新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列中的通項(xiàng)公式（教師版）

專題38數(shù)列中的通項(xiàng)公式

一、題型選講

題型一、由與s“的關(guān)系求通項(xiàng)公式

例1、(2020屆山東省煙臺(tái)市高三上期末)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“滿足2s“=(〃+l)a.("eN*),且

q=2.

求數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式；

【解析】因?yàn)?與=(〃+1)%,“62,

所以2s,+|=(〃+2)a?+1,〃eN*,

兩式相減得2aliM=(〃+2)a“+]-(〃+l)a?,

整理得nan+l=(〃+l)a“，

即&L=",〃eN*,所以[巴4為常數(shù)列，

n+1n[nJ

所以殳=幺=2,

n1

所以a“=2〃

例2、(2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末)己知等比數(shù)列｛a,J滿足成等差數(shù)列，且

%%=%；等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和5?=(〃+1)署2%.求：

⑴瓦；

【解析】設(shè)｛4｝的公比為。.

因?yàn)?,小，9-4成等差數(shù)列，

所以2%=4+3.4)，即2。2=。3?

因?yàn)槿A工0，所以4=」=2.

因?yàn)?%=44，所以4=￡=4=2.

因此％=%q"T=2".

由題意，s,=(〃+i)U=婦也

所以4=*=1,

bt+b2=S2=3,從而b2=2.

所以｛4｝的公差d="一4=2-1=1.

所以2=4+—l)d=1+(〃-1)?1=〃.

例3、(2020屆山東省德州市高三上期末)已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.,且%>0,4s“=a；+2”“.求

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，4q=a；+2q,整理得a：=2%,a]>0,解得q=2；

當(dāng)〃N2時(shí)，4S“=a：+2a“①，可得4S“_]+2a，―②，

①一②得4an=a；,-a"2an-2%,即(屋-<1)-2(a?+%)=0,

化簡(jiǎn)得(a?+%)(4-%-2)=0,

因?yàn)閍“>0,.?.a“+a“T>0,所以a“—a“_|=2,

從而｛%｝是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以q=2+2(〃-1)=2〃；

題型二、由Q,用與〃“的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

例3、【2019年高考全國(guó)H卷理數(shù)】已知數(shù)列｛4｝和/｝滿足a=1,例0,4a?+l=3an-bn+4,

4%=3〃-?！?4.

(1)證明：｛&+"｝是等比數(shù)列，｛&-&｝是等差數(shù)列；

(2)求｛&｝和伉｝的通項(xiàng)公式.

【解析】⑴由題設(shè)得4(。向+bn+l)=2(an+b?),即an+｝+"用=1(4+2).

乂因?yàn)閲?guó)+”=1,所以｛牝+2｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列.

由題設(shè)得4（%->+1）=4（%-2）+8,即4+i-〃+2.

又因?yàn)閍-4=1,所以｛4一包｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

⑵由⑴知，&+勿=擊，an-hn=2n-\.

所以4=g【（4+么）+（4，—2）］=￡+〃_（，

%=：K4+%）—（?！耙幻矗?J-.

例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）對(duì)于數(shù)列｛4｝,規(guī)定｛4/“｝為數(shù)列｛4｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中

△%=M+「4（"eN"）,對(duì)自然數(shù)人小之2）,規(guī)定｛整4｝為數(shù)列｛4｝的上階差分?jǐn)?shù)列,其中

2

N%=△“&川一/-4.若弓=1,且A??-Aa?+1+an=-T（nGN*）,則數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為（）

2/,_|

A.an=nx.2〃TB.an=nx2

C.=（〃+1）X2”2D.4〃=（2〃—1）X2"T

【答案】B

【解析】根據(jù)題中定義可得△%"一甌"+i+=（原用一△??）-△a“+i+%=-2"（neN*）,

a

即n-M,=4,一（4用一4）=24—一=一2"，即a?+1=2an+2",

等式兩邊同時(shí)除以2用，得需=務(wù)+:，二需一務(wù)=<且g=:，

22222222

所以，數(shù)列［裊］是以，為首項(xiàng)，以L為公差的等差數(shù)列，，%=」+!（〃-1）=已，

［2"J222"22'，2

因此，an=n-2''-'.

故選：B.

例5、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列.已知

a｝—4,/?!=6也=2%—2也=2a§+4.

（I）求｛q｝和也｝的通項(xiàng)公式；

1.<yk+l

（II）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=l,c"=<'k'其中々GN*.

(i)求數(shù)列｛%，，卜2”-1)｝的通項(xiàng)公式;

64=6+2d,

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為。，等比數(shù)列｛2｝的公比為q.依題意得<

6q~=12+4d,

,I<7=3,

得《故?！?4+(〃—1)x3=3〃+1,勿=6x2"-=3x2".

q=2,

所以，｛4｝的通項(xiàng)公式為?！?3〃+1,｛〃｝的通項(xiàng)公式為2=3x2〃.

nn

(2)(i)a2?(c2?-l)=a2?(bn-1)=(3x2"+l)(3x2-l)=9x4-1.

所以，數(shù)列｛。2“(。2,-1)｝的通項(xiàng)公式為％“卜2”-1)=9X4"—1.

題型三、新定義題型中通項(xiàng)公式的求法

例6、【2020年高考江蘇】已知數(shù)列｛%｝(〃eN*)的首項(xiàng)團(tuán)=1,前〃項(xiàng)和為S.設(shè)4與4是常數(shù)，若對(duì)一

切正整數(shù)〃，均有［成立，則稱此數(shù)列為“八?*'數(shù)列.

°/:+1-一

(1)若等差數(shù)列｛/｝是“4-1”數(shù)列，求4的值；

(2)若數(shù)列｛%｝是“4~2”數(shù)列，且%>0,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

【解析】⑴因?yàn)榈炔顢?shù)列｛6,｝是“入?1”數(shù)列,則Sn+l-Sn=4+i,即%=--,

也即(2-=0,此式對(duì)一切正整數(shù)〃均成立.

若則4+1=0恒成立，故”3-a2=0，而

這與｛4｝是等差數(shù)列矛盾.

所以；1=1.(此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1?1”數(shù)列)

(2)因?yàn)閿?shù)列｛/｝5eN*)是“與~2”數(shù)歹U，

"斤以JS“+i-厄=亭瘋^，即K+i-庖=^js,+「s”.

因?yàn)?>0,所以S.M>S”>0,則屋T=g,包T.

S.,3

令、學(xué)=〃，則y1=烏亞丁,即收一1)2=；斷一1)電>1).

V，33

解得b,=2,即假，=2,也即率=4,

所以數(shù)列｛S“｝是公比為4的等比數(shù)列.

因?yàn)槎?2,所以S—I貝"%(1(〃=―1),

例7、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列｛4｝,從中選取第力項(xiàng)、第7項(xiàng)、…、第九項(xiàng)(水水“3,

若%<%<??<”,則稱新數(shù)列%，%'…，q”為｛4｝的長(zhǎng)度為0的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列｛&｝的任

意一項(xiàng)都是｛a｝的長(zhǎng)度為1的遞增子列.

(1)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；

(2)己知數(shù)列｛a｝的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為。恤，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值

為a1to.若Kg求證：<%；

(3)設(shè)無(wú)窮數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若｛a｝的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最

小值為2s-1,且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s-1的遞增子列恰有2'7個(gè)(畀1,2,…)，求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.

【解析】(1)1,3,5,6.(答案不唯一)

(2)設(shè)長(zhǎng)度為q末項(xiàng)為4no的一個(gè)遞增子列為4,

由p<q,得%

因?yàn)椋鹮｝的長(zhǎng)度為O的遞增子列末項(xiàng)的最小值為%」

又％,可,,,,4是｛q｝的長(zhǎng)度為0的遞增子列，

所以a,,“<a,

所以<4?

(3)由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是｛4｝中的項(xiàng).

先證明：若2m是｛4｝中的項(xiàng)，則2勿必排在221之前(以為正整數(shù)).

假設(shè)2/洲F在2mT之后.

設(shè)ap,ap,,ap,2m-l是數(shù)列｛凡｝的長(zhǎng)度為加末項(xiàng)為2片1的遞增子列，則

api,ap2,,apn,2m-1,2m是數(shù)列｛4｝的長(zhǎng)度為小1末項(xiàng)為2〃的遞增子列.與已知矛盾.

再證明：所有正偶數(shù)都是｛a,,｝中的項(xiàng).

假設(shè)存在正偶數(shù)不是｛q｝中的項(xiàng)，設(shè)不在｛qj中的最小的正偶數(shù)為2加

因?yàn)?4排在2"T之前"1,2,…，mT）,所以2A和2左-1不可能在｛4｝的同個(gè)遞增子列中.

又｛叫中不超過(guò)2/1的數(shù)為1,2,…，2m22柿，2相，所以｛4｝的長(zhǎng)度為加1且末項(xiàng)為2相的遞增

子列個(gè)數(shù)至多為2x2x2x2<2xlxl=2m-'<2m.

（〃L1）個(gè)

與已知矛盾.

最后證明：2屈?非在2z?T之后（山22為整數(shù)）.

假設(shè)存在2成卬22）,使得2淵F在2加T之前，則｛4｝的長(zhǎng)度為且末項(xiàng)為2加1的遞增子列的個(gè)數(shù)小于2"'.

與已知矛盾.

綜上,數(shù)列｛叫只可能為2,1,4,3,2/0-3,2m,2M….

經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列2,1,4,3,…，2/77-3,2m,2z?T,…符合條件.

「何+1,”為奇數(shù)，

所以4=4,位/由幼

〃一為偶數(shù).

二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

<、[2n<5.、

1、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）己知數(shù)列｛4｝滿足：4=｛,,（〃eN*））若正

⑼生an_｝—1,H..D

整數(shù)%（左之5）使得。；+a；+…+a；=4的…為成立，則左=（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】B

【解析】當(dāng)〃26時(shí)，4+]=q%即=?！?1-%+1，且。6=31.

故+%-+…+a；=（%一"）+（4—%）+-+（%+]一凡）+九—5=4+]—%—5,

a「+?+…+4=4+i+左一16=q+]+1,故攵=17.

故選：B.

2、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且S〃=/-"+l,在正項(xiàng)等比

數(shù)列也｝中4=%，"=%.求｛4｝和｛我｝的通項(xiàng)公式;

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，/=號(hào)=1,

當(dāng)〃22時(shí)，%=S“-S,i

=(H2-H+1)-[(/?-1)2-(/?-1)+!]

2〃一2,

15=1)

2n-2(〃>2)

所以％=2,a=8

4

H一2或4=一2（舍）

所以b“=%V=2"7?

3、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知數(shù)列｛4｝,也｝滿足：見(jiàn)+|+1=2%+〃也一4=2.

（1）證明數(shù)列也｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)；

【解析】證明：因?yàn)椤耙灰?jiàn)=〃，

所以〃.

因?yàn)?什1=24+〃-1

所以?！?1+（"+1）=2（。“+〃）

所以仇+i=2〃.

又4=2,

所以｛bn｝是首項(xiàng)為瓦=2,公比為2的等比數(shù)列，

所以2=2X2"T=2".

4、（2020?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意“cN*，它的前〃項(xiàng)

和S“滿足5“=”“+1)(%+2),并且電，%，為｛凡｝的通項(xiàng)公式；

【解析】???對(duì)任意〃￡N"有S〃=：(a〃+l)(a〃+2),①

?二當(dāng)。=1時(shí)，有S]=4=—(弓+1)(4+2),解得q=l或2.

當(dāng)〃N2時(shí)，有S,i=為“t+1)(%+2).②

①-②并整理得(q,+??-,)(??-?n-i-3)=0.

而數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，；.an-an_x=3.

"1%=1時(shí)，a”=1+3("-1)=3"-2,

此時(shí)片=生。9成立：

當(dāng)4=2時(shí)，a“=2+3("-1)=3〃-1,此時(shí)編二的名，不成立，舍去.

二a“=3〃-2,〃eN”.

5、(2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考)設(shè)等差數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為S“，滿足S4=4S2，%=17.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

b.b、b1

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足,+一+…+N=1-懣，求數(shù)列仍“｝的通項(xiàng)公式

a\a2an2

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝首項(xiàng)為q，公差為d.

4q+6d=8q+4dq=1

由已知得,,解得《

=17d=2

于是4=1+2(〃-1)=2〃一1.

4?11

(2)當(dāng)九=1時(shí)，—=1--=T.

a,22

bn..IXZ1I、I

當(dāng)〃n2時(shí)，7=a—吩)一(1一F=環(huán)

一當(dāng)〃=1時(shí)上式也成立.

,b1

于是—n二—

%2"

…12〃一1

故a=誕

6、（2020?浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為s“，且4=1,

a”=7^+JS“T（〃eN*,且）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

【解析】由?！?￡+瓦，得，一5,1=后+瓦，即底一瓦=1（〃之2）,

所以數(shù)列｛后｝是以店=府=1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

所以V^T=l+（〃-1）x1=〃，即S“=〃2,

當(dāng)”之2時(shí)，an=Sn-S,I=2〃-1,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=S=l,也滿足上式，所以-

7、【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列僅“｝的前〃項(xiàng)和為S,，％=4，%=S3,數(shù)列｛〃｝滿足：對(duì)每個(gè)

?eN*,S?+b?,S?+I+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列?

（1）求數(shù)列他］｛b｝的通項(xiàng)公式；

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為必由題意得

q+2〃=4,0+31=34+3d,

解得q=O,d=2.

從而an-2n-2,neN".

所以S“=-〃，n6N*,

由S?+d，S“M+bn,Sn+2+一成