《第十七章 勾股定理》知識串講+熱考題型（原卷版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》本章知識綜合運(yùn)用兩個概念兩個概念●●1、互逆命題：如果兩個命題題設(shè)、結(jié)論正好相反.那么這兩個命題叫做互逆命題.

如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.●●2、互逆定理：一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理.兩個定理兩個定理●●1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.應(yīng)用勾股定理可以解決下面的問題：（1）已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊長；（2）已知直角三角形的一邊，求兩邊的關(guān)系；（3）解決勾股定理構(gòu)造方程，解決實際問題.●●2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.我們把這個定理叫做勾股定理的逆定理.應(yīng)用勾股定理逆定理可以解決下面的問題：（1）判斷三角形的形狀；（2）證明線段的位置關(guān)系；（3）證明線段之間的數(shù)量關(guān)系.兩個應(yīng)用兩個應(yīng)用●●1、勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理可以解決和直角三角形有關(guān)的計算和證明問題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實際問題.常見的應(yīng)用類型為:（1）化非直角三角形為直角三角形；（2）將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型.●●2勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個三角形是不是直角三角形．四種思想方法四種思想方法●●1、方程思想：在直角三角形中，求線段的長時，常利用勾股定理建立方程求解.●●2、數(shù)學(xué)結(jié)合思想:勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），勾股定理的逆定理的是由三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），得到這個三角形是直角三角形（形），二者相互結(jié)合，能使抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，從而有效分析和解決問題.●●3、建模思想：運(yùn)用勾股定理解決實際問題的實質(zhì)是將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后將已知和未知轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊，利用勾股定理求出直角三角形的邊，最后得出實際問題的解.●●4、分類討論思想：在研究三角形的高時，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況考慮，另外在探究直角三角形的邊長時也應(yīng)注意分類.題型一運(yùn)用勾股定理求線段長題型一運(yùn)用勾股定理求線段長【例題1】（2022秋?長春期末）已知三角形的兩邊分別為5和12，要使它是直角三角形，第三邊的長應(yīng)為．解題技巧提煉勾股定理的作用是已知直角三角形的兩邊求第三邊，所以求直角三角形的邊長時應(yīng)該聯(lián)想到勾股定理.【變式1-1】（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝6，求AB、BC的長．【變式1-3】已知：如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC邊上的高．題型二勾股定理的證明題型二勾股定理的證明【例題2】（2022秋?山亭區(qū)校級月考）如圖是用硬紙板做成的兩個直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的全等三角形拼成的圖形，觀察圖形，可以驗證（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解題技巧提煉（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．【變式2-1】（2022春?交城縣期中）勾股定理是一個古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，如圖所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）A．B． C． D．【變式2-2】如圖所示是傳說中畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的一種方法，圖（1）中大正方形的面積為邊長分別為a，b的兩個小正方形面積和四個三角形面積的和，即大正方形的面積為：；圖（2）中大正方形的面積為邊長為c的正方形與四個直角三角形的面積的和，即大正方形的面積為：；因為圖（1）（2）中正方形的邊長為a+b，面積相等，所以＝，即．【變式2-3】（2021秋?朝陽區(qū)期末）【閱讀理解】我國古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．題型三趙爽弦圖的應(yīng)用題型三趙爽弦圖的應(yīng)用【例題3】（2022秋?萊陽市期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．64 C．49 D．25解題技巧提煉“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．常常利用勾股定理和完全平方公式來解決相關(guān)的求值問題.【變式3-1】（2022秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為20，則（a+b）2的值為．【變式3-2】（2021秋?王益區(qū)期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．若AB＝14cm，且AH：AE＝3：4，則AH＝cm．【變式3-3】（2022秋?平度市校級月考）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中說法正確的結(jié)論有（填序號）．【變式3-4】（2021秋?樂山期末）如圖，圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長是30，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．76 B．57 C．38 D．19題型四利用勾股定理求平面上兩點(diǎn)之間的距離題型四利用勾股定理求平面上兩點(diǎn)之間的距離【例題4】（2022春?天津期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，3）到原點(diǎn)的距離是（）A．4 B．10 C．22 D．無法確定解題技巧提煉(1)數(shù)軸上的兩點(diǎn)A，B，則AB=x2(2)兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)平面上任意兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），|P1P2|=(【變式4-1】（2022春?岳池縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，3）到原點(diǎn)的距離是．【變式4-2】（2022秋?邢臺期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m﹣2，4）到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為5，則m的值為．【變式4-3】已知點(diǎn)A（2，﹣1），點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，PA＝2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為．【變式4-4】（2022秋?古田縣期中）小亮在網(wǎng)上搜索到下面的文字材料：在x軸上有兩個點(diǎn)它們的坐標(biāo)分別為（a，0）和（c，0）．則這兩個點(diǎn)所成的線段的長為|a﹣c|；同樣，若在y軸上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，b）和（0，d），則這兩個點(diǎn)所成的線段的長為|b﹣d|．如圖1，在直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1，P2，其坐標(biāo)分別為（a，b）和（c，d），分別過這兩個點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)成一個直角三角形，其中直角邊P1Q＝|a﹣c|，P2Q＝|b﹣d|，利用勾股定理可得：線段P1P2的長為(a-c)2根據(jù)上面材料，回答下面的問題：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2），B（6，5），則線段AB的長為；（2）若點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣3，0），且CD＝6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（3）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，3）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個動點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，求△ABC周長的最小值．題型五利用勾股定理解決折疊問題題型五利用勾股定理解決折疊問題【例題5】（2021秋?南海區(qū)校級月考）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對角線BD上的點(diǎn)F處，（1）求BD的長．（2）求AE的長．解題技巧提煉關(guān)于折疊問題要緊扣折疊前后的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，其解題步驟為：（1）利用重合的圖形傳遞數(shù)據(jù).（2）選擇直角三角形，利用勾股定理列方程求解.【變式5-1】（2022秋?丹東期末）如圖，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，那么NB的長為（）A．3 B．83 C．4 D．【變式5-2】（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，長方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點(diǎn)F．若AB＝6，BC=96，則DFA．2 B．4 C．6 D．12【變式5-3】（2022春?任城區(qū)月考）如圖．在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)．將正方形紙片折疊．點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF．若AD＝4，求CF的長．題型六利用勾股定理解決最短路徑問題題型六利用勾股定理解決最短路徑問題【例題6】（2021秋?中牟縣期末）如圖，一個無蓋的長方體盒子的長、寬、高分別為8cm、8cm、12cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)B．螞蟻要爬行的最短路程是cm．解題技巧提煉1、平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．2、幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短路程的求法：將幾何體表面展開，將立體幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定路線，最后利用勾股定理計算.【變式6-1】（2022秋?龍口市期末）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（）A．8km B．10km C．12km D．14km【變式6-2】（2022春?漢陰縣月考）如圖，若圓柱的底面周長是30cm，高是120cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞幾圈絲線到頂部B處做裝飾，則按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長度是cm．【變式6-3】（2021秋?錦江區(qū)校級期末）在一個長6+22米，寬為4米的長方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到C處需要走的最短路程是米．【變式6-4】（2022春?城廂區(qū)校級月考）如圖，圓柱形玻璃杯高為8cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底2cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）．題型七用勾股定理探究規(guī)律題型七用勾股定理探究規(guī)律【例題7】（2021春?嵐山區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長是2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，以該等腰直角三角形的一條直角邊DE為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2按照此規(guī)律繼續(xù)作圖，則S2021的值為（）122018 B．122019 C．1解題技巧提煉以某個基本圖形為背景的類推構(gòu)造直角三角形求值問題屢見不鮮.解答這類題目,有時需要我們根據(jù)勾股定理依次計算,然后探索其中隱含的規(guī)律并靈活利用這個規(guī)律.【變式7-1】（2022春?湖北期末）圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME﹣7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如圖乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此規(guī)律，在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，長度為整數(shù)的線段有（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【變式7-2】（2022秋?增城區(qū)期末）如圖，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB為直角邊，構(gòu)造Rt△OBC；再以CD＝1，OC為直角邊，構(gòu)造Rt△OCD；…，按照這個規(guī)律，在Rt△OHI中，點(diǎn)H到OI的距離是（）A．223 B．336 C．310【變式7-3】（2022春?通川區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，0），以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰Rt△OA3A4，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為．【變式7-4】細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：12+1＝2，S1=12，(2)2+1＝3，S2=22，（1）請用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律．（2）推算出OA10的長．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．題型八題型八勾股定理的逆定理的應(yīng)用【例題8】（2021秋?蘭州期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=85cm，D是腰BA延長線上一點(diǎn)，連接CD，且BD＝16cm，CD＝8（1）判斷△BDC的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．解題技巧提煉勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個三角形是不是直角三角形.【變式8-1】甲、乙兩位探險者到沙漠進(jìn)行探險，兩人從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，甲、乙兩位探險者的速度分別為3km/h、4km/h，且2h后分別到達(dá)A，B點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)的直線距離為10km，甲探險者沿著北偏東30°的方向行走，則乙探險者的行走方向可能是（）A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏東60° D．南偏西60°【變式8-2】（2022春?辛集市期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長．【變式8-3】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，請你判定△BEF的形狀，并說明理由．【變式8-4】（2021秋?榆林期末）2021年12月12日是西安事變85周年紀(jì)念日，西安事變及其和平解決在中國社會發(fā)展中占有重要的歷史地位，為中國社會的發(fā)展起到了無可替代的作用．為此，某社區(qū)開展了系列紀(jì)念活動，如圖，有一塊三角形空地ABC，社區(qū)計劃將其布置成展區(qū)，△BCD區(qū)域擺放花草，陰影部分陳列有關(guān)西安事變的歷史圖片，現(xiàn)測得AB＝20米，AC＝105米，BD＝6米，CD＝8米，且∠BDC＝90°．（1）求BC的長；（2）求陰影部分的面積．題型九利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明或計算題型九利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明或計算【例題9】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6．求證：BA⊥AD．解題技巧提煉當(dāng)所給的已知條件相對分散時，可以考慮添加輔助線將分散的條件集中在一起，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理的運(yùn)用．【變式9-1】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，CD＝6，AD＝25，若AC⊥BC，求證：AD∥BC．【變式9-2】（2022秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，A、B、C、D四點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)上，則∠BAC+∠DAC＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【變式9-3】（2022秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，已知∠BAC＝90°，BC=3，AB＝1，AD＝CD＝1，則∠BAD＝【變式9-4】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度數(shù)．題型十方程思想在勾股定理中的應(yīng)用題型十方程思想在勾股定理中的應(yīng)用【例題10】如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程．（1）作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD＝x，用含x的代數(shù)式表示CD，則CD＝；（2）分別在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的長，再計算△ABC的面積．解題技巧提煉在直角三角形中，求線段的長時，常利用勾股定理建立方程求解.【變式10-1】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑畫弧，交線段BC于點(diǎn)E．若BD＝CE，則AC的長為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【變式10-2】（2022秋?龍崗區(qū)期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD＝6m），踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）m．A．212 B．152 C．6 D【變式10-3】（2022秋?萊西市期中）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，DE是BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）判定△ABC的形狀，并說明理由；（2）求AE的長．題型十一分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用題型十一分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用【例題11】（2022秋?南京期末）如圖，已知點(diǎn)P是射線OM上一動點(diǎn)（P不與B重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當(dāng)OP＝時，△OAP是等腰三角形．解題技巧提煉在研究三角形的高時，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況考慮，另外在探究直角三角形的邊長時也應(yīng)注意分類.【變式11-1】（2022秋?和平區(qū)校級期中）已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為（）A．12 B．7+7 C．12或7+7 【變式11-2】設(shè)計師要用四條線段CA，AB，BD，DC首尾相接組成如圖所示的兩個直角三角形圖案，∠C與∠D為直角，已知其中三條線段的長度分別為1cm，9cm，5cm，第四條長為xcm，試求出所有符合條件的x的值．【變式11-3】（2021秋?洪洞縣期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為ts．（1）求BC邊的長；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時，求t的值．【變式11-4】（2022秋?二道區(qū)校級期末）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割．（1）已知M、N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請說明理由；（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝30，AM＝5，求BN的長．題型十二綜合壓軸探究題題型十二綜合壓軸探究題【例題12】（2022秋?萊西市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時t的值；（3）在運(yùn)動過程中，當(dāng)t＝值時，△ACP為等腰三角形（直接寫出結(jié)果）解題技巧提煉勾股定理的綜