半徑公式可得，，∴.故答案為：.題型三橢圓上點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的距離及最值8．橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由，可得，又由，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：B.9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為4，為的中點(diǎn)，則的值等于______．【答案】3【解析】如圖所示，連結(jié)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，由橢圓定義可得，又，所以，因此.故答案為310．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求的值．【答案】2【解析】由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，根據(jù)直角的不同位置，分兩種情況：若∠PF2F1為直角，則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20，解得|PF1|＝，|PF2|＝，故＝；若∠F1PF2為直角，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故＝2.11．橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F的距離為6，若點(diǎn)M滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則________．【答案】2【解析】由橢圓得，，左焦點(diǎn)，設(shè)，則又解得或（舍去）；又在橢圓上，則將代入到橢圓方程中求出，所以點(diǎn)，；由點(diǎn)滿(mǎn)足，則得為中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，所以故答案為：2.題型四根據(jù)橢圓方程求a、b、c及參數(shù)12．已知，“”是“方程表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】解：若方程表示橢圓，則，解得且，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B13．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∴，解得或.故選：C14．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則的值為_(kāi)_____【答案】或【解析】將轉(zhuǎn)換成，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，短軸長(zhǎng)是，則，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，短軸長(zhǎng)是，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，則，綜上填或.故答案為：或15．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，如果的中點(diǎn)在y軸上，那么是的________倍【答案】5【解析】由題得，由題得軸，當(dāng)時(shí)，，所以,所以,所以是的5倍.故答案為：5題型五橢圓中焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)問(wèn)題16.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，其面積為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意得，則，由的周長(zhǎng)為16結(jié)合橢圓定義可得，所以，，又橢圓焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.故選：A.17．已知△的頂點(diǎn)?在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則△的周長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由橢圓方程知：，又，，∴△的周長(zhǎng)為，故選：D.18．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)（非長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)橢圓方程可得，解得，根據(jù)橢圓的定義可得，所以的周長(zhǎng).故選：B題型六軌跡問(wèn)題——橢圓19．已知圓，，動(dòng)圓滿(mǎn)足與外切且與內(nèi)切，若為上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知圓的圓心，圓的半徑為，圓的圓心，半徑為，，所以，圓內(nèi)含于圓，設(shè)圓的半徑為，則，故，故圓心的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點(diǎn)為、，設(shè)該橢圓的方程為，焦距為，則，可得，，可得，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為.，則且，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，故.故選：B.20．如圖，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是在軸上的投影，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】【解析】解：設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是在軸上的投影，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)樵趫A上，所以，化簡(jiǎn)得，故答案為：21．設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為．點(diǎn)滿(mǎn)足．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程．（2）過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為，，若直線(xiàn)與（1）中的曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，．分別記，的面積為，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由得，由于點(diǎn)在圓上，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為．（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)，，，則，的方程為，，又點(diǎn)在、的上，則有：①，②，由①、②知的方程為：．設(shè)點(diǎn)，，則圓心到的距離，則；又由，得，于是，，，于是．設(shè)，則，于是．設(shè)，，于是．設(shè)，，令，得，得在上單調(diào)遞增，故，所以的范圍為，即的取值范圍．22．設(shè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線(xiàn)的距離的比是.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,D兩點(diǎn)，證明：，，，四點(diǎn)共圓.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】解：（1）設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線(xiàn)的距離的比是，所以，整理化簡(jiǎn)得.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，由方程組得，①方程①的判別式為，由，即，解得.由①得，.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)方程為，由方程組得，.所以.又.所以.所以，，，四點(diǎn)共圓.題型七橢圓中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題23．已知?是橢圓：()的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且.若的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意有，所以又，，所以，又，可得，即，則，故選：B.24．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的平分線(xiàn)與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線(xiàn)分別交，于，兩點(diǎn)，則（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】連接并