2022-2023學年北京市東城區(qū)東直門中學八年級（上）期中數(shù)學試卷

2022-2023學年北京市東城區(qū)東直門中學八年級（上）期中數(shù)學

試卷

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.（2分）若分式亠有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

x-3

A.x=3B.x=0C.xW3D.xWO

2.（2分）下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）

A.（才+）,）=ax+ay

B.7-4x+4=x（x-4）+4

C.10?-5x=5x（2x-1）

D.x2-16+3x=（x+4）Cx-4）+3x

3.（2分）下列變形正確的是（）

2

A.xHB.工口c.工工D.工J

xx+3X-Xxy

4.（2分）如圖，△ABC絲△DEC,ZACD=28°,則N8CE的度數(shù)是（）

C.62°D.24°

5.（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A,8之間的距離，可以在池塘外取AB的垂

線上兩點C,D,使BC=CD,再畫出BF的垂線。E,使點E與A,C在同一條直線

上，這時，可得△ABC絲△￡：￡＞（7,這時測得。E的長就是的長.判定厶厶臺。絲△EDC

C.ASAD.SSS

6.（2分）已知一個多邊形的內(nèi)角和是1080°,則這個多邊形的邊數(shù)是（)

A.8B.7C.6D.5

7.（2分）下列各分式中，最簡分式是（)

22

A.6(x-y)

B.y-x

8(x+y)x-y

2,222

c.x+yD.x-y

x2y+xy2(x+y)2

8.（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A（0,2）,B（a,0）,C（機，n）（/?>0）.若厶

ABC是等腰直角三角形，且AB=BC,當OVaV1時，點C的橫坐標機的取值范圍是（）

A.0<m<2B.2Vm<3C.m<3D.m>3

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.（2分）若分式上生的值為0,則x的值為.

2x+l

10.（2分）若等腰三角形的一個角為70°,則其頂角的度數(shù)為.

11.（2分）已知三條線段的長分別是4,4,m,若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)機的最大值

是.

12.（2分）若母=2,x+y=3,則（x+1）（y+1）=.

13.（2分）如圖，將長方形A8CO沿對角線8。折疊，使點C恰好落在點C'的位置，若

NDBC=20°,則/AOC'=.

14.(2分)如圖，RtAABC+./B=90°，點P在邊A8上，CP平分/ACB,PB=3cm

AC=\Ocm,則△APC的面積是cm2.

15.（2分）若/+23+16是一個完全平方式，那么〃?應為.

16.（2分）如圖，正方形卡片A類,B類和長方形卡片C類若干張,如果要拼一個長為（。+2匕）,

寬為（。+。）的大長方形，則需要C類卡片張.

aha

三、解答題（共68分）

17.（5分）計算：。3七+（-。2）3..2

18.（5分）計算：[（x+4y）（x-4y）-/]+4y.

19.（4分）計算：二!1151,冬X.

3x5mn2

20.（5分）計算：---+-1—?上空_.

22

x_y2x-2yx

21.（8分）因式分解：

（1）2?），-與己

（2）-a3+2a^-a.

22.（5分）己知/-x+l=0,求代數(shù)式（x+1）2-（x+1）（2x-I）的值.

23.（5分）如圖，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,D是4c邊上一點，連接BD,

EC丄AC,且AE=B。，AE與BC交于點F.

（1）求證：CE=AD；

（2）當A￡>=C尸時，求證：8。平分NA8c.

24.（4分）如圖所示，在一次軍事演習中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)：藍方指揮部點P在A區(qū)內(nèi),

且到鐵路尸G、公路CE和CZ）的距離相等.如果你是紅方的指揮員，請你在圖中準確地

作出藍方指揮部點P的位置.（保留作圖痕跡，不必寫作法）

C

DG

XB\

/E

F

25.（6分）ZB=ZC=90°,EB=EC,DE平分NAOC,求證：AE是ND48平分線.

26.(6分)閱讀下列材料：

利用完全平方公式，可以把多項式/+以+C變形為(x+m)2+”的形式.

例如，/-4X+3—X2-4x+4-4+3=(x-2)2-1.

觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，當x-2取任意一對互為相反數(shù)的值時，多項式?-4x+3的值是相

等的.例如，當x-2=±l,即x=3或1時，/-4x+3的值均為0；當x-2=±2,即x

=4或0時，x2-4x+3的值均為3.

我們給出如下定義：

對于關(guān)于x的多項式，若當x+m取任意一對互為相反數(shù)的值時，該多項式的值相等，則

稱該多項式關(guān)于x=-m對稱，稱x=-m是它的對稱軸.例如，x2-4x+3關(guān)于x=2對

稱，x=2是它的對稱軸.

請根據(jù)上述材料解決下列問題：

(1)將多項式，-6X+5變形為(X+/M)2+〃的形式，并求出它的對稱軸；

(2)若關(guān)于x的多項式/+2or-I關(guān)于x=-5對稱，求a；

(3)求代數(shù)式(f+2x+l)(7-8x+16)的對稱軸.

2022-2023學年北京市東城區(qū)東直門中學八年級（上）期中數(shù)學

試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.（2分）若分式亠有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

x-3

A.x=3B.x—0C.xW3D.xWO

【分析】根據(jù)分母為零分式無意義，可得答案.

【解答】解：由題意，得

x-3W0,

解得xW3,

故選：C.

【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解

答此題的關(guān)鍵.

2.（2分）下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）

A.a2*a4=a（x+y）=ax+ay

B.JC2-4x+4=x（x-4）+4

C.107-5x=5x（2x-1）

D.7-16+3x=（x+4）（x-4）+3x

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可.

【解答】解：A.從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

B.從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

C.從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；

D.從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，

注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解.

3.（2分）下列變形正確的是（）

A.工反B.工口c.D,工J

2

xx+3x-xxxxy

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：A、工*2型，故A不符合題意.

xx+3

B、2=二上，故2符合題意.

X-X

2

C、工"二，故C不符合題意.

xVx2

D、工￥二，故。不符合題意.

xy

故選:B.

【點評】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

4.（2分）如圖，△ABCdDEC,ZACD=2S°,則NBCE的度數(shù)是（）

C

D

A.28°B.56°C.62°D.24°

【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等可得NACB=NOCE,再根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時

減去/ACE可得結(jié)論.

【解答】證明：?.?△48C畛△￡>?（7,

：.ZACB=ZDCE,

：.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

即/AC￡）=NBCE=28°.

故選:A.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，能熟記全等三角

形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應角相等.

5.（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A,8之間的距離，可以在池塘外取的垂

線B尸上兩點C,。，使BC=C￡）,再畫出B尸的垂線OE,使點E與A,C在同一條直線

上，這時，可得△ABC絲△￡￡）（:,這時測得。E的長就是AB的長.判定△ABC也

最直接的依據(jù)是（)

A.HLB.SASC.ASAD.SSS

【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，

要根據(jù)已知選擇判斷方法.

【解答】解：因為證明在aABC絲△EDC用到的條件是：8C=C￡>,ZABC=ZEDC=9GQ,

NACB=NECD（對頂角相等），

所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應相等即ASA這一方法.

故選：C.

【點評】此題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS.ASA,AAS,HL做題時注意選擇.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與,

若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

6.（2分）已知一個多邊形的內(nèi)角和是1080°,則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.8B.7C.6D.5

【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成（〃-2）780°,列方程可求解.

【解答】解：設所求多邊形邊數(shù)為小

則（〃-2）780°=1080°,

解得?—8.

故選：A.

【點評】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式

進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理.

7.（2分）下列各分式中，最簡分式是（）

A.6（x-y）B.9二』

8（x+y）x-y

2.222

c.x+yD.x-y

2丄2/亠、2

xy+xy（x+y）

【分析】根據(jù)最簡分式的定義(分式的分子和分母除1以外沒有其它的公因式，叫最簡

分式)逐個判斷即可.

【解答】解：/(x-y)=3(x-y),含有公因式2>不是最簡分式，故本選項不符合

8(x+y)4(x+y)

題意：

->-=二\:)_.=-(x+y)=-x-y,故本選項不符合題意；

x-yx-y

C.分式的分子和分母(除1外)沒有其它的公因式，是最簡分式，故本選項符合題意；

D，_y2=(x+y)(叮),立,不是最簡分式，故本選項不符合題意；

(x3)2員力產(chǎn)x+y

故選：C.

【點評】本題考查了最簡分式的定義，能熟記最簡分式的定義是解此題的關(guān)鍵.

8.(2分)在平面直角坐標系xOy中，點A(0,2),B(a,0),C(〃?，〃)(〃>0).若厶

ABC是等腰直角三角形，且AB^BC,當0<a<1時，點C的橫坐標m的取值范圍是()

A.0</n<2B.2<m<3C.m<3D.m>3

【分析】過點C作CO丄x軸于。，由“A4S”可證△AOB絲△BQC,可得AO=B￡>=2,

BO—CD=n=a,即可求解.

【解答】解：如圖，過點C作8丄x軸于。，

：.AO=2,

「△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC,

NABC=90°=NAOB=ZBDC,

：.ZABO+ZCBD=90°^ZABO+ZBAO,

:.NBAO=NCBD,

在△408和△BOC中，

rZAOB=ZBDC

?ZBAO=ZCBD-

AB=BC

：./\AOB^^BDC（A4S）,

：.A0=BD=2,B0=CD=n=a,

OD=0B+BD=2+a=m,

：.2<m<3,

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助

線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.（2分）若分式上￡的值為0,則x的值為4.

2x+l

【分析】根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計算即可.

【解答】解：由題意得：x-4=0且2X+1W0,

解得：x—4,

故答案為：4.

【點評】本題考查的是分式的值為零的條件，掌握分式值為零的條件是分子等于零且分

母不等于零是解題的關(guān)鍵.

10.（2分）若等腰三角形的一個角為70°,則其頂角的度數(shù)為70?；?0°.

【分析】等腰三角形一個角為70°,沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況.

【解答】解：（1）當70°角為頂角，頂角度數(shù)即為70°；

（2）當70。為底角時，頂角=180°-2X70°=40°.

故答案為：70°或40°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，若題目中沒

有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答

問題的關(guān)鍵.

11.（2分）已知三條線段的長分別是4,4,沉，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)，"的最大值

是7.

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，進而解答即可.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

4-4<m<4+4,即0<，〃V8.

則符合條件的整數(shù)的值有：1,2,3,4,5,6,7,

所以整數(shù)，”的最大值是7.

故答案為：7.

【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系.三角形的三邊關(guān)系：第三邊大于兩邊之差而小

于兩邊之和.

12.(2分)若◎=2,x+y=3,則(x+1)(y+1)=6.

【分析】根據(jù)多項式乘多項式的乘法法則解決此題.

【解答】解：,??孫=2,x+y=3,

(x+1)(y+1)

=x>'+x+y+l

=xy+(x+y)+1

=2+3+1

=6.

故答案為：6.

【點評】本題主要考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式乘法法則是解決本題

關(guān)鍵.

13.(2分)如圖，將長方形ABCO沿對角線8。折疊，使點C恰好落在點C'的位置，若

ZDBC=20°,貝IJ/AOC'=50°

【分析】由折疊的性質(zhì)可得：ZDBC=/Z)BC=20°,又由四邊形是長方形,

即可求得NABC'的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：NDBC=N￡>BC=20°,

?四邊形A8CQ是長方形，

AZABC=90°，

：.ZABC=ZABC-ZDBC-ZDBC=90°-20°-20°=50°,

VZABE+ZAEB+ZA^ZC'DE+ZC'ED+ZC,NA=NC',NAEB=NC'ED,

：.ZADC'=50°.

故答案為：50°.

【點評】此題考查了折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握折疊前后圖形

的對應關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

14.（2分）如圖，RtZSABC中，/8=90°，點P在邊A8上，CP平分/ACS,PB=3cm,

AC=\0cm,則4APC的面積是15cm2.

【分析】過戶作尸。丄AC于。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得至UPD=PB=3cm,根據(jù)三角形的

面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：過尸作丄AC于￡>,

平分/AC8,/8=90°,

PD=PB=3cm,

AC=i0cm9

二△APC的面積=丄4c?PO=2X3X10=15(cw2),

22

故答案為：15.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

15.（2分）若/+2mx+16是一個完全平方式，那么〃?應為±4.

【分析】這個完全平方式的兩平方項是x和4的平方，則另一項為加上或減去x和4的

乘積的2倍，故2加=±8,解得加的值即可.

【解答】解：?.,？+2〃5+16是一個完全平方式，

，2%=±2X1X4,

解得m=±4.

故答案為：±4.

【點評】本題考查了完全平方式的應用，解題關(guān)鍵是熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征：兩

數(shù)的平方和，加上或減去它們乘積的2倍.

16.(2分)如圖，正方形卡片A類,B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個長為(a+2b),

寬為Ca+h)的大長方形，則需要C類卡片3張.

aha

【分析】拼成的大長方形的面積是(a+26)(a+b)=/+3必+2廿，即需要一個邊長為a

的正方形，2個邊長為b的正方形和3個C類卡片的面積是九江

【解答】解：(a+2h)(a+h)=(r+3ab+2b1.

則需要C類卡片3張.

故答案為：3.

【點評】本題考查了多項式乘多項式的運算，需要熟練掌握運算法則并靈活運用，利用

各個面積之和等于總的面積也比較關(guān)鍵.

三、解答題(共68分)

17.(5分)計算：/.“+(-/)3+42.

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法和除法的運算法則，睡的乘方的運算法則解答即可.

【解答】解：原式=/+(-M)

=</-a6-rtz2

—a4-o'

=0.

【點評】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘法和除法的運算法則，器的乘方的運算法則，熟

記基的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

18.(5分)計算:[(x+4y)(x-4y)-7]+4y.

【分析】直接利用平方差公式計算，再合并同類項，進而利用整式的除法運算法則計算

得出答案.

【解答】解：原式=(X2-16/-?)+4y

=-4y

=-4y.

【點評】此題主要考查了整式的除法運算、平方差公式，正確運用相關(guān)運算法則是解題

關(guān)鍵.

19.(4分)計算：

3x5mn2

【分析】利用分式的乘法的法則進行運算即可.

【解答】解：工!2.也

3x5mn25n

【點評】本題主要考查分式的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握.

20.(5分)計算:x-1.x+y

22

x.v2x-2yx

厶J

【分析】根據(jù)平方差公式、提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再根據(jù)分式的乘

除法法則計算即可.

【解答】解：原式=-------------?2(x-y)?也

(x+y)(x-y)x

=2.

【點評】本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵.

21.(8分)因式分解：

(1)2x3y-2xy3；

(2)-cr'+la1-a.

【分析】(1)先提公因式，再用公式法進行因式分解即可；

(2)先提公因式，再用公式法進行因式分解即可.

【解答】解：(1)2jc,y-2xyi=2xy(x2-7)=2xy(x-y)(x+y)；

(2)-a3+2a2-a--a(a2-2a+l)--a(a-1)2.

【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題

的關(guān)鍵.

22.(5分)已知/-x+l=O,求代數(shù)式(x+1)2-G+1)(2x-1)的值.

【分析】根據(jù)多項式乘多項式進行化簡，然后整體代入即可求值.

【解答】解：原式=/+2x+l-2X2+X-2x+1

=-7+x+2,

當/-x+l=O,即-/+x=I時，原式=1+2=3.

【點評】本題考查了多項式乘多項式，解決本題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式.

23.(5分)如圖，在△48C中，/BAC=90°,AB=AC,。是AC邊上一點，連接8Q,

ECLAC,S.AE=BD,AE與BC交于點F.

(1)求證：CE=AD；

(2)當AO=C尸時，求證：8。平分/A8C.

【分析】(1)根據(jù)"厶證明Rt^CAE與RtaABO全等，進而解答即可;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可.

【解答】證明:(1)丄AC,NA4C=90°,

/ACE=NBAC=90°,

在Rt^CAE與RtZ\ABO中，

[AE=BD,

ICA=AB'

.,.白△CAE絲RtZXABD(HL),

：.CE=AD.

(2)由(1)得Rt4C4E絲RtA4B￡>,

；.NEAC=NABD,ZE=ZADB.

由（1）得CE=AD,

,:AD=CF,

：.CE=CF.

:?NCFE=/E,

VZCFE=NAFB,

：.ZAFB=ZE.

VZE=ZADB,

：.ZAFB=ZADBf

NAGB=ZEAC+ZADB,/AGB=NDBC+NAFB,

：.ZEAC=ZDBC.

'/NEAC=/DBA,

：./DBA=/DBC,

???BD平分NA8C

【點評】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明三角形全等，再利用全等三角

形的性質(zhì)解答.

24.（4分）如圖所示，在一次軍事演習中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)：藍方指揮部點P在A區(qū)內(nèi)，

且到鐵路bG、公路CE和CD的距離相等.如果你是紅方的指揮員，請你在圖中準確地

作出藍方指揮部點尸的位置.（保留作圖痕跡，不必寫作法）

【分析】作NOC8的角平分線CM,作NC3戸的角平分線3M射線CM交射線3N于點

P，點尸即為所求.

【解答】解：如圖，點P即為所求.

c

【點評】本題考查作圖-應用與設計作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運用所學知識解決問題.

25.（6分）ZB=ZC=90°,EB=EC,OE平分/AOC,求證：AE是/DAB平分線.

【分析】過點E作EFLAD于凡根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得EC=EF,

從而求出EF=BE,再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明.

【解答】證明