基本不等式專題知識講座

基本不等式專題知識講座基本不等式專題知識講座第1頁1.課題導(dǎo)入基礎(chǔ)不等式幾何背景：

如圖是在北京召開第24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是依據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖設(shè)計(jì)，顏色明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？基本不等式專題知識講座第2頁2.講授新課1．探究圖形中不等關(guān)系

在正方形ABCD中有四個(gè)全等直角三角形。設(shè)直角三角形兩條直角邊長為a,b那么正方形邊長為

這么，4個(gè)直角三角形面積和是2ab，正方形面積為

基本不等式專題知識講座第3頁因?yàn)?個(gè)直角三角形面積小于正方形面積，咱們就得到了一個(gè)不等式：探究圖形改變過程當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有

基本不等式專題知識講座第4頁2．得到結(jié)論：3．思索：你能給出它證實(shí)嗎？證實(shí)：因?yàn)榛静坏仁綄ｎ}知識講座第5頁

尤其，假如a>0,b>0,咱們用分別代替a、b，可得

通常咱們把上式寫作

4．1）認(rèn)識基礎(chǔ)不等式基本不等式專題知識講座第6頁只要證a+b

（2）要證（2），只要證a+b-0（3）要證（3），只要證（

-

）

0（4）顯然，（4）是成立。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中等號成立。用分析法證實(shí)：要證

（1）2）從不等式性質(zhì)推導(dǎo)基礎(chǔ)不等式基本不等式專題知識講座第7頁3、例題講解例1已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)≥2；分析：在利用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立條件)，進(jìn)行變形.解：∵x，y都是正數(shù)

∴＞0，＞0

=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中取等號。）基本不等式專題知識講座第8頁(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.解：∵x，y都是正數(shù)∴x＋y≥2>0∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0x2＋y2≥2>0

x3＋y3≥2>0∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥＝８x3y3即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.2·2·2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中取等號）基本不等式專題知識講座第9頁4.隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc分析：對于這類題目，選擇定理：

（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結(jié)果.解：∵a，b，c都是正數(shù)b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc.=8abc∴a＋b≥2>02·2·2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式取等號）基本不等式專題知識講座第10頁

本節(jié)課，咱們學(xué)習(xí)了主要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b算術(shù)平均數(shù)()，幾何平均數(shù)（）及它們關(guān)系（≥）.它們成立條件：

(1)、前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).(2)、當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，以上兩式取等號。它們既是不等式變形基礎(chǔ)