湖南省長沙一中學(xué)雨花新華都學(xué)校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊期末聯(lián)考試題含解析

湖南省長沙一中學(xué)雨花新華都學(xué)校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末聯(lián)考試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.要得到拋物線y=2(x-4)2+1,可以將拋物線y=2x2()

A.向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度

B.向左平移4個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度

C.向右平移4個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度

D.向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度

2.某路口的交通信號(hào)燈每分鐘紅燈亮30秒,綠燈亮25秒,黃燈亮5秒,當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí),遇到綠燈的概率是()

1315

A.-B.-C.—D.-

241212

3.若二次函數(shù)y=??+法+c(“K0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和G1,0),貝us="+b+c?的值的變化范

圍是()

A.0<S<2B.0<S<1c.1<S<2D.-1<S<1

4.若關(guān)于x的方程h2一〃-1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.*>-1B.1且k和C.松-1且A和D.*>-1

5.有n支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了15場，每兩個(gè)隊(duì)之間只比賽一場，則下列方程中符合題意的是()

A.n(n-1)=15B.n(n+l)=15

C.n(n-1)=30D.n(n+l)=30

6.關(guān)于x的方程x2-mx+6=0有一根是-3,那么這個(gè)方程的另一個(gè)根是()

A.-5B.5C.-2D.2

7.如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊邊角空地建造了一個(gè)扇形花圃，扇形圓心角NAOB=12()°,半徑OA為3m,

那么花圃的面積為()

A.67rm2C.27rm2D.nm

8.如圖，在RtMBC中，AC^BC,AB=5五，以A8為斜邊向上作RtAABr>,NADB=90°.連接CD,若8=7,

則AO的長度為（）

A.3后或4板B.3或4C.2后或4后D.2或4

9.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,對(duì)角線AC=6.若過點(diǎn)A作AE_LBC,垂足為E,則AE的長為（）

A.4B.2.4C.4.8D.5

F

10.已知壓強(qiáng)的計(jì)算公式是p=],我們知道，刀具在使用一段時(shí)間后，就會(huì)變鈍.如果刀刃磨薄，刀具就會(huì)變得鋒

利.下列說法中，能正確解釋刀具變得鋒利這一現(xiàn)象的是（）

A.當(dāng)受力面積一定時(shí)，壓強(qiáng)隨壓力的增大而增大

B.當(dāng)受力面積一定時(shí)，壓強(qiáng)隨壓力的增大而減小

C.當(dāng)壓力一定時(shí)，壓強(qiáng)隨受力面積的減小而減小

D.當(dāng)壓力一定時(shí)，壓強(qiáng)隨受力面積的減小而增大

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,4）=4,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)MN分別為OBQC的中點(diǎn)，則_。的

的面積為.

12.如圖，點(diǎn)G是△48C的重心，過點(diǎn)G作GE//BC,交AC于點(diǎn)E,連結(jié)GC.若△ABC的面積為1,則△GEC的面

積為

GE

BC

13.拋物線y=/—2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

14.如圖，半圓0的直徑AB=2,弦CDIIAB,ZCOD=90",則圖中陰影部分的面積為

16.如圖，在A時(shí)測得某樹的影長為4米，在B時(shí)測得該樹的影長為9米，若兩次日照的光線互相垂直，則該樹的高

度為米.

17.如圖，在AABC和AAPQ中，ZPAB=ZQAC,若再增加一個(gè)條件就能使"P-AABC,則這個(gè)條件可以是.

18.從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個(gè)自然數(shù)中，任取一個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率是—.

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖，矩形AOBC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊OA在y軸的正半軸上，邊OB在x軸的正半軸上,

拋物線的頂點(diǎn)為F,對(duì)稱軸交AC于點(diǎn)區(qū)且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)C,點(diǎn)D（3,0）.NAOB的平分線是OE,

（2）在x軸上有動(dòng)點(diǎn)M,線段BC上有動(dòng)點(diǎn)N,求四邊形EAMN的周長的最小值；

（3）該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形EHFP為平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明

理由.

20.（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2,1）、B（-1,4）、C（-3,2）.

（1）畫圖：以原點(diǎn)為位似中心，位似比為1:2,在第二象限作出AABC的放大后的圖形AA與G

（2）填空：點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為,tanNC|A#=.

21.（6分）如圖，在ABC中，AB=AC,是一ABC的外接圓，連結(jié)04、OB、OC,延長80與AC交于點(diǎn)

D,與。交于點(diǎn)尸，延長8A到點(diǎn)G,使得連接FG.

備用圖

（1）求證：FG是。。的切線；

（2）若。的半徑為4.

①當(dāng)0。=3,求40的長度；

②當(dāng)0CD是直角三角形時(shí)，求.A6C的面積.

22.（8分）已知正方形二o中，E為對(duì)角線三二上一點(diǎn)，過點(diǎn)三作EF_5二交E匚于點(diǎn)F，連接二G為二F的中點(diǎn)，連

接BS，CG-

（1）如圖1,求證：EG=o,；

（2）將圖1中的一「繞點(diǎn)三逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，如圖2,取的中點(diǎn)（；，連接三個(gè).CG?問（口中的結(jié)論是否仍然成立?

若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

圖2

（3）將圖1中的「二繞點(diǎn).二逆時(shí)計(jì)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3,取二「的中點(diǎn)G，連接CG?問（D中的結(jié)論是否仍然

成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

AD

圖3

23.（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程，標(biāo)+2，〃*+”?-4=0;

（1）若該方程沒有實(shí)數(shù)根，求，〃的取值范圍.

（2）怎樣平移函數(shù)y=，〃x2+2/nx+,"-4的圖象，可以得到函數(shù)￥="由的圖象？

24.（8分）如圖，在銳角AA8C中，小明進(jìn)行了如下的尺規(guī)作圖：

①分別以點(diǎn)4、〃為圓心，以大于.A3的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)P、0

②作直線尸。分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、D.

（1）小明所求作的直線OE是線段A3的；

（2）聯(lián)結(jié)40,AD=1,sinZDAC=.,BC=9,求AC的長.

25.(10分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=依2+區(qū)+4。工0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(3,6),并與y軸交于

點(diǎn)3(0,3),點(diǎn)A是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①所示，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，連結(jié)BP、AP,求的面積的最大值；

(3)如圖②所示，在對(duì)稱軸AC的右側(cè)作ZACD=30"交拋物線于點(diǎn)。，求出。點(diǎn)的坐標(biāo);并探究:在軸上是否存在點(diǎn)

。，使NCQ￡>=60?若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

26.(10分)如圖，AABC內(nèi)接于00,直徑交BC于點(diǎn)E,延長至點(diǎn)尸，使DF=2OD,且DE=2OE,

連接bC并延長交過點(diǎn)A的切線于點(diǎn)G,且滿足AG〃BC,連接OC.

(1)求證：NCOD=NBAC；

⑵求證：CF是)。的切線.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、C

【分析】找到兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)即可判斷是如何平移得到.

【詳解】?.,y=2(x-4)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),y=2x?的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

...將拋物線y=2x2向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，可得到拋物線y=2(x-4)2+l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)并抓住點(diǎn)的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

2、D

【分析】隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)十所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

【詳解】解：每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，

255

當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率P=—=7^>

6012

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

3、A

b

【分析】代入兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得C=1,4=匕-1,所以S=?,由拋物線的頂點(diǎn)在第一象限可得一丁>0且,

2a

可得Z?>0,再根據(jù)。<0,可得s的變化范圍.

【詳解】將點(diǎn)(0,1)代入y=32+Z?x+c(a/0)中

可得c=l

將點(diǎn)(-1,o玳入曠=公2+汝中

可得a=b-\

；?S=a+b+c=2b

???二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第一象限

b

；?對(duì)稱軸x=------>0且av0

b>0

Va=h-\,a<0

?*.S=2a+2<0

/.0<5<2

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的系數(shù)問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及各系數(shù)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】根據(jù)根的判別式(△=〃-4改20)即可求出答案.

【詳解】由題意可知：4=4+4420

k>—1

?:k軌

k>—1且ZH0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根的判別式的應(yīng)用，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)根，所以根的判別式成立，以此求出實(shí)數(shù)發(fā)的取值范圍.

5、C

【解析】由于每兩個(gè)隊(duì)之間只比賽一場，則此次比賽的總場數(shù)為：=鹿(〃-1),場.根據(jù)題意可知：此次比賽的總場數(shù)

=15場，依此等量關(guān)系列出方程即可.

【詳解】試題解析：???有〃支球隊(duì)參加籃球比賽，每兩隊(duì)之間都比賽一場，

...共比賽場數(shù)為(〃一1)，

...共比賽了15場，

—-1)=15,

即〃(〃-1)=3().

故選C.

6、C

【分析】根據(jù)兩根之積可得答案.

【詳解】設(shè)方程的另一個(gè)根為a,

1,關(guān)于x的方程x2-mx+6-O有一根是-31

-3a=6,

解得a--2>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程2+法+。=0（。。0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為』，X,,

b

則為=—，x2

7、B

【分析】利用扇形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解:1,扇形花圃的圓心角NAOB=120。，半徑OA為3cm,

花圃的面積為"'=3兀，

360

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式.

8、A

【分析】利用A、B、C、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得出NADC=/ABC,再作AEJ_CD,設(shè)

AE=DE=x,最后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，

,/△ABC,ZkABD都是直角三角形,

，A,B,C,D四點(diǎn)共圓,

；AC=BC,

:.4AC=/ABC=45°,

:./ADC=/ABC=45。,

作AELCD于點(diǎn)E,

/.AAED是等腰直角三角形，設(shè)AE=DE=x,則AD=后，

,.,CD=7,CE=7-x,

AB=5夜，

；.AC=BC=5,

在RtZiAEC中，AC2=AE2+EC2,

：.52=X2+（7-X）2

解得，x=3或x=4,

???AD="x=3夜或4夜.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目得出四點(diǎn)共圓，作出合理輔助線，在圓內(nèi)利用勾股

定理求解.

9、C

【分析】連接BD,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC，BD,AO=！AC,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出BO長，再算出菱形的面積,

然后再根據(jù)面積公式BC?AE=；AOBD可得答案.

【詳解】連接8Q,交AC于。點(diǎn)，

四邊形A5CD是菱形，

；.AB=BC=CD=AD=5,

：.AC±BD,AO=-AC,BD=2BO,

2

ZAOB=90,

'：AC=6,

，AO=3,

，BO=y/25-9=4,

DB=S9

，菱形ABC。的面積是xAC?=Lx6x8=24,

22

:.BCAE=24,

24

AE=—,

5

故選C.

10、D

【解析】如果刀刃磨薄，指的是受力面積減??；刀具就會(huì)變得鋒利指的是壓強(qiáng)增大.故選D.

二、填空題（每小題3分，共24分）

3

11、-

4

【分析】由矩形的性質(zhì)可推出△OBC的面積為△ABC面積的一半，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)可推出△OMN的面積為

△OBC面積的!，即可得出答案.

【詳解】???四邊形ABCD為矩形

AZABC=90°,BC=AD=4,O為AC的中點(diǎn)，

SVOBC=5SvABC=5X/X3X4=3

又；M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)

，MN=!BC,MN〃BC

2

.'.△OMN^AOBC

3

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，中位線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的面積

比等于相似比的平方.

【分析】如圖，延長AG交BC于D,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方解決問題即可.

【詳解】解：連接AG并延長交于點(diǎn)O,

:.D為8C中點(diǎn)

??SACD=5SABC=5

又「GEHCD

：.AAGE-△ADC

TG為重心

.AEAG2

??~EC~~GD~1

?SJGE=（2）2,

*,SAIX'3，9

?<_4_2

??\AAGE-Q，^^ADC-§

又..S'AGE_%"_2

,S.GEC-EC_1

SGEC=§?

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中

考?？碱}型.

13、（1,-4）.

【解析】解：?.?原拋物線可化為：產(chǎn)（X-1）2-4,.?.其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）.故答案為（1,-4）.

907rx1~itit

【解析】解：:,弦...SAAC"=SAOC0,.\S陰影=5期彩ca>=----------=~.故答案為了.

36044

15、X>1

【詳解】解：依題意可得％-1>0,解得x>l,所以函數(shù)的自變量x的取值范圍是x〉l

16、6

EDCD

【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：RtAEDC-RtACDF,進(jìn)而可得=="，代入數(shù)據(jù)可得答案.

CDbD

【詳解】如圖，在AEFC中，NEb=90',E￡>=9米，ED=4米，易得AEDC~RtACDF,

EDCD9CD

---=---9即---=----

CDFDCD49

..CD=6米.

故答案為：6.

-8時(shí)時(shí)

【點(diǎn)睛】

本題通過投影的知識(shí)結(jié)合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

17、NP=NB（答案不唯一）

【分析】要使AAPOSAABC,在這兩三角形中，由可知NPAQ=NBAC,還需的條件可以是NB=/P

一^APAQ

或NC=NQ或罰=花

【詳解】解：這個(gè)條件為：ZB=ZP

,:ZPAB=ZQAC,

:.NPAQ=NBAC

vNB=NP,

：.AAPQ<^AABC,

4—AAPAQ

故答案為：NB=NP或NC=NQ或=二匚.

ABAC

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4

09

【分析】由從1到9這九個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，是偶數(shù)的有4種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)有9種情況，其中是偶數(shù)的有4種情況,

4

,從1到9這九個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，是偶數(shù)的概率是：

9

4

故答案為：—.

9

【點(diǎn)睛】

此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

三、解答題（共66分）

2Q

19、（1）y=-x2-^x+2;（2）2V13+2;（3）不存在點(diǎn)P,使得四邊形EHFP為平行四邊形，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)題意可以得到C的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線過點(diǎn)A、C、D可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據(jù)對(duì)稱軸和圖形可以畫出相應(yīng)的圖形,然后找到使得四邊形EAMN的周長的取得最小值時(shí)的點(diǎn)M和點(diǎn)N即可,

然后求出直線MN的解析式，然后直線MN與x軸的交點(diǎn)即可解答本題；

（3）根據(jù)題意作出合適的圖形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知EH=FP,而通過計(jì)算看EH和FP是否相等，即可

解答本題.

【詳解】解：（1）；AE〃x軸，OE平分NAOB,

?*.NAEO=NEOB=NAOE,

；.AO=AE，

VA（0,2）,

；.E（2,2）,

??點(diǎn)C（4,2）,

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax?+bx+2,

VC（4,2）和D（3,0）在該函數(shù)圖象上，

_2

fl6a+4Z?+2=2"=g

A<，得〈c，

9a+30+2=0,8

ib=——

3

...該拋物線的解析式為y=；x2-gx+2;

（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)An作點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E,.連接AiE”交x軸于點(diǎn)M,交線段BC于點(diǎn)N.

根據(jù)對(duì)稱與最短路徑原理，

此時(shí)，四邊形AMNE周長最小.

易知Ai（0>-2）.Ei（6,2）.

設(shè)直線A舊的解析式為y=kx+b,

■b=+-28=2'得Ak=-3'

[b=-2

2

???直線AiEi的解析式為丁=1]一2.

當(dāng)y=0時(shí)，x=3,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）.

由勾股定理得AM=｛展+3?=9MEi=個(gè)2~+（6-3）~=y/13,

，四邊形EAMN周長的最小值為AM+MN+NE+AE=AM+MEi+AE=2屈+2

（3）不存在.

理由：過點(diǎn)F作EH的平行線，交拋物線于點(diǎn)P.

易得直線OE的解析式為y=x,

2Q22

V拋物線的解析式為y=-x2--x+2=—（x—2）_——,

2

/.拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,-y）,

設(shè)直線FP的解析式為y=x+b,

0

將點(diǎn)F代入，得匕=一§，

o

...直線FP的解析式為y=

[8

y-x——

.3

281

y=—x2——x+2

[33

「7「三

x=—x=2

2

解得?；?,

、,_5y

757-2F)

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7，7)，F(xiàn)P=V2x(--2)=---,

2622

y-X

28

2

y-X

3-3-

11-V7311+V73

x=X=

44

解得,或《

n-2/7311+V73

y=y=

44

?.?點(diǎn)H是直線y=x與拋物線左側(cè)的交點(diǎn)，

；.點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1人",上也1）,

44

.11-V73廠11V2-V146

..OH=-------xV2=------------

44

易得,OE=2也，

e.……'廠11V2-V146-3V2+V146

EH=OE-OH=2V2---——-——=--——-——，

44

VEH聲FP，

???點(diǎn)P不符合要求，

...不存在點(diǎn)P,使得四邊形EHFP為平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察二次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵是得到C的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線過點(diǎn)A、C、D求得拋物線的解析式.

20、（1）見解析;（2）（-6,4）,2

【分析】（1）利用位似比為1：2,進(jìn)而將各對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，進(jìn)而得出答案；

（2）利用（1）中位似比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】（1）如圖所示：△AdBiG即為所求；

(2)TC點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,2),

點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,4);

V￡4=@+22=20,

￡4=A/42+42=472,

4A=V22+62=2加，

,.?（20『+（4V^『=4O,（2廂『=40,

工C.A；+C^,

4是直角三角形,且N<GA=90。,

:.tanNC"=9=羋=2.

C[A2,2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了位似變換和銳角三角函數(shù)的知識(shí)，正確掌握位似比與坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

21、（1）見解析；（2）①AO=0T，②當(dāng)NOQC=90"時(shí)，SABC=1273；當(dāng)NCO/）=90'時(shí)，5^=872+8.

【分析】（1）連接由圓周角定理的推論可知NBGP+NAFG=9（）°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理的推

論可證NACB=NAFB,NBGF=ZABC,從而可得NAFB+NAFG=90°，然后根據(jù)切線的判定方法解答即可；

（2）①連接CR根據(jù)“SSS”證明ABOmACO,由全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)可得

ZABO=ZBAO=ZCAO=ZACO,進(jìn)而可證NC4O=4CE,由平行線分線段成比例定理可證絲=型，可

CDDF

求CD=：A。，然后由相交弦定理求解即可；

②分兩種情況求解即可，（i）當(dāng)NQDC=9（）°時(shí)，（ii）當(dāng)NCQD=90°時(shí).

【詳解】（1）連接AF,

?:BF為。。的直徑，

...NBAF=90°,ZFAG=90°，

ZBGF+ZAFG=90°,

VAB^AC,/.ZA6C=ZACB,

VZACB=ZAFB,ZBGF=ZABC,

ZBGF=ZAFB,

:.ZAFB+ZAFG=90°，即ZOFG=90°.

又TO尸為半徑，

.?.4G是的切線.

(2)①連接CF,

則ZACF=ZABF,

VAB=AC>OB=OC,OA=OA,

:.A3O三ACO,

:.ZABO=ZBAO=ZCAO=ZACO,

/.ZCAO=ZACF,

:.AO//CF,

.ADOP

**CD-5F'

?半徑是4,OD=3,：.DF=\,BD=7,

Ani

=3,BPCD^-AD,

CD3

又由相交弦定理可得：ADCD=BDDF,

:.ADCD=7,即‘A。?=7,

3

AD=?(舍負(fù))；

(2)②???△ODC為直角三角形，NODC=90°不可能等于90\

(i)當(dāng)NOOC=9()°時(shí)，則AD=CD,

由于ZACO=ZACE,：.OD=DF=2,80=6,

/.ADCD^AD2=6x2=\2,

：.AD=2y/3,AC=4百，

:.SABC=Jx4Gx6=12G；

（ii）當(dāng)NCOD=90"時(shí)，

VOB=OC=4,_Q3c是等腰直角三角形，8C=4&，

延長AO交BC于點(diǎn)M,

?；AB=AC,

/.弧AB=MAC,

/.AM±BC,

:.MO=sin4530=20，

AAf=4+20，

，S“c=gx4?x（4+2揚(yáng)=8五+8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理的推論，切線的判定，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段成

比例定理，三角形的面積公式，熟練掌握圓的有關(guān)定理以及分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵.

22、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.

（2）結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點(diǎn)作MN_LAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn)；再證明ADAGgaDCG,得出

AG=CG;再證出△DMG^^FNG,得到MG=NG;再證明AAMG絲得出AG=EG;最后證出CG=EG.

（3）結(jié)論依然成立.過F作CD的平行線并延長CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N.由于

G為FD中點(diǎn)，易證ACDGW2\MFG,得至！ICD=FM,又因?yàn)锽E=EF,易證NEFM=/EBC,則AEFMgZiEBC,

ZFEM=ZBEC（EM=EC）得出AMEC是等腰直角三角形，就可以得出結(jié)論.

【詳解】⑴在三」.：匚二中，G為二'的中點(diǎn)，

CG=萍

?'?EG=CG-

（2）如圖②，（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.

理由：連接AG,過G點(diǎn)作MN_LAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn).

：,ZAMG=ZDMG=90°.

:四邊形ABCD是正方形，

，AD=CD=BC=AB,NADG=NCDG.NDAB=NABC=NBCD=NADC=9O。.

在ADAG和ADCG中，

AD=CD

￡ADG=￡CDG

(DG=DG

??.△DAG^ADCG(SAS),

AG=CG.

為DF的中點(diǎn)，

:.GD=GF.

?/EF±BE,

/.ZBEF=90°?

?*.NBEF=NBAD,

，AD〃EF,

/.ZN=ZDMG=90°.

在ADMG和AFNG中，

FG=DG

HDG=zA?FG

/.△DMG^AFNG(ASA),

:.MG=NG.

?:/DANAMG=NN=90°,

，四邊形AENM是矩形，

AAM=EN,

在AAMG和AENG中，

rAM=EN

iAMG=￡￡NG

卜MC=NC

/.△AMG^AENG(SAS),

AAG=EG，

/.EG=CG;

（3）如圖③，（1）中的結(jié)論仍然成立.

理由：過F作CD的平行線并延長CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC,過F作FN_LAB于N.

?；MF〃CD,

，NFMG=NDCG，ZMFD=ZCDG.ZAQF=ZADC=90°

VFN±AB,

:.NFNH=NANF=90°.

；G為FD中點(diǎn)，

/.GD=GF.

在AMFG和ACDG中

&MG=zDCG'

ZMFD=ZJCDG

LGF=GD

??.△CDG^AMFG（AAS）,

ACD=FM.MG=CG.

:.MF=AB.

VEF±BE,

/.ZBEF=90°.

；ZNHF+ZHNF+ZNFH=ZBEF+ZEHB+ZEBH=180°,

AZNFH=ZEBH.

VZA=ZANF=ZAMF=90">

，四邊形ANFQ是矩形，

/.ZMFN=90°.

:.NMFN=NCBN,

:.NMFN+NNFE=NCBN+ZEBH,

:.ZMFE=ZCBE.

在AEFM和△EBC中

,ilF=AB

UlFE="BE

卜EF=EB

.,.△EFM^AEBC(SAS),

AME=CE.?NFEM=NBEC，

VNFEC+NBEC=90°,

AZFEC+ZFEM=90%

即NMEC=90。，

...△MEC是等腰直角三角形,

,:G為CM中點(diǎn)，

AEG=CG,EG±CG.

圖②圖⑤

【點(diǎn)睛】

考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定就性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形

的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

23、（1）zn<0;（1）向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度.

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程機(jī)打+1，"*+m-4=0沒有實(shí)數(shù)根，可以得到關(guān)于機(jī)的不等式組，從而可以求

得m的取值范圍；

（1）先將函數(shù)7=，〃？+1膽工+，"-4化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可以得到函數(shù)

【詳解】（1）???關(guān)于x的一元二次方程所/+1，辦+”?-4=0沒有實(shí)數(shù)根，

mN0

（2機(jī)一4根（加一4）<0，

解得，，〃V（）,

即in的取值范圍是，”<0；

（1）,函數(shù)y=mxl+lmx+m-4=/n（x+l）,-4>

函數(shù)y=mx'+lmx+m-4的圖象向右平移一個(gè)單位長度，在向上平移4個(gè)單位長度即可得到函數(shù)9的圖象.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的問題，掌握根的判別式、一元二次方程的性質(zhì)以及圖象是解題的關(guān)鍵.

24、（1）線段A3的垂直平分線（或中垂線）；（2）AC=5\:

【解析】（1）垂直平分線：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

（2）根據(jù)題意垂直平分線定理可得AD=BD,得到CD=2,又因?yàn)橐阎猻in/DAC=,故可過點(diǎn)D作AC垂線，求得

DF=b利用勾股定理可求得AF,CF,即可求出AC長.

【詳解】（1）小明所求作的直線DE是線段AB的垂直平分線（或中垂線）；

故答案為線段AB的垂直平分線（或中垂線）；

（2）過點(diǎn)D作DF_LAC,垂足為點(diǎn)F,如圖，

DE是線段AB的垂直平分線，

；.AD=BD=7

/.CD=BC-BD=2,

在RtAADF中，???sinNDAC=空，

Gr

...DF=b

在RtAADF中，AF=_T，

在RtACDF中，CF=：:-一”二.:予

???AC=AF+CF=4\E-3=5、手

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，三角函數(shù)和勾股定理求線段長度，解本題的關(guān)鍵是充分利用中垂線，將己知

條件與未知條件結(jié)合起來解題.

25、（1）y=—；f+2x+3；（2）當(dāng)時(shí)，SAMA最大值為q；（3）存在，。點(diǎn)坐標(biāo)為或（0,-36卜

328

理由見解析

【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式；

⑵求三角形面積的最值，先求出三角形面積的函數(shù)式.從圖形上看SZ\PAB=SZiBPO+S^APO-SZiAOB,設(shè)

+2〃+3］求出關(guān)于n的函數(shù)式，從而求SAPAB的最大值.

（3）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)D，,一；產(chǎn)+2f+3）過D做DG垂直于AC于G構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理或三角函數(shù)值

來求t的值即得D的坐標(biāo);探究在y軸上是否存在點(diǎn)。，使NCQO=60?根據(jù)以上條件和結(jié)論可知NCAD=120°,是

NCQD的2倍，聯(lián)想到同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，所以以A為圓心，AO長為半徑做圓交y軸與點(diǎn)Q,若能求出這樣

的點(diǎn)，就存在Q點(diǎn).

【詳解】解：（1）拋物線頂點(diǎn)為（3,6）