2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c微專題提分精練（人教版）專題14 網(wǎng)格中畫相似含解析

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c微專題提分精練專題14網(wǎng)格中畫相似1．如圖，大小為4×4的正方形方格中，能作出與△ABC相似的格點三角形（頂點都在正方形的頂點上），其中最小的一個面積是______．2．圖①，圖②，圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中．按下列要求作圖．（不寫作法，保留畫圖痕跡）(1)在圖①中，在上畫一點，使；(2)在圖②中，在上畫一點，使：：；(3)在圖③中，在內(nèi)畫一點，使：：：：．3．（1）如圖，4×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上．請在圖中畫一個△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不為1），且點A1、B1、C1都在小正方形的頂點上．并將此三角形涂上陰影（2）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡：我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點．請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖．①如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F．②如圖2，在由小正方形組成的4×3的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH4．在4*4的方格中，的三個頂點都在格點上．(1)在圖1中畫出與成軸對稱且與有公共邊的格點三角形（畫出一個即可）；(2)將圖2中畫一個與相似的三角形．5．如圖，是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），請在正方形網(wǎng)格上按下列要求畫一個格點三角形與相似．(1)在圖甲中畫△，使得△的周長是的周長的2倍；(2)在圖乙中畫出△，使得△的面積是的面積的2倍．6．如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形，請按以下要求作圖．(1)在圖1中畫出格點△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面積比為；(2)在圖2中將△ABC繞著某格點逆向時針旋轉(zhuǎn)90°得到格點△PFG，其中C與P對應(yīng)．7．如圖，在方格紙中，點A，B，C都在格點上（△ABC稱為格點三角形，即格點△ABC），用無刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個點D，使；(2)在圖2中作一個格點△CEF，使△CEF與△ABC相似．8．如圖，在7×6的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D在格點（小正方形的頂點）上，從點A、B、C、D四點中任取三點，兩兩連接，得到一個三角形，請在所得的所有三角形中，寫出互為相似的兩個三角形及它們的相似比．9．如圖，在5×5的邊長為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點三角形（即三角形的各頂點都在小正方形的頂點上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫出與△DEF相似且面積最大的格點三角形，并直接寫出其面積．10．按要求作圖，無需寫作法：圖①

圖②(1)如圖①，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．(2)如圖②，在邊長為1個單位的方格紙上，有△ABC，請作一個格點△DEF，使它與△ABC相似，但相似比不能為1．11．如圖正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中畫等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；(2)在圖②中畫等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比為：1．12．圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫線段AB的中點F．(2)在圖②中，畫的中位線GH，點G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫出與四邊形DEHG的面積比．(3)在圖③中，畫，點R在格點上，且被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：3．13．如圖，已知和點．(1)把繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，在網(wǎng)格中畫出；(2)用無刻度的直尺，在邊上畫出點，使（要求保留作圖痕跡，不寫作法）．14．如圖，是格點三角形（三角形的三個頂點都在格點上），每個小正方形的邊長均為1．(1)在圖（1）中將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．(2)在圖（2）中找格，使以格點、、為頂點的三角形與相似，但不全等，請畫出一個符合條件的三角形．15．如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，各個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的頂點在格點上，邊BC上的點D也是一個格點．僅用無刻度的直尺在定網(wǎng)格中畫圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示．(1)在圖1中，先畫出AC的平行線DE交AB邊于點E，可在BC邊上畫點F，使；(2)在圖2中，先在邊AB找點M，使△MDC與△MAC的面積相等，再在AC上畫點N，使△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一．16．如圖，在6×7的矩形網(wǎng)格中，我們把頂點都在格點上的多邊形稱為格點多邊形，點A，B，C均在格點上，按下面要求畫出格點三角形．(1)在圖1中，畫一個△ABD，使得△ABD與△ABC全等．(2)在圖2中，畫一個△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且點E不在邊BC上．注：圖1，圖2在答題紙上．17．如圖，在7×8的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，用無刻度直尺完成下列作圖：(1)在AC上畫點E，使AE=3CE；(2)在AB上畫點D，使AD=CD；(3)在BC上畫點F（不與B重合），使AFBC．(4)在AB上畫點P，使tan．18．如圖，在6×10的方格紙ABCD中有一個格點△EFG，請按要求畫線段．(1)在圖1中，過點O畫一條格點線段PQ（端點在格點上），使點P，Q分別落在邊AD，BC上，且PQ與FG的一邊垂直．(2)在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點M，EG上一點N，連結(jié)MN，使△EMN和△EFG的相似比為2：5．（保留作圖痕跡）19．請在如圖所示的網(wǎng)格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中畫出線段的中垂線(2)如圖2，在線段上找出點，使．20．如圖在5×5的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上．（僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示）(1)在圖1中畫出△ABC的中線AD；(2)在圖2中畫線段CE，點E在AB上，使得：＝2：3；(3)在圖3中畫出△ABC的外心點O．21．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A，B，C均在格點上．請按要求在網(wǎng)格中畫圖，所畫圖形的頂點均需在格點上．(1)在圖1中以線段AB為邊畫一個，使其與相似，但不全等．(2)在圖2中畫一個，使其與相似，且面積為8．22．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，線段AB的兩個端點均在格點上，按要求完成下列畫圖（要求：用無刻度的直尺，保留畫圖痕跡，不要求寫出畫法）．(1)在圖①中，在線段AB上找到一點E，使＝；(2)在圖②中，畫出一個以A、B、C為頂點的三角形，且cos∠BAC＝；(3)在圖③中，畫出一個四邊形ACBD，使其既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，且鄰邊之比為，C、D為格點．專題14網(wǎng)格中畫相似1．如圖，大小為4×4的正方形方格中，能作出與△ABC相似的格點三角形（頂點都在正方形的頂點上），其中最小的一個面積是______．【答案】##0.5【分析】先確定最短邊最小為1，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，確定另外兩條邊的長度，作出圖形即可．【詳解】解：△ABC的邊長分別為，5，，作一個邊長為1，，的三角形即可．如圖，△CFE即為所求，面積＝×1×1＝．故答案為：．【點睛】本題考查作圖﹣相似變換，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．2．圖①，圖②，圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中．按下列要求作圖．（不寫作法，保留畫圖痕跡）(1)在圖①中，在上畫一點，使；(2)在圖②中，在上畫一點，使：：；(3)在圖③中，在內(nèi)畫一點，使：：：：．【答案】(1)圖形見解析；(2)圖形見解析；(3)圖形見解析．【分析】（1）取的中點即可；（2）取格點，，連接交于點，點即為所求；（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想，判斷出點到的距離為，到的距離為，取格點，，連接交直線于點，點即為所求．【詳解】（1）在圖中，點即為所求；（2）在圖中，點即為所求；點C下移三個單位得到點M，點B上移兩個單位得到點N，連接，得到，：：即點即為所求；（3）在圖中，點即為所求．由圖可知，，，，，：：：：，，，設(shè)中邊上的高為，中邊上的高為，，，，作直線：，點在直線上，在直線上取邊上高，取格點，，連接交直線于點，由圖可知點到邊距離為，即點即為所求．【點睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形相似性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（1）如圖，4×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上．請在圖中畫一個△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不為1），且點A1、B1、C1都在小正方形的頂點上．并將此三角形涂上陰影（2）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡：我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點．請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖．①如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F．②如圖2，在由小正方形組成的4×3的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析【分析】（1）把△ABC各邊放大倍即可；（2）根據(jù)題意三角形的三條中線交于同一點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，先連接AC和BD得到BD的中點O，再連接BE交CO于P點，則點P為△BCD的重心，延長DP交BC于F點，則F點為BC的中點；（3）根據(jù)三角形的三條高所在的直線交于同一點，分別作出上的高，交于點，延長AO至H，則即為所求．【詳解】如圖，為所作；（2）①如圖1，點F為所作；理由：因為三角形的三條中線交于同一點，四邊形是平行四邊形，∴是的中點，∵是的中點，根據(jù)三條中線交于同一點，連接交于，則點為三條中線的交點，作射線交于點，則點為的中點；②如圖2，找到格點，過A點作AD垂直AB，再平移DA得到CE，則CE⊥AB，接著作MN垂直AC，平移MN得到BF，則BF⊥AC，BF與CE的交點O為△ABC的垂心，所以延長AO交BC于H，則AH⊥BC，AH為所作．理由：∵∴∴∴平移至，并延長，交于點，∴同理作出，交于點根據(jù)三角形三條高所在的直線交于同一點，延長交于點，則即為所求．【點睛】本題考查了畫相似三角形：根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形，也考查了三角形的重心和平行四邊形的性質(zhì)．4．在4*4的方格中，的三個頂點都在格點上．(1)在圖1中畫出與成軸對稱且與有公共邊的格點三角形（畫出一個即可）；(2)將圖2中畫一個與相似的三角形．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）選取AC所在的直線為對稱軸作圖即可；（2）保證每條邊方向一致，且邊長減小為原來的一半作圖即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，即為所求作的三角形；（答案不唯一）（2）如下圖所示，即為所求作的三角形；【點睛】本題考查軸對稱作圖與作相似圖形，掌握兩個圖形關(guān)于某條直線對稱的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），請在正方形網(wǎng)格上按下列要求畫一個格點三角形與相似．(1)在圖甲中畫△，使得△的周長是的周長的2倍；(2)在圖乙中畫出△，使得△的面積是的面積的2倍．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接利用相似三角形的周長關(guān)系得出相似比為：1：2，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用相似三角形的面積關(guān)系得出相似比：1：，進(jìn)而得出答案．（1）解：如圖所示：△，即為所求；（2）解：如圖所示：△，即為所求．【點睛】此題主要考查了相似變換，正確得出對應(yīng)三角形的邊長是解題關(guān)鍵．6．如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形，請按以下要求作圖．(1)在圖1中畫出格點△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面積比為；(2)在圖2中將△ABC繞著某格點逆向時針旋轉(zhuǎn)90°得到格點△PFG，其中C與P對應(yīng)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合位似中心得出答案；（2）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案．（1）如圖，（案不唯一）（2）如圖，【點睛】此題主要考查了位似變換以及旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)題意得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．7．如圖，在方格紙中，點A，B，C都在格點上（△ABC稱為格點三角形，即格點△ABC），用無刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個點D，使；(2)在圖2中作一個格點△CEF，使△CEF與△ABC相似．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，從而得出點D的位置；（2）根據(jù)∠ACB=90°，AC=2BC，即可畫出△CEF．【詳解】（1）解：如圖1所示，點D即為所求，（2）如圖2所示，△CEF即為所求，【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在7×6的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D在格點（小正方形的頂點）上，從點A、B、C、D四點中任取三點，兩兩連接，得到一個三角形，請在所得的所有三角形中，寫出互為相似的兩個三角形及它們的相似比．【答案】△ABD∽△DCB，相似比．【分析】連接AB、BD、AD、AC，利用勾股定理求出各邊的長，根據(jù)對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似即可求解．【詳解】解：連接AB、BD、AD、AC，∵AB==，AC==，BC=4，CD=2，BD==2，AD==5，∴，，，∴，∴△ABD∽△DCB，相似比．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，讀懂題目信息，利用勾股定理求出各邊的長是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在5×5的邊長為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點三角形（即三角形的各頂點都在小正方形的頂點上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫出與△DEF相似且面積最大的格點三角形，并直接寫出其面積．【答案】(1)相似，見解析(2)圖見解析，面積為5【分析】（1）相似，分別求出每個三角形的三條邊長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似判斷即可；（2）根據(jù)勾股定理得出三角形各邊長，利用邊長之比相等，作出面積最大的格點三角形即可．(1)△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；(2)如圖，△MNP即為所求，．【點睛】此題考查了作圖—相似變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似變換的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．按要求作圖，無需寫作法：圖①

圖②(1)如圖①，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．(2)如圖②，在邊長為1個單位的方格紙上，有△ABC，請作一個格點△DEF，使它與△ABC相似，但相似比不能為1．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】（1）連結(jié)AB，EF交于點C，作射線OC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三線合一即可得OC即為所求．（2）找到格點，使得相似比為，即可．（1）連結(jié)AB，EF交于點C，作射線OC，所以O(shè)C即為所求，四邊形是平行四邊，，，是的角平分線（三線合一），（2）如圖，即為所求，，，，且都是格點【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三線合一，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．11．如圖正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中畫等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；(2)在圖②中畫等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比為：1．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1）如圖①中，△ABC即為所求；,,,,，的等腰直角三角形，（2）如圖②中，△DEF即為所求．,,,,．△ABC∽△DEF，且相似比為：1．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理與相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫線段AB的中點F．(2)在圖②中，畫的中位線GH，點G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫出與四邊形DEHG的面積比．(3)在圖③中，畫，點R在格點上，且被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：3．【答案】(1)見解析(2)見解析，面積比為1：3(3)見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點，找到之間單元網(wǎng)格的對角線，交于點，則點即為所求；（2）根據(jù)（1）的方法找到的中點，連接，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出與四邊形DEHG的面積比；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知，只要經(jīng)過的中位線，根據(jù)在網(wǎng)格上，找到符合題意的點即可求解．(1)如圖①：(2)如圖②：，與四邊形DEHG的面積比為1：3．(3)如圖③，畫出一種即可．【點睛】本題考查了網(wǎng)格與相似三角形，相似三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格的特點找到線段的中點是解題的關(guān)鍵．13．如圖，已知和點．(1)把繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，在網(wǎng)格中畫出；(2)用無刻度的直尺，在邊上畫出點，使（要求保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，利用平行線作相似三角形，根據(jù)相似比作出即可．（1）解：根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置,然后順次連接，即為所求，如圖：（2）解：如圖，取網(wǎng)格點E、F，連接EF交AC于點P，則點P為所作，理由如下：連接FC，設(shè)小正方形方格的邊長為1，則AE=2，F(xiàn)C=3，∵AE∥FC，∴△APE∽△CPF，∴．【點睛】本題考查了利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作旋轉(zhuǎn)變換圖形，利用相似三角形的性質(zhì)分割線段，熟悉網(wǎng)格點的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，是格點三角形（三角形的三個頂點都在格點上），每個小正方形的邊長均為1．(1)在圖（1）中將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．(2)在圖（2）中找格，使以格點、、為頂點的三角形與相似，但不全等，請畫出一個符合條件的三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）找到旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向后可得出各點的對應(yīng)點，進(jìn)而順次連接即可得出答案；（2）可找能使是直角三角形且或的．(1)所作圖形如下：(2)【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)作圖及相似三角形的性質(zhì)，明確旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向是解本題的關(guān)鍵．15．如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，各個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的頂點在格點上，邊BC上的點D也是一個格點．僅用無刻度的直尺在定網(wǎng)格中畫圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示．(1)在圖1中，先畫出AC的平行線DE交AB邊于點E，可在BC邊上畫點F，使；(2)在圖2中，先在邊AB找點M，使△MDC與△MAC的面積相等，再在AC上畫點N，使△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)格點特點畫出AC的平行線即可；根據(jù)格點特點作MA⊥AC，連接MC，則△AMC為等腰直角三角形，連接MC、NB，MC與NB交于點O，根據(jù)矩形性質(zhì)可知，O為MC的中點，連接AO，則AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延長AO，與BC交于一點，即為點F；（2）連接AD，則AD正好過格點O，連接CO，并延長與AB交于一點M，連接MD，此時△MDC與△MAC的面積相等；連接PQ，交BC于點G，連接GH，交AC于點N，連接DN，則△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一．(1)解：根據(jù)格點特點連接GD，則GD∥AC，GD與AB的交點即為E點；根據(jù)格點特點作MA⊥AC，連接MC，則△AMC為等腰直角三角形，連接MC、NB，MC與NB交于點O，根據(jù)矩形性質(zhì)可知：O為MC的中點，連接AO，∵AM=AC，∴AO平分∠MAC，∴∠OAC=45°，∴延長AO，與BC交于一點，即為點F，，∠ACB=∠ACF，∴△ACF∽△BCA．(2)連接AD，則AD正好過格點O，連接CO，并延長與AB交于一點M，連接MD，此時△MDC與△MAC的面積相等；∵AC=DC，O為AD的中點，∴CM平分∠ACD，∴點M到AC，CD的距離相等，∴△MDC與△MAC的面積相等；連接PQ，交BC于點G，連接GH，交AC于點N，連接DN，則△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一；∵在△PBG和△QCG中，∴，∴，∴CG=，∵AH∥GC，，，設(shè)△GCN邊CG上的高為h1，△HAN邊AH上的高為h2，則，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在6×7的矩形網(wǎng)格中，我們把頂點都在格點上的多邊形稱為格點多邊形，點A，B，C均在格點上，按下面要求畫出格點三角形．(1)在圖1中，畫一個△ABD，使得△ABD與△ABC全等．(2)在圖2中，畫一個△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且點E不在邊BC上．注：圖1，圖2在答題紙上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）運用三角形全等判定定理SSS，在網(wǎng)格上構(gòu)造△ABD與△ABC全等．（2）△ACE與△ABC共頂點A，因此考慮兩個三角形在以A為頂點的高線相等的情況下，構(gòu)造3CE=BC，從而滿足S△ABC＝3S△ACE．（1）解：（2）解：【點睛】本題考查三角形全等判定定理，三角形面積計算方法，找到相應(yīng)的作圖依據(jù)是解題關(guān)鍵．17．如圖，在7×8的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，用無刻度直尺完成下列作圖：(1)在AC上畫點E，使AE=3CE；(2)在AB上畫點D，使AD=CD；(3)在BC上畫點F（不與B重合），使AFBC．(4)在AB上畫點P，使tan．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）找到格點，使得，連接，找到，作交于點，則點即為所求，（2）取格點，連接，交于點，根據(jù)網(wǎng)格的特點作正方形，同理取中點，連接，交于點，點即為所求，（3）方法同（2）作正方形，作交于點，點即為所求，（4）同方法（3）作正方形，作，同方法（1）在正方形上取分別等于，連接交于點，作射線交于點，則點即為所求．(1)如圖所示，找到格點，使得，連接，找到，作交于點，則點即為所求，，，即．(2)如圖，取格點，連接，交于點，根據(jù)網(wǎng)格的特點作正方形，同理取中點，連接，交于點，點即為所求，則是的垂直平分線，．(3)如圖，方法同（2）作正方形，作交于點，點即為所求(4)如圖，同方法（3）作正方形，作，同方法（1）在正方形上取分別等于，連接交于點，作射線交于點，則點即為所求，，，．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中無刻度直尺作圖，相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定線段的長度是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在6×10的方格紙ABCD中有一個格點△EFG，請按要求畫線段．(1)在圖1中，過點O畫一條格點線段PQ（端點在格點上），使點P，Q分別落在邊AD，BC上，且PQ與FG的一邊垂直．(2)在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點M，EG上一點N，連結(jié)MN，使△EMN和△EFG的相似比為2：5．（保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意找到格點，畫出線段即可（1）如圖所示，即為所求，（2）如圖所示，取格點，連接交于點，連接交于點連接，則即為所求，同理．【點睛】本題考查了相似變換作圖，掌握平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．19．請在如圖所示的網(wǎng)格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中畫出線段的中垂線(2)如圖2，在線段上找出點，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取格點，，作直線即可；（2）將點沿網(wǎng)格向下移動個小格到點，將點沿網(wǎng)格向上移動個小格到點，連接交于點，則點即為所求．（1）如圖所示，利用網(wǎng)格線確定中點，然后使二者垂直即可；（2）將點沿網(wǎng)格向下移動個小格到點，將點沿網(wǎng)格向上移動個小格到點，連接交于點，，，，點即為所求，如圖所示：【點睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖，相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．20．如圖在5×5的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上．（僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示）(1)在圖1中畫出△ABC的中線AD；(2)在圖2中畫線段CE，點E在AB上，使得：＝2：3；(3)在圖3中畫出△ABC的外心點O．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由題知BO=CO，取兩個格點F、G構(gòu)造，即可得中點D．（2）由：＝2：3得AE：BE=2∶3，取格點H、J，構(gòu)造，且相似比為2∶3，即可得到E點．（3）由O為△ABC的外心知O為AB、AC的中垂線的交點，作出兩條中垂線，交點即為O．（1）如圖1中，取格點F、G，連接FG交BC于點D，線段AD即為所求．（2）如圖2中，取格點H、J，連接HJ交AB于點E，線段CE即為所求．（3）如圖3中，取格點K、L、M、N，連接KL、MN交于點O，則點O為所求．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．21．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A，B，C均在格點上．請按要求在網(wǎng)格中畫圖，所畫圖形的頂點均需在格點上．(1)在圖1中以線段AB為邊畫一個，使其與相似，但不全等．(2)在圖2中畫一個，使其與相似，且面積為8．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由圖可知，AC=2，根據(jù)網(wǎng)格特點畫AD⊥AB，且AD=即可；（2）畫出直角邊分別為2，4的直角三角形EFG即可．（1）解：如圖，△ABD即為所求；（2）如圖，△EFG即為所求．【點睛】本題考查作圖-相似變換，三角形的面積，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．22．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，線段AB的兩個端點均在格點上，按要求完成下列畫圖（要求：用無刻度的直尺，保留畫圖痕跡，不要求寫出畫法）．(1)在圖①中，在線段AB上找到一點E，使＝；(2)在圖②中，畫出一個以A、B、C為頂點的三角形，且cos∠BAC＝；(3)在圖③中，畫出一個四邊形ACBD，使其既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，且鄰邊之比為，C、D為格點．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出點E，使＝；（2）作出等腰直角三角形ABC即可滿足cos∠BAC＝；（3）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)在圖3中，畫出矩形ACBD，鄰邊之比為，C，D為格點即可．（1）如圖所示，點E即為所求；（2）如圖所示，即為所求；（3）如圖所示即為所求作【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識與性質(zhì)．專題15相似三角形之動點問題1．如圖，在中，，點E是直角邊上動點，點F是斜邊上的動點（點F與兩點均不重合）．且平分的周長，設(shè)長為．(1)試用含x的代數(shù)式表示；(2)若的面積為，求x的值；(3)當(dāng)是等腰三角形時，求出此時的長．2．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒5個單位長度的速度向終點B運動，當(dāng)點P不與點A、B重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連結(jié)PQ，以PQ、PB為邊作．設(shè)與重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒．(1)直接用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長并寫出t的取值范圍；(2)當(dāng)點M落在邊AC上時，求t的值及此時的面積；(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)當(dāng)?shù)膶蔷€的交點到的兩個頂點的距離相等時，直接寫出t的值．3．如圖，在矩形中，，分別是一元二次方程的兩個根，連結(jié)，動點從出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿方向運動，同時，動點從點出發(fā)，以同樣的速度沿射線運動，當(dāng)點到達(dá)點時，點即停止運動，設(shè)運動時間為秒.以為斜邊作Rt，使點落在線段上.(1)求線段的長度；(2)求面積的最大值；(3)當(dāng)與相似時，求的值.4．如圖，在中，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果分別從同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，．5．如圖，在中，，，，是邊的中點，為邊上的一個動點，作，交射線于點．設(shè)，的面積為．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)如果以、、為頂點的三角形與相似，求的面積．6．如圖，矩形中，，為邊上的動點，當(dāng)與相似時，求長．7．如圖，在中，cm，動點P從點C出發(fā)沿著的方向以的速度向終點A運動，另一動點Q同時從點A出發(fā)沿著方向以的速度向終點C運動，P、Q兩點同時到達(dá)各自的終點，設(shè)運動時間為t（s）．的面積為．(1)求的長；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)當(dāng)t為多少秒時，以P、C、Q為頂點的三角形和相似？8．如圖，在中，，點P從A出發(fā)，以的速度向B運動，同時點Q從C出發(fā)，以的速度向A運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為,(1)則；____(用含t的代數(shù)式表示)(2)求運動時間t的值為多少時，以、、為頂點的三角形與相似？9．如圖1，在中，，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒，連接PQ．(1)若與相似，求t的值；(2)直接寫出是等腰三角形時t的值；(3)如圖2，連接AQ、CP，若，求t的值．10．如圖1，在中，，點P為斜邊上一點，過點P作射線，分別交、于點D，E．(1)問題產(chǎn)生∶若P為中點，當(dāng)時，

；(2)問題延伸：在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的值是否會發(fā)生改變？如果不變，請證明；如果改變，請說明理由；(3)問題解決：如圖3，連接，若與相似，求的值．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為？12．如圖，在矩形ABCD中，cm，cm，點E、F同時分別從D、B兩點出發(fā)，以1cm/s的速度沿DC、BA向終點C、A運動，點G、H分別為AE、CF的中點，設(shè)運動時間為t（s）．(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形．(2)填空：①當(dāng)t為______s時，四邊形EGFH是菱形；②當(dāng)t為______s時，四邊形EGFH是矩形．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，點D，E分別為邊AB，AC的中點，連結(jié)DE，點P從點B出發(fā)，沿折線BD－DE－EA運動，到點A后立即停止．點P在BD上以cm/s的速度運動，在折線DE－EA上以1cm/s的速度運動．在點P的運動過程中，過點P作PQ⊥BC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，點M在線段BQ上．設(shè)點P的運動時間為t（s）．(1)當(dāng)點P在線段DE上時，求正方形PQMN的邊長．(2)當(dāng)點N落在邊AB上時，求t的值．(3)在點P的整個運動過程中，記正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，寫出相應(yīng)t的取值范圍．14．如圖，矩形中，，，動點從點出發(fā)，沿邊以的速度向點勻速移動，動點從點出發(fā)，沿邊以的速度向點勻速移動，一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也停止運動，點，同時出發(fā)，設(shè)運動時間為．(1)當(dāng)為何值時，的面積為？(2)為何值時，以A，，為頂點的三角形與相似．15．閱讀與思考如圖是兩位同學(xué)對一道習(xí)題的交流，請認(rèn)真閱讀下列對話并完成相應(yīng)的任務(wù)．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點P從點O開始沿OA向點A以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BO向點O以1厘米/秒的速度移動．當(dāng)一點運動到終點時，另一點也隨之停止．如果P、Q同時出發(fā)，用t(秒)表示移動的時間(0＜t＜6)，求當(dāng)POQ與AOB相似時t的值．17．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，動點P從點C出發(fā)沿線段CB以2cm/s的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，當(dāng)其中一個動點停止運動時另一個動點也停止運動，設(shè)運動時間為t（單位：s），以點Q為圓心，BQ長為半徑的⊙Q與射線BA、線段BC分別交于點D，E，連接DP．(1)當(dāng)t為何值時，線段DP與⊙Q相切；(2)若⊙Q與線段DP只有一個公共點，求t的取值范圍；(3)當(dāng)△APC是等腰三角形時，直接寫出t的值．18．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，點P，Q同時從點B出發(fā)，點P以每秒5個單位長度的速度沿折線BA﹣AC運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿折線BC﹣CA運動，當(dāng)點P，Q相遇時，兩點同時停止運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，△PBQ的面積為S．(1)當(dāng)P，Q兩點相遇時，t＝秒；(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．動點P從點B出發(fā)，沿線段BA以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)，沿折線AC—CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動．當(dāng)點P到達(dá)終點時，點Q也停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．(1)AB=；(2)用含t的代數(shù)式表示線段CQ的長；(3)當(dāng)Q在AC上運動時，若以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求t的值；(4)設(shè)點O是PA的中點，當(dāng)OQ與△ABC的一邊垂直時，請直接寫出t的值．20．如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為拋物線在第三象限的一個動點，軸于點，交于點，于點，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖，若為拋物線上一點，直線與線段交于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形與相似．若存在，請求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題15相似三角形之動點問題1．如圖，在中，，點E是直角邊上動點，點F是斜邊上的動點（點F與兩點均不重合）．且平分的周長，設(shè)長為．(1)試用含x的代數(shù)式表示；(2)若的面積為，求x的值；(3)當(dāng)是等腰三角形時，求出此時的長．【答案】(1)(2)2(3)或【分析】（1）勾股定理氣得，進(jìn)而求得三角形的周長，根據(jù)題意得出，即可求解；（2）過點作，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)的面積為即可求解；（3）根據(jù)題分類討論，①，②，③，分別求解即可．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得：∴的周長．∴．∴．故答案為：．（2）過點作．∵，∴．∴．∴，即，∴，∵的面積為，∴，解得：（舍去）．∴的值為．（3）若是等腰三角形，可分三種情況：①若，∴，∴；②如圖，若，過點作于，則，∵，∴，∴，∴，∴；③若，過點作于，同理，∴，∴，∴，∵，∴不合題意，舍去；綜上所述，或．【點睛】本題考查了勾股定理，列代數(shù)式，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒5個單位長度的速度向終點B運動，當(dāng)點P不與點A、B重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連結(jié)PQ，以PQ、PB為邊作．設(shè)與重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒．(1)直接用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長并寫出t的取值范圍；(2)當(dāng)點M落在邊AC上時，求t的值及此時的面積；(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)當(dāng)?shù)膶蔷€的交點到的兩個頂點的距離相等時，直接寫出t的值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）利用面積法求出BM，利用平行四邊形的性質(zhì)求出PQ，構(gòu)建方程求出t，再求出OM，利用平行四邊形的面積公式求解即可；（3）分兩種情形：當(dāng)時，如圖3﹣1中，重疊部分是五邊形POTMB，當(dāng)時，如圖3﹣2中，重疊部分是四邊形POTB．分別求解即可；（4）分三種情形：如圖4﹣1中，當(dāng)對角線的交點O在線段AC的垂直平分線上時，設(shè)線段AC的垂直平分線交AB于點K，連接CK．構(gòu)建方程求解．如圖4﹣2中，當(dāng)對角線的交點O在線段BC的垂直平分線上時，設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點R，交AC于點L．構(gòu)建方程求解．觀察圖像可知對角線的交點不可能在線段AB的垂直平分線上．由此可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1中，設(shè)PQ交AC于點O．由意得，，在中，AB＝4，BC＝3，∴，∵，解得：，∵，∴，∴，∴（2）如圖2中，∵四邊形PQMB是平行四邊形，∴∴，∴，，，∵，，∴，∴（3）當(dāng)時，如圖3﹣1中，重疊部分是五邊形POTMB，；當(dāng)時，如圖3﹣2中，重疊部分是四邊形POTB．，；綜上所述：；（4）如圖4﹣1中，當(dāng)對角線的交點O在線段AC的垂直平分線上時，設(shè)線段AC的垂直平分線交AB于點K，連接CK．則，設(shè)．在中，，∴，解得，∴∵，∴∴∴，∴．如圖4﹣2中，當(dāng)對角線的交點O在線段BC的垂直平分線上時，設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點R，交AC于點L．∵，，∴直線OL平分QP，∴點L在線段PQ上，且∴．觀察圖像可知對角線的交點不可能在線段AB的垂直平分線上．綜上所述，滿足條件的t的值為或．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)求表達(dá)式以及線段垂直平分線的性質(zhì)，難度較大，綜合性極強(qiáng)；熟練掌握和運用動點問題分析技巧以及分類討論思想是本題的解題關(guān)鍵．3．如圖，在矩形中，，分別是一元二次方程的兩個根，連結(jié)，動點從出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿方向運動，同時，動點從點出發(fā)，以同樣的速度沿射線運動，當(dāng)點到達(dá)點時，點即停止運動，設(shè)運動時間為秒.以為斜邊作Rt，使點落在線段上.(1)求線段的長度；(2)求面積的最大值；(3)當(dāng)與相似時，求的值.【答案】(1)(2)面積的最大值為7.5(3)或或或10【分析】（1）先解方程求出的長度，再由勾股定理即可求出的長度；（2）用時間分別表示，即可表示出的面積，最后求最大值即可；（3）用時間分別表示的長，再利用相似三角形列方程計算即可，需要注意分類討論.【詳解】（1）解方程得或∵，分別是一元二次方程的兩個根，∴，，∵矩形∴∴（2）由題意得：，∴，∴∴∴，∴∴面積的最大值為；（3）當(dāng)M在P右邊時，如圖所示此時即當(dāng)時∴∴解得當(dāng)時∴∴解得同理，當(dāng)M在P左邊時，，當(dāng)時當(dāng)時綜上，當(dāng)或或或10，與相似.【點睛】本題考查相似三角形的動點問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似表示出各個邊長，需要特別注意分類討論.4．如圖，在中，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果分別從同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，．【答案】或【分析】根據(jù)兩個三角形相似，則對應(yīng)邊的比等于相似比，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知，設(shè)經(jīng)過秒，，∴，，，當(dāng)，則，，，∴，解方程得，（）；當(dāng)，則，∴，解方程得，（），∴經(jīng)過或時，，故答案是：或．【點睛】本題主要考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，，是邊的中點，為邊上的一個動點，作，交射線于點．設(shè)，的面積為．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)如果以、、為頂點的三角形與相似，求的面積．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）過點作于．通過相似三角形得出的成比例線段可求出的長，再根據(jù)三角形的面積公式得出的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)且交射線于點求得的取值范圍；（2）若兩三角形相似，則，分別過作于于，根據(jù)是和的余角，因此．因此可得出，可根據(jù)的不同的表示方法，來得出含的等式，從而求出的值．也就可以求出三角形的面積．根據(jù)為銳角和鈍角的不同情況分類討論即可求解．．【詳解】（1）如圖1，過點作于．∴在中，，，，∴,∵為上動點可與重合，當(dāng)時，為的中點，，，此時，于無交點，設(shè)到的距離為，則當(dāng)時，，此時，結(jié)合圖形可知當(dāng)，于無交點，∴或∵∴∴，∴或（2）由題意知，故可以分兩種情況．①如圖2，當(dāng)為銳角時，由已知以為頂點的三角形與相似，又知，，所以．過點作于，過作．∴，∴．由又∵∴，解得∴②如圖3，當(dāng)∠BEF為鈍角時，同理可求得∴．∴綜上所述，的面積是或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式．注意（2）中都要分情況進(jìn)行討論：要分時鈍角還是銳角進(jìn)行分類討論，不要丟掉任何一種情況．6．如圖，矩形中，，為邊上的動點，當(dāng)與相似時，求長．【答案】或或【分析】根據(jù)和分兩類情況討論即可；【詳解】解：設(shè)，則當(dāng)時，解得：當(dāng)時，解得：或，綜上：或或【點睛】本題考查了相似三角形與動點問題；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類列方程是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，cm，動點P從點C出發(fā)沿著的方向以的速度向終點A運動，另一動點Q同時從點A出發(fā)沿著方向以的速度向終點C運動，P、Q兩點同時到達(dá)各自的終點，設(shè)運動時間為t（s）．的面積為．(1)求的長；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)當(dāng)t為多少秒時，以P、C、Q為頂點的三角形和相似？【答案】(1)cm；(2)；(3)時，以P、C、Q為頂點的三角形和相似．【分析】（1）根據(jù)P、Q兩點同時到達(dá)各自的終點知，，設(shè)cm，則cm，利用勾股定理列方程即可得出答案；（2）分或兩種情形，分別表示出S與t的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)時，點P在上，分或兩種情形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案，當(dāng)時，點P在上，只有時，則，通過驗證發(fā)現(xiàn)不存在．【詳解】（1）解：根據(jù)P、Q兩點同時到達(dá)各自的終點知，，設(shè)cm，則cm，由勾股定理得，，∴，∴cm；（2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，作于點H，∴，∴，∵，∴，∴，∴，綜上：；（3）解：當(dāng)時，點P在上，當(dāng)時，∴，∴，解得；當(dāng)時，∴，∴，解得（舍去）；當(dāng)時，點P在上，則時，，∴，∴，解得，∴，∴，∴，故這種情形不成立，綜上：時，以P、C、Q為頂點的三角形和相似．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，化動為靜，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，點P從A出發(fā)，以的速度向B運動，同時點Q從C出發(fā)，以的速度向A運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為,(1)則；____(用含t的代數(shù)式表示)(2)求運動時間t的值為多少時，以、、為頂點的三角形與相似？【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)路程速度時間即可表示出的長度；（2）分兩種情況進(jìn)行討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，，∴，故答案為：，；（2）∵，為頂點的三角形與相似，∴或，∴或，∴或，∴或時，以、、為頂點的三角形與相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的動點問題，利用分類討論的思想解決問題是本題的關(guān)鍵．9．如圖1，在中，，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒，連接PQ．(1)若與相似，求t的值；(2)直接寫出是等腰三角形時t的值；(3)如圖2，連接AQ、CP，若，求t的值．【答案】(1)t的值為1或(2)是等腰三角形時t的值為：或或(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，分兩種情況：①，②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)將代入計算即可得；（2）分三種情況：①當(dāng)時，過P作，則，，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，進(jìn)而即可求解；②當(dāng)時，列出式子即可求解；③當(dāng)時，過Q作于G，則，通過，得到比例式進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)AQ，CP交于點N，過P作于點M，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．（1）解：∵，∴，由題意得：，分以下兩種情況討論：①當(dāng)時，，即，解得；②當(dāng)時，，即，解得，綜上，t的值為1或；（2）解：分三種情況：①當(dāng)時，如圖，過P作，則，，∵，，∴，∴，即，解得：；②當(dāng)時，即，解得：；③當(dāng)時，如圖，過Q作于G，則，，∵，∴，∴即，解得：；綜上所述：是等腰三角形時t的值為：或或；（3）解：如圖，設(shè)AQ，CP交于點N，過P作于點M，∵，∴，∴，∴，即，解得，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，即，解得，經(jīng)檢驗是該分式方程的解．【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．10．如圖1，在中，，點P為斜邊上一點，過點P作射線，分別交、于點D，E．(1)問題產(chǎn)生∶若P為中點，當(dāng)時，

；(2)問題延伸：在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的值是否會發(fā)生改變？如果不變，請證明；如果改變，請說明理由；(3)問題解決：如圖3，連接，若與相似，求的值．【答案】(1)(2)不變，證明見解析；(3)或【分析】（1）通過P為中點，，可以得到：，進(jìn)而得到是的中位線，利用中位線定理即可得解；（2）過點作，得到是的中位線，得到，證明，得到，即可得證；（3）當(dāng)，利用，得到點C、D、P、E共圓，得到，證明，利用相似比即可得解，當(dāng)時，可以得到點是的中點，即可得解．（1）解：∵∴，∵，∴，∵P為中點，∴，∴；（2）不變，理由如下：過點作，則，∵P為中點，∴；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴的值不變；（3）如圖2，連接，∵，∴，當(dāng)時，則，∵，∴點C、D、P、E共圓，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如圖3，當(dāng)時，則，∵，∴點C、D、P、E共圓，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．通過添加合適的輔助線證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．同時，本題考查了三角形的中位線定理，以及利用四點共圓證明角相等，是一道綜合題．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠PAQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．利用其對應(yīng)邊成比例解t；②當(dāng)∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB，利用其對應(yīng)邊成比例解得t．（2）過點Q作QE垂直AO于點E，利用QEBO證明△AEQ∽△AOB，從而得到，從而得出==，再利用三角形面積解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②當(dāng)∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴當(dāng)t為或時，△AQP與△AOB相似．（2）過點Q作QE⊥AO于點E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴當(dāng)t=2或3時，△APQ的面積為個平方單位．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識點，有一定的拔高難度，屬于難題．12．如圖，在矩形ABCD中，cm，cm，點E、F同時分別從D、B兩點出發(fā)，以1cm/s的速度沿DC、BA向終點C、A運動，點G、H分別為AE、CF的中點，設(shè)運動時間為t（s）．(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形．(2)填空：①當(dāng)t為______s時，四邊形EGFH是菱形；②當(dāng)t為______s時，四邊形EGFH是矩形．【答案】(1)見解析(2)①；②8或【分析】（1）證明△ADE≌△CBF，進(jìn)而易得GEHF，且GE=HF，所以四邊形EGFH是平行四邊形．（2）①四邊形EGFH是菱形，G是AE的中點，則GF=GE=GA=AE，得到∠AFE=90°，根據(jù)DE=AF，列方程求解；②四邊形EGFH是矩形，易得△ADE∽△EHC，則根據(jù)列方程求解即可．（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°∵AD=CB，∵點E、F同時分別從D、B兩點出發(fā)，以1cm/s的速度沿DC、BA向終點C、A運動，∴DE=BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∠DEA=∠EAF=∠CFB∵點G、H分別為AE、CF的中點，∴GEHF，且GE=HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形．（2）①連EF，∵四邊形EGFH是菱形，G是AE的中點．∴GF=GE=GA=AE，∴EF⊥AB，∴DE=AF，∴，∴t=．故答案為：．②∵四邊形EGFH是矩形，∴∠D=∠EHC=∠AEH=90°，∴∠AED+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°，∴∠AED=∠ECH，∴△ADE∽△EHC，∴，∴，解得：t1=8，t2=．故答案為：8或．【點睛】本題主要考查矩形、菱形、平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的綜合運用，第2小題根據(jù)結(jié)論逆向分析列出方程是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，點D，E分別為邊AB，AC的中點，連結(jié)DE，點P從點B出發(fā)，沿折線BD－DE－EA運動，到點A后立即停止．點P在BD上以cm/s的速度運動，在折線DE－EA上以1cm/s的速度運動．在點P的運動過程中，過點P作PQ⊥BC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，點M在線段BQ上．設(shè)點P的運動時間為t（s）．(1)當(dāng)點P在線段DE上時，求正方形PQMN的邊長．(2)當(dāng)點N落在邊AB上時，求t的值．(3)在點P的整個運動過程中，記正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，寫出相應(yīng)t的取值范圍．【答案】(1)2cm(2)4或(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得到DEBC，DE=BC=4cm，CE=AC=2cm，再證明四邊形PQCE是矩形得到PQ=CE即可求解；（2）分點N與點D重合和點N在線段AD上兩種情況，畫出對應(yīng)圖形，利用運動線段之間的數(shù)量關(guān)系求解t值即可；（2）分①當(dāng)0≤t≤2時；②當(dāng)2＜t≤4時；③當(dāng)4＜t≤6時；④當(dāng)6＜t≤時；⑤＜t≤8時5種情況，分別畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和運動線段之間的數(shù)量關(guān)系討論求解即可．（1）解：∵點D，E分別為邊AB，AC的中點，AC＝4cm，BC＝8cm，∴DEBC，DE=BC=4cm，AE=CE=AC=2cm，∵∠C＝90°，PQ⊥BC，點P在線段DE上，∴PQCE，∴四邊形PQCE是平行四邊形，又∠C＝90°，∴四邊形PQCE是矩形，∴PQ=CE=2cm，即正方形PQMN的邊長為2cm；（2）解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，∴AB==cm，則BD=cm，∵點P在BD上以cm/s的速度運動，∴點P在線段BD上的時間t=s，由題意，點N落在邊AB上時，分兩種情況：當(dāng)點N與點D重合時，點P在線段DE上，如圖1-1，則DP=PQ=2，∵在DE以1cm/s的速度運動，∴DP=t-2，即：2=t-2，∴t=2+2=4（s）；

當(dāng)點N在線段AD上時，點P在線段AE上，如圖1-2，∵點P在DE段的運動時間為4s，點P在EA上以1cm/s的速度運動，∴PE=t-2-4=t-6，∴PA=2-（t-6）=8-t，PC=t-6+2=t-4，∵PNCM，∴∠APN=∠ACB，又∠PAN=∠CAB，∴△PAN∽△CAB，∴即，解得：PN=16-2t，由PN=PC得：16-2t=t-4，解得：t=，綜上，當(dāng)點N落在邊AB上時，t的值為4或；（3）解：由題意，在點P的整個運動過程中，正方形PQMN與△ABC重疊部分有5種情況：①當(dāng)0≤t≤2時，如圖2-1，重疊部分為四邊形PQMK，∵PQAC，∴△BPQ∽△BAC，∴，即，∴PQ=t，BQ=2t，則MQ=PQ=t，BM=BQ-MQ=t，∵KMPQ，∴KM=PQ=t，∴；②當(dāng)2＜t≤4時，如圖2-2，重疊部分為五邊形PQMFD，∵DP=t-2，PQ=MQ=2，∴PE=CQ=DE-DP=4-（t-2）=6-t，∴BQ=BC-CQ=8-（6-t）=2+t，BM=BQ-MQ=t，∵M(jìn)FAC，∴△BFM∽△BAC，∴，即，∴FM=t，∴==；③當(dāng)4＜t≤6時，如圖2-3，重疊部分為正方形形PQMN，則；④當(dāng)6＜t≤時，如圖2-4，重疊部分為正方形PQMN，∵PE=t-2-4=t-6，∴PC=t-6+2=t-4，∴；⑤＜t≤8時，如圖2-5，重疊部分為四邊形PQMFG，∵PE=t-6，∴PA=2-（t-6）=8-t，PC=MC=t-4，∵PGBC，∴△PAG∽△CAB，∴即，解得：PG=16-2t，∵BM=BC-MC=8-（t-4）=12-t，∴FM=BM=6-t，∴==；綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為．【點睛】本題是運動型綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、函數(shù)等知識，綜合型強(qiáng)，運動過程復(fù)雜，計算量大，對同學(xué)們的解題能力要求很高，屬于中考壓軸題．讀懂題意，弄清動點和動線的運動過程是解題關(guān)鍵，注意第（2）、（3）問中涉及多種情況，需要進(jìn)行分類討論，避免遺漏失分．14．如圖，矩形中，，，動點從點出發(fā)，沿邊以的速度向點勻速移動，動點從點出發(fā)，沿邊以的速度向點勻速移動，一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也停止運動，點，同時出發(fā)，設(shè)運動時間為．(1)當(dāng)為何值時，的面積為？(2)為何值時，以A，，為頂點的三角形與相似．【答案】(1)(2)或【分析】由題意知，，，再根據(jù)三角形的面積公式即可列出方程，解方程可得答案；由，則當(dāng)或時，以，，為頂點的三角形與相似，代入計算即可．（1）由題意知，，，的面積為，，解得或，，時，的面積為；（2），當(dāng)或時，以，，為頂點的三角形與相似，或，解得或，或時，以A，，為頂點的三角形與相似．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知識，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵，同時注意分類討論思想的運用．15．閱讀與思考如圖是兩位同學(xué)對一道習(xí)題的交流，請認(rèn)真閱讀下列對話并完成相應(yīng)的任務(wù)．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)＝，解答見解析(2)沒有進(jìn)行分類討論，見解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得＝，再進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)題意可知另一個錯誤是沒有進(jìn)行分類討論，進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)題意可知有兩種情況分別是和，然后列出方程進(jìn)行計算即可．（1）由題意得∵∴正確比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一個錯誤是沒有進(jìn)行分類討論，如圖，過點D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，則△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，綜合以上可得：DE為或．（3）由題意可知，有兩種情況，第一種：當(dāng)時，設(shè)AM=t，則AN=6-2t，則由得，解得：t=；第二種：當(dāng)時，則由，，解得：t=，綜上所述，當(dāng)t＝或t＝時以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是要學(xué)會分類討論．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點P從點O開始沿OA向點A以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BO向點O以1厘米/秒的速度移動．當(dāng)一點運動到終點時，另一點也隨之停止．如果P、Q同時出發(fā)，用t(秒)表示移動的時間(0＜t＜6)，求當(dāng)POQ與AOB相似時t的值．【答案】4或2【分析】分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分類求解即可．【詳解】解:由題意，OP=t，OQ=6-t，有兩種情況：①若△POQ∽△AOB，則有

即，解得t＝4．②若△POQ∽△BOA，則有即，解得t＝2．∴當(dāng)t＝4或t＝2時，△POQ與△AOB相似．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，熟練掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答的關(guān)鍵．17．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，動點P從點C出發(fā)沿線段CB以2cm/s的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，當(dāng)其中一個動點停止運動時另一個動點也停止運動，設(shè)運動時間為t（單位：s），以點Q為圓心，BQ長為半徑的⊙Q與射線BA、線段BC分別交于點D，E，連接DP．(1)