2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第34講 概率（練習(xí)）（解析版）

第34講概率目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01事件的分類(lèi)題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小題型03理解概率的意義題型04判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系題型05根據(jù)概率公式計(jì)算概率題型06根據(jù)概率作判斷題型07已知概率求數(shù)量題型08幾何概率列舉法求概率題型09列舉法求概率題型10畫(huà)樹(shù)狀圖法/列表法求概率題型11由頻率估計(jì)概率題型12用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用題型13放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法題型14不放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法題型15游戲公平性題型16概率的應(yīng)用題型17概率與統(tǒng)計(jì)綜合題型01事件的分類(lèi)1．（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列事件是必然事件的是（

）A．沒(méi)有水分，種子發(fā)芽 B．如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么a＋b＝b＋aC．打開(kāi)電視，正在播廣告 D．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上【答案】B【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、沒(méi)有水分，種子發(fā)芽，是不可能事件，本選項(xiàng)不符合題意；B、如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么a＋b＝b＋a，是必然事件，本選項(xiàng)符合題意；C、打開(kāi)電視，正在播廣告，是隨機(jī)事件，本選項(xiàng)不符合題意；D、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上，是隨機(jī)事件，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．（2022·福建福州·統(tǒng)考一模）下列成語(yǔ)所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．守株待兔 B．水中撈月 C．水滴石穿 D．百發(fā)百中【答案】B【分析】根據(jù)必然事件就是一定發(fā)生的事件逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、守株待兔是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；B、水中撈月是不可能事件，故該選項(xiàng)符合題意；C、水滴石穿是必然事件，故該選項(xiàng)不符合題意；D、百發(fā)百中是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？既＃┫铝猩钪械氖录?，屬于不可能事件的是（

）A．3天內(nèi)將下雨 B．打開(kāi)電視，正在播新聞C．買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)號(hào) D．沒(méi)有水分，種子發(fā)芽【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、3天內(nèi)將下雨，是隨機(jī)事件；B、打開(kāi)電視，正在播新聞，是隨機(jī)事件；C、買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)號(hào)，是隨機(jī)事件；D、沒(méi)有水分，種子不可能發(fā)芽，故是不可能事件；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．（2019·山東臨沂·校聯(lián)考一模）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，則下列事件為隨機(jī)事件的是（）A．兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和大于1B．兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于1C．兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和大于12D．兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于12【答案】D【分析】根據(jù)事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱(chēng)為隨機(jī)事件進(jìn)行分析即可．【詳解】A、兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和大于1，是必然事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于1，是不可能事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和大于12，是不可能事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于12，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了隨機(jī)事件的判斷，關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件，確定性事件的定義．題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小5．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考一模）在一個(gè)不透明的布袋內(nèi)，有紅球5個(gè)，黃球4個(gè)，白球1個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，它們除顏色外，大小、質(zhì)地都相同．若隨機(jī)從袋中摸取一個(gè)球，則摸中哪種球的概率最大（

）A．紅球 B．黃球 C．白球 D．藍(lán)球【答案】A【分析】根據(jù)概率的求法，因?yàn)榧t球的個(gè)數(shù)最多，所以摸到紅球的概率最大．【詳解】在一個(gè)不透明的布袋內(nèi)，有紅球5個(gè)，黃球4個(gè)，白球1個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，它們除顏色外，大小、質(zhì)地都相同．若隨機(jī)從袋中摸取一個(gè)球，因?yàn)榧t球的個(gè)數(shù)最多，所以摸到紅球的概率最大，摸到紅球的概率是：513故選：A【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=mn6．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）下列事件中，是確定事件的是（）A．?dāng)S一枚硬幣，正面朝上 B．三角形的內(nèi)角和是180°C．明天會(huì)下雨 D．明天的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，小明會(huì)得滿(mǎn)分【答案】B【分析】根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】解：A、擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，故不符合題意；B、三角形的內(nèi)角和是180°，是必然事件，屬于確定事件，故符合題意；C、明天會(huì)下雨為隨機(jī)事件，故不符合題意；D、明天的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，小明會(huì)得滿(mǎn)分為隨機(jī)事件，故不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，解決本題的關(guān)鍵是要明確事件分為確定事件和不確定事件(隨機(jī)事件)，確定事件又分為必然事件和不可能事件．7．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子1次，下列事件中是不可能事件的是（

）A．朝上的點(diǎn)數(shù)之和為12 B．朝上的點(diǎn)數(shù)之和為13C．朝上的點(diǎn)數(shù)之和為2 D．朝上的點(diǎn)數(shù)之和小于9【答案】B【分析】依據(jù)題意同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子1次，每個(gè)骰子上的數(shù)字最大是6，得出朝上的點(diǎn)數(shù)之和最大為12，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：根據(jù)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子1次，每個(gè)骰子上的數(shù)字最大是6，故朝上的點(diǎn)數(shù)之和最大為12，所以朝上的點(diǎn)數(shù)之和為13是不可能事件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了不可能事件概率，根據(jù)已知得出朝上的點(diǎn)數(shù)之和最大為12是解題關(guān)鍵．8．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）袋中有白球3個(gè)，紅球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別．從袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中紅球的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．不足3個(gè) C．4個(gè) D．4個(gè)或4個(gè)以上【答案】B【分析】根據(jù)取到白球的可能性較大可以判斷出白球的數(shù)量大于紅球的數(shù)量，從而得解．【詳解】解：∵袋中有白球3個(gè)，取到白球的可能性較大，∴袋中的白球數(shù)量大于紅球數(shù)量，即袋中紅球的個(gè)數(shù)可能不足3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰(shuí)包含的情況數(shù)目多，誰(shuí)的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等．題型03理解概率的意義9．（2019·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水概率是90%”對(duì)此信息，下列說(shuō)法正確的是（

）A．本市明天將有90%的時(shí)間降水 B．本市明天降水的可能性比較大C．本市明天肯定下雨 D．本市明天將有90%的地區(qū)降水【答案】B【分析】根據(jù)概率的意義判斷即可．【詳解】解：氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水概率是90%”，對(duì)此信息，意味著本市明天降水的可能性比較大，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）如圖，某天氣預(yù)報(bào)軟件顯示“揚(yáng)州市邗江區(qū)明天的降水概率為85%”，對(duì)這條信息的下列說(shuō)法中，正確的是（

揚(yáng)州市邗江區(qū)天氣12日出06：43

體感溫度

降水概率

降水量

空氣質(zhì)量14℃

85%

1.0A．邗江區(qū)明天將有85%的時(shí)間下雨 B．邗江區(qū)明天將有85C．邗江區(qū)明天下雨的可能性較大 D．邗江區(qū)明天下雨的可能性較小【答案】C【分析】根據(jù)概率反映隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：“揚(yáng)州市邗江區(qū)明天的降水概率為85%”表示“邗江區(qū)明天下雨的可能性較大”故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率反映隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小，掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．11．（2019·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）小亮是一名職業(yè)足球隊(duì)員，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，小亮進(jìn)球率為10%，他明天將參加一場(chǎng)比賽，下面幾種說(shuō)法正確的是（）A．小亮明天的進(jìn)球率為10%B．小亮明天每射球10次必進(jìn)球1次C．小亮明天有可能進(jìn)球D．小亮明天肯定進(jìn)球【答案】C【分析】直接利用概率的意義分析得出答案．【詳解】解：根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，小亮進(jìn)球率為10%，他明天將參加一場(chǎng)比賽小亮明天有可能進(jìn)球．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率的意義，正確理解概率的意義是解題關(guān)鍵．題型04判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系12．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考二模）下列是任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子所得結(jié)果，其中發(fā)生的可能性最大的是（

）A．朝上的點(diǎn)數(shù)為2 B．朝上的點(diǎn)數(shù)為7C．朝上的點(diǎn)數(shù)為2的倍數(shù) D．朝上的點(diǎn)數(shù)不大于2【答案】C【分析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，點(diǎn)數(shù)1~6朝上的概率相等，都是16【詳解】解：A、朝上點(diǎn)數(shù)為2的可能性為16B、朝上點(diǎn)數(shù)為7的可能性為0；C、朝上點(diǎn)數(shù)為2的倍數(shù)的可能性為36D、朝上點(diǎn)數(shù)不大于2的可能性為26故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件發(fā)生的概率公式是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）一個(gè)不透明的盒子中裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，它們除顏色不同外其它都相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則下列敘述正確的是（

）A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件C．摸到紅球與摸到白球的可能性相等 D．摸到紅球比摸到白球的可能性大【答案】A【分析】不可能事件是概率論中把在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件，人們通常用0來(lái)表示不可能事件發(fā)生的可能性；必然事件，在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，有的事件在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫必然發(fā)生的事件，簡(jiǎn)稱(chēng)必然事件，必然事件發(fā)生的概率為1，但概率為1的事件不一定為必然事件，根據(jù)隨機(jī)事件的分類(lèi)及概率的計(jì)算即可求解．【詳解】解：A選項(xiàng)，裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合題意；B選項(xiàng)，裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，可能摸到白球，也可能摸到紅球，是隨機(jī)事件，不符合題意；C選項(xiàng)，裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，摸到紅球的概率是13，摸到白球的概率是2D選項(xiàng)，裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，摸到紅球的概率小于摸到白球的概率，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)事件及概率，理解隨機(jī)事件的分類(lèi)，概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）在4個(gè)相同的袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球，任意摸出1個(gè)球，摸到紅球可能性最大的是（

）A．1個(gè)紅球，9個(gè)白球 B．2個(gè)紅球，8個(gè)白球C．5個(gè)紅球，5個(gè)白球 D．6個(gè)紅球，4個(gè)白球【答案】D【分析】根據(jù)概率的計(jì)算方法，比較概率的大小即可求解．【詳解】解：A選項(xiàng)，1個(gè)紅球，9個(gè)白球，摸到紅球的概率為11+9B選項(xiàng)，2個(gè)紅球，8個(gè)白球，到紅球的概率為22+8C選項(xiàng)，5個(gè)紅球，5個(gè)白球，到紅球的概率為55+5D選項(xiàng)，6個(gè)紅球，4個(gè)白球，到紅球的概率為66+4∵110∴摸到紅球可能性最大的是“6個(gè)紅球，4個(gè)白球”，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算，掌握概率的計(jì)算方法，比較概率大小的方法是解題的關(guān)鍵．題型05根據(jù)概率公式計(jì)算概率15．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)市湖里中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）有5張僅有編號(hào)不同的卡片，編號(hào)分別是1，2，3，4，5．從中隨機(jī)抽取一張，編號(hào)是偶數(shù)的概率等于．【答案】25【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出從中隨機(jī)抽取一張，編號(hào)是偶數(shù)的概率．【詳解】解：從編號(hào)分別是1，2，3，4，5的卡片中，隨機(jī)抽取一張有5種可能性，其中編號(hào)是偶數(shù)的可能性有2種可能性，∴從中隨機(jī)抽取一張，編號(hào)是偶數(shù)的概率等于25故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率．16．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）擲一次，朝上一面點(diǎn)數(shù)是1的概率為．【答案】1【分析】使用簡(jiǎn)單事件概率求解公式即可：事件發(fā)生總數(shù)比總事件總數(shù)．【詳解】擲骰子一次共可能出現(xiàn)6種情況，分別是向上點(diǎn)數(shù)是：1、2、3、4、5、6，點(diǎn)數(shù)1向上只有一種情況，則朝上一面點(diǎn)數(shù)是1的概率P=16故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單事件概率求解，熟練掌握簡(jiǎn)單事件概率求解的公式是解題的關(guān)鍵．17．（2023·福建福州·?？家荒＃┒宋绻?jié)到了，小紅煮好了10個(gè)粽子，其中有6個(gè)紅棗粽子，4個(gè)綠豆粽子．小紅想從煮好的粽子中隨機(jī)撈一個(gè)，若每個(gè)粽子形狀完全相同，被撈到的機(jī)會(huì)相等，則她撈到紅棗粽子的概率是．【答案】35【分析】利用概率公式即可求解．【詳解】6÷10=35即撈到紅棗粽子的概率為35故答案為：35【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用概率公式求解概率的知識(shí)，掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023·河北衡水·?？级＃?，-1，π，0，3這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，恰好是無(wú)理數(shù)的概率是【答案】25【分析】先確定無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再除以總個(gè)數(shù)．【詳解】解：2，π是無(wú)理數(shù)，P（恰好是無(wú)理數(shù)）=2故答案為：25【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式及無(wú)理數(shù)，熟練掌握概率公式及無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．題型06根據(jù)概率作判斷19．（2021·山東煙臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑球，它們除顏色外其它均相同，現(xiàn)添加1個(gè)同種型號(hào)的球，使得從中隨機(jī)抽取1個(gè)球，這三種顏色的球被抽到的概率都是13，則添加的球是（

A．紅球 B．白球 C．黑球 D．任意顏色【答案】C【分析】首先根據(jù)概率求法，即可判定出添加的球使所有小球個(gè)數(shù)相同，即可得出答案．【詳解】解：∵這三種顏色的球被抽到的概率都是13∴這三種顏色的球的個(gè)數(shù)相等，∴添加的球是黑球，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握概率求法．20．（2015·河北廊坊·統(tǒng)考二模）一只盒子中有紅球m個(gè)，白球6個(gè)，黑球n個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任取一個(gè)球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，那么m與n的關(guān)系是（

）A．m+n=6 B．m+n=3 C．m=n=3 D．m=2，n=4【答案】A【詳解】試題分析：∵從中任取一個(gè)球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，∴m+n=6．故選A．考點(diǎn)：概率公式．21．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考一模）一個(gè)密碼箱的密碼，每個(gè)位數(shù)上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù)，若要使不知道密碼的一次就撥對(duì)密碼的概率小于1999，則密碼的位數(shù)至少需要（

A．3位 B．2位 C．9位 D．10位【答案】A【分析】分別求出取一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率，再根據(jù)小于1999【詳解】解：因?yàn)槿∫晃粩?shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為110，取兩位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為1100，取三位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為11000故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法為：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=mn22．（2020·福建廈門(mén)·?？寄M預(yù)測(cè)）不透明的袋子里裝有紅、黑、白三種顏色的小球，它們質(zhì)地、形狀完全相同，從袋子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記事件A為“抽到紅球”，事件B為“抽到紅球或黑球”，若PA=12，則【答案】12＜PB【分析】根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的概率解題．【詳解】事件B包含事件A，則PB>故答案為：12＜PB＜【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率，是常見(jiàn)重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型07已知概率求數(shù)量23．（2018·吉林長(zhǎng)春·校考一模）一個(gè)不透明的盒子里有n個(gè)除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個(gè)黃球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計(jì)盒子中小球的個(gè)數(shù)n為（

）A．20 B．24 C．28 D．30【答案】D【分析】直接由概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得9n=30%，解得：n=30經(jīng)檢驗(yàn)：n=30符合題意，所以這個(gè)不透明的盒子里大約有30個(gè)除顏色外其他完全相同的小球．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由頻率估計(jì)概率、簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，熟知求概率公式是解答的關(guān)鍵.24．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）不透明的袋子里有50張2022年北京冬奧會(huì)宣傳卡片，卡片上印有會(huì)徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融圖案，每張卡片只有一種圖案，除圖案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n張．從中隨機(jī)摸出1張卡片，若印有冰墩墩?qǐng)D來(lái)的概率是15，則n的值是【答案】10【分析】根據(jù)概率的意義列方程求解即可．【詳解】解：由題意得，n50解得n=10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義及計(jì)算方法，理解概率的意義是正確求解的關(guān)鍵．25．（2023·云南昆明·一模）在不透明的袋子里裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球，紅球和藍(lán)球除顏色外其余都完全相同．(1)從袋子中一次摸出兩個(gè)球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求摸出的兩個(gè)球是一紅一藍(lán)的概率；(2)若再向袋中放入若干個(gè)同樣的藍(lán)球，攪拌均勻后，使從袋中摸出一個(gè)藍(lán)球的概率為34【答案】(1)2(2)放入袋中的藍(lán)球個(gè)數(shù)為5個(gè)【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖或列出表格，即得出所有等可能的結(jié)果，再找出符合題意的結(jié)果，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（2）設(shè)后來(lái)放入袋中的藍(lán)球個(gè)數(shù)為x個(gè)，則此時(shí)袋子里有(x+1)個(gè)藍(lán)球，共有(x+3)個(gè)球．根據(jù)概率公式可列出關(guān)于【詳解】（1）解：根據(jù)題意可畫(huà)樹(shù)狀圖如圖，

由樹(shù)狀圖可知共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到一紅一藍(lán)的結(jié)果有4種，∴兩次摸到一紅一藍(lán)的概率P一紅一藍(lán)（2）解：設(shè)后來(lái)放入袋中的藍(lán)球個(gè)數(shù)為x個(gè)，則此時(shí)袋子里有(x+1)個(gè)藍(lán)球，共有∵從袋中摸出一個(gè)藍(lán)球的概率為34∴x+1解得：x=5經(jīng)檢驗(yàn)x=5∴放入袋中的藍(lán)球個(gè)數(shù)為5個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，已知概率求數(shù)量，分式方程的應(yīng)用．熟練掌握概率公式、列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求概率及方程的思想方法是解題關(guān)鍵．26．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是13(1)求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；(2)能否通過(guò)只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個(gè)球是紅球的概率14若能，請(qǐng)寫(xiě)出如何調(diào)整白球數(shù)量；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)715(2)能，可以將盒子中的白球拿出3個(gè)．【分析】（1）根據(jù)概率公式可直接進(jìn)行求解；（2）由題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：∵紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，從中任意摸出一個(gè)白球的概率是13∴盒子中球的總數(shù)為：5÷1∴盒子中黑球的個(gè)數(shù)為：15-3-5=7（個(gè)）；∴任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為：715（2）解：∵任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為1∴盒子中球的總量為：3÷1∴可以將盒子中的白球拿出3個(gè)．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率，熟練掌握概率的求解是解題的關(guān)鍵．題型08幾何概率27．（2023·廣東廣州·廣州市真光中學(xué)?？级＃┤鐖D，正方形ABCD及其內(nèi)切圓O，隨機(jī)地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率是（

）A．π4 B．1-π4 C．π【答案】B【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切圓的直徑為a，分別求出正方形和陰影部分的面積，再利用面積比求出概率，即可．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切圓的直徑為a，∴其內(nèi)切圓的半徑為a2，正方形的面積為a2∴陰影部分的面積為a2∴隨機(jī)地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率是1-π故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算，關(guān)鍵是明確幾何測(cè)度，利用面積比求之．28．（2019·河南·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤(pán)中，紅、黃、藍(lán)三個(gè)扇形的圓心角度數(shù)分別為60°，90°，210°．讓轉(zhuǎn)盤(pán)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，指針停止后落在黃色區(qū)域的概率是()A．16 B．14 C．13【答案】B【分析】求出黃區(qū)域圓心角在整個(gè)圓中所占的比例，這個(gè)比例即為所求的概率．【詳解】∵黃扇形區(qū)域的圓心角為90°，所以黃區(qū)域所占的面積比例為90360即轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)一次，指針停在黃區(qū)域的概率是14故選B．【點(diǎn)睛】本題將概率的求解設(shè)置于轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)游戲中，考查學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機(jī)械計(jì)算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活、甚至娛樂(lè)中的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．29．（2021·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊地磚上．每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是．【答案】3【分析】先求出黑色方磚在整個(gè)地面中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵由圖可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚，∴黑色方磚在整個(gè)區(qū)域中所占的比值=616∴小球停在黑色區(qū)域的概率是38故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：幾何概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．30．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH．連結(jié)BD交AF、CH于點(diǎn)M、N．若DE平分∠ADB，現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為【答案】24/14【分析】求出陰影部分的面積與正方形面積的比值，即可得到針尖落在陰影區(qū)域的概率．【詳解】解：如圖，連接EG交BD于點(diǎn)P，∵DE平分∠ADB∴∠ADE＝∠MDE∵四邊形EFGH是正方形∴∠MED＝90°，∴∠AED＝180°－∠MED＝90°∴∠MED＝∠AED∵DE＝DE∴△ADE≌△MDE（ASA）∴AE＝ME同理可證△BGC≌△BGN（ASA），∵四邊形ABCD是正方形∴∠ADM＝45°∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°∵∠MEG＝45°∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°∴∠EMD＝∠MPE∴EM＝EP設(shè)EM＝EP＝x，則EG＝2EP＝2x在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，∴FG＝EG×sin45°＝2x∵△BFA≌△AED≌△CGB∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝(2+1)x，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG在Rt△BCG中，B∴S陰影=S△S正方形ABCD∴S陰影∴針尖落在陰影區(qū)域的概率為24故答案為：24【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的面積、直角三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，求出陰影面積與正方形的面積的比是解答此題的關(guān)鍵．31．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)為圓心，1為半徑畫(huà)弧，得到如圖所示的陰影部分，若隨機(jī)向正方形內(nèi)投小石子，則小石子落在陰影部分的概率為.【答案】π【分析】求出4個(gè)半圓的面積減去正方形的面積，即為陰影部分面積，用陰影面積除以正方形面積即得．【詳解】∵S=4×=2π∴小石子落在陰影部分的概率為，P==π故答案為π-【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握幾何概率的定義和基本圖形面積公式是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．32．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，M，N分別為DE，DF，EF的中點(diǎn)，若隨機(jī)向△ABC內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為【答案】1【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理建立面積之間的關(guān)系,按規(guī)律求解，再根據(jù)概率公式進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得第二個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)都等于最大三角形各邊的一半,并且這兩個(gè)三角形相似,那么第二個(gè)△DEF的面積=14△ABC那么第三個(gè)△MPN的面積=14△DEF的面積=116∴若隨機(jī)向△ABC內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為:故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，概率公式,解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的中位線(xiàn)定理得到第三個(gè)三角形的面積與第一個(gè)三角形的面積的關(guān)系，以及概率公式．題型09列舉法求概率33．（2022·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）從1，2，3這3個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)相加，和為偶數(shù)的概率是（

）A．14 B．13 C．12【答案】B【分析】列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：從1，2，3這3個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)相加,和有三種情況，分別是3，4，5三種情況.所以和為偶數(shù)的概率為13，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握求等可能事件的的概率公式.34．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）有背面完全相同，正面分別畫(huà)有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，一次性從中隨機(jī)抽取兩張，則抽中卡片上正面的圖形都是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為．【答案】12/【分析】利用列舉法求概率即可．【詳解】解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四張卡片中，矩形，菱形，正方形為中心對(duì)稱(chēng)圖形，分別用A,B,C,D表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性隨機(jī)抽取兩張卡片共有AB,∴P=故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，列舉法求概率．熟練掌握矩形，菱形，正方形為中心對(duì)稱(chēng)圖形，以及列舉法求概率，是解題的關(guān)鍵．35．（2022·北京·一模）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來(lái)分析齊王與田忌的上中下三個(gè)等級(jí)的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場(chǎng)，大數(shù)為勝，三場(chǎng)兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0，8，6則田忌能贏得比賽的概率為．馬匹姓名下等馬中等馬上等馬齊王6810田忌579【答案】1【分析】利用列舉法求概率，列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．【詳解】解：齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0，8，6；而田忌的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6種，田忌能贏得比賽的有5，9，7；一種∴田忌能贏得比賽的概率為1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，解題的關(guān)鍵是要注意列舉法需要做到不重不漏．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．36．（2019·河南濮陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S1，S2，S3【答案】2【分析】本題考查了列舉法求概率，本題隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，有3【詳解】解：隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，可以閉合S1、S2；S1、S3；S2、S3三種情況，其中閉合∴P燈泡發(fā)光故答案為：23題型10畫(huà)樹(shù)狀圖法/列表法求概率37．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）某班級(jí)計(jì)劃舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題，若小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一個(gè)主題，則他們恰好選擇同一個(gè)主題的概率是（

）A．19 B．16 C．13【答案】C【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題分別記為A、B、C，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題的結(jié)果有3種，∴小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題的概率為39故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．38．（2022·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在踐行“安全在我心中，你我一起行動(dòng)”主題手抄報(bào)評(píng)比活動(dòng)中，共設(shè)置“交通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個(gè)主題內(nèi)容，推薦兩名學(xué)生參加評(píng)比，若他們每人從以上四個(gè)主題內(nèi)容中隨機(jī)選取一個(gè)，則兩人恰好選中同一主題的概率是（）A．12 B．13 C．23【答案】D【分析】設(shè)“交通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個(gè)主題內(nèi)容分別為A、B、C、D，畫(huà)出樹(shù)狀圖進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)“交通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個(gè)主題內(nèi)容分別為A、B、C、D，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，兩人恰好選中同一主題的結(jié)果有4種，則兩人恰好選中同一主題的概率為416故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法求概率，讀懂題意，畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．39．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考三模）班長(zhǎng)邀請(qǐng)A，B，C，D四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個(gè)座位，則A，B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（

）A．14 B．13 C．12【答案】C【分析】采用樹(shù)狀圖法，確定所有可能情況數(shù)和滿(mǎn)足題意的情況數(shù)，最后運(yùn)用概率公式解答即可.【詳解】解：根據(jù)題意列樹(shù)狀圖如下：由上表可知共有12中可能，滿(mǎn)足題意的情況數(shù)為6種則A，B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是612故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖成為解答本題的關(guān)鍵.40．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．(1)攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于_________；(2)攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷鲆粋€(gè)球．用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖求概率即可求解．【詳解】（1）解：共有3個(gè)球，其中紅球1個(gè)，∴摸到紅球的概率等于13（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∵有9種結(jié)果，其中2次都摸到紅球的結(jié)果有1種，∴2次都摸到紅球的概率=1【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式求概率，畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．題型11由頻率估計(jì)概率41．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（

）A．6 B．8 C．12 D．15【答案】C【分析】設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右列出關(guān)于x的方程，求解即可解答．【詳解】解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意，得：x20解得：x=12即袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是12，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，熟知經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)所得的頻率可以近似認(rèn)為是事件發(fā)生的概率是解題關(guān)鍵．42．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）質(zhì)檢部門(mén)對(duì)某批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行隨機(jī)抽檢，結(jié)果如下表所示：抽檢產(chǎn)品數(shù)n1001502002503005001000合格產(chǎn)品數(shù)m89134179226271451904合格率m0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約是（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】0.9【分析】根據(jù)表中給出的合格率數(shù)據(jù)即可得出該產(chǎn)品的合格概率．【詳解】解：根據(jù)題意得：該產(chǎn)品的合格率大約為0.9，∴恰好是合格產(chǎn)品的概率約是0.9．故答案為：0.9【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，訓(xùn)練了從統(tǒng)計(jì)表中獲取信息的能力及統(tǒng)計(jì)中用樣本估計(jì)總體的思想．44．（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里裝有幾十個(gè)除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里個(gè)數(shù)比較多的是（填“黑球”或“白球”）．【答案】白球【分析】利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，確定摸出黑球的概率，由此得到答案．【詳解】解：由圖可知：摸出黑球的頻率是0.2，根據(jù)頻率估計(jì)概率的知識(shí)可得，摸一次摸到黑球的概率為0.2，∴可以推斷盒子里個(gè)數(shù)比較多的是白球，故答案為：白球．【點(diǎn)睛】此題考查利用頻率估計(jì)概率，正確理解圖象的意義是解題的關(guān)鍵．題型12用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用44．（2022·山東威?！そy(tǒng)考一模）一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右．（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法）．【答案】（1）1個(gè)；（2）3【分析】（1）先利用頻率估計(jì)概率，得到摸到紅球的概率為0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；（2）利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，得到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）∵通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，∴估計(jì)摸到紅球的概率為0.75，設(shè)白球有x個(gè)，依題意得33+解得，x=1經(jīng)檢驗(yàn)：x=1所以箱子里可能有1個(gè)白球；（2）列表如下：紅1紅2紅3白紅1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，紅）（紅1，白）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，紅）（紅2，白）紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3，紅3）（紅3，白）白（白，紅1）（白，紅2）（白，紅）（白，白）或畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∵一共有16種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球顏色恰好不同的有：（紅1，白）、（紅2，白）、（紅3，白）、（白，紅1）、（白，紅2）、（白，紅3）共6種．∴兩次摸出的小球恰好顏色不同的概率616【點(diǎn)睛】本題考查的是利用頻率估計(jì)概率，利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求解等可能事件的概率，掌握實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多的情況下，頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值附近，這個(gè)常數(shù)視為概率，以及掌握列表與畫(huà)樹(shù)狀圖的方法是解題的關(guān)鍵．45．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┮粋€(gè)不透明的口袋中放著若干個(gè)紅球和黑球，這兩種球除顏色外沒(méi)有其他任何區(qū)別，袋中的球已經(jīng)攪勻，閉眼從口袋中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回?cái)噭颍?jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.4附近．(1)估計(jì)摸到紅球的概率是__________________________；(2)如果袋中有黑球12個(gè)，求袋中有幾個(gè)球；(3)在（2）的條件下，又放入n個(gè)黑球，再經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.7附近，求n的值．【答案】(1)3(2)30(3)30【分析】（1）利用頻率估計(jì)概率即可得出答案；（2）設(shè)袋子中原有m個(gè)球，根據(jù)題意得12m（3）根據(jù)題意得12+n【詳解】（1）解：∵經(jīng)過(guò)很多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.4附近，∴估計(jì)摸到紅球的頻率在0.6，∴估計(jì)摸到紅球的概率是610故答案為：35（2）設(shè)袋子中有m個(gè)球，根據(jù)題意，得12m解得m=30經(jīng)檢驗(yàn)m=30答：袋中有30個(gè)球；（3）根據(jù)題意得：12+n解得：n=30經(jīng)檢驗(yàn)n=30所以n=30【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)，估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．46．（2022·浙江溫州·?？家荒＃└鶕?jù)你所學(xué)的概率知識(shí)，回答下列問(wèn)題：(1)我們知道：拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣正面朝上的概率是________．若拋兩枚均勻硬幣，硬幣落地后，求兩枚硬幣都是正面朝上的概率．(用樹(shù)狀圖或列表來(lái)說(shuō)明)(2)小劉同學(xué)想估計(jì)一枚紀(jì)念幣正面朝上的概率，通過(guò)試驗(yàn)得到的結(jié)果如下表所示：拋擲次數(shù)m50010001500250030004000500010000“正面朝上”的次數(shù)n26551279313061558208325985204“正面朝上”的頻率n0.5300.5120.5290.5220.5190.5210.5200.520根據(jù)上表，下面有三個(gè)推斷：①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時(shí)，“正面朝上”的頻率是0.512，所以“正面朝上”的概率是0.512；②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面朝上”的頻率總是在0.520附近擺動(dòng)，顯示出一定穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面朝上”的概率是0.520；③若再做隨機(jī)拋鄭該紀(jì)念幣的試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時(shí)，出現(xiàn)“正面朝上”的次數(shù)不一定是1558次；其中推斷合理的序號(hào)是________．【答案】(1)12，(2)②③【分析】（1）根據(jù)概率公式求解拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣正面朝上的概率；根據(jù)樹(shù)狀圖求兩枚均勻硬幣時(shí)，硬幣正面朝上的概率；（2）根據(jù)試驗(yàn)次數(shù)越大，頻率穩(wěn)定，可用頻率估算概率，據(jù)此判斷即可．【詳解】（1）拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣正面朝上的概率是12若拋兩枚均勻硬幣時(shí)，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有4種等可能的情況數(shù)，其中兩枚硬幣都是正面朝上有1種，則兩枚硬幣都是正面朝上的概率是14故答案為：12，1（2）①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時(shí)，“正面向上”的頻率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“正面向上”的概率是0.520，故本選項(xiàng)正確，符合題意；③若再次做隨機(jī)拋擲該紀(jì)念幣的試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時(shí)，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)不一定是1558次，故本選項(xiàng)正確，符合題意；其中推斷合理的序號(hào)是②③．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，利用畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，根據(jù)頻率求概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．47．（2022·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某水果公司以2元/kg的成本價(jià)新進(jìn)10000kg柑橘．銷(xiāo)售人員先從所有柑橘中隨機(jī)抽取若干柑橘，進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計(jì)，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在表中．柑橘總質(zhì)量n/kg50100150200250300350400450500損壞柑橘質(zhì)量m/kg5.5010.5015.1519.4224.2530.9335.3239.2444.5751.54柑橘損壞的頻率m0.1100.1050.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)這10000kg柑橘中損壞的概率是______；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）(2)在（1）的條件下，如果公司希望這些柑橘的銷(xiāo)售利潤(rùn)能超過(guò)5000元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時(shí)，每千克至少定價(jià)多少元？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】(1)0.1(2)每千克至少定價(jià)2.8元【分析】（1）根據(jù)利用頻率估計(jì)概率得到隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，柑橘中損壞的頻率越來(lái)越穩(wěn)定在0.1左右，由此可估計(jì)柑橘的損壞概率為0.1；（2）根據(jù)概率計(jì)算出完好柑橘的質(zhì)量為10000×0.9＝9000千克，設(shè)每千克柑橘的銷(xiāo)售價(jià)為x元，然后根據(jù)“售價(jià)＝進(jìn)價(jià)＋利潤(rùn)”列不等式解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表中柑橘損壞的頻率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增多時(shí)，柑橘損壞的頻率越來(lái)越穩(wěn)定在0.1左右，所以柑橘的損壞概率為0.1，故答案為：0.1；（2）解：根據(jù)估計(jì)的概率可知，在10000千克柑橘中完好柑橘的質(zhì)量為10000×0.9＝9000千克，設(shè)每千克柑橘的售價(jià)為x元，則根據(jù)希望這些柑橘的銷(xiāo)售利潤(rùn)能超過(guò)5000元可得9000x解得x>答：出售柑橘時(shí)每千克至少定價(jià)為2.8元獲利潤(rùn)能超過(guò)5000元．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)逐漸增大，頻率會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近，這個(gè)常數(shù)就是概率，根據(jù)題意列出一元一次不等式求解是解決第二個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．48．（2023·福建福州·福建省福州華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某果園為了實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化管理，計(jì)劃安裝不少于2臺(tái)大型自動(dòng)噴水機(jī)，當(dāng)降雨量少時(shí)噴水機(jī)可以對(duì)果樹(shù)自動(dòng)灌溉．統(tǒng)計(jì)了過(guò)去50年的年均降雨量資料，得到如下的頻數(shù)分布直方圖，假設(shè)各年的年均降雨量互不影響，以過(guò)去50年的年均降雨量為樣本．(1)估計(jì)未來(lái)1年中，年均降雨量低于1700的概率．(2)每年自動(dòng)噴水機(jī)需要運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年均降雨量X限制．并有如下關(guān)系：年均降雨量X900≤1300≤1700≤?chē)娝畽C(jī)需要運(yùn)行臺(tái)數(shù)321若一臺(tái)噴水機(jī)運(yùn)行，一年為果園帶來(lái)80萬(wàn)元的利潤(rùn)；著某臺(tái)噴水機(jī)未運(yùn)行，一年也得要投入40萬(wàn)元的費(fèi)用；如果由于缺水，少開(kāi)一臺(tái)噴水機(jī)將使果園損失50萬(wàn)元．欲使果園在噴水機(jī)項(xiàng)目上實(shí)現(xiàn)年利潤(rùn)的平均值達(dá)到最大，需安裝幾臺(tái)噴水機(jī)？【答案】(1)9(2)2臺(tái)【分析】（1）根據(jù)過(guò)去50年的年均降雨量的統(tǒng)計(jì)情況，利用概率公式即可求解；（2）由題意可知只能安裝2臺(tái)或者3臺(tái)噴水機(jī)，計(jì)算出不同年均降雨量的概率，再分別計(jì)算兩種方案下各年均降雨量概率下的平均獲利，比較即可．【詳解】（1）解：由題意可得，年均降雨量低于1700的概率為：10+3510+35+5（2）由題意可知：年均降雨量900≤X≤1300的概率為：年均降雨量1300≤X≤1700的概率為：年均降雨量1700≤X≤2100的概率為：又∵計(jì)劃安裝不少于2臺(tái)大型自動(dòng)噴水機(jī)，并且最缺水時(shí)也只用3臺(tái)噴水機(jī)，∴只能安裝2臺(tái)或者3臺(tái)噴水機(jī)，設(shè)年利潤(rùn)為Y，當(dāng)安裝2臺(tái)噴水機(jī)時(shí)：900≤X≤1300時(shí)，1300≤X≤1700時(shí)，1700≤X≤2100時(shí)，則平均年利潤(rùn)為：110×0.2+160×0.7+40×0.1=138萬(wàn)元；當(dāng)安裝3臺(tái)噴水機(jī)時(shí)：900≤X≤1300時(shí)，1300≤X≤1700時(shí)，1700≤X≤2100時(shí)，則平均年利潤(rùn)為：240×0.2+120×0.7+0×0.1=132萬(wàn)元；∵138>132，∴安裝2臺(tái)噴水機(jī)年利潤(rùn)的平均值達(dá)到最大．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的應(yīng)用，要能從統(tǒng)計(jì)表中找到我們需要的數(shù)據(jù)，并用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)處理，熟練掌握概率相關(guān)知識(shí)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．題型13放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法49．（2021·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）一只不透明袋子中裝有1個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335（1）該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，隨著摸球次數(shù)的增多，摸到白球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)常數(shù)（精確到0.01），由此估出紅球有幾個(gè)？（2）在這次摸球試驗(yàn)中，從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，再?gòu)闹须S機(jī)摸出1個(gè)球，利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求兩次摸到的球恰好1是個(gè)白球，1個(gè)是紅球的概率．【答案】（1）這個(gè)常數(shù)是0.33，由此估出紅球有2個(gè)；（2）4【分析】（1）計(jì)算頻率的平均數(shù)，后按照精確度求得近似數(shù)即可；根據(jù)概率公式建立方程求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得0.3600+0.3100+0.3250+0.3340+0.3325+0.3335＝0.3325≈0.33，設(shè)有x個(gè)紅球，根據(jù)題意，得11+解得x≈2經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．故這個(gè)常數(shù)是0.33，由此估出紅球有2個(gè)．

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：據(jù)圖知，所有等可能的情況有9種，其中恰好摸到1個(gè)白球，1個(gè)紅球的情況有4種，則P（恰好摸到1個(gè)白球，1個(gè)紅球）=4所以從該袋中摸出2個(gè)球，恰好摸到1個(gè)白球、1個(gè)紅球的結(jié)果的概率為49【點(diǎn)睛】本題考查了用頻率估計(jì)概率，畫(huà)樹(shù)狀圖計(jì)算概率，準(zhǔn)確理解頻率估計(jì)概率的意義，熟練畫(huà)樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．50．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)不透明的盒子里，裝有三個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同．小明先從盒子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為x；放回盒子搖勻后，再由小華隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為y．(1)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖表示出x,(2)求小明、小華各取一次小球所確定的點(diǎn)x,y落在反比例函數(shù)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）采用列表法即可寫(xiě)出x，（2）找出表中落在反比例函數(shù)y=【詳解】（1）解：列表如下x1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)一共有9種等可能性結(jié)果；（2）解：∵點(diǎn)x，y落在反比例函數(shù)y=3x的圖象上有2∴點(diǎn)x，y落在反比例函數(shù)y=【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，解答本題得的關(guān)鍵是明確題意，列出表或畫(huà)出樹(shù)狀圖，求出相應(yīng)的概率．51．（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，小明隨機(jī)從口袋中摸取一個(gè)小球，記錄摸到小球的標(biāo)號(hào)后放回，再?gòu)闹忻∫粋€(gè)小球，又放回．小明摸取了60次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：標(biāo)號(hào)1234次數(shù)16142010(1)上述試驗(yàn)中，小明摸取到“2”號(hào)小球的頻率是；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”號(hào)小球的概率是；(2)若小明一次在袋中摸出兩個(gè)小球，求小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)的和為5的概率．【答案】(1)730，(2)1【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能結(jié)果，滿(mǎn)足條件的有4種，由概率公式求解．【詳解】（1）解：由圖表中數(shù)據(jù)可知，小明摸取到“2”號(hào)小球的頻率是：1460小明下一次在袋中摸取小球，由于袋中共有4個(gè)球，因此摸到“2”號(hào)小球的概率是：14（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能結(jié)果，小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)的和為5的結(jié)果有4種，因此小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)的和為5的概率為：412【點(diǎn)睛】本題考查求概率，掌握用列表法或樹(shù)狀圖求概率是關(guān)鍵，一般兩步完成的事件列表法、樹(shù)狀圖都可以用，三步或三步以上完成的事件適合用樹(shù)狀圖．52．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┯?張撲克牌，牌面數(shù)字分別為2、3、4、4，其余都相同．小明隨機(jī)從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后放回；洗勻后再?gòu)闹忻鲆粡埮?，記錄牌面?shù)字后又放回．小明摸了100次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：牌面數(shù)字2344次數(shù)26243020(1)上述試驗(yàn)中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是；小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是；(2)若小明一次摸出兩張牌，求小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率．【答案】(1)625，(2)1【分析】（1）直接由頻率定義和概率公式分別求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）上述試驗(yàn)中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是24100小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是14故答案為：625，1（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結(jié)果有4種，∴小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率為412【點(diǎn)睛】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．53．（2023·陜西寶雞·?？家荒＃┮粋€(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是1，1，2，3，這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同．(1)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為；(2)先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【答案】(1)1(2)7【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率；（2）根據(jù)題意可以畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，然后即可求出摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【詳解】（1）由題意可得，數(shù)字1，1，2，3中，數(shù)字1有2個(gè)，所以，從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為24故答案為：12（2）樹(shù)狀圖如下：

由上可得，一共有16種等可能性，其中兩數(shù)之積是偶數(shù)的可能性有7種，∴摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率716【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，求出相應(yīng)的概率．54．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的箱子里裝有藍(lán)、白兩種顏色的球共4個(gè)，它們除顏色外，其他都相同．李明將球攪勻后從箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后，再將它放回，不斷重復(fù)實(shí)驗(yàn)．多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表．摸球次數(shù)100400600700100013001500白球頻率0.7020.7240.7310.7460.7490.7510.750(1)當(dāng)摸球次數(shù)足夠多時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)穩(wěn)定于______（精確到0.01）左右，從箱子中摸一次球，估計(jì)摸到藍(lán)球的概率是______．(2)從該箱子里隨機(jī)摸出1個(gè)球，不放回，再摸出1個(gè)球．用列舉法求摸到1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)白球的概率．【答案】(1)0.75；0.25（或14(2)摸到1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)白球的概率為1【分析】（1）運(yùn)用頻率估算概率的方法即可求解；根據(jù)概率和為1即可求解；（2）運(yùn)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求隨機(jī)事件的概率的方法即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)表格信息可得，摸到白球的頻率將會(huì)穩(wěn)定于0.75，摸到藍(lán)球的概率是0.25，故答案為：0.75；0.25（或14（2）解：由（1）知，袋中白球的個(gè)數(shù)約為4×0.75=3，藍(lán)球的個(gè)數(shù)約為4-3=1，列表如下：白白白藍(lán)白白白藍(lán)白白白藍(lán)白白白藍(lán)藍(lán)白白白由表知，共有12種等可能的結(jié)果，其中摸到1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)白球的結(jié)果有6種，∴摸到1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)白球的概率為612題型14不放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法55．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考三模）中國(guó)城市基礎(chǔ)設(shè)施的現(xiàn)代化程度顯著提高，新技術(shù)、新手段得到廣泛應(yīng)用，基礎(chǔ)設(shè)施的功能日益增加，承載能力、系統(tǒng)性和效率都有了顯著的提升．城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展了，居民生活條件改善了，如5G基礎(chǔ)進(jìn)設(shè)、新能源汽車(chē)充電樁、人工智能等，其中，隨著人們對(duì)新能源汽車(chē)的認(rèn)可，公共充電樁的需求量逐漸增大．根據(jù)巾商情報(bào)網(wǎng)信息：某月“特來(lái)電”“星星充電”“國(guó)家電網(wǎng)”“云快充”等企業(yè)投放公共充電樁的數(shù)量及市場(chǎng)份額的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：(1)①將統(tǒng)計(jì)圖中“國(guó)家電網(wǎng)”的公共充電樁數(shù)量和市場(chǎng)份額補(bǔ)充完整；②統(tǒng)計(jì)圖中所涉及的十一種企業(yè)投放公共充電樁數(shù)量的中位數(shù)是萬(wàn)臺(tái)．(2)小輝收集到下列四個(gè)企業(yè)的圖標(biāo)，并將其制成編號(hào)分別為A，B，C，D的四張卡片（除編號(hào)和內(nèi)容外，其余部分完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻，放在桌面上，從中任意抽取一張，不放回，再抽取一張．請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求抽取到的兩張卡片恰好是“A”和“D“的概率．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②2(2)1【分析】本題考查的是從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息，求解中位數(shù)，利用畫(huà)樹(shù)狀圖求解隨機(jī)事件的概率，掌握以上基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵；（1）①由星星充電10萬(wàn)臺(tái)充電樁占比20%求解總的充電樁的數(shù)量，再求解國(guó)家電網(wǎng)的充電樁的數(shù)量與占比即可；②根據(jù)11家企業(yè)的充電樁是數(shù)量按照從大到小順序排列后，排在第6（2）先畫(huà)樹(shù)狀圖得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，再得到符合條件的結(jié)果數(shù)，結(jié)合概率公式可得答案．【詳解】（1）解：①公共充電樁的總數(shù)為10÷20%∴“國(guó)家電網(wǎng)”的公共充電樁數(shù)量為50-15-10-5-2-2-2-1.5-1-0.5-3=8（萬(wàn)臺(tái)），“國(guó)家電網(wǎng)”的公共充電樁的市場(chǎng)份額為850如圖，②統(tǒng)計(jì)圖中所涉及的十一種企業(yè)投放公共充電樁數(shù)量的中位數(shù)是2萬(wàn)臺(tái)．（2）畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取到的兩張卡片恰好是“A”和“D“的結(jié)果數(shù)為2，所以抽取到的兩張卡片恰好是“A”和“D“的概率=256．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測(cè)）隨著全民健身與全民健康深度融合，戶(hù)外運(yùn)動(dòng)逐漸成為人民群眾喜聞樂(lè)見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)方式．為讓青少年以享受運(yùn)動(dòng)為前提，獲取參與戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的知識(shí)與技能，某校開(kāi)展了戶(hù)外運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并隨機(jī)在八、九年級(jí)各抽取了20名學(xué)生的成績(jī)（百分制），部分過(guò)程如下：收集數(shù)據(jù)：八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?0，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，85整理數(shù)據(jù)：八年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布表：等級(jí)DCBA成績(jī)x（分）60<70<80<90<人數(shù)（人）59a2分析數(shù)據(jù)：八、九年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率如下表：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率八年級(jí)78.25b7510%九年級(jí)82.7582.58025請(qǐng)根據(jù)上述信息，回答下列問(wèn)題：(1)填空：a=___________，b=(2)估計(jì)該校九年級(jí)參加競(jìng)賽的500人中，成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)；(3)在收集九年級(jí)20我學(xué)生成績(jī)的過(guò)程中，誤將一個(gè)數(shù)據(jù)“80”寫(xiě)成了“85”，小宇認(rèn)為從中位數(shù)角度看，不會(huì)影響該校學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)知識(shí)一般水平的反映情況，請(qǐng)你判斷小宇的結(jié)論是否正確？并說(shuō)明理由；(4)隨著年輕一代消費(fèi)者逐漸成為消費(fèi)主力，他們對(duì)“走出去”的渴望日益增長(zhǎng)，露營(yíng)、釣魚(yú)、騎行、爬山等戶(hù)外運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目逐漸成為當(dāng)代年輕人的熱門(mén)娛樂(lè)方式之一、為近一步了解戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的參與群體，小宇和小強(qiáng)收集了印有這四種戶(hù)外運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的圖案的卡片（依次記為L(zhǎng)，D，Q，P，除正面編號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同）．現(xiàn)將這四張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是Q（騎行）和P（爬山）的概率．【答案】(1)4，77.5(2)125人(3)不正確，見(jiàn)解析(4)1【分析】（1）找到成績(jī)?yōu)?0<x≤90的人數(shù)即可得到a的值，把八年級(jí)學(xué)生成績(jī)從小到大排列后，求出中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可得到（2）由表知八年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率為10%，八年級(jí)20名學(xué)生中，成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為2人，可知成績(jī)?cè)?0分以上為優(yōu)秀，即可估計(jì)該校九年級(jí)參加競(jìng)賽的500人中，成績(jī)?cè)?0（3）根據(jù)數(shù)據(jù)變化對(duì)中位數(shù)可能產(chǎn)生的影響進(jìn)行分析即可；（4）畫(huà)出樹(shù)狀圖，根據(jù)概率公式即可求得答案．【詳解】（1）解：八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)種等級(jí)為B，即成績(jī)?yōu)?0<x≤90的為90，85，85，85，共4個(gè)人，則八年級(jí)學(xué)生成績(jī)從小到大排列如下：65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85，85，85，90，95，95，處在中間位置的是75，80，∴中位數(shù)b=故答案為：4，77.5（2）由表知八年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率為10%∵八年級(jí)20名學(xué)生中，成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為2人，所占百分比為220∴可知成績(jī)?cè)?0分以上為優(yōu)秀，∴500×25%答：九年級(jí)參加競(jìng)賽的500人中，成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)約為125人；（3）小宇的結(jié)論不正確．理由：由表知九年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為82.5，將數(shù)據(jù)“80”識(shí)破寫(xiě)成了“85”，中位數(shù)有可能變大，即反映該校學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)知識(shí)一般水平的情況發(fā)生變化，故小宇的結(jié)論不正確；（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如下；

由畫(huà)樹(shù)狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是Q（騎行）和P（爬山）的結(jié)果有2種，∴P（抽到的兩張卡片恰好是Q（騎行）和P（爬山））=2【點(diǎn)睛】此題考查了樹(shù)狀圖或列表法求概率、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量知識(shí)，讀懂題意，進(jìn)行正確的求解和分析是解題的關(guān)鍵．57．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“魅”“力”“石”“門(mén)”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．(1)從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“石”的概率為_(kāi)_______；(2)甲從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺颍?qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“魅力”或“石門(mén)”的概率P1(3)乙從中任取一球，記下漢字后放回，然后再?gòu)闹腥稳∫磺?，記乙取出的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“魅力”或“石門(mén)”的概率為P2，則P1________P2（填“＞”“＜”或“【答案】(1)1(2)1(3)>【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖，利用概率公式即可求得P1（3）根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖，利用概率公式即可求得P2【詳解】（1）從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“石”的概率為14故答案為：14（2）樹(shù)狀圖如圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“魅力”或“石門(mén)”的結(jié)果有4種，

∴甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“魅力”或“石門(mén)”的概率P1（3）樹(shù)狀圖如圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“魅力”或“石門(mén)”的結(jié)果有4種，

∴甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“魅力”或“石門(mén)”的概率P2∴P1故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了用概率公式求概率，列表法或樹(shù)狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．58．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖，有四張不透明且背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分別印有凈月潭、長(zhǎng)春世界雕塑公園、長(zhǎng)影世紀(jì)城、偽滿(mǎn)皇宮博物院（這些卡片除圖案不同外，其余均相同）．把這四張卡片背面向上洗勻后，任意抽出一張不放回，然后再?gòu)挠嘞碌目ㄆ腥我獬槌鲆粡垼?qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法，求抽出兩張卡片的圖案恰好是“凈月潭【答案】1【分析】運(yùn)用列舉法求兩步概率問(wèn)題，采用畫(huà)出樹(shù)狀圖法，再由概率公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：一共有12種等可能的情況，抽出兩張卡片的圖案恰好是A“凈月潭”和C“長(zhǎng)影世紀(jì)城”的卡片共有2種情況，∴P（抽出的兩張卡片的圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形）=2【點(diǎn)睛】本題考查了列表法和樹(shù)狀圖法求兩步概率問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，根據(jù)題意準(zhǔn)確畫(huà)出樹(shù)狀圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型15游戲公平性59．（2022·湖北黃岡·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)A、B都被分成3等份的扇形區(qū)域，并在每一小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字（如圖所示），指針的位置固定．游戲規(guī)則：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，將指針?biāo)竷蓚€(gè)區(qū)域內(nèi)的數(shù)字相乘（若指針落在分割線(xiàn)上，則需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)）．(1)試用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求數(shù)字之積為3的倍數(shù)的概率；(2)小亮和小蕓想用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲，他們規(guī)定：數(shù)字之積為3的倍數(shù)時(shí)，小亮得2分；數(shù)字之積為5的倍數(shù)時(shí)，小蕓得3分．你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)修改得分規(guī)定，使游戲?qū)﹄p方公平．【答案】(1)5(2)不公平，見(jiàn)解析【分析】（1）選擇列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法，計(jì)算概率即可；（2）先計(jì)算規(guī)則下的各自得分概率，比較概率大小，相等，則判定游戲公平．【詳解】（1）利用表格或樹(shù)狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：AB45611,41,51,622,42,52,633,43,53,6總共有9種等可能的結(jié)果，數(shù)字之積為3的倍數(shù)的有5種，其概率為59（2）這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平．理由如下：∵數(shù)字之積為5的倍數(shù)的有3種，其概率為39數(shù)字之積為3的倍數(shù)的有5種，其概率為59∵59∴游戲?qū)﹄p方不公平．修改得分規(guī)定為：若數(shù)字之積為3的倍數(shù)時(shí)，小亮得3分，若數(shù)字之積為5的倍數(shù)時(shí)，小蕓得5分．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，熟練掌握列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．60．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考一模）為提高教育質(zhì)量，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳頒布了“雙減”政策．為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“雙減”政策的了解程度，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)網(wǎng)上調(diào)查的方式在本校學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí)：A．非常了解；B．比較了解；C．基本了解；D．不了解．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖的統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問(wèn)題：(1)若該校有學(xué)生2000人，請(qǐng)根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)這些學(xué)生中“比較了解”“雙減”政策的人數(shù)約為多少？(2)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開(kāi)展關(guān)于“雙減”政策宣傳工作，要從某班“非常了解”的小明和小剛中選一個(gè)人參加，現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來(lái)確定，具體規(guī)則是：在一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，它們除了顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球顏色相同，則小明去；否則小剛?cè)ィ?qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平．【答案】(1)約為400人(2)不公平，理由見(jiàn)解析【分析】（1）用總?cè)藬?shù)乘以“比較了解”所占的百分比即可；（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與摸出兩個(gè)球顏色相同與不同的情況，再利用概率公式求解，比較概率大小，即可判斷游戲規(guī)則是否公平．【詳解】（1）解：本次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：10+20+40+30=100（人），這些學(xué)生中“比較了解”“雙減”政策的人數(shù)約為：2000×20答：這些學(xué)生中“比較了解”“雙減”政策的人數(shù)約為400人．（2）解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∵共有12種等可能的結(jié)果，兩個(gè)球顏色相同的有4種情況，兩個(gè)球顏色不同的有8種情況，∴兩個(gè)球顏色相同的概率為P=∴兩個(gè)球顏色不相同的概率為P=∵1∴游戲規(guī)則不公平．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法求概率，條形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是利用樹(shù)狀圖法求出概率，比較概率，判斷是否公平．61．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）北京冬奧會(huì)將在2022年2月4日至20日舉行，北京將成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧運(yùn)會(huì)和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市，小亮是個(gè)集郵愛(ài)好者，他收集了如圖所示的5張紀(jì)念郵票（除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)將5張郵票背面朝上，洗勻放好．(1)小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票是“吉祥物雪容融”的概率是______；(2)小明發(fā)明了一種“郵票棋”比勝負(fù)的游戲，用小亮的三種郵票當(dāng)作5顆棋子，其中冬奧會(huì)會(huì)徽郵票記作A棋，吉祥物冰敦敦郵票記作B棋，吉祥物雪容融郵票記作C棋．游戲規(guī)則：將5顆棋子放入一個(gè)不透明的袋子中，然后隨機(jī)從5顆棋子中摸出1顆棋子，不放回，再摸出第2顆棋子，若摸到A棋，則小明勝；若摸到兩顆相同的棋子，則小亮勝；其余情況視為平局，游戲重新進(jìn)行，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法驗(yàn)證這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)2(2)游戲不公平，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果，求出兩人獲勝的概率，比較大小即可得出答案．【詳解】（1）解：小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票是“吉祥物雪容融”的概率是25故答案為：25（2）解：列表如下ABBCCA\AAAABB\BBBBBB\BBCCCC\CCCCCC\所以，該游戲等可能的結(jié)果為20種，摸到A棋子的結(jié)果有8種，摸到相同兩顆棋子的結(jié)果有4種．P（小明勝）=P（小亮勝）=∵2∴游戲不公平．【點(diǎn)睛】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．62．（2023·云南·一模）現(xiàn)有A，B兩個(gè)不透明的袋子，A袋的4個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4；B袋的3個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．（每個(gè)袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同．）（1）從A，B兩個(gè)袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩個(gè)小球上數(shù)字相同的概率是；（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙從B袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是否公平．【答案】（1）14；（2【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個(gè)數(shù)字相同的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)和偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算出甲、乙獲勝的概率即可得出答案．【詳解】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)數(shù)字相同的結(jié)果有3個(gè)，∴兩個(gè)小球上數(shù)字相同的概率是312＝1故答案為：14（2）這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是公平的．畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)有6種，兩人摸到小球的數(shù)字之和為偶數(shù)的也有6種，∴P甲獲勝＝P乙獲勝＝12∴此游戲?qū)﹄p方是公平的．【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性以及列表法與樹(shù)狀圖法．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．題型16概率的應(yīng)用63．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）某商場(chǎng)舉辦“樂(lè)享國(guó)慶”購(gòu)物活動(dòng)時(shí)，為了疫情防控，只開(kāi)通A，B，C三個(gè)人口，參加人員領(lǐng)取入場(chǎng)券后，由電腦隨機(jī)安排其有某個(gè)入口進(jìn)場(chǎng).(1)小明領(lǐng)取入場(chǎng)券后，從A入口進(jìn)場(chǎng)的概率是多少？(2)某品牌手機(jī)商家開(kāi)展了“頭手機(jī)砸金蛋”活動(dòng)，購(gòu)買(mǎi)該品牌手機(jī)的顧客都有一次砸金蛋機(jī)會(huì).小明和小亮同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了該品牌手機(jī)，商家提供了4個(gè)金蛋，只有1個(gè)是一等獎(jiǎng)，其余都是二等獎(jiǎng).商家讓小明執(zhí)錘先砸，小亮認(rèn)為商家這種做法對(duì)他不公平.請(qǐng)從兩人獲得一等獎(jiǎng)