2023屆高考數學二輪復習 14 概率、統(tǒng)計、期望 二級結論講練 學案

專題14概率、統(tǒng)計、期望

二級結論1：條件概率

【結論闡述】計算條件概率有兩種方法.

Z.?P(AB)

(1)定義法：利用定義P(MA)=才"

(2)壓縮事件空間法：若〃(A)表示試驗中事件A包含的基本事件的個數，則以8網=1符.

【應用場景】

(1)注意：利用定義求條件概率時，事件A與事件B有時是相互獨立事件，有時不是相互獨立事件,

要弄清P(AB)的求法.

(2)當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件

數”(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數，即〃(AB),

【典例指引1】

1.先后擲一枚質地均勻骰子(骰子的六個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點)兩次，落在水平桌

面后，記正面朝上的點數分別為χ,y,設事件A為“x+y為偶數”，事件B為“χ,y中有偶數，且χ≠t',

則概率P(BA)=

A.—B.-C.-D.—

3456

【答案】A

【詳解】設事件A為“x+y為偶數”中包含的基本事件為(1,3),(1,5),(1,1),(3,3),(5,5),(3,1),(5,1),(5,3),

(3,5),(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共18個，事件A中含有的B事件為

(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),共有6個，所以P(BIA)=2=：,故選A.

183

【典例指引2]

2.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中

隨機取出一球放入乙罐，分別以A，4和4表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件：再從乙

罐中隨機取出一球，以8表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是(寫出

所有正確結論的編號).

①P(B)=M

②P(BIA)=(；

③事件a與事件4相互獨立;

④A，4,4是兩兩互斥的事件;

⑤P(B)的值不能確定，因為它與A，4,A中哪一個發(fā)生有關

【答案】②④

【分析】根據互斥事件的定義即可判斷④；根據條件概率的計算公式分別得出A，4,4事件發(fā)生的條

件下B事件發(fā)生的概率，即可判斷②；然后由P(B)=P(A8)+P(43)+P(A∕),判斷①和⑤；再比

較P(AB),P(A1)P(B)的大小即可判斷③.

【詳解】由題意可知事件A，4,4不可能同時發(fā)生，則4，4,4是兩兩互斥的事件，則④正確；

544

由題意得P(BA)=AP(Bl4)=R,P(Bg)=H,故②正確；

P(B)=P(AB)+P(A25)+P(AB)=P(A)P(3∣A)+P(4)P(3∣4)+P(4)P(3∣4)

5524349t.

10111011101122

因為P(AB)=行5，P(A)P(8)=65X59=五9，所以事件B與事件Al不獨立，③錯；綜上選②④

故答案為：②④

【點睛】本題主要考查了判斷互斥事件，計算條件概率以及事件的獨立性，屬于中檔題.

【針對訓練】

(2022廣西?南寧市東盟中學模擬預測(理))

3.某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，

則部件正常工作.設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(I(X)OSO?),且各個元

件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過IOOO小時的概率為()

^^l^?l

-一

A.-B.cd

8i?i??

【答案】B

【分析】設元件1,元件2,元件3正常工作分別為事件A、B、C,求出P(A)=P(8)=P(C)=g即

得解.

【詳解】解：設元件1，元件2,元件3正常工作分別為事件A、B、C,

則P(A)=P(B)=P(C)=g;

__111?

故該部件能正常工作的概率為P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-×-×-×3=-.

222o

故選：B

(2022四川成都?高三月考(理))

4.若隨機事件A,B滿足P(A)=針P(B)=萬，P(A+B)=-,則P(A忸)=()

22

?-9B-3

C.-D.-

46

【答案】D

【分析】根據P(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB),計算得到P(AB),然后根據條件概率的計算公式計

算即可.

【詳解】由題可知：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

1171

所以P(AB)=P(4)+P(B)_P(A+B)=§+5_z=F

,P(AB)I

所以P(AB)=9

1P(B)6

故選：D

5.某公司為方便員工停車，租了個停車位，編號如圖所示.公司規(guī)定：每個車位只能停一輛車，每

個員工只允許占用一個停車位.記事件A為“員工小王的車停在編號為奇數的車位上”，事件8為“員

工小李的車停在編號為偶數的車位上，，，則P(A∣8)=()

I23456

b??

d?I

【答案】D

【分析】根據條件概率的計算公式P(A∣8)=今需，結合概率公式直接計算即可得解.

33

【詳解】根據條件概率可得：P(AIB)=??誓=野="

/(D)??

故選：D.

（2022福建省南平市高級中學高三月考）

6.已知在IO支鉛筆中，有支正品，2支次品，從中任取2支，則在第一次抽的是次品的條件

下，第二次抽的是正品的概率是（）

1C8-8c4

A.-B.—C.■-D.一

54595

【答案】C

【分析】根據條件概率的計算公式計算.

【詳解】記事件A,B分別表示“第一次，第二次抽得正品“，則AB表示“第一次抽得次品，第二

次抽得正品”，

故選：C.

7.某校為宣傳《中華人民共和國未成年人保護法》，特舉行《中華人民共和國未成年人保護法》知

識競賽，規(guī)定兩人為一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數不少于3,則被稱為“優(yōu)

秀小組”，已知甲、乙兩位同學組成一組，且同學甲和同學乙答對題的概率分別為P∣,P,.若R=：，

2

P2=-,則在第一輪競賽中他們獲得“優(yōu)秀小組'’的概率為（）

A.IB.-C.?D.-

【答案】A

【分析】根據給定條件，分析甲乙所在的小組獲“優(yōu)秀小組''的所有可能情況，再利用互斥事件的加

法公式，相互獨立事件的乘法公式計算即得.

【詳解】依題意，在第一輪競賽中甲乙所在的小組能獲得“優(yōu)秀小組''的所有可能的情況有：

甲答對1題，乙答對2題；甲答對2題，乙答對1題；甲答對2題，乙答對2題，且每人所答兩題中

答對的1題有先后之分，

所以所求概率為P=Cχ3χ!χ（2]+（1]22

44V3)

故選：A

（2022重慶市第七中學校高三月考）

8.一個口袋中裝有3個白球，4個黑球和5個紅球，先摸出一個球后放回，再摸出一個球，則兩次

摸出的球是1白1黑的概率是（）

【答案】C

【分析】根據題意可知，可能的情況有“第一次摸出白球，第二次摸出黑球”與“第一次摸出黑球，第

二次摸出白球”兩種情況，再根據概率計算公式求解即可

【詳解】可能的情況有“第一次摸出白球，第二次摸出黑球''與"第一次摸出黑球，第二次摸出白球”

兩種情況，設兩次摸出的球是1白1黑的事件為A,則尸⑷=VXV+3V

?乙?乙JL4?4V*

故選：C

9.甲箱中有5個紅球，2個白球和3.不黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中

隨機取出行球放入乙箱中，分別以A、4、Aj表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從

乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則P(8∣A)=，

P(B)=------------------

59

【答案】πF

【分析】因為每次取一球，所以A，4是兩兩互斥的事件，利用古典概型計算可得P(A)=，，

p(4)=?j^,P(A)=-,再利用條件概率和互斥的事件的和進行計算，即可得到答案；

【詳解】因為每次取一球，所以A,A2,A是兩兩互斥的事件，

5?

因為P(A)*,P(4)=?P(A)$，所以尸(BiA)=瑞=I?i='

10

2434

同理明少需=曾＜，叩闖=寓=曹號，

1010

5594340

所以P(B)=P(BA)+P(BA)+P(BAj=-×-+一×-+—×一=—.

'J?VI13)10??ι0??io??22

_59

故答案為：??;—

(2022福建?福州四中高三月考)

10.東北育才高中部高一年級開設游泳、籃球和足球三門體育選修課，高一某班甲、乙、丙三名同學

每人從中只選修一門課程.設事件A為“甲獨自選修一門課程”，B為"三人選修的課程都不同”，則概

率P(BIA)=.

【答案】T##0.5

【分析】分別求出事件：A="甲獨自選修一門課程"，AB=''甲獨自選修一門課程且三人選修的課程都

不同”對應的基本事件個數，然后套用條件概率公式求解.

【詳解】由題意知，甲獨自選修一門，則有3門課程可選，乙、丙只能從剩余的兩門課程中選擇，可

能性為2x2=4?所以〃(A)=3χ2χ2=12.

三人選修的課程各不相同的可能性為：3×2×1=6,即w(A8)=6.

故P(3∣A)=約"=色=L

故答案為：4##0.5

(2022北京市八一中學高三開學考試)

11.設某工廠有兩個車間生產同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品率為0.12,

兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設第1，2車間生產的成品比例為2:3,今有一客戶從成品

倉庫中隨機提一臺產品，求該產品合格的概率為.

【答案】0.868

【分析】設B=｛從成品倉庫中隨機提一臺產品是合格品｝,A=｛提出的一臺是第，車間生產的產品｝,

/=1,2,由P(B)=P(4)?P(BlA)+P(4)?P(B∣4)求解.

【詳解】設B=｛從成品倉庫中隨機提一臺產品是合格品｝,a=｛提出的一臺是第i車間生產的產品｝,

z=1,2,

則B=A2B,

因為第1,2車間生產的成品比例為2:3,

所以P(A)=O4,P(4)=0.6,

又因為第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品率為0.12,

所以P(BlA)=I-0.15=0.85,P(B∣4)=1—0.12=0.88,

所以P(B)=P(4)?P(BIA)+P(4)?P(5∣4),

=0.4X0.85+0.6×0.88=0.868,

故答案為：0.868

(2022黑龍江?哈爾濱市第六中學校模擬預測(理))

12.投擲紅、藍兩顆均勻的骰子，設事件A：藍色骰子的點數為5或6；事件8：兩骰子的點數之和

大于9,則在事件5發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率P(AlB)=.

【答案】I

O

【分析】首先根據古典概型的概率計算公式，求得尸(B)=τ?=:,再求尸(AB)=三，由

36636

P(Al=即可得解.

【詳解】設紅藍兩顆骰子的點數分別為X,九基本事件用(χ,y)表示，

共有6x6=36種情況，

事件8包含基本事件(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6種，

則P(B)=2=:，

?θO

事件A和事件B同時發(fā)生的基本事件為(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共5種，

貝IJP(AB)=巳

36

5

故事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率尸(AlB)==2T=T.

P(B)?6

6

故答案為：7,

6

二級結論2：常見分布的數學期望和方差

【結論闡述】

二項分布：超幾何分布：

典型分布兩點分布：X成

XB[n,p)XH(n,M,N)

數字特征

功概率為P

數學期望E(X)=PE(X)=叩E(X)=-

`7N

D(X)=叩(1

NTN-I)

方差D(X)=p(l-p)-Pl

【應用場景】有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時,

超幾何分布可近似為二項分布來處理.

【典例指引1】

13.若隨機變量X服從參數為4,；的二項分布，則()

A.P(X=I)=P(X=3)B.P(X=2)=3P(X=1)

C.P(X=O)=2P(X=4)D.P(X=3)=4P(X=I)

【答案】BD

【分析】利用二項分布的概率計算公式即可求解.

【詳解】由題意，根據二項分布中概率的計算公式P(X=A)=GPYl-P)T,Z=(U

I)W

則P(X=O)=c：U

2

p(χ=4)=C

因此P(X=2)=3P(X=1),P(X=3)=4P(X=1),

P(X=4)=16P(X=0).

故選：BD.

【典例指引2]

14.學校要從5名男教師和2名女教師中隨機選出3人去支教，設抽取的人中女教師的人數為X,求

P(X≤1)=.

【答案】I

【分析】本題主要考查了超幾何分步的概率計算，屬于基礎題.

根據題意，X的取值為。或1,代入超幾何分布公式求出對應概率，再相加即可.

【詳解】解：由題意可得

P(X=O)=罟吟號

e)=詈=IH

246

-+=

所以P(X≤1)=P(X=O)+P(X7-7-7-

故答案為：y.

【針對訓練】

(2022?陜西?渭南市臨渭區(qū)教學研究室二模)

15.設隨機變量X,Y滿足：Y=3X-?,X8(2,"),若P(X21)q,則。(丫)=

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【詳解】由題意可得：P(X≥l)=l-P(X=0)=l-C∏l-p)-=∣.

解得：P=；,則：Z)(X)=叩(I-P)=2χgχ∣qθ(y)=36(X)=4.

本題選擇A選項.

(多選題)(2022?湖南岳陽?一模)

16.若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=O)=g,則下列結論正確的是()

A.P(X=I)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.θ(3X+2)=4D.D(X)=-

【答案】AB

【分析】求出P(X=O),P(X=1),E(X),D(X),即得解.

1?

【詳解】解：依題意P(X=O)=5,P(X=I)=],

所以E(X)=OXg+lx∣=g,°(x)=(θ-∣∫×→(>-∣∫×∣=∣?

7O

所以P(X=I)=E(X),E(3X+2)=3×-+2=4,D(3X+2)=32×?^=2

所以AB選項正確，CD選項錯誤.

故選：AB

(2022?河南洛陽?模擬預測)

17.已知隨機變量X~3(4,p),若P(X≥1)=黑，則DX=_____.

O1

Q

【答案】I

【分析】X~B(4,p),二項分布的性質，算出P=；,在使用DX=〃p(l—p)即可.

【詳解】因為X~8(4,p),P(X≥1)=黑,

O1

所以P(X=O)=I噌=2，

o1o1

所以C：p°(l—p)4=t，

o1

2

所以I-P=§,

所以P=；,

所以OX=4x；x(l-；)=[.

答案為：S

(2022?浙江省新昌中學模擬預測)

18.在一次投籃游戲中，每人投藍3次，每投中一次記10分，沒有投中扣5分，某人每次投中目標

的概率為I,則此人恰好投中2次的概率為,得分的方差為.

4

【答案】-150

【分析】根據二項分布的計算公式及二項分布方差的性質即可求解.

【詳解】由題意可知，記X為擊中目標的次數，得分為y分，則X

所以在3次射擊中，此人恰好投中2次的概率為：

P(X=2)=G圖21W

由題意可知，y=15X-15,所以得分的方差為：

Q(Y)=Q(15X-15)=SQ(X)=15xl5x3x?∣x(l-?∣)=150.

4

故答案為：150.

(2022?湖南永州?一模)

19.我市為了解學生體育運動的時間長度是否與性別因素有關，從某幾所學校中隨機調查了男、女生

各IOO名的平均每天體育運動時間，得到如下數據：

分鐘

(0,40](40,601(60,90](90,120]

性別

女生10404010

男生5254030

根據學生課余體育運動要求，平均每天體育運動時間在(60,120]內認定為“合格”，否則被認定為“不

合格”，其中，平均每天體育運動時間在(90,12OJ內認定為“良好”.

(1)完成下列22列聯(lián)表，并依據小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析學生體育運動時間與性別因素

有無關聯(lián)；

不合格合格合計

女生

男生

合計

⑵從女生平均每天體育運動時間在(0,40],(40,60((60,90],(90,120]的100人中用分層抽樣的方法抽

取20人，再從這20人中隨機抽取2人，記X為2人中平均每天體育運動時間為“良好”的人數，求X

的分布列及數學期望；

(3)從全市學生中隨機抽取100人，其中平均每天體育運動時間為“良好”的人數設為4,記“平均每天

體育運動時間為‘良好'的人數為我”的概率為尸石=外，視頻率為概率，用樣本估計總體，求尸七=Q的

表達式，并求Pe=Q取最大值時對應”的值.

2

2n{ad-bc)廿,

*=(α+%)(c+d)(α+c)S+d)'、中n=a+b+c+d

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，認為性別因素與學生體育運動時間有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于

0.005；

(2)分布列見解析，數學期望為(；

oo

(3)P[ξ=k)=Cf00X0.2*×O.8'^*(0≤jt≤100,?∈N),(=20

【分析】(1)通過題意可得列聯(lián)表，計算/的值，可得結論；

(2)根據分層抽樣的比例可得抽取的女生平均每天體育運動時間在(0,401(40,60],(60,90卜(90,120]

的人數，確定X的取值，根據超幾何分布可求得每個值對應的概率，即得分布列，從而計算數學期

望；

(3)通過題意可得4滿足二項分布，能得到「片=幻，然后通過作商法可得到當％≤19時,

P(J=%+1)>P(J=Z),當％之20時，P(ξ=k+l)<P(ξ=k),即可得到答案

(1)

由題意可知，22列聯(lián)表如下表

不合格合格合計

女生5050100

男生3070100

合計80120200

零假設為“°：性別與學生體育運動時間無關聯(lián).

根據列聯(lián)表中的數據，經計算得到

n{ad-bc)2200(50×70-30×50)225

Z28.333>7.879,

(α+?)(c+J)(a+c)(?+√)—80×120×100×100-T'

根據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立即認為性別因素與學生體育運動時間有關

聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；

(2)

抽取的20人中，女生平均每天運動時間在(0,40],(40,60],(60,90],(90,120]的人數分別為2人，8人,

8人，2人，易知X的所有可能取值為01,2,

P(X=O)=警=器，P(X=I)=警*，p(χ=2)=警=高,

所以X的分布列為

1CO1Q1

所以數學期望為E(X)=OX—÷1×-+2×—=-；

、7190951905

(3)

平均每天運動時間在(90,120］的頻率為喘?=0.2,

由題意可知J~B(100,0?2),

所以P(4=jl)=C‰χ02*χ08wo^*(θ≤)l≤10(U∈N),

一(g=%+l)Cf(X0.2g∣x0.899-*l(X)-?1,

山P(g=k)-CXO.2"Xo.8*---------×->l得女V19.2,

OO2+14

所以，當A≤19時,P(J=k+l)>P(D,即尸(g=20)>P(g=19)>>P(<=0),

當A≥20時,P(ξ=k+l)<P(ζ=k),即P(g=20)>P(g=21)>>P(?=100),

所以Pe=QmaX=P仁=20),即P(J=Z)取最大值時，A=20.

(2022?四川省內江市第六中學模擬預測)

20.國內某大學有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學生的運動狀況，根據性別采取分層

抽樣的方法從全校學生中抽取100人，調查他們平均每天運動的時間(單位：小時)，統(tǒng)計表明該校

學生平均每天運動的時間范圍是［0,3］,若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達

人”，低于2小時的學生為“非運動達人”.根據調查的數據按性別與“是否為，運動達人”，進行統(tǒng)計，得

到如下2×2列聯(lián)表：

運動時間

運動達人非運動達人合計

性別

男生36

女生26

合計100

(1)請根據題目信息,將2x2列聯(lián)表中的數據補充完整,并通過計算判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025

的前提下認為性別與“是否為，運動達人有關；

(2)將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查該校的3名男生，設調查的3人中運動達人的人數

為隨機變量X,求X的分布列和數學期望E(X)及方差O(X).

附表及公式:

PgNko)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bc)2

其中“=α+"c+d.

(?+b)(c+d){a+c)(?+d)

【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，在犯錯誤概率不超過0.025的前提下，可以認為性別與“是否為‘運動

達人有關

9|8

⑵分布列答案見解析，￡(X)=1,O(X)=-

【分析】(1)根據題意完善2x2列聯(lián)表，根據卡方公式計算出K2,結合臨界表即可得出結論；

(2)根據題意可知隨機變量X滿足二項分布，求出對應事件的概率，列出隨機變量的分布列，結合二

項分別的數學期望和方差公式直接計算即可.

【詳解】(1)由題意，該校根據性別采取分層抽樣的方法抽取的I(X)人中，有60人為男生，

40人為女生，據此2x2列聯(lián)表中的數據補充如下.

運動時間性別運動達人非運動達人合計

男生362460

女生142640

合計5050IOO

所以小FKS

又6>5.024,

所以在犯錯誤概率不超過0.025的前提下，可以認為性別與“是否為'運動達人有關.

(2)由題意可知，該校每個男生是運動達人的概率為某=:，

605

故X可取的值為0,1,2,3,

所以P(X=O)=喏∏3°=τ?,P(X=D=Cd)'嗯,

尸“TInlJ喂,gY(IAI)Y?

X的分布列為:

393218

.?.E(X)=3χ-=-,D(X)=3×-×~=

555525

(2022?廣東廣州?一模)

21.某從事智能教育技術研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“A/作業(yè)”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學

生中做用戶測試.經過一個階段的試用，為了解“A/作業(yè)”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了

200名學生，對他們的“向量數量積”知識點掌握的情況進行調查，樣本調查結果如下表：

甲校乙校

使用4作不使用A/作使用4作不使用A/作

業(yè)業(yè)業(yè)業(yè)

基本掌握32285030

沒有掌握8141226

假設每位學生是否掌握“向量數量積”知識點相互獨立.

(1)從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，用J表示抽取的2名學生中使

用“A/作業(yè)”的人數，求J的分布列和數學期望；

(2)用樣本頻率估計概率，從甲校高一學生中抽取一名使用“A/作業(yè)”的學生和一名不使用“A/作業(yè)”的

學生，用“X=l”表示該名使用“A/作業(yè)”的學生基本掌握了響量數量積”，用“X=0”表示該名使用“4作

業(yè)”的學生沒有掌握“向量數量積”，用“丫=1”表示該名不使用“A/作業(yè)''的學生基本掌握了“向量數量

積"，用“丫=0”表示該名不使用“A/作業(yè)”的學生沒有掌握“向量數量積”.比較方差OX和DY的大小關系.

【答案】(1)分布列見解析，f(?)=j;

(2)DX<DY.

【分析】(1)根據超幾何分布列分布列，求解期望;

(2)由二項分布的方差公式求解.

(1)

依題意，沒有掌握“向量數量積''知識點的學生有60人，其中，使用"4作業(yè)''的人數為20人，不使用

“4作業(yè)”的人數為40,

所以4=0,I,2,且P(g=o)=筆0=||,

Ceo39

尸*-八_CH_80^2o^4o-?9

P(I)一丁一方‘W一2)-丁-布‘

所以J的分布列為：

生√GI80_192

故Ec(J)=Ix——+2×——=

`,1771773

(2)

由題意，易知X服從二項分布X~q1，T，D(X)=P(I-P)=(，

y服從二項分布y~B(1?∣),D(y)=p(l-p)=∣,DX<DY.

二級結論3:二項分布概率的最值

【結論闡述】

下圖是不同參數的二項分布的圖象

,^l-

?p?θ?andn=2O

?p=0.7andn=2O

科-?p=O.5andn=40

圖］.不同參數下的二項分布的圖象

從圖1中可以看出，對于固定的"及。，當女增加時.，概率尸(X=Z)先是單調遞增到最大值，隨后單

調減少.可以證明，一般的二項分布也具有這一性質，且：

(1)當(〃+1).不為整數時，概率P(X=&)在k=［5+ι)p］時達到最大值；

(2)當(〃+l)P為整數時，概率P(X=Z)在Z=5+l)p和A=("+l)p-l同時達到最大值.

注：卜］為取整函數，即為不超過X的最大整數.

【應用場景】可以利用該結論方便地計算出相應地最大值.

【典例指引1】

22.某市居民用天然氣實行階梯價格制度，具體見下表：

階梯年用氣量(立方米)價格(元/立方米)

第一階梯不超過228的部分3.25

第二階梯超過228而不超過348的部分3.83

第三階梯超過348的部分4.70

從該市隨機抽取10戶(一套住宅為一戶)同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計表如下:

居民用氣編號12345678910

年用氣量(立方米)95106112161210227256313325457

(1)求一戶居民年用氣費y(元)關于年用氣量X(立方米)的函數關系式；

(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的

用戶數的分布列與數學期望；

(3)若以表中抽到的IO戶作為樣本估計全市居民的年用氣情況，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，其中

恰有/戶年用氣量不超過228立方米的概率為P(Z),求P(Z)取最大值時的值.

"3.25X4(0,228]

【答案】(1)y=<3.83x-132.24ze(228,348];(2)分布列見解析，數學期望為2；(3)6.

4.7x-435,x∈(348,+∞)0

【分析】(1)由表格中的數據結合題意，即可求得一戶居民年用氣費y(元)關于年用氣量X(立方

米)的函數關系式;

(2)由題意知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，得到隨機變

量4可取0,1,2,3,利用超凡何分布求得相應的概率，得到隨機變量的分布列，進而求得期望；

Y"求…

⑶由P⑻=CCmg列出不等式組由

琮(I)(I)

即可求解.

【詳解】(1)由題意，當XW(0,228］時，y=3.25x;

當xe(228,348]時，y=3.83x732.24；

當xe(348,?w)時，y=4.7x-435,

'3.25XXe(0,228]

所以年用氣費y關于年用氣量X的函數關系式為V=3.83x-132.24√ce(228,348].

4.7Λ-435√C∈(348,+∞)

(2)由題知10戶家庭中年用I氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶,

設取到年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數為久則看可取0,1,2,3,

31x

貝IJP(J=O)=與C7P(J=I)=SCφC=K91,

V,品242,如40

123

P(g=2)=*CC='7,尸偌=3)=鼻C1

,

。C^)40'e?120

故隨機變量4的分布列為:

ξO123

7217I

P

244040T20

72171O

所以E(j)=0x-+lx-+2x-+3x——=—

v724404012010

(3)由題意知P(A)=Ct?nr(4=0,1,2,3,10),

,曰28,,,33*

,解An得—≤?≤—,Z∈N,

所以當k=6時，概率P(A)最大，所以Z=6.

【點睛】本題主要考查了分段函數模型的性質及其應用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的求解,

著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

【典例指引2]

23.某省2021年開始將全面實施新高考方案.在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用

原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉換賦分，將每科考生的原始分從高

到低劃分為A,B,C,D,E共個等級，各等級人數所占比例分別為15%、35%、35%、13%和2%,

并按給定的公式進行轉換賦分.該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學、生

物這4門科目的原始分進行了等級轉換賦分.

(1)某校生物學科獲得A等級的共有10名學生，其原始分及轉換分如下表：

原始分9190898887858382

轉換分IOO99979594918886

人數11212111

現(xiàn)從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中生物轉換分不低于95分的人數為X,求X的分布列和

數學期望；

(2)假設該省此次高一學生生物學科原始分F服從正態(tài)分布M75.8,36).若令η=±±

σ

則7~MO,1),請解決下列問題:

①若以此次高一學生生物學科原始分C等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約

為多少分？(結果保留為整數)

②現(xiàn)隨機抽取了該省800名高一學生的此次生物學科的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記J

為被抽到的原始分不低于71分的學生人數，求P(ξ=k)取得最大值時k的值.

附：若"N(OJ),則P(η,,().8)≈0.788,PE?1.04)a0.85.

【答案】(1)分布列詳見解析，數學期望為g;(2)①69分；②左=631.

【分析】(1)寫出隨機變量X的所有可能的取值，根據超幾何分布求出X的每個值對應的概率，列

出分布列，求出數學期望；

(2)①設該劃線分為機，由丫~N(75.8,36)求出由”3,得Y=6〃+758.由題意P(Y?m)≈0.85,

σ

又P(41.04)≈0?85,"M0,l),故PezT.04)=0.85,故史答一.04,即可求出掰;②由題意

6

4；：二二二，，根據獨立重復實驗的概率計算公式,求出P(J=Z),P(4=01),P信=z+l),

代入不等式組，即求k的值.

【詳解】(1)隨機變量X的所有可能的取值為Q123.

C；C_50_5

由題意可得：P(X=O)=音=粽=5'P(X=I)=

^cξ^-120-i2

CC=505IO1

P(X=I)==P(X=3)=

"CT12O12

隨機變量X的分布列為

X2

1551

P

n1212Vl

^≡f∞=0×?+l×?+2×?+3×?=l

(2)①設該劃線分為用，由y~N(75?8,36)得〃=75.8,b=6,

令"=3=上譽，則y=6γ+75.8,

σ6

由題意，P(yem)≈0?85,即P(6"+75.8》WJ)=P1》也拜卜0.85,

QV~N(O,1),P(7,,1.04)≈0.85,ΛP(7>-∣?04)≈0.85,

mT518%_104,.?.t∏≈69.56,取團=69.

②由①討論及參考數據得

P(y?71)=P(6η+75.8?7i)=P(77?-0.8)=P(η≤0.8)≈0.788,

即每個學生生物統(tǒng)考成績不低于71分的事件概率約為0.788,

soλ

ξ~β(800,0.788),P(ξ=k)=COOO.788?(I-O.788)"^.

P(ξ=k)≥P(ξ=k-l),

由,

P(?=?)>P(?=?+1),

Λ8O0lil8θlt

HΠ[C*IO0.788(1-0.788)^*≥C*^O.788^(l-O.788)^,

即《

80Aλ+,799A

[c；OOo.788*(1-0.788)°-'≥C鼠0.788(1-0.788)-,

解得630.188WRW631.188,

ZGN,.4=631,

二當％=631時，PC=Z)取得最大值.

【點睛】本題考查超幾何分布、二項分布及正態(tài)分布，考查學生的數據處理能力和運算求解能力，屬

于較難的題目.

【針對訓練】