等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

（第一課時(shí)）F佳等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式回顧：等差系列公式1.等差數(shù)列定義：2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

(2)

an＝am＋(n－m)d

.(3)an＝pn＋q

(p、q是常數(shù))(1)

an＝a1＋(n－1)d

(n≥1).an－an－1

＝d

(n≥2)或an+1－an＝d.183.幾種計(jì)算公差d的方法:4.等差中項(xiàng)

m＋n＝p＋q

am＋an＝ap＋aq.5.等差數(shù)列的性質(zhì)

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕.傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？1+2+3+···+100=？“數(shù)學(xué)王子”高斯的開掛人生據(jù)說，二百多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面問題：1+2+3+...+100=?當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：情境導(dǎo)入

高斯（Gauss，1777-1855)，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，

近代數(shù)學(xué)奠基者之一，并享有"數(shù)學(xué)王子"之稱.

他和阿基米德、牛頓、

歐拉并列為世界四大數(shù)學(xué)家.以他名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，屬數(shù)學(xué)家中之最.高斯的算法計(jì)算：1＋2＋3＋…

＋99＋100

高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組：第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組；第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組；第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，……

每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.問題：你能說說高斯在求和過程中利用了數(shù)列的什么性質(zhì)嗎？

追問：高斯的方法妙在哪里？相同數(shù)（即101）的求和簡化運(yùn)算不同數(shù)的求和問題追問：1+2+3+...+101=?方法1：原式=（1+2+3+...+100）+101.方法2：原式=0+1+2+...+99+100+101.方法3：原式=（1+2+...+50+52+...+100+101)+51.求偶數(shù)項(xiàng)的和化歸思想求奇數(shù)項(xiàng)的和

能否設(shè)法避免分類討論？某倉庫堆放的一堆鋼管(如圖)，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)呢？假設(shè)在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管．解：S100=1+2+3+…+98+99+100（1）

S100=100+99+98+…+3+2+1（2）2S100=(1+100)×100，（1）+（2）得

問題：

求S100=1+2+3+…+98+99+100動(dòng)腦思考探索新知n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法

那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？①②問題分析已知等差數(shù)列｛an

｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn.①②

追問：不從公式（1）出發(fā)，你能用其他方法得到公式（2）嗎？

這個(gè)公式表明，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可由首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)唯一確定．等差數(shù)列的前項(xiàng)和n公式：

如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1，公差為d，那么該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五個(gè)量，故知三可求其二．

如何根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征來記憶公式呢？等腰梯形的面積=平行四邊形面積+三角形面積求和公式

兩個(gè)公式的共同點(diǎn)是需知a1和n，不同點(diǎn)是前者還需知an，后者還需知d，解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。

整理,得

解得n=12或n=-5（舍去）所以n=12課本P22練習(xí)1

課本P23練習(xí)22.等差數(shù)列-1，-3，-5，…的前多少項(xiàng)的和是-100?解：由于S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式可得所以例7

已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)和是1220，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和．另解：

兩式相減得例7

已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)和是1220，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和．課本P23練習(xí)3

課本P23練習(xí)4

觀察例：如果等差數(shù)列的前4項(xiàng)和是4，前9項(xiàng)和是-6求前n項(xiàng)和的公式。