2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題77 數(shù)列的基本知識與概念 （解析版）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題77數(shù)列的基本知識與概念題型一：數(shù)列的周期性例1．已知無窮數(shù)列滿足，且，，若數(shù)列的前2020項中有100項是0，則下列哪個不能是的取值（）A．1147 B．1148 C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時，分別令，可求出數(shù)列的前2020項中0的個數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律，可求出滿足題意的的取值；當(dāng)時，分別令，可求出數(shù)列的前2020項中0的個數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律，可求出滿足題意的的取值．【詳解】①當(dāng)時，若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有673項為0；若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有673項為0；若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列從第3項開始為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有672項為0；若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列從第4項開始為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有672項為0；若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列從第6項開始為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有671項為0；依次類推，可知當(dāng)，或時，數(shù)列的前2020項中有100項是0；②當(dāng)時，若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列從第7項開始為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有671項為0；若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列從第9項開始為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有670項為0；若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列從第10項開始為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有670項為0；若，則數(shù)列的各項為，此時數(shù)列從第12項開始為周期數(shù)列，周期為3，由，可知數(shù)列的前2020項中有669項為0；依次類推，可知當(dāng)，或時，數(shù)列的前2020項中有100項是0．綜上所述，若數(shù)列的前2020項中有100項是0，則可取的值有．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查無窮數(shù)列，解題的關(guān)鍵是通過條件探究數(shù)列的性質(zhì)，利用賦值法分別令和，可分別求出數(shù)列的前2020項中0的個數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律．考查學(xué)生的推理能力與計算求解能力，屬于難題．例2．若表示不超過的最大整數(shù)（如，，），已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：．，∴，，，同理可得：；；．；，，……．∴．故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．例3．?dāng)?shù)列滿足，，其前項積為，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依次代入可得是以為周期的周期數(shù)列，由可推導(dǎo)得到結(jié)果．【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，．故選：D．例4．若數(shù)列滿足，且，則的前100項和為（）A．67 B．68 C．134 D．167【答案】B【分析】由題意得，根據(jù)，列舉數(shù)列的項，得到數(shù)列從第2項起，3項一個循環(huán)求解．【詳解】因為，所以，因為，所以數(shù)列的項依次為2，1，1，0，1，1，0，…，所以從第2項起，3項一個循環(huán)，所以的前100項的和為，故選：B．例5．?dāng)?shù)列滿足若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列定義求出數(shù)列的前幾項后得出數(shù)列是周期數(shù)列，從而求值．【詳解】因為，所以，所以數(shù)列具有周期性，周期為4，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性，此類問題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項，然后歸納出周期性．例6．已知數(shù)列滿足，，若且記數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A． B．3028 C． D．3029【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式可逐個代入計算，得出數(shù)列的周期為4，再根據(jù)與前兩項的范圍可求得，再分組求和求解即可．【詳解】設(shè)，由，得，，．故數(shù)列的周期為4，即可得．，又，．，即．，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和、分類討論方法，考查推理能力與計算能力，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．屬于中檔題．例7．（2022·廣東汕頭·三模）已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，則（

）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】由題意得：，則數(shù)列的周期為3，則．故選：B．例8．（2022·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C．-1 D．2【答案】D【解析】解：∵，，∴，∴，，，，…，∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，∴，故選：D．題型二：數(shù)列的單調(diào)性例9．（2022·四川達(dá)州·二模（理））已知單調(diào)遞增數(shù)列滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為單調(diào)遞增數(shù)列，，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為．故選：B．例10．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若數(shù)列滿足且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則函數(shù)在上為增函數(shù)，可得，函數(shù)在上為增函數(shù)，可得，可得，且有，即，即，解得或．綜上所述，．故選：C．例11．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項為，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，因此有，得：，說明該數(shù)列從第2項起，偶數(shù)項和奇數(shù)項都成等差數(shù)列，且它們的公差都是2，由可得：，因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以有，即，解得：，故選：C例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列前項和滿足（），數(shù)列是遞增的，且，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因為等比數(shù)列前項和滿足（），所以，，，因為等比數(shù)列中，所以，解得或（舍去），所以，因為數(shù)列是遞增的，所以，所以，因為，所以，故選：C例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，若對于任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由條件可得，解出即可．【詳解】因為對于任意都有，所以，解得故選：C例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可得，從而有恒成立，由，可求得的取值范圍．【詳解】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，即（）恒成立，又?jǐn)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，取得最大值，所以．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷題型三：數(shù)列的最大（小）項例15．已知數(shù)列的首項為1，且，則的最小值是（）A． B．1C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)得出，然后通過累加法求出，根據(jù)均值不等式及，即可求出結(jié)果．【詳解】由得所以則所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為，故取或最小，又，所以的最小值為1故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題通過累加法求數(shù)列通項公式，根據(jù)均值不等式及，求得最值．例16．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A．2-1 B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)累加法得，進(jìn)而得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得當(dāng)時，的最小值為．【詳解】解：由得，所以，，，，，，累加上述式子得：，所以，，檢驗已知時，滿足．故，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最小值為．故選：C．例17．已知數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的最小項為（）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】A【分析】由與的關(guān)系化簡即可求出及，可得，分析單調(diào)性即可求解．【詳解】∵，∴，則，即，∴．易知，∵，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，∴當(dāng)時，有最小值．故選：A例18．已知數(shù)列的前n項和數(shù)列的前n項和則的最小值____【答案】5【分析】由和的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)正負(fù)表示出數(shù)列的通項公式為，求出，并表示出，再分別求出和時的最小值，即可判斷的最小值．【詳解】由題意，數(shù)列的前n項和，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，數(shù)列的前n項和，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，的最小值為6；當(dāng)時，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，有最小值5；綜上所述，的最小值為5故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查由求數(shù)列通項公式的求法、等差數(shù)列前項和公式、對勾函數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于難題．例19．?dāng)?shù)列，，，，中的最小項的值為__________．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性分析最大值，得出數(shù)列的最大項，即可得解．【詳解】考慮函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以數(shù)列的最大項為，所以的最小項為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求數(shù)列中的最小項，利用函數(shù)單調(diào)性討論數(shù)列的最大項和最小項，涉及導(dǎo)函數(shù)處理單調(diào)性問題．【方法技巧與總結(jié)】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉棧?）通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題例20．蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)，則（）；（）．A．35B．36C．37D．38【答案】C【分析】結(jié)合圖形中的規(guī)律直接求出和，進(jìn)而總結(jié)出遞推公式時，，利用累加法即可求出結(jié)果．【詳解】由圖中規(guī)律可知：，所以，，，，因此當(dāng)時，，所以，經(jīng)檢驗當(dāng)時，符合，所以，故選：C．例21．由正整數(shù)組成的數(shù)對按規(guī)律排列如下：，，，，，，，，，，，，．若數(shù)對滿足，，則數(shù)對排在（）A．第386位 B．第193位 C．第348位 D．第174位【答案】D【分析】先求出的值，再根據(jù)數(shù)對的特點(diǎn)推出數(shù)對的位置【詳解】解：按規(guī)律把正整數(shù)組成的數(shù)對分組：第1組為（1，1），數(shù)對中兩數(shù)的和為2，共1個數(shù)對；第2組為（1，2），（2，1），數(shù)對中兩數(shù)和為3，共2個數(shù)對；第3組為（1，3），（2，2），（3，1），數(shù)對中兩數(shù)的和為4，共3個數(shù)；……，第組為，數(shù)對中兩數(shù)的和為，共個數(shù)，由，得，因為，所以，解得，所以，在所有數(shù)對中，兩數(shù)之和不超過19的有個，所以在兩數(shù)和為20的第1個數(shù)（1，19），第2個為（2，18），第3個為（3，17），所以數(shù)對（3，17）排在第174位，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查簡單的合情推理，考查等差數(shù)求和，解題的關(guān)鍵是由，得，解出的值，考查計算能力，屬于中檔題例22．已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排列：，…，則第個“整數(shù)對”為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)“整數(shù)對”為，由已知可知點(diǎn)列的排列規(guī)律是的和從2開始，依次是3，4，…，其中m依次增大，可依次求得總對數(shù)，從而可得選項．【詳解】設(shè)“整數(shù)對”為，由已知可知點(diǎn)列的排列規(guī)律是的和從2開始，依次是3，4，…，其中m依次增大．當(dāng)時只有1個；當(dāng)時有2個；當(dāng)時有3個；…；當(dāng)時有個；其上面共有個數(shù)對．所以第個“整數(shù)對”為，第個“整數(shù)對”為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查知識遷移運(yùn)用：點(diǎn)列整數(shù)對，關(guān)鍵在于理解和探索其規(guī)律，屬于中檔題．例23．將正整數(shù)排列如下：123456789101112131415……則圖中數(shù)出現(xiàn)在A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列【答案】B【分析】計算每行首個數(shù)字的通項公式，再判斷出現(xiàn)在第幾列，得到答案．【詳解】每行的首個數(shù)字為：1，2，4，7，11…利用累加法：計算知：數(shù)出現(xiàn)在第行列故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，計算首數(shù)字的通項公式是解題的關(guān)鍵．題型五：數(shù)列的最值問題例24．（2022·北京市第十二中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，又，，，即的最小值為．故選：A．例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，則下列說法正確的是（

）A．此數(shù)列沒有最大項 B．此數(shù)列的最大項是C．此數(shù)列沒有最小項 D．此數(shù)列的最小項是【答案】B【解析】令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，，由雙勾函數(shù)的知識可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)即時，取得最大值，所以此數(shù)列的最大項是，最小項為故選：B．例26．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在數(shù)列中，，（，），則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，當(dāng)時，滿足上式，則．因為，所以，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選：C例27．（2022·遼寧·高三階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為所以．設(shè)．若有最小值，則有最小值，令，則所以當(dāng)或時﹐的最小值為．故選：B例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿