山東省濟寧市泗水縣2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟寧市泗水縣2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知等比數(shù)列的前2項和為，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，由題知：，所以，解得，所以，即，所以.故選：D2.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，則，令，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；又，，，所以，即.故選：D.3.小陳和小李是某公司的兩名員工，在每個工作日小陳和小李加班的概率分別為和，且兩人同時加班的概率為，則某個工作日，在小李加班的條件下，小陳也加班的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記“小李加班”為事件A，“小陳加班”為事件B，則，故在小李加班的條件下，小陳也加班的概率為.故選：C.4.如圖，已知函數(shù)的圖象在點處的切線為1，則（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，，切線方程為，則切點坐標為，有，所以.故選：C5.中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．2022年10月31日15:37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢．2023年，中國空間站將正式進入運營階段．假設空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙中都有2人，則不同的安排方法有（）A.72種 B.90種 C.360種 D.450種〖答案〗B〖解析〗由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙中都有2人,所以共有種；故選：B.6.定義：在數(shù)列中，若滿足（，為常數(shù)），稱為“等差比數(shù)列”．已知在“等差比數(shù)列”中，，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以．故選：D7.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調遞減，則實數(shù)a取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，函數(shù)的定義域為，.由在定義域內(nèi)單調遞減，所以在上恒成立，即，可轉化為在上恒成立，所以．因為，所以，所以．因此實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．8.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，使，則，可得，，若k為奇數(shù)，則，所以，，則，解得，或，當時，，，，，當時，，，，，若k為偶數(shù)，則，所以，，則，解得，或，當時，，，，當時，，，，，因此，所有解之和為：，故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在的展開式中,下列說法正確的是()A.常數(shù)項是 B.第四項和第六項的系數(shù)相等C.各項的二項式系數(shù)之和為 D.各項的系數(shù)之和為〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)二項式定理,的通項公式為,對于A,常數(shù)項為,故A正確;對于B,第四項的系數(shù)為,第六項的系數(shù)為,故B錯誤;對于C,因為,所以各項的二項式系數(shù)之和為,故C正確;對于D,令,各項的系數(shù)之和為,故D錯誤.故選:AC.10.已知事件滿足，則（）A.若，則B.若與互斥，則C.若，則與相互獨立D.若與相互獨立，則〖答案〗BC〖解析〗對A，因為，所以，錯誤；對B，因為與互斥，所以，正確；對C，因為，所以，而，所以，正確；對D，因為與相互獨立，所以與相互獨立，所以，，錯誤．故選：BC.11.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.公差 B.C.的最大值為 D.滿足的的最小值為16〖答案〗AC〖解析〗因為，則，即，則，故A正確；，故B錯誤；由，得，,因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，且當時，，當時，，所以的最大值為，故C正確；，令，解得，所以滿足的的最小值為，故D錯誤.故選：AC.12.定義在上的函數(shù)，已知是它的導函數(shù)，且恒有成立，則有（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，因為，所以，則在上單調遞減.所以，故，，故選：C第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.盒中有個質地，形狀完全相同的小球，其中個紅球，個綠球，個黃球；現(xiàn)從盒中隨機取球，每次取個，不放回，直到取出紅球為止.則在此過程中沒有取到黃球的概率為___________.〖答案〗〖解析〗?jīng)]有取到黃球，可以是“第一次取到紅球”或“第一次取到綠球，第二次取到紅球”記事件表示第一次取到紅球，表示第二次取到紅球，表示第一次取到綠球，則，，∴沒有取到黃球的概率為.故〖答案〗為：.14.在等比數(shù)列中，且，則________.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：15.已知定義在R上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集是________．〖答案〗〖解析〗設，∴，∴在R上單調遞減．∵，∴的圖象關于直線對稱，∴，∴．∵，∴，即，∴2，故不等式的解集是．故〖答案〗為：.16.過點與曲線相切的直線方程為______．〖答案〗〖解析〗設切點坐標為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當時，，所以在上單調遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標為，故所求切線方程為，即.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.（1）求值：．（2）若，且．求的值．解：（1）由組合數(shù)的性質，可得解得．又因為，所以或，當時，原式，當時，原式；（2）由，得，即，解得或（舍去），所以，當時，由已知，得，令，得，令，得，所以18.已知的一個極值點為2.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間.（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.解：（1）由題意可得：，則，解得，當時，，，令，解得或，則的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，可得為極小值點，即符合題意，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）∵，由（1）可得：在上單調遞增，在上單調遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，又∵，即，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19.已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．（1）求；（2）記數(shù)列的前n項和為，，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式．解：（1）由，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列可得，（2）由得，故，兩式相減可得，而，所以為公比為2的等比數(shù)列，且首項為，故，進而20.為弘揚體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊進入決賽．規(guī)定：先累計勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結束后，將不能參加后面場次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊中球員都會參賽，他上場與不上場甲隊一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．（1）求甲隊第二場比賽獲勝的概率；（2）用表示比賽結束時比賽場數(shù)，求的期望；（3）已知球員在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊比賽獲勝的概率．解：（1）設“第i場甲隊獲勝”，“球員第i場上場比賽”，，2，3．由全概率公式．（2）的可能取值為2，3．由題意知，由（1）知，則，，，．（3），此時，．21.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1），得，因為，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，故，所以；（2）當為偶數(shù)時，，當奇數(shù)時，，綜上所述，.22.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法.,，且.設,則∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］最優(yōu)解】：同構.由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構.由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分