2022-2023學(xué)年江西省臨川一中上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷及答案

臨川一中2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期中考試

高三年級(jí)數(shù)學(xué)理科試卷

卷面滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘

一、單選題（每題5分，共60分）

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},8={4,7,8},貝！J(CuQuB=()

A.{7,8}B.{1,2,6}C.{1,2,4,6,7,8}D.{1,2,6,7,8)

2.已知i是虛數(shù)單位，若2+i=z（l-i）,貝||二對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知命題p：“三”>0,有。+1<2成立"，則命題p的否定為（）

a

A.Va<0,有。+卜2成立B.Va>0,有a+_L云2成立

aa

C.3?<0,有“+1云2成立D.3a>0,有“+上2成立

aa

4.“嘉函數(shù)〃x）=（療+機(jī)7.”在（0,用上為增函數(shù)，，是，，函數(shù)g（x）=2'-/.2T為奇函數(shù),，的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)。、b、c、d,下列命題中，真命題為（）

①若a>b,c>d,則a—c>8—d；②若a>力>0,c><Z>0,則ac>8d；

④若a>Z?>0,則1>1.

③若a>5>0,則%>3力；

Vw

A.①②B.②③C.①④D.①③

6.已知曲線y=4不在點(diǎn)（1,4）處的切線的傾斜角為則J瑞金用()

A.*B.gC.2^2D.1

22

7.我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)

節(jié)氣的唇長(zhǎng)損益相同（遇是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，唇長(zhǎng)即為所測(cè)量影子

的長(zhǎng)度）.二十四節(jié)氣及號(hào)長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣遇長(zhǎng)減少或增加的量相

同，周而復(fù)始.已知每年冬至的唇長(zhǎng)為一丈三尺五寸，夏至的辱長(zhǎng)為一尺五寸

（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說(shuō)法不正確的是（）

A.相鄰兩個(gè)節(jié)氣唇長(zhǎng)減少或增加的量為十寸

B.秋分的唇長(zhǎng)為75寸

C.立秋的唇長(zhǎng)比立春的號(hào)長(zhǎng)長(zhǎng)

D.立冬的唇長(zhǎng)為一丈五寸

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

8.在AABC中，A,B,C分別為“8C三邊。、b、c所對(duì)的角.若cos8+百sin8=2且滿足關(guān)系式

cosBcosC2asinB…一川3e士々位/、

+=,則nil“8C外接圓直徑為()

bc3c

B.2C.4D?3j2

9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足〃2-x)=/(x+2),當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/(%)=1各，若在區(qū)間xw[0[0]內(nèi)，函數(shù)

g(x)=/(x)-〃aT,(加>0)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

「e-1e-l\e5-1e-1e-1'e-l~|

B.(°F)C.(——,——)D.0,——,

A.[，/I10J

l106116

m數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣’我們稱(chēng)離心率其中由年)的橢圓為黃金橢圓’現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓

y2

方程為+〃=1,(。>〃>0),若以原點(diǎn)O為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作。。，P為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn),

a

h2

過(guò)尸作。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,直線A8與X,y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，則()

11

A._B.69C.-coD.

CDCD

11.已知定義在(一2,2)上的函數(shù)/(X)導(dǎo)函數(shù)為/'㈤,若〃x)+e4"(-％)=0,/⑴=e2且當(dāng)x>0時(shí),

Z'(x)>2/(x),則不等式e2x/(2-x)<e4的解集為()

A.(l,4)B.(-2,1)C.(0,4)D.(0,1)

12.若函數(shù)/(x)=*+a(尤-1)+人在區(qū)間J,1]上有零點(diǎn)，貝!14+及的最小值為

2

4-e1

A___B.e2C.—D.e

52

二、填空題(每題5分，共20分)

13.已知向量”，方滿足a=(3,4),a-h=6,b"=7則同=.

14.已知〃x)為偶函數(shù)且。(x)dr=4,貝！|『,(2/。)+屁閨粒等于.

15.如右圖，將函數(shù)/(x)=A8s(儂+0(4>0,。0,-次"0)的圖象上所有點(diǎn)向右平移

所示的函數(shù)y=g(x)的圖象，若〃o)+/1?「a+仇(a,b〉0),則L+L最小值為

I)ab

16.已知菱形ABC。的各邊長(zhǎng)為2,4>=60.如圖所示，將AACO沿AC折起，

使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)S的位置，連接SB,得到三棱錐S-ABC,此時(shí)SB=3.若E是

線段SA的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在三棱錐S-ABC的外接球上運(yùn)動(dòng),且始終保持EF1AC

則點(diǎn)F的軌跡的面積為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、解答題

4w+,4

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和工=亍一

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若“=凡+log2”“，求數(shù)列｛a｝的前”項(xiàng)和7；.

18.（12分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊AABC中，D,E分別為邊AC,AB的中點(diǎn).將^ADE沿QE折

起，使得ABLAD,得到四棱錐A—BCDE,連接BD,CE,且B。與CE交于點(diǎn)H.

⑴證明：AHYBDt

⑵設(shè)點(diǎn)8到平面AED的距離為凡,點(diǎn)E到平面AB。的距離為

%

匕求丁的值.

?2

19.（12分）甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿紀(jì)念幣的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對(duì)一題后，

乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，乙同樣也是答兩道題.每答對(duì)一道題得10枚紀(jì)念幣.已知甲每題答對(duì)的概率均為P,乙第一

2115

題答對(duì)的概率為々，第二題答對(duì)的概率為百?已知乙有機(jī)會(huì)答題的概率為京.

32lo

⑴求〃；

⑵求甲，乙共同拿到紀(jì)念幣數(shù)量X的分布列及期望.

20.（12分）已知雙曲線C與雙曲線x2_）'2=有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)A（22,-1）.

—一1

⑴求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；123

⑵已知點(diǎn)。（2,0）,E,尸是雙曲線C上異于。的兩個(gè)不同點(diǎn)，且1瓦+而卜［5后-而證明:直線EF過(guò)定點(diǎn)，并

求出定點(diǎn)坐標(biāo).

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e，—or,dx)=/(x)+sin2x,(awR),其中e。2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴討論函數(shù).的單調(diào)性，

（2）若aeN*,當(dāng)xNO時(shí)，々x）N0恒成立時(shí)，求。的最大值.（參考數(shù)據(jù)：e3?20.1）

四.選做題（共10分，請(qǐng)考生在22,23題任選一題作答，如果多選，則按所做第一題記分）

22.（10分）以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，方段胃弧圍手的理

邊三角形被稱(chēng)為勒洛三角形，如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，曲邊三角形。尸。為勒洛三角形，且「上,-：1,Q（\2n

IJI

以極點(diǎn)。為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,曲線G的參Q

xWt

數(shù)方程為｛21a為參數(shù)).

y=-1+.1

2

⑴求麗所在圓的直角坐標(biāo)方程;

⑵已知點(diǎn)"的直角坐標(biāo)為（0,-1）,曲線G和圓G相交于4,8兩點(diǎn)，求

\MA\\MB\

23.(10分)已知函數(shù)/(x)=|x+l[+卜]

⑴設(shè)/（x）的最小值為m,求加；

⑵若正數(shù)a,b,c滿足。4？=根，證明：a+」+。2I+?

beacababc

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

臨川一中2022-2023學(xué)年度高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷答案(理)

一、單選題

1【答案】c

【詳解】為4={1,2,6,7,8},貝!j(aA)U8={l,2,4,6,7,8}.

故選：C

2【答案】A

【詳解】解：由2+i=z(l-i),得=Pi,

1-i(l-i)(l+i)22

3【答案】B

【詳解】解：根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題即可得命題p：“加>0,有“+^2成立”的否定是“Vn>0,

a

有。+?云2成立”，

a

故選：B

4【答案】A

【詳解】要使函數(shù)/(x)=(W+機(jī)-1)/是幕函數(shù)，且在(0,+8)上為增函數(shù)，

貝！1=L解得：m=l,當(dāng)機(jī)=1時(shí)，g(x)=2,一2一"xeR,

［加>0

則8(-力=2-工-2'=-(2，-27)=-4力所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，即充分性成立；

“函數(shù)g(x)=2L/27為奇函數(shù)”，

則g(x)=~S(~X)>即2*-zn2-2T=-(2~x-m2-2*)=nr-2X-2-,

解得：m=±},故必要性不成立，

故選：A.

5【答案】B

L2

【詳解】解：因?yàn)閥=4._x,則

則曲線y=4花在點(diǎn)(1,4)處的切線的斜率為左="1=2,又傾斜角為g

試卷第I頁(yè)，共10頁(yè)

1+sinM+cosa_____l+sir)QH~cosa_______l+sina+cosa

所以叫=2則「詼?zhǔn)植欢，

32。c.aa1a

2cos—+2sin—?cos—1+tan—[

222-------='.故選：B.

aao

2sin2-+2sin--cos—tanz9-Ftan—乙

22222

6【答案】B

【詳解】對(duì)于①，b)+(d-c),無(wú)法判斷是否大于零,

當(dāng)。=18=0,。=0,1=—2時(shí)，貝!]。一。<匕一d,故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，根據(jù)不等式性質(zhì)，同向同正可乘性，可得②正確;

對(duì)于③，根據(jù)不等式性質(zhì)，正向可開(kāi)方性，可得③正確；

22

11b-a(b-a｝(b+a)22(b-a](b+a]

對(duì)于④，-=______=，a>b>0f-b-a<0,b+a>0,ab>。，貝!J<0,

a2b242匕2〃282

故,可得④錯(cuò)誤.

故選：B.

7【答案】C

【分析】由題意可知夏至到冬至的辱長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，其中。尸15寸，?3=135寸，公差為d寸，可求出d,

利用等差數(shù)列知識(shí)即可判斷各選項(xiàng).

【詳解】由題意可知夏至到冬至的號(hào)長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列｛為｝,其中q=15寸，外=135寸，公差為d寸，則

135=15+12J,

解得d=10(寸)，

同理可知由冬至到夏至的號(hào)長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列｛"｝,首項(xiàng)"=135,末項(xiàng)仇3=15,公差d=-10(單位都為寸).

故選項(xiàng)A正確;

春分的唇長(zhǎng)為%，:.&=瓦+6，1=135-60=75

,秋分的唇長(zhǎng)為％,，a7=ai+6d=15+60=75,所以B正確;

???立冬的唇長(zhǎng)為為o，.??%()=%+94=15+90=105,即立冬的薯長(zhǎng)為一丈五寸,D正確;

???立春的唇長(zhǎng)，立秋的號(hào)長(zhǎng)分別為〃，4,

...%=。|+3</=15+30=45,d=A+3d=135-30=105,

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

；上4＞他9故錯(cuò)C誤.

8【答案】B

【分析】由cosB+旃nB=2,推導(dǎo)出8=60。，由竺￡+竺吧嗎推導(dǎo)出以

bc3c

【詳解】cos8+&sin8=2,

2sin(B+30°)=2,可得sin(3+30°)=1,又30VB+30<210

B=60,

cosBcosC2asin3「2tzZ?sinB

+=,ccosn+/?cosC=,

bc3c3

sinCeosB+sinBcosC=sinAsinB,sin(C+5)="sinAsin8,

33

,3131「

2bb==——=3

1=sinB,2sinB2/3.

3

2

9【答案】D

【詳解】由題，令x+2替換x,貝！]/[2-(尤+2)]=/(T)=/[(X+2)+2]=/卜+4),

又/(x)是偶函數(shù)，所以/(-x)=/(x),則/(x+4)="x),所以/(x)是周期函數(shù)，7=4,

?【答案】A

【詳解】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓,將兩圓方程：，+,2=。2與一瓶+產(chǎn)一%y=o相減，得

lAB.xx0y%=及，解得MC_,o)N(0,q，因?yàn)?/p>

+%%

b2a2x2cryb2x2+a2y2

22a2b221

ba___+______oDo_Uoo__

i____

42444b2,所以

"2bb&bbbb5/5-1co

~2-2

X。%

1【答案】A

解：令g(x)=Zill則由/(x)+e4"(—x)=0得g(x)+g(-x)=0,

g(x)為奇函數(shù)

?于(x)—/(x),

又g(x)=------------，，當(dāng)x〉0時(shí)，g(x)〉0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增

e2v

4(2-X)2<2x<2

又g(i)=/(D=1,^'/(2-x)<e=>^<1=>g(2—x)<g(I)nf--j<x<4

e-zj2-x<l

選A

試卷第3頁(yè)，共10頁(yè)

2【答案】A

【分析】

設(shè)，為函數(shù)〃x)的零點(diǎn)，則d+a(f—1)+6=0,轉(zhuǎn)化為S㈤在直線什―l)x+y+d=O

上，根據(jù)/+/表示點(diǎn)(。泊)到原點(diǎn)的距離的平方，得到標(biāo)+,構(gòu)造新函

(r-i)2+r

數(shù)g(t)=?_；；+F,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解

K詳解】

由題意，函數(shù)+a(x-l)+6,

設(shè)/為函數(shù)〃x)在［Q1］上的零點(diǎn)，則d+a?-l)+b=O,

即(7-l)a+6+d=0,即點(diǎn)(a.b)在麾戔(，-1)工+'+"=0上,

又由1+b-表示點(diǎn)(。泊)到原點(diǎn)的距離的平方,

則依+，＞=_LJ=.,即〃+〃2—T

令g(')=K呆不

則g'?)=

因?yàn)?'>0,，一且+3>0,所以g'(7)>0.

14e

g⑺在［_,1］單調(diào)遞增.g⑺最小值為_(kāi).

25

二、填空題

13.【答案】6

14.【答案】16

【答案】1

25

16.【答案】—71

12

【詳解】取AC中點(diǎn)M,則ACIBM.ACA.SM,BM(}SM=M,

ACJ_平面SMB,SM=MB各，又SB=3,

；2BM=ZMSB=30,

3

貝(J三棱錐S—ABC的高/?=sin45MSB=；

2

三棱錐S-ABC體積為yJx%2*3;叵；

3422

作￡771.4。于“，設(shè)點(diǎn)尸軌跡所在平面為明

則平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)“且ACLa,

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

設(shè)三棱錐S-ABC外接球的球心為。,ASAC,ABAC的中心分別為。,。2,

易知平面弘C,。?？谄矫鍮AC,且四點(diǎn)共面,

由題可得NOM0=ZO1MO,=60,OtM=-SM=—>

212133

2

解RtaO。"，得00產(chǎn)、JqM=l,X(?IS=15A/=^-

易知。到平面a的距離d=M4=l,

2

故平面礴外接球所得截面圓的半徑為r〒/仁廬二^--=—

,V346

二截面圓的面積為生乃

12

三、解答題

17.【答案】(1)%=4"(〃wN*>

4"”一4、

(2)Tn=---+〃斗〃.

4/,+|4424

【詳解】⑴因?yàn)镾“=3-逅N)；當(dāng)〃=1時(shí)，％/=3-3=4,.............................1

當(dāng)〃22時(shí)，…STI」'—、"露-4"='J,

................................3

(33八33)33

因?yàn)閍=4也滿足a=4"，.....................................................................................................................4

1n

綜上，a,=4"(neN,)；.......................................................................................................................5

⑵由題可知如“川°g4"+2〃，..........................................................................................6

所以〈=(4+4至4?…+4)'+2(1+2+3+…+〃)8

4(l-4n)(1+〃)"4"i-4，

=+2x*=+層+〃

1-423(求到一組得2分)..............................12

試卷第5頁(yè)，共10頁(yè)

18.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）芷

3

【詳解】（1）證明：在圖1中，?[ABC為等邊三角形，且。為邊AC的中點(diǎn)，..BDLAC,...1分

在△BCD中，BDLCD,BC=2,8=1,r.B"3，

QD、E分別為邊AC、4B的中點(diǎn)，:.ED//BC..............2分

r\i,jED1I3

在圖2中，有/.DH=BD=j..............3分

HBBC~233

在Rt/iBAO中,BD=3,A。=1，

DBDAr-

在△BAD和^AHD中，;==3,ZBDA=4ADH,

DADH“

:.^BAD^^AHD.............................................4分

."4"。=NBA。=90。，即A/7_L3O；...........................6分

（2）?^H-AED=^E-ABD,

^^h=lS.,則：=.......................

A2h8分

JJ%即

?.?“ED是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，S=Z...........

A￡D9分

在RtdB。中，BD=J~,AD=1,則43=7

10分

則從二小............................................12分

為3

19.【答,案】（1）。=3：；（2）分布列見(jiàn)解析，￡（X）4=15_

416

【詳解】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對(duì)1題后，乙才有機(jī)會(huì)答題.

所以乙有機(jī)會(huì)答題的概率為P=l-（l-p）2=—

16

3

解得P=;...........................................3

4

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

(2)X的可能取值為0,10,20,30,40；...............................4

31111

P(X=iq=CXXXX

443216

3仔」J12113

p(X=30)=x+C1—xxx=

4K3232)12(4J143232

P(X=40)=(jx；x；=]：...................................9

所以X的分布列為：

X010203040

119133

P

1616323216

...........................................................................................................................10

i5341?)

E(X)=0xl+10xJ_+20x^+30x+4Qx=-.....................12

16163232記記

20.【答案】【答案】⑴'-y2=l

4

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：因?yàn)殡p曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，

設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為十=4/=2

代入點(diǎn)A坐標(biāo)，解得正4

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V：-/=1.....................................................4

4

(2)(i)當(dāng)直線EH斜率存在時(shí)，設(shè)石￡:七=依+“，_

設(shè)￡：(為,%)尸(七,％),聯(lián)立丫=履+機(jī)與雙曲線;-y2=1,

化簡(jiǎn)得(4%2-1)%2+Sknvc+4(療+])=0,

A=(8bn)2-4(4w2+4)(4^2-1)>0,gp4F-/n2-l<0,....................6

試卷第7頁(yè)，共10頁(yè)

I8km

內(nèi)+旺——z——

4P-1

貝！1有1_-*，〃為r，

XX■—

i,24^r

又ya=麻+1"?履K2mkx\fkmx-^^-v/n2,

因?yàn)閬?而=而—而，所以QE?。尸=（M—2）（x2—2）+"以=0,..........8

所以（攵、］.bA;1女，一2?工*西+牡-4=七,

所以（溫）噌*：1>+4=。,

化簡(jiǎn)，得3/w24-16km+20k2=0,................................................9

即（3加+10%）（帆+2氏）=0,

所以m=-2k,m=-k,

'23

且均滿足4女2—TH2-1<0>

當(dāng)g=-24時(shí)，直線/的方程為丁=%（>2）,直線過(guò)定點(diǎn)（2,0）,與已知矛盾，

當(dāng)然=」；4時(shí)，直線/的方程為、=《》-過(guò)定色10

（ii）當(dāng)直線EF斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)直線OE：y=x-2,

與雙曲線C方程聯(lián)立解得xE=xF=學(xué)，此時(shí)EF也過(guò)點(diǎn)M（J，。1，.

綜上，直線EF過(guò)定點(diǎn)M（：,0）12

21【答案】（1）由/（x）=ex—內(nèi)可得/'（X）=/'-。..............1

當(dāng)avo時(shí)，/（X）在（0,+8）單調(diào)遞增；.............................2

當(dāng)4>0時(shí)，/（X）在（-8,Ina）單調(diào)遞減；在（lna,+8）單調(diào)遞增.....4

綜上所述，當(dāng)心0時(shí)，/（X）在（0,+8）單調(diào)遞增；當(dāng)〃>0時(shí)，/（X）在（-oo』na）單調(diào)遞減；在（lna,+oo）單

調(diào)遞增..........................................................5

ex+sin2x

⑵當(dāng)x=。時(shí)/（x）W°成立，當(dāng)x>0時(shí)，或x）2°恒成立即”-x,...................6

/、eA+sin2A，/、(ev+sin2x\x-(er+sin2x]eA(x-1)+xsin2x-sin2x

設(shè)g(、)=x,則"'》片，令

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

0cxv冗

〃(x)=e，(x-l)+xsin2x-sin?x則/?'(x)=x(e*+2cos2x)設(shè)p(x)=e，+2cos2r當(dāng)父時(shí)

e、>l,2cos2r>-1,故P(x)>。上-3時(shí),e*>2,2cos2xN-2,故p(x)>0,牡有p(x)>0,故"(x)>。

/、/z(l)=sin2-sin2l=sinl-cosl(2-tanl)>sinl-cos/2-&>

/?(x)017ItanI

故為增函數(shù).又13>，因?yàn)?/p>

⑶4*

Ie"=鏟>2.73>16=24"「一<2^-lV1k3^1O<o

I)，故e">2,所以UJ42UJ424，故存

(乃］

IjI〃(如)=°XG(O,xo)g<x)<0g(x)XG(XO,-K?)g<x)>0

在唯一零點(diǎn)〔J使得，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)