專題 勾股定理與全等三角形的綜合運用（ 基礎題＆提升題＆壓軸題 ）（解析版）

八年級下冊數學《第十七章勾股定理》專題勾股定理與全等三角形的綜合運用（基礎題＆提升題＆壓軸題）基礎題基礎題1．（2021秋?岱岳區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點D作DE⊥AB于點E．（1）求證：△ADC≌△ADE．（2）若CD＝3，BD＝5，求BE的長．【分析】（1）利用AAS即可證明△ADC≌△ADE；（2）結合（1）根據勾股定理即可求出BE的長．【解答】（1）證明：∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°，在△ADC和△ADE中，∠C=∠AED∠CAD=∠EAD∴△ADC≌△ADE（AAS），（2）解：∵△ADC≌△ADE，∴DE＝DC＝3，在Rt△BDE中，BD＝5，根據勾股定理，得BE=BD【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，重合用轉化的思想思考問題．2．如圖，在△ABC和△DCE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝BC，DB＝BE，A，D，E三點在同一直線上．（1）求證：AD＝CE；（2）若DB＝22，AD＝5．求AC的長．【分析】（1）證明△ABD≌△CBE（SAS），可得結論；（2）利用全等三角形的性質以及勾股定理，解決問題即可．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB=CB∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）解：如圖，AE與BC交于點O，由（1）可知△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE，∵∠AOB＝∠COE，∴∠CEO＝∠ABO＝90°，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，BE＝DB＝22，∴DE=2DB=2×2∵CE＝AD＝5，∴AE＝AD+DE＝5+4＝9，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，AE＝9，CE＝5，∴AC=A【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2022春?定遠縣期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB上一點，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，連接AE．（1）求證：△CEA≌△CDB；（2）求證：AE2+AD2＝DE2．【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定證明即可；（2）根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質解答即可；【解答】證明：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△CDB與△CEA中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△CDB≌△CEA（SAS）；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°，由（1）得△CDB≌△CEA，∴∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AE2+AD2＝DE2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．4．如圖，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°．（1）求證△ACD≌△BCE；（2）求AD的長．【分析】（1）連接BE．根據SAS證明三角形全等即可．（2）證明∠ABE＝90°，利用勾股定理求出BE即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠BCE=∠ACD∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AC＝BC＝6，∴AB＝62，∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，AB＝62，AE＝3，∴BE=AB∴AD＝BE＝9．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是全等三角形的判定與性質、勾股定理，關鍵是根據題意作出輔助線，證出△ACD≌△BCE．5．（2022秋?通川區(qū)校級期末）已知，如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜邊AC為底邊作等腰三角形ACD，腰AD剛好滿足AD∥BC，并作腰上的高AE．（1）求證：AB＝AE；（2）求等腰三角形的腰長CD．【分析】（1）由等腰三角形的性質得出∠DAC＝∠DCA，由平行線的性質得出∠DAC＝∠BCA，得出∠ACB＝∠DCA，由AAS證明△ABC≌△AEC，得出AB＝AE；（2）由（1）得：AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，設DC＝x，則DA＝x，DE＝x﹣4，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠ACB＝∠DCA，又∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠A＝∠AEC＝90°，在△ABC和△AEC中，∠B=∠AEC∠ACB=∠DCA∴△ABC≌△AEC（AAS），∴AB＝AE；（2）解：由（1）得：AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，設DC＝x，則DA＝x，DE＝x﹣4，由勾股定理得：DE2+AE2＝DA2，即（x﹣4）2+62＝x2，解得：x=13即CD=13【點評】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．6．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．（1）求證：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE【分析】（1）根據平行線的性質和角平分線的定義解答即可；（2）過點D作DF⊥AB于F，根據勾股定理和全等三角形的判定和性質解答即可．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE；（2）解：過點D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，AD=23在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+DC2＝AD2．∴DC=3∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC=3又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．∴AF＝AC＝3，∴Rt△DEF中，由勾股定理得EF2+DF2＝DE2．設AE＝x，則DE＝x，EF＝3﹣x，∴(3-x)∴x＝2．∴AE＝2．【點評】本題考查勾股定理，根據勾股定理和全等三角形的判定和性質解答是解題關鍵．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，AC＝DC，∠ACD＝90°，連接BD．求BD的長．【分析】過D作DE⊥BC交BC的延長線于E，得到∠DEC＝∠ABC＝90°，根據余角的性質得到∠BAC＝∠DCE，根據全等三角形的性質得到DE＝BC＝2，CE＝AB＝4，求得BE＝6，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：過D作DE⊥BC交BC的延長線于E，∴∠DEC＝∠ABC＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE，在△ABC與△CED中，∠ABC=∠E∠BAC=∠ECD∴△ABC≌△CED（AAS），∴DE＝BC＝2，CE＝AB＝4，∴BE＝6，∵DE2+BE2＝BD2，∴BD2＝22+62＝40，∴BD＝210．【點評】本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理、勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．8．（2022春?雨花區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點E，連CE，求：（1）線段BE的長；（2）線段CE的長．【分析】（1）證明△ADE是等腰直角三角形，求出AE即可解決問題．（2）作EF⊥AC于F．求出EF，CF即可解決問題．【解答】解：（1）∵CA＝CB＝3，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，AB=2AC＝32∵DE⊥AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝3，AD＝2CD，∴AD＝2，CD＝1，∴AE＝DE=2∴BE＝AB﹣AE＝22．（2）作EF⊥AC于F．∵EF⊥AD，△ADE是等腰直角三角形，∴EF＝AF＝DF＝1，∴CF＝2，在Rt△EFC中，EC=E【點評】本題考查等腰直角三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A，C到直線l的距離分別為1cm和2cm．（1）求證：∠ABA′＝∠BCC′；（2）求BC′的長；（3）求正方形ABCD的邊長和面積．【分析】（1）利用等角的余角相等，求證得出：∠ABA′＝∠BCC′；（2）求證得出△ABA′≌△BCC′即可，即BC′＝AA′＝1；（3）利用（2）中，△ABA′≌△BCC′，BC′＝AA′＝1，A′B＝CC′＝2，進一步利用勾股定理求得正方形ABCD的邊長，最后求得面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵AA′⊥A′C′，CC′⊥A′C′，∴∠AA′B＝∠CC′B＝90°，∴∠ABA′+∠CBC′＝90°，∠CBC′+∠BCC′＝90°，∴∠ABA′＝∠BCC′；（2）在△ABA′和△BCC′中，∠AA′B＝∠CC′B，AB＝BC，∠ABA′＝∠BCC′，∴△ABA′≌△BCC′，∴BC′＝AA′＝1（cm）；（3）∵△ABA′≌△BCC′，∴BC′＝AA′＝1，A′B＝CC′＝2，∴AB=1即正方形ABCD的邊長為5；正方形ABCD的面積＝（5）2＝5（cm2）．【點評】本題考查了正方形各邊相等的性質，等角的余角相等，三角形全等和勾股定理的運用．10．（2022春?蚌山區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△DBE都是等邊三角形，DA、DB、DC三邊長是一組勾股數，且DC邊最長．（1）求證：DE2+CE2＝CD2；（2）求∠ADB的度數．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△CBE，可得AD＝EC，∠ADB＝∠BEC，由勾股數可得結論；（2）由勾股定理的逆定理可得∠DEC＝90°，由全等三角形的性質可求解．【解答】證明：（1）∵△ABC與△DBE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BD＝DE＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，且AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD＝EC，∠ADB＝∠BEC，∵DA、DB、DC三邊長是一組勾股數，且DC邊最長．∴DA2+DB2＝DC2，∴DE2+CE2＝CD2；（2）∵DE2+CE2＝CD2，∴∠DEC＝90°，∴∠BEC＝150°∴∠ADB＝∠BEC＝150°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，證明△ABD≌△CBE是本題的關鍵．11．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D為AC邊上的中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC為F，（1）求證：BE＝CF；（2）若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長．【分析】（1）連接BD，根據的等腰直角三角形的性質證明△BED≌△CFD就可以得出AE＝BF，BE＝CF；（2）由AE＝BF，F(xiàn)C＝BE就可以求得EF的長．【解答】解：（1）連接BD．∵D是AC中點，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠CDF，在△BED和△CFD中，∠EBD=∠CBD=CD∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE＝CF；（2）∵AB＝BC，BE＝CF＝3，∴AE＝BF＝4在RT△BEF中，EF=BE2【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了勾股定理的運用，本題中連接BD是解題的關鍵．12．（2021秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝2，點D是AB的中點，點E在AC上，點E、D、F一條直線上，且ED＝FD．（1）求證：FB⊥CB；（2）聯(lián)結CD，若CD⊥EF，求CE的長．【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△BDF，可得∠A＝∠FBD，AE＝BF，由余角的性質可得結論；（2）由等腰三角形的性質可得CF＝EF，由勾股定理可求解．【解答】（1）證明：∵D是AB中點，∴AD＝BD，在△ADE與△BDF中，AD=BD∠ADE=∠BDF∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠A＝∠FBD，AE＝BF，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠FBD+∠ABC＝90°，即∠FBC＝90°，∴FB⊥CB；（2）聯(lián)結CF，∵CD⊥EF，ED＝FD，∴CF＝EF，設CE＝x，則CF＝x，BF＝AE＝4﹣x，Rt△FBC中，BF2+BC2＝CF2，∴22+（4﹣x）2＝x2，∴x=5∴CE=5【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，證明三角形全等是解題的關鍵．提升題提升題1．（2021秋?宛城區(qū)期末）如圖，E、F是等腰Rt△ABC的斜邊BC上的兩動點，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．求證：（1）AE＝AD；（2）EF2＝BE2+CF2．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質可得∠B＝∠ACB＝45°，從而可推出∠ACD＝∠B，則可證得△ABE≌△ACD；（2）由（1）可知AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，從而可求得∠EAD＝∠BAC＝90°，∠DAF＝∠EAF，可證得△AEF≌△ADF，則有DF＝EF，則利用勾股定理可求解．【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠ACD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD；（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，在△AEF與△ADF中，AE=AD∠EAF=∠DAF∴△AEF≌△ADF（SAS），∴DF＝EF，在Rt△DCF中，根據勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，∵CD＝BE，∴EF2＝CF2+BE2．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，解答的關鍵是結合圖形分析清楚角與角，邊與邊之間的關系．2．（2022春?欽州期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過點C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數．【分析】先證明△PCD是等腰直角三角形，得出：PD=2PC＝22，∠CPD＝∠CDP＝45°，再證明△ACP≌△BCD（SAS），得出BD＝PA＝3，運用勾股定理逆定理證得∠BPD＝90【解答】解：∵CD⊥CP，∴∠PCD＝90°，∵PC＝CD＝2，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD=2PC＝22，∠CPD＝∠CDP＝45∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，又∵∠PCB+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD，在△ACP和△BCD中，AC=BC∠ACP=∠BCD∴△ACP≌△BCD（SAS），∴BD＝PA＝3，∵PB＝1，∴PB2+PD2＝12+（22）2＝9，∵PA2＝32＝9，∴PA2＝PB2+PD2，∴∠BPD＝90°，∵∠CPD＝45°，∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．【點評】該題主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理逆定理等幾何知識點及其應用問題；是一道綜合性較強的題目，證明△ACP≌△BCD（SAS）和運用勾股定理逆定理是解題的關鍵．3．如圖，△AOB和△COD都為等腰直角三角形，且∠AOB＝∠COD＝90°．（1）如圖①，當△COD的頂點D恰好在AB邊上時，求證：2OD2＝AD2+BD2；（2）將△COD繞點O旋轉至圖②的位置，連接AD，BC交于點F，連接FO，求證：FO平分∠AFC．【分析】（1）連接CB，利用SAS證明△AOD≌△BOC，得BC＝AD，∠OBC＝∠A＝45°，再利用勾股定理可得結論；（2）過點O作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，由（1）同理得，△AOD≌△BOC（SAS），得AD＝BC，S△AOD＝S△BOC，則OM＝ON，再根據角平分線的判定可得結論．【解答】證明：（1）連接CB，∵∠AOB＝∠COD＝90°．∴∠AOD＝∠BOC，∵△AOB和△COD都為等腰直角三角形，∴OA＝OB，OD＝OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC＝AD，∠OBC＝∠A＝45°，∴∠DBC＝90°，∴BD2+BC2＝CD2，∵∠DOC＝90°，OD＝OC，∴2OD2＝CD2，∴2OD2＝AD2+BD2；（2）過點O作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，由（1）同理得，△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，S△AOD＝S△BOC，∴OM＝ON，∵OM⊥AD，ON⊥BC，∴FO平分∠AFC．【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，勾股定理等知識，證明△AOD≌△BOC是解題的關鍵．4．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于O，且OE＝OD，求AP的長．【分析】由折疊的性質得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，設AP＝EP＝x，則PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根據勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設CD與BE交于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，由翻折的性質得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，∴AP＝EP＝DG，設AP＝EP＝x，則PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，在Rt△BCG中，根據勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8．【點評】本題考查了翻折變換的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換和矩形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．5．（2022秋?南海區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足為D．（1）求證：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的長度；（3）點P是邊BC上一點，且點P到邊AB和AC的距離相等，求點P到邊AB距離．【分析】（1）由等腰三角形的性質，三角形內角和定理，即可證明；（2）設CD＝x（x＞0），由勾股定理得到AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，列出關于x的方程，求出x的值，即可得到答案；（3）由三角形面積公式得到12BC?AD=12AB?PM+1【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠BAC＝∠C，∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∴∠B+2∠C＝180°，∵AD⊥BC，∴∠CAD+∠C＝90°，∴2∠C+2∠CAD＝180°，∴∠B＝2∠CAD，（2）解：設CD＝x（x＞0），在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2＝AD2，∴102﹣（10﹣x）2=(210)2∴x＝2，∴BD＝BC﹣CD＝10﹣2＝8；（3）解：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，且PM＝PN，連接AP，在Rt△ABD中，AD=AB∵△ABC的面積＝△PAB的面積+△PAC的面積，∴12BC?AD=12AB?PM+1∴10×6＝（10+210）PM，∴PM＝10﹣210，∴P到AB的距離是10﹣210．【點評】本題考查等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的面積，關鍵是掌握由勾股定理列出關于CD的方程；由三角形面積公式得到12BC?AD=12AB?PM+16．如圖，在△ABC中，∠BAC為鈍角，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E．（1）若BD2+CE2＝DE2，則∠BAC＝°．（2）若∠ABC的平分線BF和邊AC的垂直平分線EF相交于點F，過點F作FG垂直于BA的延長線于點G．求證：BC﹣AB＝2AG．【分析】（1）如圖1中，連接AD、AE．首先證明∠DAE＝90°，易知∠DBA＝∠DAB，∠EAC＝∠C，設∠DBA＝∠DAB＝x，∠EAC＝∠C＝y(tǒng)，根據三角形內角和定理可得2x+90°+2y＝180°，推出x+y＝45°，由此即可解決問題；（2）如圖2中，連接AF，F(xiàn)C，作FM⊥CB于M，只要證明△BFG≌△CFM，Rt△AFG≌Rt△CFM，即可解決問題．【解答】（1）解：如圖1，連接AD、AE，∵邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，∴BD＝DA，EA＝EC，∴∠DBA＝∠DAB，∠EAC＝∠C，設∠DBA＝∠DAB＝x，∠EAC＝∠C＝y(tǒng)，∵BD2+CE2＝DE2，∴AD2+AE2＝DE2，∴∠DAE＝90°，∴2x+90°+2y＝180°，∴x+y＝45°，∴∠BAC＝x+y+90°＝135°；故答案為：135；（2）證明：如圖2中，連接AF，F(xiàn)C，作FM⊥CB于M，∵FG⊥BA，∴∠G＝∠BMF＝90°，∵BF平分∠CBA，∴∠GBF＝∠MBF，在△BFG和△BFM中，∠G=∠BMF∠GBF=∠MBF∴△BFG≌△BFM（AAS），∴BG＝BM，F(xiàn)G＝FM，∵EF垂直平分線AC，∴FA＝FC，在Rt△AFG和Rt△CFM中，F(xiàn)G=FMFA=FC∴Rt△AFG≌Rt△CFM（HL），∴CM＝AG，∵BC＝BM+CM，BG＝AB+AG，BG＝BM，CM＝AG，∴BC＝AB+2AG，∴BC﹣AB＝2AG．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的性質、角平分線的性質、勾股定理的逆定理等知識，根據已知角平分線以及垂直平分線作出相關輔助線從而利用全等求出是解決問題的關鍵7．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC邊上一動點（與點B不重合），連接AD，以AD始邊作∠DAE＝α（0°＜α＜180°）．（1）如圖1，當α＝90°，且AE＝AD時，試說明CE和BD的位置關系和數量關系；（2）如圖2，當α＝45°，且點E在邊BC上時，求證：BD2+CE2＝DE2．【分析】（1）根據∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，運用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形性質得出對應邊相等，對應角相等，即可得到線段CE、BD之間的關系；（2）把△ACE繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG．連接DG，由“SAS”得到△ADG≌△ADE，可得DE＝DG，即可把EF，BE，F(xiàn)C放到一個直角三角形中，從而根據勾股定理即可證明；【解答】解：（1）CE與BD位置關系是CE⊥BD，數量關系是CE＝BD．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD；（2）如圖2，把△ACE繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG．連接DG，則△ACE≌△ABG，∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°．∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°．∴∠GAD＝∠DAE＝45°，在△ADG和△ADE中，AG=AE∠GAD=∠DAE∴△ADG≌△ADE（SAS）．∴ED＝GD，又∵∠GBD＝90°，∴BD2+BG2＝DG2，即BD2+EC2＝DE2；【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．8．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在Rt△ABD中，∠D＝90°，AD與BC交于點E，且∠DBE＝∠DAB．求證：（1）∠CAE＝∠DBC；（2）AC2+CE2＝4BD2．【分析】（1）由余角的性質可求解；（2）由“ASAS”可證△ADB≌△ADF，可得BD＝DF，即BF＝2BD，由“ASA”可證△ACE≌△BCF，可得AE＝BF＝2BD，由勾股定理可求解．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝∠D＝90°，∴∠CEA+∠CAE＝∠BED+∠CBD＝90°，∴∠CEA＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBC；（2）延長BD交AC延長線于點F，∵∠DBE＝∠DAB，∴∠DAB＝∠CAE，在△ADB和△ADF中，∠DAB=∠DACAD=AD∴△ADB≌△ADF（ASA），∴BD＝DF，∴BF＝2BD，在△ACE和△BCF中，∠CAE=∠DBEAC=BC∴△ACE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝2BD，在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，∴AC2+CE2＝（2BD）2＝4BD2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，靈活運用全等三角形的判定方法是解題的關鍵．9．（2022?雙臺子區(qū)校級一模）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于點D，連接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，連接AE．（1）直接判斷AE與AD的數量關系；（2）如圖2，延長AD，CB交于點F，過點E作EG∥AF交BC于點G，試判斷FG與AB之間的數量關系，并證明；【分析】（1）證明△ACE≌△ABD（SAS），由全等三角形的性質得出AE＝AD；（2）過點B作BM⊥BD交DF于點M，證得△BDM為等腰直角三角形，則BD＝BM，證明△CEG≌△BMF（AAS），由全等三角形的性質得出CG＝BF，由直角三角形的性質可得出結論；【解答】解：（1）AE＝AD；如圖1，AB與DC交于點F，∵∠DBA+∠DFB＝∠AFE+∠ACE，∠DFB＝∠AFE，∴∠DBA＝∠ACE，∵CE＝BD，AB＝AC，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD；故答案為：AE＝AD；（2）FG=2AB過點B作BM⊥BD交DF于點M，∵△ACE≌△ABD，∴∠CAE＝∠BAD，AE＝AD，CE＝BD，∴∠BAD+∠BAE＝90°，∴∠ADE＝45°，∵BD⊥CD，∴∠BDM＝45°，∴△BDM為等腰直角三角形，∴BD＝BM，∴CE＝BM，∵EG∥AF，∴∠EGC＝∠MFB，又∵∠FBM+∠ABD＝45°，∠GCE+∠ACE＝45°，∴∠FBM＝∠GCE，∴△CEG≌△BMF（AAS），∴CG＝BF，∴CG+BG＝BF+BG，∴FG＝BC，∵BC=2AB∴FG=2AB【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確構造全等三角形解決問題．10．如圖，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，D是斜邊BC上的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF（1）若AB＝AC，BE＝12，CF＝5，求△DEF的面積．（2）求證：BE2+CF2＝EF2．【分析】（1）首先連接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，AD是斜邊的中線，可得：AD＝DC，∠EAD＝∠C＝45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF＝90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF＝90°，故∠EDA＝∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD，所以可得：AE＝CF，AF＝BC，；根據勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根據三角形面積公式求出即可．（2）延長ED至點G，使得DG＝DE，連接FG，CG，易證EF＝FG和△BDE≌△CDG，可得BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，即可求得∠FCG＝90°，根據勾股定理即可解題．【解答】（1）解：連接AD，如圖1，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊的中線，∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，又∵DE⊥DF，AD⊥DC，∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，∴∠EDA＝∠CDF，在△AED與△CFD中，∠EDA=∠CDFAD=CD∴△AED≌△CFD（ASA）．∴AE＝CF，同理△AFD≌△BED，∴AF＝BE，∵∠EAF＝90°，∴EF2＝DE2+DF2，∴BE2+CF2＝EF2；∵BE＝12，CF＝5，∴EF＝13，∵△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°．∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED2+DF2＝132，DE＝DF=13∴△DEF的面積S=12×DE×（2）證明：延長ED至點G，使得DG＝DE，連接FG，CG，如圖2，∵DE＝DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF＝FG，∵D是BC中點，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，BD=CD∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，∵∠ACB+∠DBE＝90°，∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，∵CG2+CF2＝FG2，∴BE2+CF2＝EF2．【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等．壓軸題壓軸題1．（1）在一次數學探究活動中，陳老師給出了一道題．如圖1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內的一點，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度數．小強在解決此題時，是將△APC繞C旋轉到△CBE的位置（即過C作CE⊥CP，且使CE＝CP，連接EP、EB）．你知道小強是怎么解決的嗎？（2）請根據（1）的思想解決以下問題：如圖2所示，設P是等邊△ABC內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數．【分析】（1）如圖1，首先證明BE2＝PE2+PB2，得到∠BPE＝90°；證明∠CPE＝45°即可解決問題．（2）如圖2，作旋轉變換；首先證明∠AQP＝60°；其次證明PQ2+CQ2＝PC2，得到∠PQC＝90°，求出∠AQC＝150°，即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1，由題意得：∠PCE＝90°PC＝EC＝2；BE＝PA＝3；由勾股定理得：PE2＝22+22＝8；∵PB2＝1，BE2＝9，∴BE2＝PE2+PB2，∴∠BPE＝90°，∵∠CPE＝45°，∴∠BPC＝135°．（2）如圖2，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°到△ACQ的位置，連接PQ；則AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4；∴△APQ為等邊三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3；∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+CQ2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝∠AQC＝150°．【點評】該題主要考查了旋轉變換的性質、等邊三角形的判定及其性質、勾股定理逆定理等幾何知識點及其應用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．2．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，點E是平面內任意一點，連接DE．（1）如圖1，當點E在邊BC上時，過點D作DF⊥DE交AC于點F．①求證：CE＝AF；②試探究線段AF，DE，BE之間滿足的數量關系．（2）如圖2，當點E在△BDC內部時，連接AE，CE，若DB＝5，DE＝32，∠AED＝45°，求線段CE的長．【分析】（1）①根據ASA證明△ADF≌△CDE，進而解答即可；②連接EF，根據全等三角形的性質和勾股定理解答即可；（2）根據SAS證明△CDE≌△ADG，進而利用全等三角形的性質和勾股定理解答．【解答】證明：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠A＝45°，∴CD＝AD，∵DF⊥DE，CD⊥AB，∠ADF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF與△CDE中，∠A=∠BCD=45°AD=CD∴△ADF≌△CDE（ASA），∴CE＝AF；連接EF，∵△ADF≌△CDE，∴DE＝DF，∵DF⊥DE，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，∵AF＝CE，AC＝BC，∴CF＝BE，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴AF2+BE2＝CE2+CF2＝EF2＝2DE2．（2）過點D作DH⊥AE于H，過點D作DG⊥DE交AE于G，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠A＝45°，∴CD＝AD，∵DG⊥DE，CD⊥AB，∠ADG+∠CDG＝∠CDE+∠CDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∵DG⊥DE，∠AED＝45°，∴∠DGE＝45°＝∠AED，∴DG＝DE，在△CDE與△ADG中AD=CD∠ADG=∠CDE∴△CDE≌△ADG（SAS），∴CE＝AG，在Rt△DEG中，DE＝DG＝32，∴EG＝6，∵DH⊥AE，∴DH＝GH＝EH＝3，在Rt△ADH中，AD＝5，∴AH=A∴CE＝AG＝AH﹣GH＝1．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據全等三角形的判定和性質以及勾股定理解答．3．（2021秋?海曙區(qū)校級期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長線于N．（1）證明：BM＝CN．（2）當∠BAC＝70°時，求∠DCB的度數；（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，則4DN2﹣BC2的值為．【分析】（1）根據角平分線的性質和線段垂直平分線的性質可得到DM＝DN，DB＝DC，根據HL證明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM＝CN；（2）根據角平分線的性質得到DM＝DN，根據全等三角形的性質得到∠ADM＝∠ADN，線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質得到∠EDC＝55°于是得到結論；（3）證明AB+AC＝2AN＝12，推出AN＝6，CN＝2，再根據，CD2＝CE2+DE2＝CN2+DN2，可得結論．【解答】（1）證明：連接BD，如圖所示：∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分線BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，DB=DCDM=DN∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，DA=DADM=DN∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分線，∴DB＝DC，∴∠EDC=12∠BDC＝∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°；（3）解：在△ADM和△ADN中，∠AMD=∠AND∠DAM=∠DAN∴△ADM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN，∵△DMB≌△DNC，∴BM＝CN，∴AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝8+4＝12，∴AN＝6，∴CN＝AN﹣AC＝6﹣4＝2，∵CD2＝CE2+DE2＝CN2+DN2，EC=12∴14BC2+9＝4+DN2∴4DN2﹣BC2＝20．故答案為：20．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質、線段垂直平分線的性質，熟悉角平分線的性質和線段垂直平分線的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．4．已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，點A，B在第四象限．（1）如圖1，若A（1，﹣3），則①OA＝；②求點B的坐標；（2）如圖2，AD⊥y軸于點D，M為OB的中點，求證：DO+DA=2DM【分析】（1）①根據勾股定理計算OA的長；②作輔助線，構建全等三角形，證明△ADO≌△BEA（AAS），則BE＝AD＝1，AE＝OD＝3，可得B的坐標；（2）解法一：如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△DAM≌△EBM（SAS），則DM＝EM，∠DMA＝∠EMB，得△DME是等腰直角三角形，可得結論；解法二：如圖4，作輔助線，構建全等三角形，證明△MDO≌△MFB（ASA），同理可得結論．【解答】解：（1）①如圖1，過A作AP⊥y軸于P，∵A（1，﹣3），∴OP＝3，PA＝1∴OA=10故答案為：10；②如圖2，過點A作AD⊥y軸于D，過點B作BE⊥AD于E，則∠ODA＝∠AEB＝90°，∠DOA＝∠BAE，OA＝AB，∴△ADO≌△BEA（AAS），∴BE＝AD＝1，AE＝OD＝3，∴DE＝4，∴B（4，﹣2）；（2）解法一：如圖3，連接AM，過B作BE⊥AD，交DA的延長線于點E，∵△AOB是等腰直角三角形，M是OB的中點，∴AM⊥OB，BM＝AM，∠OAM＝∠ABM＝45°，由（1）知：△ODA≌△AEB，∴∠DAO＝∠EBA，∴∠DAM＝∠EBM，AD＝BE，∴△DAM≌△EBM（SAS），∴DM＝EM，∠DMA＝∠EMB，∴∠DME＝∠AMB＝90°，∴△DME是等腰直角三角形，∴DE=2DM∴DA+DO＝DA+AE＝DE=2DM解法二：如圖4，過B作BE⊥DA交DM的延長線于點F，交DA的延長線于E，由（1）可知：△ADO≌△BEA，∴BE＝AD，AE＝OD，∵M是OB的中點，∴OM＝BM，∵OD∥BF，∴∠DOM＝∠MBF，∵∠DMO＝∠BMF，∴△MDO≌△MFB（ASA），∴BF＝OD＝AE，DM＝FM，∴DE＝FE，∴DA+DO＝DA+AE＝DE=22DF=【點評】本題考查三角形綜合題、坐標與圖形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．5．請閱讀下列材料：問題：如圖1，在等邊△ABC內有一點P，且PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC李明同學的思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BP′A（如圖2），連接P′P．由旋轉的性質知△BP′P是三角形；P′A＝PC＝1，∠BP′P＝，P′P＝PB=3；在△AP′P中，∵P′P2+P′A2＝（3）2+12＝4＝PA2∴△AP′P是三角形；∴∠AP′P＝°；∴∠BPC＝∠BP′A＝∠BP′P+∠AP′P＝．問題得到解決．（1）將李明的思路補充完整；（2）請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3，等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC內一點，且PA＝1，PB＝3，PC=7，求∠CPA【分析】（1）由旋轉性質、等邊三角形的判定可知△BP′P是等邊三角形，由等邊三角形的性質知∠BP′P＝60°，根據勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，繼而可得答案．（2）由于△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC，則把△APB繞A點逆時針旋轉90°可得到△AP′C，連PP′，根據旋轉的性質得到∠P′AP＝90°，P′A＝PA＝1，P′C＝PB＝3，得到△PAP′為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得P′P=2PA=2，∠APP′＝45°，在△P′PC中，可得到PC2+P′P2＝P′C2，根據勾股定理的逆定理得到△P′PC為直角三角形，∠CPP′＝90°，利用∠CPA＝∠CPP′+∠【解答】解：（1）將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BP′A（如圖2），連接P′P．由旋轉的性質知△BP′P是等邊三角形；∴P′A＝PC＝1、∠BP′P＝60°、P′P＝PB=3在△AP′P中，∵P′P2+P′A2＝（3）2+12＝4＝PA2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P＝90°；∴∠BPC＝∠BP′A＝∠BP′P+∠AP′P＝60°+90°＝150°．故答案為：等邊、60°、直角、90、150°；（2）如圖，將△APB繞點A逆時針旋轉90°可得△AP′C，連接PP′，∴∠P′AP＝90°，PA＝P′A＝1、P′C＝PB＝3，∴△PAP′為等腰直角三角形，由勾股定理可得PP′=2PA=2，∠APP′＝在△PP′C中，∵P′C＝3、PP′=2、PC=∴（7）2+（2）2＝32，即PC2+PP′2＝P′C2，∴△P′PC為直角三角形，∠CPP′＝90°，∴∠CPA＝∠CPP′+∠APP′＝90°+45°＝135°．【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定與性質．6．如圖①，在凸四邊形中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC．（1）如圖②，若連接AC，則△ADC的形狀是三角形．你是根據哪個判定定理？答：．（請寫出定理的具體內容）（2）如圖③，若在四邊形ABCD的外部以BC為一邊作等邊△BCE，并連接AE，請問：BD與AE相等嗎？若相等，請加以證明；若不相等，請說明理由．（3）在第（2）題的前提下，請你說明BD2＝AB2+BC2成立的理由．【分析】（2）通過全等三角形的判定定理SAS證得△BDC≌△EAC，然后根據全等三角形的對應邊相等推知BD＝EA；（3）要證明BD2＝AB2+BC2，只需證明△ABE是直角三角形即可（BD＝AE）．【解答】解：（1）∵在△ADC中，AD＝AC，∴△ADC是等腰三角形，又∵∠ADC＝60°，∴△ADC是等邊三角形（一個內角為60°的等腰三角形是等邊三角形）；故答案是：等邊；一個內角為60°的等腰三角形是等邊三角形；（2）∵由（1）知，△ADC是等邊三角形，∴DC＝AC，∠DCA＝60°；又∵△BCE是等邊三角形，∴CB＝CE，∠BCE＝60°，∴∠DCA+∠ACB＝∠ECB+∠ACB，即∠DCB＝∠ACE，∴△BDC≌△EAC（SAS），∴BD＝EA（全等三角形的對應邊相等）；（3）證明：∵由（2）知，△BCE是等邊三角形，則BC＝CE，∠CBE＝60°．∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2．又∵BD＝AE，∴BD2＝AB2+BC2．【點評】本題考查了等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及勾股定理．如果一個三角形滿足下列任意一條，則它必滿足另一條，三邊相等或三角相等的三角形為等邊三角形：①三邊長度相等；②三個內角度數均為60度；③一個內角為60度的等腰三角形．7．（2021秋?虎林市校級期末）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF＝EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當D與C重合時，易證：CD2+DB2＝2DF2；（1）當D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，并加以證明．【分析】（1）由圖1猜想結論成立；連接CF、BE，證明△DFC≌△EFB（SAS），由全等三角形的性質得出CD＝BE，∠DCF＝∠EBF＝45°，由勾股定理及直角三角形的性質可得出結論．（2）連接CF、BE，證明△DFC≌△EFB（SAS），由全等三角形的性質得出CD＝BE，∠DCF＝∠EBF＝135°，由勾股定理及直角三角形的性質可得出結論．【解答】解：（1）圖2中，CD2+DB2＝2DF2成立．證明：連接CF、BE，∵∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，∴CF＝BF，又∵∠DFC+∠DFB＝∠EFB+∠DFB＝90°，∴∠DFC＝∠EFB，∵DF＝EF，∴△DFC≌△EFB（SAS），∴CD＝BE，∠DCF＝∠EBF＝45°，∴∠DBE＝90°，∴DB2+BE2＝DE2，∵DE2＝2DF2，∴CD2+DB2＝2DF2．（2）圖3成立．CD2+DB2＝2DF2．證明：連接CF、BE，∵∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，∴CF＝BF，又∵∠DFC+∠CFE＝∠EFB+∠CFB＝90°，DF＝EF，∴∠DFC＝∠EFB，∴△DFC≌△EFB（SAS），∴CD＝BE，∠DCF＝∠EBF＝135°，∵∠EBD＝∠EBF﹣∠FBD＝135°﹣45°＝90°，在Rt△DBE中，BE2+DB2＝DE2，∵DE2＝2DF2，∴CD2+DB2＝2DF2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．8．（2022秋?唐河縣期末）（1）感知：如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，連結AD，BE，則可證△CBE≌△CAD，依據；進而得到線段BE＝AD，依據．（2）探究：如圖2，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點M，連接CM．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結論？若是，請證明；若不是，請直接寫出BE與AD之間的數量關系；②∠AMB的度數＝．（用含α的式子表示）（3）應用：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，當α＝90°時，如圖3，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如果PC=2，直接寫出PQ【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到CB＝CA，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用SAS定理證明△CBE≌△CAD，根據全等三角形的性質得到BE＝AD；（2）①證明△CBE≌△CAD，根據全等三角形的性質得到BE＝AD；②根據全等三角形的性質、三角形內角和定理計算即可；（3）證明△ACP≌△BCQ，得到∠PCQ＝90°，經過勾股定理計算即可．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CB＝CA，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ECA，∠ACD＝∠DCE﹣∠ECA，∴∠ECB＝∠DCA，在△CBE和△CAD中，CB=CA∠ECB=∠DCA∴△CBE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD（全等三角形的對應邊相等），故答案為：SAS；全等三角形的對應邊相等；（2）①BE＝AD，證明如下：∵∠ACB＝∠DCE＝α，∠ACD＝α+∠BCD，∠BCE＝α+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△CBE和△CAD中，CB=CA∠ECB=∠DCA∴△CBE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α，故答案為：α；（3）如圖3，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中點分別為點P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，CA=CB∠CAP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，∠ACP＝