高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第2節(jié) 常用邏輯用語(yǔ)

第2節(jié)常用邏輯用語(yǔ)

考試要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義2理解判定定理與充分

條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的

含義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

I知識(shí)梳理

1.充分條件'必要條件與充要條件的概念

若p=q,則〃是〃的充分條件,q是D的必要條件

〃是。的充分不必要條件且*p

〃是4的必要不充分條件p*q且qnp

p是q的充要條件p0q

〃是4的既不充分也不必要條件p中q且滬p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并

用符號(hào)”上”表示.

⑵存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,

并用符號(hào)“3”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)X,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡(jiǎn)記YxGM,〃(x)Al,p(x)

否定3x^M,㈱p(x)

常用結(jié)論

1.區(qū)別A是8的充分不必要條件(A=B且8斗A),與A的充分不必要條件是B(8=A

且A冷B)兩者的不同.

2.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)4={期＞(%)},B={x\q(x)},

(1)若AUB,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

(2)若AB,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.

（3）若A=8,則p是q的充要條件.

3.p是q的充分不必要條件，等價(jià)于㈱q是㈱p的充分不必要條件.

4.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

5.對(duì)省略了全稱量詞的命題否定時(shí)，要對(duì)原命題先加上全稱量詞再對(duì)其否定.

6.命題p和㈱p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可判斷此命題

的否定的真假.

|［診斷自測(cè)

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”）

（1）至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為兀是全稱量詞命題.（）

（2）寫(xiě)全稱量詞命題的否定時(shí)，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.（）

（3）當(dāng)〃是q的充分條件時(shí)，q是〃的必要條件.（）

（4）若已知p：x＞l和q：則〃是q的充分不必要條件.（）

答案（1）X（2）V（3）V（4）V

解析（1）錯(cuò)誤，至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為n是存在量詞命題.

2.（易錯(cuò)題）設(shè)x＞0,yGR,則“x＞y”是的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由推不出無(wú)＞僅|,由尤＞|y|能推出所以“龍＞丁”是"%＞僅|"的

必要不充分條件.

3.（易錯(cuò)題）命題“VxdR,*GN*,使得〃Wx2”的否定是（）

A.VxGR,3?GN*,使得〃

B.VxER,V〃￡N*,使得”＞幺

C.3%eR,3/?eN*,使得〃

D.BxGR,使得〃

答案D

解析含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”，可知選D.

4.（多選X2021?山東新高考模擬）已知兩條直線/,〃?及三個(gè)平面a,%y,則a，/?

的充分條件是（）

A./ca,/J_￡B./±a,〃?_）_￡,l±m(xù)

C.aJLy,J3//yD./ca,muB,l±m(xù)

答案ABC

解析由面面垂直的判定可以判斷A,B,C符合題意；對(duì)于D,lua,加u尸，

l±m(xù),也可以得到a〃6，D不符合題意.故選ABC.

5.（2021?浙江卷）已知非零向量a,b,c,貝U“ac=bc”是“a=b”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由a-c="c可得（a—）>c=0,所以（a—?_Lc或@=b,所以‘'GC="C"是

“a=b”的必要不充分條件.故選B.

6.（易錯(cuò)題）命題“VxSR,ax1-ax+\>0,,為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案［0,4）

解析①當(dāng)a=0時(shí)，1>0恒成立，，。=0滿足條件,

?！?,

②當(dāng)“W0時(shí),解得0VaV4.

/=/—4QV0,

綜上，0WaV4.

口考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一充分、必要條件的判定

例1⑴已知p：VxGR,znx2—2/nx+1>0,q：指數(shù)函數(shù)./（x）="（〃2>0,且加Wl）

為減函數(shù)，則p是夕的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析當(dāng)機(jī)=0時(shí)，1>0成立；

當(dāng)機(jī)wo時(shí)，可得彳?解得ovmvi.

lzf=4m—4m<0,

由〃得出P={m|OWmVl},由4得出。={〃力0<機(jī)<1},QP,故p是q的必

要不充分條件.

(2)(2021?全國(guó)甲卷)等比數(shù)列{斯}的公比為外前〃項(xiàng)和為S”.設(shè)甲：4>0,乙:⑸}

是遞增數(shù)列，貝女)

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

解析當(dāng)0<0,9>1時(shí)，斯=00門(mén)〈0,此時(shí)數(shù)列{SJ遞減，所以甲不是乙的

充分條件.

當(dāng)數(shù)列{￡}遞增時(shí)，有*+1—5“=m+1=0/>0,

若卬>0,則/>O(〃dN*),即q>0;

若的<0,則q"VO(〃WN*),不存在，所以甲是乙的必要條件.

綜上，甲是乙的必要不充分條件.

感悟提升充分條件、必要條件的兩種判定方法：

(1)定義法：根據(jù)p=q,qop進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉

及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題.

訓(xùn)練1(1)(2021?廣州一模)a>b+l是2“>2"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)方+1時(shí)，得。>兒則。>匕+1是2">2"的充分條件；取a=2,b

=1,滿足2。>2〃，不能推出故。>。+1是2“>28的充分不必要條件.

故選A.

(2)(2020?北京卷)已知a,夕6R,則“存在Z6Z使得a=E+(—1)%”是“sina

=sin夕'的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析①若k為偶數(shù),設(shè)k=2n(n^Z),則a=2〃jc+夕,有sina=sin(2〃兀+夕)=

sin/；若人為奇數(shù)，設(shè)％=2〃+1(〃￡Z),則a=(2〃+1)兀一夕，有sina=sin[(2〃+

l)7t—

=sin(2?7t+Jr-/?)=sin(n-/7)=sin尸.

充分性成立.

②若sina=sin則a=2kZ8或a=2kn+it—0(kGZ),

即a=2E+4或a=(2Z+l)兀一伙ZGZ),

故a=E+(—1)飲AGZ).

必要性成立.

故選C.

考點(diǎn)二充分、必要條件的應(yīng)用

例2已知集合A={x*—8x—20W0},非空集合8={x|l—加}.若xCA

是xGB的必要條件，求機(jī)的取值范圍.

解由x2—8x—20W0,得一2WxW10,

，A={xL2?0}.

由XGA是九G8的必要條件，知BUA.

1—mW1+"2,

l—m^—2,.?.0WmW3.

{110,

.?.當(dāng)時(shí)，xGA是xWB的必要條件，

即所求機(jī)的取值范圍是[0,3].

感悟提升充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)

需注意

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之

間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

訓(xùn)練2(1)(多選)使成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.O<x<lB.0<x<2

C.x<2D.0<xW2

答案AB

解析由如1得OV尤W2,

依題意由選項(xiàng)組成的集合是(0,2]的真子集，故選AB.

(2)設(shè)p：ln(2x—1)WO,q：(x—a)[x—(a+l)]WO,若q是〃的必要不充分條件，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案；

解析〃對(duì)應(yīng)的集合A={x|y=ln(2x-1)<0}=卜對(duì)應(yīng)的集合8={x](x

—a)[x—(〃+1)]<0}=1}.

由夕是〃的必要而不充分條件，知AB.

所以awg且a+121,因此OWaW/

考

點(diǎn)-

-全稱量詞與存在量詞

角度1含有量詞的命題的否定

例3(1)(2022?武漢模擬)命題“Vx￡[O,+8),i+xNO”的否定是()

A.VxG(—8,0),%3+x<0

B.VxG(-oo,o),"BO

C.3xe[0,4-0°),/+x<0

D.Bx^[Q,+0°),1?+x20

答案C

解析含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”，所以，命題“Vx

G[0,+°°),V十%20”的否定是“太￡[0,+°°),/+xVO”，故選C.

(2)已知命題p：“mxdR,e*—x-lWO”，則㈱〃為()

A.SxeR,ex-x—120

B.BxGR,eA-x-1>0

C.VxCR,ev—x—1>0

D.VxGR,ev-x-120

答案C

解析根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定關(guān)系，可得㈱〃為“VxWR,e，

一九一1>0”,故選C.

角度2命題的真假判斷及應(yīng)用

例4(1)(多選X2022.德州模擬)下列四個(gè)命題中為真命題的是()

A.3.re(0,+8)，

B.3xG(0,1),log-x>log-x

23

X

|>log；x

C.v%e(o,+8),g

D.v%e

答案BD

解析對(duì)于A,當(dāng)xd(0,+8)時(shí)，總有傳)》(3成立，故A是假命題;

對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，有l(wèi)=log；g=log；g>log；g成立，故B是真命題；

對(duì)于C,當(dāng)OVxvg時(shí)，log?>1>出，故C是假命題；

對(duì)于D,VxW(0,<l<log|x,故D是真命題.

(2)已知=g(x)=G)一根，若VX1W[O,3],3X2e[l,2],使得

/1)2g(X2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

一1

-

答

案+

?

一4

解析當(dāng)XW[O,引時(shí)，貝X)min=/(0)=0,

當(dāng)％e[l,2]時(shí)，gQ：)min=g(2)=a一機(jī)，

由?x)min?g(x)min,得02]一〃?，

所以tn2：.

感悟提升(1)含量詞命題的否定，一是要改寫(xiě)量詞，二是要否定結(jié)論.

(2)判定全稱量詞命題“VxCM,p(x)”是真命題，需栗對(duì)集合M中的每一個(gè)元素

X,證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“"GM,p(?”是真命題，只要在限定

集合內(nèi)找到一■個(gè)X,使p(x)成立即可.

(3)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)

的范圍；二是利用等價(jià)命題，即p與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成㈱p的真假求參數(shù)的范

圍.

訓(xùn)練3(1)下列命題為假命題的是()

A.VxGR,2，T>0

B.VxGN*,(x—1)2>0

C.lxeR,1gX<1

D.BxGR,tanx=2

答案B

解析當(dāng)x^N*時(shí)，x-IGN,可得(x—1)220,當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；

易知A,C,D正確，故選B.

⑵(2022?福州質(zhì)檢)已知命題“mxGR,mx2-x+l<0^,是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是.

答

案

+8

解析若命題u3x^R,m2—x+1VO”是假命題，則“Vx￡R,如金一元+120”

/n>0,解得機(jī)斗

為真命題，所以<

/=1—4/nWO,

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

|A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.命題p：Vx￡R,f+固叫+1>4,則㈱?為()

A.4丫eR,x2+^Jx2+1<4

B.Bx^R,f+.f+1W4

C.VxdR,f+W?+1W4

D.V/R,f+</+1>4

答案A

解析由于全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故㈱pTx￡R,/+正不I<4.

2.(多選X2021.重慶質(zhì)檢)下列命題中是真命題的有()

A.B.vGR,log2%=0

B.BxGR,cosx=1

C.VxCR,f>0

D.VxGR,2v>0

答案ABD

解析因?yàn)閘og21=0,cosO=l,所以A,B均為真命題；02=0,C為假命題；

2A>0,D為真命題.

3.已知加，〃是平面a內(nèi)的兩條相交直線，旦直線/，〃，則“/，機(jī)”是“/La”

的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)/_!_機(jī)時(shí)，機(jī)，〃是平面a內(nèi)的兩條相交直線，又/_1_及，根據(jù)線面垂直的

判定定理，可得La.當(dāng)Ua時(shí)，因?yàn)榧觰a,所以/_Lm.綜上，“/L"”是—"

的充要條件.

4.已知命題03xG(0,1),砂一。20,若㈱p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.a>1B.a2eC.a21D.?>e

答案B

解析?.您P：VxG(0,1),e'—aVO為真命題，

5.（2021?北京卷）設(shè)函數(shù)》）的定義域?yàn)椋?,1］,則“函數(shù)段）在［0,1］上單調(diào)遞增”

是“函數(shù)_/u）在［0,1］上的最大值為.大1）”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

2

解析前推后，一定成立；后推前，不一定成立.如函數(shù).在［0,1］上

的最大值為火1）,但犬X）在［o,總上單調(diào)遞減，在'，1］上單調(diào)遞增，故選A.

6.（2022.湖南雅禮中學(xué)月考）若關(guān)于x的不等式以一1|<。成立的充分條件是OVx

<4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-°°?1］B.（—°0,1）

C.（3,+0°）D.［3,+8）

答案D

解析—aVxV1+a,,?,不等式僅一■1|V。成立的充分條件是OVxV

1—QWO,

4,???（0,4）U（1—01+〃），川一解得。23.

」十。34,

7.（2021?淄博一模）若等差數(shù)列｛〃〃｝的前幾項(xiàng)和為S〃,則“S2020X），S2021Vo”是

oio〃ioil〈0”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

2020（。1+。2。20）

角星析?「S2（）20=

2

—1010（＜71Oio+^l011）＞0,

2021（0+。2021）

=2021。1011＜0,

52021-2

.".aion<O,'.a\oio>O,則ai0100on<0,

因此充分性成立；

若a\oioai011VO,

I<21oio>O,,|?1010<0,

則c或c因此必要性不成立.故選B.

laion<Ol<2ioii>O,

8.已知命題p：/+2x—3>0；命題q：x>a,且㈱夕的一個(gè)充分不必要條件是㈱

P，則。的取值范圍是()

A.[l,+0°)B.(—8,1]

c.[-l,+8)D.(—8,-3]

答案A

解析由f+2x—3>0,得xV—3或x>l,由㈱q的一個(gè)充分不必要條件是㈱

P，可知㈱〃是㈱<7的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件.故

9.命題“3x6(1,4-oo),%2+X忘2”的否定為.

答案V%e(i,+°°),f+x>2

10.設(shè)命題p：x>4；命題4：A2—5X+420,那么p是<7的條件

(填”充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).

答案充分不必要

解析由f—5x+420得xW1或x?4,可知｛x|x>4｝是1或x?4｝的真子集，

:.p是q的充分不必要條件.

11.(2021.青島二中檢測(cè))直線工一3；—上=0與圓。-1)2+^2=2有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充

要條件是?

答案一ivy3

解析直線x—y—k=O與圓(x—1)2+V=2有兩個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于“也

啦，解得一1<女<3.

12.已知命題p：x2—〃20；命題0R,f+2a￥+2—〃=0.若命題p,

4都是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

答案(一8,-2]

解析由命題p為真，得aWO；由命題q為真，得/=44-4(2—a)NO,即

—2或所以aW—2.

|B級(jí)能力提升

13.（多選）（2022?南京調(diào)研）下列說(shuō)法正確的是（）

A.i（ac=bcn是“a=b”的充分不必要條件

B.是“a<b”的既不充分也不必要條件

C.若“xCA”是的充分條件，則

D.（（a>b>0>,是〃22）”的充要條件

答案BC

解析A項(xiàng)，呢=從不能推出a=b,比如a=l,b=2,c=0.而可以推出

ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b"的必要不充分條件，故錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，:不能推出a<b，比如:>一J，但是2>—3；。<人不能推出:比

如一2V3,-^<1,所以是“a〈b”的既不充分也不必要條件，故正確;

C項(xiàng)，因?yàn)椤癤WA”是“XCB”的充分條件，所以X6A可以推出XGB,即AU以

故正確；

D項(xiàng)，a">bn（n^N,〃22）不能推出比如a=l,b=0,l">0"（〃eN,

〃22）滿足，但是a>人>0不滿足，所以必要性不滿足，故錯(cuò)誤.

14.（多選）下列四個(gè)命題中，為假命題的是（）

A.3xG（0,1）,2，=：

B.“VxGR,f+x—1>0”的否定是“mx￡R,f+x-lVO”

C.”函數(shù)式x）在（a,b）內(nèi)了（x）>0”是“外）在（a,C內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件

D.已知?x）在沏處存在導(dǎo)數(shù)，則“/（沏）=0”是“xo是函數(shù)式處的極值點(diǎn)”的必要

不充分條件

答案BC

解析對(duì)于A,由圖象可知A正確（圖略