2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題07 分式方程及其應(yīng)用【八大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題07分式方程及其應(yīng)用【八大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由分式方程的解求參數(shù)】 2【題型2解分式方程】 2【題型3由分式方程無解或存在增根求參數(shù)】 3【題型4由分式方程的取值范圍求參數(shù)】 3【題型5由實際問題抽象出分式方程】 4【題型6分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運用】 4【題型7中考最熱考法之以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】 6【題型8中考最熱考法之以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】 8【知識點分式方程及其應(yīng)用】1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程與實際問題解有關(guān)分式方程的實際問題的一般步驟：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。第6步：答?！绢}型1由分式方程的解求參數(shù)】【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4k【變式1-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知x=1是方程m2-x-1A．-2 B．2 C．-4 D【變式1-2】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）下列分式方程中，解為x=A．4x-1=1x B．x【變式1-3】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┤絷P(guān)于x的不等式組3x+54≤x+32x+A．10 B．12 C．16 D．14【題型2解分式方程】【例2】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為．b的值為．x結(jié)果代數(shù)式2n37b2a1【變式2-1】（2023·四川·中考真題）關(guān)于x的分式方程2x-1【變式2-2】（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）解分式方程：xx【變式2-3】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程xx小丁：解：去分母，得x去括號，得x合并同類項，得3=解得x∴原方程的解是x小迪：解：去分母，得x去括號得x合并同類項得2解得x經(jīng)檢驗，x=2你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【題型3由分式方程無解或存在增根求參數(shù)】【例3】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）若分式方程xx-1A．1 B．-1 C．2 D．【變式3-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個數(shù)“？”看不清楚：?x（1）她把這個數(shù)“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程；（2）小華的媽媽說：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”【變式3-2】（2023·黑龍江雞西·?？级＃┤絷P(guān)于x的分式方程1x-2+axA．a(chǎn)≠32 B．a(chǎn)≠-1 C．a(chǎn)=-1【變式3-3】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）若關(guān)于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y【題型4由分式方程的取值范圍求參數(shù)】【例4】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）若分式方程ax+2=1-3xA．a(chǎn)<-1且a≠-2 B．a(chǎn)C．a(chǎn)<-2且a≠-3 D．a(chǎn)【變式4-1】（2023·黑龍江雞西·?？寄M預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程x+mx-2A．m<6且m≠1 B．m<3且m≠2 C．m<6【變式4-2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程mx+6=1，對于方程的解，甲、乙兩人有以下說法：甲：當(dāng)m<4時，方程的解是負(fù)數(shù)；乙：當(dāng)A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都錯【變式4-3】（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組x+23>x2+14x+a<【題型5由實際問題抽象出分式方程】【例5】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）用計算機處理數(shù)據(jù)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，某研究室安排兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一致，本次操作需輸入2640個數(shù)據(jù)，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個數(shù)據(jù)？設(shè)乙每分鐘能輸入x個數(shù)據(jù)，根據(jù)題意得方程正確的是（）A．26402x=C．26402x=【變式5-1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）隨著城際交通的快速發(fā)展，某次動車平均提速60kmh，動車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時間相同．設(shè)動車提速后的平均速度為xkmh，則下列方程正確的是（A．360x=480x+60 B．360x【變式5-2】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）為了落實“雙減”政策，進一步豐富文體活動，學(xué)校準(zhǔn)備購進一批籃球和足球，已知每個籃球的價格比每個足球的價格多20元，用1500元購進籃球的數(shù)量比用800元購進足球的數(shù)量多5個，如果設(shè)每個足球的價格為x元，那么可列方程為（

）A．1500x+20-800x=5 B．1500【變式5-3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）某運輸公司，運送一批貨物，甲車每天運送貨物總量的14．在甲車運送1天貨物后，公司增派乙車運送貨物，兩車又共同運送貨物12天，運完全部貨物．求乙車單獨運送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列方程，正確的是（A．14+1C．141+1【題型6分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運用】【例6】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行走時間t的函數(shù)圖象，則兩圖象交點P的縱坐標(biāo)是．

【變式6-1】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2①此拋物線的函數(shù)表達式為________．（函數(shù)表達式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．③已知人行道臺階CE，DF高均為0.3米，按照國家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于+【變式6-2】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽禮盒的進價比肉粽禮盒的進價每盒便宜10元，某商家用2500元購進的肉粽和用2000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進價；(2)商家計劃只購買豆沙粽禮盒銷售，經(jīng)調(diào)查了解到有A，B兩個廠家可供選擇，兩個廠家針對價格相同的豆沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：A廠家：一律打8折出售．B廠家：若一次性購買禮盒數(shù)量超過25盒，超過的部分打7折．該商家計劃購買豆沙粽禮盒x盒，設(shè)去A廠家購買應(yīng)付y1元，去B廠家購買應(yīng)付y①分別求出y1，y2與②若該商家只在一個廠家購買，怎樣買劃算？【變式6-3】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）某班家委會討論決定購買A，B兩種型號的口罩供班級學(xué)生使用，已知A型口罩每包價格a元，B型口罩每包價格比A型少4元，180元錢購買的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．(2)經(jīng)與商家協(xié)商，購買A型口罩價格可以優(yōu)惠，其中每包價格y（元）和購買數(shù)量x（包）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，B型口罩一律按原價銷售．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②若家委會計劃購買A型、B型共計100包，其中A型不少于30包，且不超過60包．問購買A型口罩多少包時，購買口罩的總金額最少，最少為多少元？【題型7中考最熱考法之以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】【例7】（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進一步激發(fā)觀眾愛國之情．帝都南陽與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過南陽到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽留下了千古絕唱“三絕碑”．某超市采購了兩批同樣的《出師表》紀(jì)念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進25個．(1)求第二批每個掛件的進價；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【變式7-1】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）隨著新能源汽車的普及，我國新能源汽車的保有量已經(jīng)處于世界第一，解決汽車快速充電技術(shù)已經(jīng)成為新能源汽車發(fā)展的主要研究方向，從2023年開始，4C甚至6C的快速充電方案已經(jīng)開始逐步落地．據(jù)測試數(shù)據(jù)顯示，使用6C充電技術(shù)，每分鐘充電量的續(xù)航里程（汽車所能行駛的路程）比采用4C技術(shù)提高了50%，若采用6C充電技術(shù)，續(xù)航里程480公里的充電時間，比采用4C充電技術(shù)續(xù)航里程【變式7-2】（2023·云南昭通·統(tǒng)考一模）瑞兔迎春，福滿萬家吉祥物“兔圓圓”拉開2023央視總臺兔年春晚的帷幕．豎直的耳朵、微昂的腦袋、挺起的胸脯等設(shè)計巧思，彰顯出奮進向上的精氣神，某商店用1500元購進了一批“兔圓圓”玩具，過了一段時間，又用3500元購進一批“兔圓圓”玩具，所購數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍，但每個“兔圓圓”玩具的價格比第一次購進的價格貴了5元．(1)商店第一次購進“兔圓圓”玩具多少個？(2)若該商店兩次購進的“兔圓圓”玩具按相同的標(biāo)價銷售，全部售完后利潤不低于1150元，則每個“兔圓圓”玩具的標(biāo)價至少是多少元？【變式7-3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）京東發(fā)布的《2023春節(jié)假期消費趨勢》顯示：消費者春節(jié)期間購物品類更加多元，也在節(jié)日之外更“日?；?，其中預(yù)制菜成交額同比增長超6倍．春節(jié)期間，某超市分別用2000元和1600元購進A，B兩類同等數(shù)量的預(yù)制菜禮盒，已知B類預(yù)制菜禮盒每盒進價比A類預(yù)制菜禮盒每盒便宜20元，A，B兩類預(yù)制菜禮盒每盒的售價分別是130元和120元．(1)求A，B兩類預(yù)制菜禮盒的進價各是多少元；(2)第一次進的貨很快銷售一空，該超市決定第二次購進A，B兩類預(yù)制菜禮盒共30盒，且購進的A類預(yù)制菜禮盒數(shù)量不少于B類預(yù)制菜禮盒數(shù)量的2倍，該超市第二次如何進貨才能在銷售完該次所進預(yù)制菜禮盒后，獲得最大利潤？并求出最大利潤（此處指銷售第二次所進預(yù)制菜禮盒的利潤）．【題型8中考最熱考法之以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】【例8】（2023·安徽·校聯(lián)考三模）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？【變式8-1】（2023·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著之一．它總結(jié)了我國戰(zhàn)國、秦漢時期的數(shù)學(xué)成就．其中有一題，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．問善行者幾何里及之大意為：現(xiàn)今有不善行者先走10里，善行者再按同路追趕不善行者，當(dāng)善行者走到100里時，超過不善行者20里．問：善行者走多少里時追上了不善行者？【變式8-2】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）歐拉是世界上著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家．在歐拉的著作《代數(shù)引論》中有這樣一個有趣的題：兩個農(nóng)婦一共帶了100個雞蛋去集市，兩人所帶雞蛋個數(shù)不等，但賣的錢數(shù)相同，第一個農(nóng)婦說：“如果我有你那么多雞蛋就可以賣15個克羅索（克羅索是古代歐洲的一種貨幣名稱），”第二個農(nóng)婦答道：“如果我有你那么多雞蛋就只能賣得623(1)試問這兩名農(nóng)婦各帶來多少個雞蛋？(2)試問這