《自動控制原理》課件5第五章

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5-1頻率特性

5-2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性

5-3頻率穩(wěn)定判據(jù)

5-4頻率穩(wěn)定裕度

5-5閉環(huán)系統(tǒng)的頻率性能指標(biāo)

概述

頻率法是在頻域里對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計的一種方法，主要采用圖解法?？梢愿鶕?jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而不必求解特征方程。容易研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響，并可指出改善系統(tǒng)性能的途徑,便于對系統(tǒng)進行校正。提供了一種通過實驗建立元件或系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。系統(tǒng)模型間的關(guān)系傳遞函數(shù)G(s)系統(tǒng)微分方程頻率特性

一.頻率特性的基本概念

一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)或環(huán)節(jié),當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦信號 時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為同頻率的正弦信號 。振幅與相角不一定相同，即，并且均為頻率w的函數(shù)，即。

r(t)C(t)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型5-1頻率特性兩個信號的振幅之比定義為系統(tǒng)的幅頻特性，兩個信號的相位之差定義為系統(tǒng)的相頻特性。兩者合稱為系統(tǒng)的頻率特性。幅頻特性相頻特性頻率特性如何求系統(tǒng)的頻率特性？

頻率特性表示了穩(wěn)定系統(tǒng)在正弦信號輸入下，其穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間的關(guān)系。利用頻率特性可以很容易求得穩(wěn)定系統(tǒng)在正弦信號輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出，即在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)中，用jw代替s即得系統(tǒng)頻率特性G(jw)，其模值為幅頻特性，其幅角為相頻特。頻率特性的物理意義及求解方法RC網(wǎng)絡(luò)微分方程：RC網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù):頻率特性：幅頻特性：相頻特性：

RucurC當(dāng)頻率較低時,輸出電壓和輸入電壓的幅值幾乎相等,相角差不大,隨著頻率增高,輸出電壓的幅值減小,相角遲后增大,當(dāng)w=1/T時,輸出幅值為輸入幅值的0.707倍,相角落后45度。當(dāng)w→∞時,網(wǎng)絡(luò)輸出電壓趨向于0,相角落后90度。所以RC網(wǎng)絡(luò)只允許低頻信號通過,具有低通濾波器的性質(zhì)。

r(t)的幅值為1保持不變，而頻率w由小到大變化，其輸出c(t)為以下波形：【附】：不穩(wěn)定系統(tǒng)頻率響應(yīng)ω=1ω=2.5ω=4ω=0.5暫態(tài)穩(wěn)態(tài)不穩(wěn)定系統(tǒng)【小結(jié)】線性定常系統(tǒng)頻率特性的求法微分方程G(s)G(jw)

物理意義:

表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力或復(fù)現(xiàn)能力；

G(jw)只與系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān),是系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的屬性；與輸入信號和初始條件無關(guān)。

s＝j(luò)w『例1』某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖，求作用下的穩(wěn)態(tài)輸出; (1) (2)『解』設(shè) 輸出

閉環(huán)傳遞函數(shù) 頻率特性－r(t)c(t)

『例2』以下兩個系統(tǒng)的輸入均為r(t)＝sint，分別求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。

(a)(b)『解』(a)設(shè)－－

求穩(wěn)態(tài)誤差，設(shè)穩(wěn)態(tài)誤差

(b)穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差均為無窮大。二.頻率特性的幾何表示方法常用的頻率特性圖有極坐標(biāo)圖與伯德圖。幅相頻率特性曲線(極坐標(biāo)圖)

G(jw)為復(fù)數(shù),在坐標(biāo)圖中，它是一個矢量,既可用模值和幅角表示,也可在直角坐標(biāo)中用實部和虛部表示。即:

當(dāng)輸入正弦信號頻率從0變到+∞,矢量的終端便在復(fù)平面上描繪出一條軌跡,這條軌跡就是G(jw)的極坐標(biāo)圖,通常又稱為幅相頻率特性曲線，也稱Nyquist曲線。正負(fù)的定義

用箭頭表示w增加的方向,角度以實軸正方向作為相角的零度線,反時針旋轉(zhuǎn)的角度定義為正。『例』如RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù):

幅相頻率特性:

幅頻特性:

相頻特性:『注』幅頻特性是w的偶函數(shù)，相頻特性是w的奇函數(shù)，故w從0到-∞的極坐標(biāo)圖與w從0到+∞的極坐標(biāo)圖對稱于實軸，因此通常只需繪制w從0到∞時的極坐標(biāo)圖。ReIm對數(shù)頻率特性曲線(伯德圖)

幅頻特性 相頻特性

對數(shù)幅頻特性曲線每個環(huán)節(jié)由乘積形式和形式半對數(shù)坐標(biāo)縱坐標(biāo)：L(w)=20lgA(w)，線性刻度，單位為分貝(dB)橫坐標(biāo)：w，按對數(shù)刻度，單位為弧度/秒

對數(shù)相頻特性曲線縱坐標(biāo)：，線性刻度，單位為度橫坐標(biāo)：w，對數(shù)刻度，單位為弧度/秒對數(shù)相頻特性對數(shù)幅頻特性對數(shù)頻率特性為使同一頻率下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性相聯(lián)系，通常將對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線畫在一起，采用同一個頻率軸。采用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅相頻率特性的模相乘轉(zhuǎn)化為對數(shù)幅頻特性相加,極大地簡化了運算及作圖。對數(shù)幅頻特性以db為單位,減小了L(w)曲線的斜率,便于在更寬頻率范圍內(nèi)研究系統(tǒng)的頻率特性?？梢杂谜劬€法快速繪制系統(tǒng)近似的幅頻特性,便于對系統(tǒng)進行分析和綜合校正。由于w軸采用對數(shù)分度刻度,可大范圍地擴展橫軸上的頻率范圍,又不降低低頻段特性的準(zhǔn)確性。⑴幅值相乘=對數(shù)相加，便于疊加作圖；縱軸橫軸坐標(biāo)特點特點按lgw刻度，dec“十倍頻程”按w標(biāo)定，等距等比“分貝”

⑵可在大范圍內(nèi)表示頻率特性；⑶利用實驗數(shù)據(jù)容易確定L(w),進而確定G(s)。5-2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性典型環(huán)節(jié)及其頻率特性

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是由典型環(huán)節(jié)所構(gòu)成，最基本的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性極坐標(biāo)圖和伯德圖

20lgK-90O-180OjK積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性

每增加十倍時，減少20dB積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線是一條斜率為－20dB/dec的直線，該直線與零分貝線相交于w=1的地方。0.1201010-20微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性極坐標(biāo)圖和伯德圖190O0j-90O-20dB/dec慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性極坐標(biāo)圖和伯德圖極坐標(biāo)圖j0451對數(shù)幅頻特性漸近線方法慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸近線L漸由兩條線段組成當(dāng)時，為與0分貝線重合的線段;當(dāng)時，為斜率為－20dB/dec的線段；兩線段相交于橫坐標(biāo)處,稱為交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。漸近線誤差-90O-20dB/dec最大誤差出現(xiàn)在交接頻率w=1/T處，約等于－3dB。對數(shù)相頻特性漸近線方法，考慮慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性漸近線由三條線段組成0.11000一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性極坐標(biāo)圖和伯德圖j1與慣性環(huán)節(jié)比較一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性:對數(shù)幅頻特性:對數(shù)幅頻特性:對數(shù)幅頻特性:振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

頻率特性幅頻特性相頻特性極坐標(biāo)圖和伯德圖極坐標(biāo)圖j1極坐標(biāo)圖與虛軸交點與有關(guān)，越小，越大。系統(tǒng)諧振條件

0<ξ<0.707諧振頻率諧振峰值

Bode圖漸近線方法

——振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率漸近線誤差【注】ξ≤0.5，則向上修正，ξ>0.5，則向下修正。對數(shù)相頻特性漸近線方法wn0-90-180w有關(guān)振蕩環(huán)節(jié)的公式小結(jié)『例1』繪制以下傳遞函數(shù)的bode圖『解』二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性極坐標(biāo)圖和伯德圖j1不穩(wěn)定環(huán)節(jié)（一階環(huán)節(jié)為例）

傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性

極坐標(biāo)圖和伯德圖

j－1【關(guān)鍵】根據(jù)相角把握Nyquist曲線所在象限和走向。典型環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode圖小結(jié)⑴比例環(huán)節(jié)⑵微分環(huán)節(jié)⑶積分環(huán)節(jié)⑷慣性環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode圖小結(jié)⑸一階微分典型環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode圖小結(jié)⑹振蕩環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode圖小結(jié)⑺二階微分開環(huán)幅相曲線的繪制用頻率法分析和設(shè)計控制系統(tǒng),主要是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進行的,而開環(huán)頻率特性常用極坐標(biāo)圖(Nyquist曲線)和伯德圖（Bode圖）表示。開環(huán)幅相的表示

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是由n個典型環(huán)節(jié)組成結(jié)論開環(huán)幅頻特性:開環(huán)相頻特性:在同一頻率下幅值相乘，相角相加?！咀ⅰ康唧w繪制時很煩，不借助計算機很難求解，從工程角度出發(fā)，只需概略繪制頻率特性圖即可，又不失去系統(tǒng)的主要特征。方法：確定頻率特性起點，終點，極坐標(biāo)所在象限，有時還需求一些特殊點，這樣就會方便地繪制出頻率特性。概略繪制開環(huán)幅相曲線的三個重要因素開環(huán)幅相曲線的起點()和終點()。開環(huán)幅相曲線與實軸的交點

稱為穿越頻率。與實軸交點開環(huán)幅相曲線的變化范圍(象限、單調(diào)性)或

『例1』已知一個零型單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下,試?yán)L制概略的開環(huán)極坐標(biāo)圖，并確定極坐標(biāo)圖與坐標(biāo)軸的交點。（K>0）『解』繪制極坐標(biāo)起點終點象限

開環(huán)極坐標(biāo)落在三、四象限。j求極坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的交點

與虛軸交點【思考】如果G(s)包含3個慣性環(huán)節(jié)，極坐標(biāo)圖如何？如果n表示包含慣性環(huán)節(jié)的個數(shù)，即則n分別為不同整數(shù)時，極坐標(biāo)圖的大致形狀？【解】

起點： 終點： 相角： 單調(diào)變負(fù)。n=1n=2n=3n=4Kj極坐標(biāo)圖

如果在的基礎(chǔ)上增加一個零點，即

則 起點 終點 相角不是單調(diào)變負(fù)，意味著？如果0型系統(tǒng)中，除包含慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)外，還有一階微分環(huán)節(jié)。即開環(huán)傳遞函數(shù)形式為則起點：終點：相角不是連續(xù)減小，極坐標(biāo)圖或Nyquist曲線可能出現(xiàn)凸凹形狀，這需根據(jù)大小關(guān)系確定。

例如如果T2和T3大于T1，而T1又大于T4，則極坐標(biāo)圖為若T2，T3，T4大于T1呢？『例2』設(shè)Ⅰ型單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞為 試概略繪制開環(huán)極坐標(biāo)圖,并確定極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸交點以及低頻漸近線的位置（K>0）?！航狻幌到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性為起點：終點：相角：單調(diào)變負(fù)，求與實軸的交點：由可知確定極坐標(biāo)的低頻漸近線 把G(jw)寫為實部和虛部的形式低頻漸近線與負(fù)實軸的交點Vx可以由ReG(jw)當(dāng)w趨于0時的極限值確定。二型系統(tǒng)或三型系統(tǒng)：【總結(jié)】設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：起點

增加一個積分環(huán)節(jié)，滯后角就增加90度，但仍起于無窮遠(yuǎn)處（只要）。

V012正實軸K點(負(fù)虛軸)無窮遠(yuǎn)處(負(fù)實軸)無窮遠(yuǎn)處0-90-180終點G(jw)所在象限

正確寫出相角的表達(dá)形式后，根據(jù)以下環(huán)節(jié)的特點判斷G(jw)所在象限：一個積分環(huán)節(jié),滯后90度一個一階慣性環(huán)節(jié),滯后0－90度一個一階微分環(huán)節(jié),超前0－90度一個二階振蕩環(huán)節(jié),滯后0－180度一個一階微分環(huán)節(jié),超前0－180度0常數(shù)－90(n-m)0極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸交點的頻率wx或『例3』『解』起點：終點：相角：『例4』已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線?！航狻幌到y(tǒng)開環(huán)頻率特性為

起點： 終點： 象限:

走向為3，2，3象限 走向為3象限 走向為4，3象限

當(dāng)，與實軸交點：『例5』已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。『解』系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 與實軸交點『例6』設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線?！航狻幌到y(tǒng)開環(huán)頻率特性為

由等幅振蕩環(huán)節(jié)產(chǎn)生【練習(xí)】概略繪制以下系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

[補充]延遲環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性極坐標(biāo)圖和伯德圖

-90O-180Oj1開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是由n個典型環(huán)節(jié)組成

則對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性:【注】只要把開環(huán)系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的Bode圖（從左到右,或從低頻到高頻依次）迭加即為開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖?！豪?』設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求繪制開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖?！航狻幌到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)由三個典型環(huán)節(jié)組成：比例環(huán)節(jié)K，積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)。開環(huán)對數(shù)幅頻曲線L(w)穿過0分貝線時的頻率

叫做開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率，它是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性中的一個很重要的參數(shù)。在

處有（求解方法）繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線方法：將開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成典型環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式（尾1標(biāo)準(zhǔn)型）：或

并求出K的分貝值20lgK和各典型環(huán)節(jié)的交接（轉(zhuǎn)折）頻率w1，w2，w3，……繪制低頻段的特性，開環(huán)頻率特性的低頻部分在w趨向于0時，完全由決定。

低頻漸近線是通過點（1,20lgK）,斜率為－v×20dB/dec的直線；低頻漸近線或其延長線與w軸的交點滿足：20lgk1(1,20lgk)-20-40-20v從低頻漸近線開始，按照從低頻到高頻次序，每遇到一個典型環(huán)節(jié)的交接（轉(zhuǎn)折）頻率，漸近線的斜率就要相應(yīng)改變。如有必要，應(yīng)對誤差曲線進行修正，得精確的對數(shù)幅頻曲線。繪制對數(shù)相頻曲線方法：

一般是按照開環(huán)對數(shù)相頻特性的表達(dá)式，參照開環(huán)對數(shù)幅頻的頻率范圍，取幾個w值（最好就是典型環(huán)節(jié)的交接頻率），算出幾個值，然后用逐點描繪的方法繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻曲線?！豪?』試?yán)L制單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的漸近對數(shù)幅頻曲線?！航狻唬?）將G(s)化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的（尾1）標(biāo)準(zhǔn)形式：（2）低頻段過點（1,20lg7.5），斜率-20。（3）轉(zhuǎn)折頻率依次：1.4,2,3，對應(yīng)的斜率依次為-40,-20,20。

20lgk1(1,17.5)-20-4020-20-20-80-60-60『例5』已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)漸近對數(shù)頻率特性(Bode圖)?！航狻幌葘(s)化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的（尾1）標(biāo)準(zhǔn)形式： 系統(tǒng)型別是I，低頻漸近線的斜率為-20dB/dec,延長線與0分貝線交點為。

頻率特性為： 相頻特性為：『例6』已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線?！航狻婚_環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解形式為 （1）確定各交接頻率，慣性環(huán)節(jié) ，微分環(huán)節(jié) ，振蕩環(huán)節(jié) ，最小交接頻率； （2）繪制低頻段漸近特性曲線，v=2，斜率為－40，過（1,20）點； （3）繪制 頻段。最小相角系統(tǒng)與非最小相角系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)【定義】在右半s平面上沒有開環(huán)極點或零點的系統(tǒng)，稱為最小相角系統(tǒng)。

反之，在右半s平面上有開環(huán)零點或開環(huán)極點的系統(tǒng)稱為非最小相角系統(tǒng)。

具有相同幅頻特性的兩個系統(tǒng)，當(dāng)w從0變化到∞時，最小相角系統(tǒng)的相角變化范圍最小，而非最小相角系統(tǒng)的相角變化范圍通常大于最小相角系統(tǒng)。最小相角系統(tǒng)的重要特征：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性，存在唯一的對應(yīng)關(guān)系。一個幅頻特性只能有一個相頻特性與之對應(yīng)，反之亦然。根據(jù)對數(shù)幅頻特性就能寫出最小相角系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！纠纭吭O(shè)兩個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中0<T<T1，對應(yīng)的頻率特性分別為兩者的幅頻特性相同而相頻特性卻不同『例7』某最小相角系統(tǒng)，其漸近對數(shù)幅頻曲線如圖所示，試寫出該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！毫?xí)題』開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖，分別求開環(huán)傳函數(shù)。20-201[-40][-20]L(w)24

[0]

[40]

0.016dBL(w)100200

[-20][-40]L(w)50

200

[-40]

[-20]L(w)46

1[-20][-40]

L(w)20[-40]2013.98[-80]5.623

[-40]

-20-21.5L(w)假定一個最小相角系統(tǒng)和一個非最小相角系統(tǒng)，它們傳遞函數(shù)分子和分母的最高次數(shù)分別為m和n，則w趨于無窮時，兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線斜率均為-20（n-m)dB/dec，但對數(shù)相頻曲線卻不同；當(dāng)w趨于無窮時，最小相角系統(tǒng)趨于-90(m-n)度，而非最小相角系統(tǒng)卻不是這樣。這一特點可以用來判斷系統(tǒng)是否為最小相角系統(tǒng)。

5-3頻域穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

—

全部閉環(huán)極點均具有負(fù)的實部由閉環(huán)特征多項式系數(shù)（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性不能用于研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的問題代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

—

Ruoth判據(jù)

由開環(huán)頻率特性直接判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能問題頻域穩(wěn)定判據(jù)

—

Nyquist

判據(jù)

對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

5-3頻域穩(wěn)定判據(jù)Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幅角原理

設(shè)s平面閉合曲線包圍F(s)的Z個零點和P個極點，則s沿順時針運動一周時，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)閉合曲線包圍原點的圈R=P-Z R<0和R>0分別表示順時針和逆時針包圍F(s)平面的原點，R＝0表示不包圍F(s)平面的原點。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)定理

若開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)為P，開環(huán)幅相曲線包圍臨界點(-1,j0)的圈數(shù)為N，且反時針包圍點(-1,j0)的圈數(shù)為正，順時針包圍點(-1,j0)的圈數(shù)為負(fù)，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程正實部根的個數(shù)為Z=P-2N

若Z為0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z不為0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有Z個正實部的特征根。特點Nyquist穩(wěn)定判據(jù)不但能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，從而可以很方便地找到提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑以及使不穩(wěn)定系統(tǒng)成為穩(wěn)定系統(tǒng)的方法。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)無法寫出時，不能用勞斯判據(jù)或根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時應(yīng)用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)卻很方便。Nyquist穩(wěn)定可以研究包含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性?！豪?』開環(huán)傳函數(shù)（1）開環(huán)極點

∴P=0（2）Nyquist曲線

Nyquist曲線包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為N=0。（3）Z=P-2N=0，即閉環(huán)系統(tǒng)特征方程正實部根的個數(shù)為0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。-0.8-0.8『例2』若K=10時,Nyquist曲線如圖,確定穩(wěn)定的K值范圍？『解』

0<K<12.5『例3』若系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖，且P=2，系統(tǒng)穩(wěn)定性如何？

N=1，Z=P-2N=2-2=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。w=0-1j正負(fù)穿越穿越：當(dāng)w增大時，G(jw)H(jw)曲線穿過這段實軸。正穿越：相角增加的穿越，記為N+。負(fù)穿越：相角減小的穿越，記為N-。半次正穿越：從實軸開始,向下的穿越稱為半次正穿越，N+

＝1/2。半次負(fù)穿越：從實軸開始,向上的穿越稱為半次負(fù)穿越，N－＝1/2。穿越次數(shù)：N=N+-N-。穩(wěn)定判據(jù)：Z=P-2NN+=1N-=1-1N+=1/2N-=1/2-1『例4』開環(huán)傳函，系統(tǒng)穩(wěn)定性如何？『解』

N+=1/2，N-=0，N=N+-N-=1/2，Z=P-2N=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。-2-1Im『例5』開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性?！航狻籒+=1，N-=1，N=N+-N-=0，Z=P-2N=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。-1『例6』開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖,判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。『解』N-=1，N+=0，N=N+-N-=-1，Z=P-2N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個根在s右半平面?！豪?』開環(huán)傳函利用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！航狻唬?）0<K<1時，N+=0，N-=0，N=N+-N-=0，P=1,Z=P-2N=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定；（2）K=1時，臨界穩(wěn)定；（3）K>1時,N+=1/2，N-=0，N=N+-N-=1/2，P=1,Z=P-2N=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。-KKT1/T2『問題』若開環(huán)傳函，利用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=0，N=0，Z=0？開環(huán)系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)時奈氏穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用

如果開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，則幅相曲線不能構(gòu)成閉合軌跡。這時無法確定幅相曲線包圍(-1,j0)點的圈數(shù)N，要應(yīng)用奈氏判據(jù)首先把開環(huán)幅相曲線補為封閉曲線?！貉a圓』在原幅相曲線的基礎(chǔ)上補一段半徑無窮大、圓心角為v×90度的圓?。╲是積分環(huán)節(jié)的個數(shù)）后利用奈氏穩(wěn)定判據(jù)?！貉a圓方法』開環(huán)增益大于0時,從正實軸的無窮遠(yuǎn)處開始，順時針補v×90度的圓弧。開環(huán)增益小于0時,從負(fù)實軸的無窮遠(yuǎn)處開始，順時針補v×90度的圓弧。要求正好使幅相曲線成為封閉曲線。 正實軸負(fù)實軸正實軸

(K>0)『例8』某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

『解』系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖

P=0,N-=1,N=N+-N-=-1,Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，在s右半平面的根的個數(shù)為2?！豪?』某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試用奈式判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！航狻?/p>

N+=0，N-=1/2，N=-1/2，P=1，Z=P-2N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。w=0w=∞『例10』某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試用奈式判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！航狻?/p>

N+=0，N-=1/2,N=-1/2,P=1，Z=P-2N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

w=∞w=0『例11』某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試用奈式判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！航狻黄浞嗲€前面已經(jīng)繪出，如圖所示，與實軸交點為Im『練習(xí)』-10-1-4-1對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是利用開環(huán)bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，和Nyquist穩(wěn)定判據(jù)本質(zhì)相同，兩種判據(jù)所依據(jù)的公式都是Z=P-2N，只不過對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖比較容易，同時它還便于對系統(tǒng)進行校正，因此對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用更廣。Z=P-2N，P同前面，N為在L(w)>0的頻率范圍內(nèi)，穿過-180度線的總次數(shù)?！貉a圓』若開環(huán)傳函G(s)含有v個積分環(huán)節(jié)時，應(yīng)向下補畫一條v×90度的虛線，且把虛線看成對數(shù)相頻曲線的一部分。開環(huán)增益大于0時,從低頻段的0度線開始，向下補v×90度的虛線。開環(huán)增益小于0時,低頻段的180度線開始，向下補v×90度的虛線。映射關(guān)系極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）對數(shù)坐標(biāo)圖（bode圖）單位圓：A(w)=10分貝線，L(w)=0單位圓外：A(w)>10分貝線以上，L(w)>0單位圓內(nèi)：A(w)<10分貝線以下，L(w)<0負(fù)實軸-180線正實軸0度線G(jw)H(jw)穿過(-1,∞)負(fù)實軸

在L(w)>0的范圍內(nèi)，穿過-180線正穿越：相角增加，從上到下相角增加，從下到上負(fù)穿越：相角減小，從下到上相角減小，從上到下

『例1』如最小相角系統(tǒng)的開環(huán)bode圖為以下曲線,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！航狻?/p>

N+＝1，N-＝1，N＝N+-N-＝0，Z＝P-2N＝0，系統(tǒng)穩(wěn)定。

『例2』單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)如下,試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。『解』根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)繪出伯德圖，因為v

=2，k>0所以從正實軸上開始向下補畫180度的虛線，作為對數(shù)相頻曲線的一部分。N-=1,N+=0,N=N+-N-=-1,P=0,Z=P-2N=2,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定『例3』設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

N+=1，N-=1/2，N=N+-N-=1/2，P=1，Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?！豪?』某系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，開環(huán)幅相曲線如圖所示，試將開環(huán)幅相曲線表示為開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線，并運用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性?！咀ⅰ拷滩腜196例5-10答案（b）認(rèn)為“存在開環(huán)穩(wěn)定、幅值連續(xù)變化、相位突跳360這樣的系統(tǒng)”存在疑問。-1-180-270開環(huán)穩(wěn)定、幅值連續(xù)變化、相位突跳360的系統(tǒng)存在？設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)開環(huán)穩(wěn)定說明 為最小相位系統(tǒng)，其相位也連續(xù)變化。由圖可知 這意味著 不含二階微分環(huán)節(jié)。由此可見滿足開環(huán)穩(wěn)定、幅值連續(xù)變化的系統(tǒng)相位不會突變。『例5』已知開環(huán)系統(tǒng)型次v=3，P=0，開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線如圖所示，圖中ω<ωc時，L(ω)>L(ωc)，試確定閉環(huán)不穩(wěn)定極點的個數(shù)?！航狻唬?）v=3， 補低頻段；（2）半次負(fù)穿越＋一次負(fù)穿越

N-=1.5，N+＝0，P＝0，Z＝P-2N=3180

－90－180『練習(xí)』利用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1.－90－180L(w)1/T穩(wěn)定2.

－90－180

－270L(w)不穩(wěn)定，減小K可使系統(tǒng)穩(wěn)定3.－90－180L(w)1/TP=1N-=0N+=1/2N=1/2Z=P-2N=0穩(wěn)定4.P=1N-=1/2N+=0N=-1/2Z=P-2N=2不穩(wěn)定－90－180

－270L(w)1/T5.L(w)－90－180

－270P=1N-=1/2N+=0N=-1/2Z=P-2N=2不穩(wěn)定條件穩(wěn)定系統(tǒng)『例1』某最小相角系統(tǒng)在K=500時的開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖所示,確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。a(-50,0)，b(-20,0)，c(-0.05,0)?！航狻籏的變化可使得點(-1,0)

位于①②③④不同段上，其中，當(dāng)位于①③段上系統(tǒng)穩(wěn)定。abc-10←K＝500→∞

abc-1①②③④『例2』已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線(K=10,p=0,v=1)如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K的取值范圍?！航狻婚_環(huán)幅相曲線與負(fù)實軸有三個交點，設(shè)交點處穿越頻率分別為，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)形如

K=10,

若令 得對應(yīng) ，討論

穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定－2－1.5-1-0.5要保證實際系統(tǒng)能夠正常地工作，分析時，不僅要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且還應(yīng)具有一定的穩(wěn)定裕度。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)不但能夠判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且還能反映系統(tǒng)的穩(wěn)定程度；由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線接近(-1，j0)點的程度，就反映了系統(tǒng)穩(wěn)定的程度。開環(huán)幅相曲線越接近(-1，j0)點，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差。5-4頻域穩(wěn)定裕度穩(wěn)定邊界穩(wěn)定程度穩(wěn)定裕度時域虛軸阻尼比頻域(-1,j0)到(-1,j0)的距離開環(huán)頻率指標(biāo)『示例』開環(huán)極點數(shù)P=0的三階系統(tǒng)，在四個不同的K值下，開環(huán)幅相曲線和單位階躍響應(yīng)曲線的對應(yīng)關(guān)系如下。-0.5-0.8衡量穩(wěn)定裕度的兩個指標(biāo)相角裕度γ

：在開環(huán)截止頻率wc上，系統(tǒng)由穩(wěn)定達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需增加的相角滯后量，叫相角裕度，以γ表示。截止頻率wc可從Bode圖利用斜率法近似計算。幅值裕度h

：將的頻率叫做相角交接頻率。使所應(yīng)增大的開環(huán)增益倍數(shù)，叫幅值裕度，以h表示，即

γ，h的物理意義：表示系統(tǒng)在相角和幅值方面的穩(wěn)定儲備量。一般要求，γ>0，表明Nyquist曲線未包圍(-1,j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定γ<0，表明Nyquist曲線包圍了(-1,j0)點，系統(tǒng)不穩(wěn)定γ=0，表示Nyquist曲線正通過(-1,j0)點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定h(dB)>0，L(wx)為負(fù)值，系統(tǒng)穩(wěn)定h(dB)<0，L(wx)為正值，系統(tǒng)不穩(wěn)定h(dB)=0，L(wx)為零，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定『例1』已知某控制系統(tǒng)如圖所示，試分別求出開環(huán)增益k=2和k=20時，系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！航狻?/p>

-R(s)C(s)一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的相角裕度總是大于0，而幅值裕度h=∞，系統(tǒng)恒穩(wěn)定。（1）要求相角裕度γ，先求截止頻率wc（2）要求幅值裕度，先求相角交界頻率wx

表明系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)k=20時表明系統(tǒng)不穩(wěn)定?！豪?』已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為，確定使相角裕度等于45度的a值。『解』『例3』系統(tǒng)開環(huán)傳函為，求相角裕度為60度時的K值?！航狻弧豪?』典型二階系統(tǒng)如圖所示，試確定系統(tǒng)的相角裕度?！航狻徽n程小結(jié)穩(wěn)定裕度的概念(開環(huán)頻率指標(biāo))穩(wěn)定裕度的定義穩(wěn)定裕度計算方法的幾何意義