吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題一?選擇題1.將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19，則（）A.19 B.20 C.21 D.22〖答案〗C〖解析〗這組數(shù)據(jù)有10個數(shù)，所以，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故，解得.故選：C.2.若直線與圓交于兩點，則（）A. B.2 C. D.1〖答案〗A〖解析〗圓心到直線的距離，則.故選:A3.記等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗A〖解析〗設數(shù)列的公差為，依題意，，得，故，則.故選：.4.已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，且，則下列說法正確的是（）A.“//”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.若異面，則有公共點D.若有公共點，則有公共點〖答案〗C〖解析〗對于A，由，可得，又，故得，即“//”是“”的必要條件，故A項錯誤；對于B，由，可得或，當時，因，則，當時，經過和平面內一點可確定平面，且，則，由可得，同理可得，即“”是“”的充分條件，故B項錯誤；對于C，運用反證法說明，假設沒有公共點，則，又由可得，這與異面矛盾，故假設不成立，即C項正確；對于D，由有公共點可得相交，因，則相交或異面，故D項錯誤.故選：C.5.若，則（）A.-7 B.7 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，故，則，故.故選：.6.如圖所示，一種兒童儲蓄罐有6個密碼格，由購買者設定密碼后方可使用，其中密碼的數(shù)字只能在中進行選擇，且每個密碼格都必須設定數(shù)字，則數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個數(shù)為（）A.172 B.204 C.352 D.364〖答案〗D〖解析〗若數(shù)字“1”出現(xiàn)1次，則有種可能；若數(shù)字“1”出現(xiàn)3次，有種可能；若數(shù)字“1”出現(xiàn)5次，則有種可能，故數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個數(shù)為.故選：D.7.阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學家阿基米德提出，有著很多重要的應用，如在化學中作為一種穩(wěn)定的幾何構型，在平面設計中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點為，頂點為，斜率為的直線過點且與拋物線交于兩點，若為阿基米德三角形，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，設直線，聯(lián)立，則，解得或，不妨設，設直線方程為，聯(lián)立得，，，，解得，故直線的斜率，故直線，同理可得直線的斜率，故直線，聯(lián)立，解得，即，則.故選：C.8.已知四面體中，，點在線段上，過點作，垂足為，則當?shù)拿娣e最大時，四面體外接球的表面積與四面體外接球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，四面體中，設，則，由等面積法可知，.由已知得平面，故；因為，故平面.故，故.，當且僅當，即時取等號，此時四面體外接球的半徑滿足，而四面體外接球的半徑滿足，故所求比值為.故選：C.二?多選題9.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于原點對稱B.的圖象關于直線對稱C.在上單調遞增D.在上有個零點〖答案〗AD〖解析〗，令，則，故為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故正確；當，時，即，，所以函數(shù)的對稱軸為，，當時，，所以不存在整數(shù)使得，故錯誤；當時，即，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，當時，單調遞增區(qū)間為，當時，單調遞增區(qū)間為，所以在單調遞增，在單調遞減，故錯誤；令，所以，令，由，則，當，，，時，，則在上有4個零點，分別是，，，，故正確.故選：.10.已知為復數(shù)，則（）A.若，則為實數(shù)B.C.若，則D.若，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于坐標軸上〖答案〗ABD〖解析〗設，故為實數(shù)，故A正確；，故B正確；令，故，但，故C錯誤；若，則，故，即或，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)定義域為，其圖象關于中心對稱，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為的圖象關于中心對稱，則,故A正確；由，可得，則，取得，在中取可得，則，由，得，故B錯誤；由，得①②，②-①得，又，故C正確；又由①，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，因為，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.13.已知中，角所對的邊分別為，其中，則__________；若，則當?shù)拿娣e取得最大值時，__________.〖答案〗2〖解析〗由正弦定理，，因為，故；而，由正弦定理，，由余弦定理，，得，取線段的中點為，延長至點，使，連結，則，，因為，且，，所以即平行四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和可得，則有，則，則當為邊上的高時，的面積取得最大值，此時，由余弦定理，.故〖答案〗為：；14.已知點是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點是橢圓上異于，的一點，且以為直徑的圓過點，點在軸上，且三點共線，為坐標原點，若成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗因為以為直徑圓過點，所以，由題意設直線（斜率顯然存在，否則點就不存在了），不妨設點分別在第一象限、第三象限，則直線的斜率；聯(lián)立，解得，則，而，成等比數(shù)列，則，設，則，從而，而不重合，也就是，解得，則，故直線的斜率，設，所以，所以，故所求離心率.故〖答案〗為：.四?解答題15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），因此，而，故所求切線方程為，即；（2）依題意，，故對任意恒成立.令，則，令，解得.故當時，單調遞增；當時，單調遞減，則當時，取到極大值，也是最大值2.故實數(shù)的取值范圍為.16.現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，組：組：.先從組數(shù)據(jù)中任取3個，構成數(shù)組，再從組數(shù)據(jù)中任取3個，構成數(shù)組，兩組抽取的結果互不影響.（1）求數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8且數(shù)組的數(shù)據(jù)之和大于8的概率；（2）記，其中表示數(shù)組中最小的數(shù)，表示數(shù)組中最大的數(shù)，求的分布列以及數(shù)學期望.解：（1）記“數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8”為事件，“數(shù)組的數(shù)據(jù)之和大于8”為事件，則，事件包含的數(shù)組有：、、、、、，共組，，故所求概率.（2）依題意，的可能取值為；，，則的分布列為1234則17.如圖在四棱錐中，為菱形.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.（1）證明：記交于點，連接.因為是菱形，所以，且為的中點.因為，所以，又因為平面，且，所以平面，因為平面，所以.（2）解：取的中點，連接交于點，連接.因為，所以是等邊三角形，所以.又因為，故平面，所以平面.又平面，所以.由（1）知，且，所以平面.不妨設，則.在中，由，得，所以.以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸，過點作垂直平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設平面的法向量為，所以，令得；設平面的法向量為，所以，令得.故，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.18.已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上，.（1）若，且點在第一象限，點關于軸的對稱點為，求直線與雙曲線相交所得的弦長；（2）探究：的外心是否落在雙曲線在點處的切線上，若是，請給出證明過程；若不是，請說明理由.解：（1）依題意，，則直線的斜率為,則直線，即；聯(lián)立，得，解得或，故所求弦長為.（2）的外心落在雙曲線在點的切線上，證明過程如下，設雙曲線在點的切線斜率為，則在點處的切線方程為，聯(lián)立得，其中，則，而，故，代入上式可得，，解得，故雙曲線在點處的切線方程為，即.直線的斜率為，線段的中點為，故直線的中垂線方程為，聯(lián)立可得，故外心坐標，其滿足，故的外心落在雙曲線在點處的切線上.19.已知數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控搖擺數(shù)列”.（1）若等比數(shù)列為“10階可控搖擺數(shù)列”，求的通項公式；（2）若等差數(shù)列為“階可控搖擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項公式；（3）已知數(shù)列為“階可控搖擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控搖擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.解：（1）若，則，解得，則，與題設矛盾，舍去；