理解若爾當標準形：讀清華大學(xué)《線性代數(shù)與幾何（上、下）》

理解若爾當標準形：讀清華大學(xué)《線性代數(shù)與幾何（上、下）》“高等代數(shù)”課程是大學(xué)數(shù)學(xué)系一門非常重要的基礎(chǔ)課程，通過這門課程的學(xué)習(xí)，可以使大學(xué)低年級學(xué)生初步掌握線性代數(shù)的基本知識和方法，培養(yǎng)基本的邏輯推理能力，并且了解代數(shù)與幾何之間深刻的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，同時為后面學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)課程打下必要的基礎(chǔ)。高等代數(shù)的主要內(nèi)容是線性代數(shù)，其內(nèi)容在歷史上經(jīng)過了較長時間的教學(xué)積累而慢慢形成的。目前已經(jīng)成熟的高等代數(shù)課程主要包括了以下的內(nèi)容：多項式-行列式-矩陣論初步-矩陣的秩與線性方程組-二次型-線性空間-線性變換-相似矩陣與若爾當標準形-歐氏空間高等代數(shù)課程體系的邏輯結(jié)構(gòu)極其嚴謹，內(nèi)容比較抽象。實踐證明，從幾何的角度來學(xué)習(xí)高等代數(shù)，非常有利于用直觀的幾何形象來揭示高等代數(shù)概念高度濃縮的內(nèi)涵，使學(xué)生更好地理解所學(xué)的抽象理論，同時也使原來非常緊密的的高等代數(shù)課程結(jié)構(gòu)得到了有效的疏解。另一方面，我們也可以在很大程度上把高等代數(shù)（特別是線性空間和線性變換的理論）看成是高維空間的“解析幾何”，這樣就為高等代數(shù)的抽象理論提供了幾何學(xué)背景的想法。如果站在大學(xué)低年級學(xué)生的角度來考慮，對于求解線性方程組、二次型及其矩陣的特征值等問題，還是比較容易理解的。我們可以從這些歷史上經(jīng)典的數(shù)學(xué)題材出發(fā)，引入多項式、行列式、矩陣和二次型理論等最基本內(nèi)容。但是從線性空間開始的后半部分課程的內(nèi)容，一般來說就比較難以理解了，此時需要綜合運用在前半部分課程中學(xué)到的內(nèi)容，并且在抽象數(shù)學(xué)思維的水平上有一個相當大的提升。在線性空間與線性變換的理論中，核心的內(nèi)容是將線性空間分解為不變子空間的直和，從中可以推導(dǎo)出矩陣對角化的一般結(jié)果——若爾當標準形。1．矩陣對角化問題的起源線性代數(shù)的歷史可以給出學(xué)習(xí)線性空間與線性變換理論的思想動機。在線性代數(shù)的歷史發(fā)展進程中，二次型及其矩陣的特征值起到了突出的作用，這是因為它直接引導(dǎo)出后續(xù)的“矩陣對角化”這一線性代數(shù)的中心主題。在18世紀，數(shù)學(xué)家們解決了二次曲面方程中的二次型化簡問題。到19世紀的初期，柯西引入了一般的個變量的二次型，可以求得實對稱矩陣的個實特征值及它們所對應(yīng)的相互正交的單位特征向量，再以這個特征向量作為列向量，構(gòu)造出階正交矩陣.由可知從而就得到了關(guān)鍵的“矩陣對角化等式”：如果對二次型作正交線性替換，則由上式可得上述等式就是柯西所得到的維幾何空間中的主軸定理（也稱為“譜定理”），它使得在作了正交線性替換后得到的新二次型中，每個平方項的系數(shù)都是二次型矩陣的特征值。主軸定理的本質(zhì)體現(xiàn)在了矩陣對角化等式中，即相當于是將二次型的對稱矩陣相似變換成了對角矩陣。到了20世紀初，希爾伯特將實二次型的主軸定理從有限維的歐氏空間進一步推廣到了無限維的希爾伯特空間，得到了自伴算子的譜分解定理，從而為接下來將要誕生的量子力學(xué)奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2.若爾當標準形定理及其證明的方法一般對任意階矩陣來說，如果存在對角矩陣和可逆矩陣，使得以下等式成立那么我們就稱可以對角化（也稱相似于）。然而在所有的矩陣中，可以對角化的矩陣只占少數(shù)。對于不能夠?qū)腔木仃?，法國?shù)學(xué)家若爾當（Jordan）在1870年證明了：總是可以使其相似于一種“最接近對角矩陣的簡單矩陣”，它就是若爾當標準形：其中的階矩陣是若爾當塊，也就是存在可逆矩陣，使得這個著名結(jié)論被稱為若爾當標準形定理。這樣就完整地解決了所有矩陣的對角化問題。若爾當標準形定理的證明可以說是高等代數(shù)課程中最復(fù)雜的一個證明，該定理的證明方法有好幾種，它們大致可以分為兩類：代數(shù)證明方法（即

-矩陣方法）和幾何證明方法。國內(nèi)大多數(shù)的高等代數(shù)教材都是用代數(shù)證明方法（其最早的來源是前蘇聯(lián)的高等代數(shù)教材）。代數(shù)證明方法的基本思路是：“將兩個矩陣是否相似的問題轉(zhuǎn)化為它們的特征矩陣是否可以運用初等變換使其等價的問題，即通過仔細化簡若爾當標準形矩陣的特征矩陣，求出若爾當標準形中的所有若爾當塊的初等因子，由于等價的特征矩陣具有相同的初等因子，這樣就能夠用初等變換的方法來求出所有階方陣的特征矩陣的初等因子，由此就可以求出的若爾當標準形。”雖然代數(shù)證明方法的優(yōu)點是比較方便若爾當標準形的計算，但是其缺點也是很明顯的：那就是代數(shù)證明的過程冗長復(fù)雜（證明往往占據(jù)一章的篇幅）。即便一個學(xué)生能夠完全弄明白這個代數(shù)證明的全部推導(dǎo)細節(jié)，他（或她）也可能不清楚這個證明背后的線性變換幾何圖景。為此一些主要采用代數(shù)證明方法的教材會在講完證明后，再補充介紹若爾當標準形定理的幾何證明的基本想法。為了使學(xué)生能夠真正理解若爾當標準形的幾何內(nèi)涵，一個比較理想和自然的講法是：在講完線性空間和線性變換的基本理論后，直接運用線性變換的語言來講若爾當標準形定理的幾何證明。由清華大學(xué)俞正光、魯自群、林潤亮這三位老師編寫的《線性代數(shù)與幾何（上、下）》就是這樣一套比較理想的高等代數(shù)教材，它在講完線性空間和線性變換后，直接運用了線性變換的語言，來給出若爾當標準形定理的幾何證明，并且從這個幾何證明中，我們還可以具體地看到導(dǎo)致了若爾當標準形的線性空間的一組循環(huán)基究竟是怎樣產(chǎn)生的。3.清華大學(xué)《線性代數(shù)與幾何（上、下）》的內(nèi)容介紹《線性代數(shù)與幾何（上）》的第1版由清華大學(xué)出版社在2008年出版，第2版在2014年出版，而《線性代數(shù)與幾何（下）》的第1版在2009年出版，第2版在2015年出版。該套教材經(jīng)過了清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系“線性代數(shù)”教學(xué)團隊十幾年的精心打造和反復(fù)的修改，將幾何與代數(shù)密切地結(jié)合在一起，層次清晰，論證嚴謹，例題典型豐富，習(xí)題適中（難題比較少）。在筆者看來，該套教材非常適合高等代數(shù)的初學(xué)者，特別是很多中等程度的數(shù)學(xué)系的學(xué)生們。即便是作為與課本配套的參考書，它也能夠使學(xué)生們收益很多，這是因為該書的作者們總是從學(xué)生的角度來考慮教學(xué)的安排和教材的編寫，從具體的例子出發(fā)，簡單扼要，循序漸進，盡量使用平易的數(shù)學(xué)語言，對各個最基本的要點充分地展開解說，并且避免比較專門的技巧。圖1：《線性代數(shù)與幾何（上）》《線性代數(shù)與幾何（上、下）》將高等代數(shù)課程分成了內(nèi)容從具體到抽象的上、下兩冊。上冊包括了第1、2、3、4、5、6、7章，主要講授階行列式及其計算方法、矩陣的代數(shù)運算與相抵、3維空間中的平面與直線方程、維向量空間中的線性相關(guān)理論、矩陣的秩與線性方程組解的結(jié)構(gòu)、一般的線性空間理論與歐氏空間初步理論、線性變換理論、矩陣的特征值與相似、二次型與二次曲面等內(nèi)容。圖2：《線性代數(shù)與幾何（下）》《線性代數(shù)與幾何》的下冊包括了第8、9、10、11、12章，主要講授一元多項式理論、階矩陣的若爾當標準形、歐氏空間進一步理論和酉空間、矩陣分析初步理論、射影幾何基礎(chǔ)等內(nèi)容，它們大部分都是高等代數(shù)課程中比較深入的內(nèi)容。4.《線性代數(shù)與幾何（下）》中對若爾當標準形定理的幾何證明過程在《線性代數(shù)與幾何》下冊的第9章中，作者完整地給出了關(guān)于線性空間分解的基本理論，用線性變換的幾何方法嚴格證明了若爾當標準形定理。首先在第1節(jié)用具體的低階矩陣例子引入了若爾當標準形的重要概念，其中著重講解了冪零變換、循環(huán)基和循環(huán)子空間等基本概念，并且對一個具體的3階矩陣，詳細計算了它的若爾當標準形及其循環(huán)基，這個開頭對于初學(xué)者來說是非常合適的，他們需要通過具體的例子，建立起若爾當標準形、冪零變換和循環(huán)子空間等新概念。接著在第2、3節(jié)中，作者詳細介紹了如何把一個有限維線性空間分解成它的一系列子空間的直和，使得線性變換限制到這些子空間上是冪零變換，并且還進一步又找到了循環(huán)基，使得線性變換所對應(yīng)的矩陣是若爾當標準形，這樣便完成了對若爾當標準形定理的幾何證明。具體來說，作者將這個幾何證明分成了以下三個步驟：（一）首先證明定理一（即書上的定理9.12）“對于復(fù)數(shù)域上線性空間的任意線性變換，可以分解為的根子空間的直和其中的是的全部相異的特征值?！备涌臻g是實際上特征子空間的一種自然推廣，它們都是線性變換的不變子空間，因此如果用各個根子空間中的基向量來組成的一個基，那么在此基下的矩陣就是比較簡單的準對角矩陣（若爾當標準形是最簡單的準對角矩陣）。作者通過仔細證明根子空間的基本性質(zhì)，特別是“根子空間的和是直和”的引理，并且運用了商空間的基本概念來證明“根子空間的維數(shù)等于特征值的代數(shù)重數(shù)”，這樣就容易推導(dǎo)出定理一的結(jié)論。（二）其次是證明定理二（實際上就是書上的定理9.7，這里對記號稍作改動）“對每個根子空間的冪零變換，必可分解為循環(huán)子空間的直和使得限制在每個循環(huán)子空間上是循環(huán)變換?！碑斘覀儼丫€性變換（是恒等變換）限制在根子空間上時，所得到的變換是一個冪零變換。作者在定理二的證明過程中，非常仔細地考察了一系列的值域子空間（或像空間）從中抽絲剝繭般地分離出了一連串的循環(huán)基，從而就能構(gòu)造出一連串的循環(huán)子空間。在閱讀定理二的證明時，讀者需要仔細體會和欣賞作者所采用的很精細的帶有上下標的基向量記號。（三）現(xiàn)在將以上這兩個定理的結(jié)論合在一起，也就是把（2）式代入（1）式，便證明了線性空間可以進一步分解為循環(huán)子空間的直和。由于線性變換在每個循環(huán)基下的矩陣是若爾當塊，所以立即得到了下面的若爾當標準形定理（即書上的定理9.13）：“對于復(fù)數(shù)域上線性空間的任意線性變換，存在的一個基，使得在這個基下的矩陣是若爾當標準形（即的矩陣與相似）。”為了能實際計算