2024屆九省聯(lián)考T19數(shù)學(xué)壓軸100題及答案

九省聯(lián)考?jí)狠S通關(guān)100題．離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X,p1u,vX,mN為除以p的余數(shù)，uvum為um除以p的余數(shù)；設(shè)aX，a,a2,,,ap2,兩兩不同，若an,，則稱n是以a為底b的離散對(duì)數(shù)，記為bn,p2np)ab．(1)若pa2，求ap；(2)對(duì)m,m,pmm為mm除以p1mm能12121212被p1整除時(shí)，mm0log(p)blog(p)ablog(p)acc12a中,cX；(3)已知np)b．對(duì)xX,k,p，令yak,yxbk．證a12明：xy2np2,．A:a,a,a(n4)滿足：aaniccRni12ni稱此數(shù)列具有性質(zhì)Pc.(1)若數(shù)列A:a,a,2,6具有性質(zhì)，求a,a,c的值；Pc2323(2)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)Paaa,na,a01i,jn012nij時(shí)，存在正整數(shù)k，使得aaa，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；jikn(3)把具有性質(zhì)a2k1a2km（kN*,k2,mPcA構(gòu)成的集合記作cn,m.求出所有的n，使得對(duì)任意給定的,c，時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在當(dāng)數(shù)列ATn,mcn.iaij,1i,jj．給定正整數(shù)n2，對(duì)于一個(gè)由n個(gè)非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列A：a,a,,a，如果存在非負(fù)整數(shù)x，x,x,,x，使得xx0，且12n012n0nkk1xk,n，則稱數(shù)列“數(shù)列”.AFk第1頁(yè)共249頁(yè)（14和A242是否為“F數(shù)列；n1為定值；k1ak（）若數(shù)列：a,a,,a為“數(shù)列”，求證：AF12nk1（n…n的一個(gè)排列a,a,,a，A12n且“數(shù)列”.AF1．已知數(shù)列a是正項(xiàng)等比數(shù)列，b是等差數(shù)列，且ab2，nn1ab，aa，2453(1)求數(shù)列a和b的通項(xiàng)公式；nnn22(2)x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，4n表示數(shù)列b的前項(xiàng)和，nn1Tb集合An4nn2,nN*共有4個(gè)元素，求范圍；an24n1n,n2kkN(3)nc的前n項(xiàng)和為Sn2na2n2nnnNab,nk,kn252n2n11839S2n4．．已知Q:a,a,,a為有窮正整數(shù)數(shù)列，且a≤a≤≤a，集合12k12kX0,1xX,i,kxaxaxatt為i1122kk∣為可表xa,xX,i,kkkTtt112a2kki集．(1)若ki2i1,i,k311024是否為k可表數(shù)，并說(shuō)明理由；31k(2)若,T，證明：n；2(3)設(shè)ii1,i,k，若,2024T，求k的最小值．1n．已知數(shù)列an}滿足an1f(a).(1)若f(x)xAsin(πx)的值，使數(shù)列a}為等差數(shù)列；An2(2)若f(x)xx2，求證：an2n1；第2頁(yè)共249頁(yè)444(3)2an}aa…a]]]e(22(32(n2N312NTxxaa,1ijN，記T的元素個(gè)數(shù)為PT．ji(1)①若數(shù)列：，，，，求集合T，并寫出PT的值；②若數(shù)列1x3xy，PT3A和集合；(2)若A“PTN1”的充要條件是“A為等差數(shù)列；(3)請(qǐng)你判斷PT是否存在最大值，并說(shuō)明理由．．如果無(wú)窮項(xiàng)的數(shù)列an}滿足“對(duì)任意正整數(shù)i,j,ij，都存在正整數(shù)k，使得aaa”，則稱數(shù)列a}具有“性質(zhì)”．kijn(1)若數(shù)列a}a2d3a}是否n1n具有“性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若等差數(shù)列a}具有“性質(zhì)”a為首項(xiàng)，a0dn11且；d≥0(3)若等比數(shù)列a具有“性質(zhì)”，公比為正整數(shù)，且16,315,414,615這n四個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在an求出相應(yīng)數(shù)列首項(xiàng)的最小值，說(shuō)明理由．．設(shè)正整數(shù)數(shù)列，a2，，滿足aa，其中1ijN.aN(NijA:1如果存在k，，，N}，使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱A“k階平衡數(shù)列”(1)判斷數(shù)列，，，，10和數(shù)列，，，，17是否為“4階平衡數(shù)列”？(2)若NA:1，，N不是“k階平衡數(shù)列”，其中k{2,3,,N}第3頁(yè)共249頁(yè)(3)如果ak{2,3,,N}，數(shù)列均為“k階平衡數(shù)AN列，求數(shù)列A中所有元素之和的最大值．10．給定正整數(shù)N3，已知項(xiàng)數(shù)為m且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列A：ix,y,x,y,,x,y滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①x,y,N，且1122mmiyi,m；②i1ii,m；③,q與,p不同時(shí)在數(shù)ii對(duì)序列A中.(1)當(dāng)3，m時(shí)，寫出所有滿足x1的數(shù)對(duì)序列；N3A1(2)當(dāng)N6時(shí)，證明：m；(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記m的最大值為TN，求TN.a的前項(xiàng)和為Snnnn數(shù)m，使得Sa，則稱a是“數(shù)列”．Hnmnn1(1)若數(shù)列an，bn1，判斷a和b是否是“數(shù)列”；H2n1,n2nnn(2)設(shè)a是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1，公差d0．若a“數(shù)列”，nHn1求d的值；nn(3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列a，總存在兩個(gè)“數(shù)列”b和c，HnnN*使得abcn成立．nnanN．12．在數(shù)列a中，若a21，且an2an1n*n1(1)試寫出數(shù)列a的前六項(xiàng)．n(2)求出a中另兩個(gè)可被5整除的項(xiàng)，并指出分別是第幾項(xiàng)．n(3)指出a中可被5整除的項(xiàng)出現(xiàn)的規(guī)律，并說(shuō)明理由．n(4)a,aa不出現(xiàn)5的倍數(shù)？為12n什么？(5)a,aa中不出現(xiàn)5的倍數(shù)？試找出其中12n第4頁(yè)共249頁(yè)a,a取數(shù)規(guī)律，并說(shuō)明理由．1213．約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)mm0除a為mm為a的約數(shù).設(shè)正整數(shù)a共有k個(gè)正約數(shù)，即為a,a,,ak1,ak2a.ka121(1)當(dāng)k4a的ka的值；(2)當(dāng)時(shí)，若aa,aa,,aa構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)a；k42132kk1(3)記Aaaaaaa，求證：.Aa21223k1k14．設(shè)m為給定的正奇數(shù)，定義無(wú)窮數(shù)列：Am1aa為偶數(shù)1n12nn.其中N若a是數(shù)列A中的項(xiàng)，則記作km*a為奇數(shù)anmaA.km(1)若數(shù)列的前6m的最小值及此時(shí)數(shù)列的前6Am項(xiàng)；(2)求證：集合Bk∣aA,a2m是空集；kmk*∣正奇數(shù),xS（若m為任xxA,Sx(3)記集合SmmmS意的正奇數(shù)，求所有數(shù)列A的相同元素構(gòu)成的集合.）Sm15．?dāng)?shù)列anN*有100項(xiàng)，1a，對(duì)任意n[2,100]，存在naad,1in1,若a與前n項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱a具有性質(zhì)．nikk(1)若ad2，寫出a所有可能的值；==14n(2)若aa中存在某些項(xiàng)具有性質(zhì)P;n(3)若a中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)，這三項(xiàng)和為c，請(qǐng)用c表示naaa．12100第5頁(yè)共249頁(yè)16．若數(shù)列a滿足：anN，且11，則稱a為一個(gè)數(shù)*Xnnn列．對(duì)于一個(gè)數(shù)列a，若數(shù)列b滿足：b1，且Xnn1an12n1ann,nN，則稱b為a的伴隨數(shù)列．nn*(1)若數(shù)列a中，a3a41b中b,b,b的Xn2n234值；nn(2)若a為一個(gè)數(shù)列，b為a的伴隨數(shù)列Xnn①證明：“a為常數(shù)列”“b為等比數(shù)列的充要條件；n②求2023的最大值．17．已知a是無(wú)窮數(shù)列，aa，a2ba中任意兩項(xiàng)a，n1niai)，在a中都存在一項(xiàng)a(jk2)，使得aai.jjnkk(1)若，，求a；a3b53(2)若a=b=0，求證：數(shù)列a中有無(wú)窮多項(xiàng)為；n(3)若，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.abn18ta滿足a123aaant（n1nNnn1則稱數(shù)列a“Ht數(shù)列n(1)判斷數(shù)列：123849是否為“H數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列a是首項(xiàng)為的“Ht數(shù)列”列ban2nnn與b滿足2aaaalog2n，求t的值和數(shù)列b的通項(xiàng)公式；nn123ni1(3)若數(shù)列a“Ht數(shù)列”，S為數(shù)列a的前項(xiàng)和，a1，t0n，nnn1試比較a與a1的大小，并證明tSSneSnn.nnn119l:ym（i2,3:y28x交于ii點(diǎn)ABTt,0)為xmmmt到直線l的Tii123i距離為d，△TAB的面積為Si．iii(1)若直線l的傾斜角為，且過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求直線l的方F33第6頁(yè)共249頁(yè)程；(2)若OA1OB10，且0，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；11312(3)當(dāng)k1時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得S，，S成等比數(shù)列，d，d，T1S2d3也成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T理由．n20．已知數(shù)列a是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列b是公比不為1n的等比數(shù)列，滿足aab，aab，aab．122233454(1)求a和b的通項(xiàng)公式；nnn(2)求數(shù)列ab的前項(xiàng)和S；nnnndk2k(3)若數(shù)列d滿足d1ddbTm，n1nn1nni1d使得對(duì)任意的nN*都有1nn2成立？若存在，求出m的值；2n若不存在，說(shuō)明理由．21m(m的有窮數(shù)列aa223m1m，n1P則稱a為“數(shù)列”.n(1)已知數(shù)列a、b的通項(xiàng)公式分別為an2n4)，nnnn1Pnn.分別判斷a、b是否為“數(shù)列”2nn(2)已知“數(shù)列”a,a,,a的各項(xiàng)互不相同，且，a2.若P1201210Pa,a,,a也是“數(shù)列，求有窮數(shù)列a的通項(xiàng)公式；91n(3)已知“數(shù)列”a是2,3,,m的一個(gè)排列（即數(shù)列a中的項(xiàng)不計(jì)Pnn2,3,,maaaaamm1m1223m1的所有可能值.22．設(shè)數(shù)集S滿足：①任意，有②對(duì)任意x，yS（，xSx0yxyS或xyS，則稱數(shù)集S具有性質(zhì)．第7頁(yè)共249頁(yè)6和B6是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(1)判斷數(shù)集A(2)若數(shù)集Ba,a,a且aain具有性質(zhì)．12nii1（）當(dāng)n4時(shí)，判斷a,a,a,a是否一定構(gòu)成等差數(shù)列，說(shuō)明理由；1234（ⅱ）若n100，數(shù)集B中的每個(gè)元素均為自然數(shù)且n2023，求數(shù)集B中所有元素的和的所有可能值．23．設(shè)k,m是正整數(shù)，如果存在非負(fù)整數(shù)a,a,a,c,c,c使得12k12kk，則稱m是好數(shù)，否則稱m是壞數(shù)．例如：kkm(iii12(020(002，所以2是2好數(shù)．(1)分別判斷22,24是否為3好數(shù)；m(2)若m是偶數(shù)且是m是k是好數(shù)；kk2(3)求最少的2023壞數(shù)．nn24a}是等差數(shù)列，數(shù)列b}a1，nn1的前n項(xiàng)和為Sn.若2nSn2n1n2對(duì)任意的nN*恒成立.（）求數(shù)列a}，b}的通項(xiàng)公式；nnb,,（）若數(shù)列c}滿足cn.問(wèn)：是否存在正整數(shù)m，使得nna,nnccm187，若存在求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由；mm1（?公差為d的無(wú)窮等差數(shù)列dn}的所有可da，且存在正整數(shù)k，使得d,d,d成等比數(shù)列，求d1k能的值.25．已知A：a,a,,an4為有窮數(shù)列.若對(duì)任意的i,n，n12n都有i1ai1（規(guī)定aaA具有性質(zhì).設(shè)P0nn.1,2jin2i,j,nni,jaaji(1)判斷數(shù)列410.1，-0.2，0.5，A5：，，，1.2，2是否第8頁(yè)共249頁(yè)具有性質(zhì)?若具有性質(zhì)P，寫出對(duì)應(yīng)的集合Tn；(2)若A具有性質(zhì)，證明：T；P44(3)給定正整數(shù)n，對(duì)所有具有性質(zhì)的數(shù)列A，求中元素個(gè)數(shù)的nPn最小值.2i1△i為△26．對(duì)于數(shù)列a定義ai1a為a的差數(shù)列，iniina的累次差數(shù)列.如果a的差數(shù)列滿足iaj，i,jN,ij，△*nn△2△2則稱a是“絕對(duì)差異數(shù)列a的累次差數(shù)列滿足iaj，nni,j*n，則稱a是“累差不變數(shù)列(1)設(shè)數(shù)列1，，10，，；：，5232A2斷數(shù)列1和數(shù)列A是否為“絕對(duì)差異數(shù)列或“累差不變數(shù)列”寫出你的結(jié)論；(2)若無(wú)窮數(shù)列a既是“絕對(duì)差異數(shù)列”又是“累差不變數(shù)列”，且n1△2a的前兩項(xiàng)a0a2a，i（d為大于0nn的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列：b,b,,2n1,2n是絕對(duì)差異數(shù)列”，且B12.,2n,.4,2n證明：b2nn的充要條件是1b,b,,2n12b,b,2n27．設(shè)數(shù)列a,b的前項(xiàng)和分別為A,B，且nnnnn2aAa,B2b．nnn1n3(1)求a和b的通項(xiàng)公式；nncnn(2)設(shè)12,nnab21n112abn2n的前n項(xiàng)和為Sn，；b2證明：①Sn12nb1nnn2．②Sn第9頁(yè)共249頁(yè)28Aa,a,aaN*且naaaa，nN123n123nk，都有若對(duì)任意的,yAxyyx，則稱集合具有性質(zhì)M.Ak(1)集合Aa具有性質(zhì)M3，求a的最小值；11n1(2)已知具有性質(zhì)M，求證：；A151an15(3)已知具有性質(zhì)M，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說(shuō)明理AA15由.29．對(duì)于數(shù)集X（n2x,x,,xn120xxxa,bXc,dXacbd0，12n則稱X具有性質(zhì)．112(1)若0x，且集合,具有性質(zhì)，求x的值；2(2)若X具有性質(zhì)，求證：；且若x1成立，則x1；1Xn1(3)若X具有性質(zhì)，且x，求數(shù)列x,x,,x的通項(xiàng)公式．n12na230．已知數(shù)列a滿足aan1n，且121n1nnan2(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.n111(2)設(shè)f(x)1xxx2xnxnN)e是自然對(duì)數(shù)的*n!xn1底數(shù)，求證：0f()(n!1(3)設(shè)S為數(shù)列的前n存在“極限”{Sn}nan存在一個(gè)確定的實(shí)數(shù)S，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)u都存在正整數(shù)m滿足當(dāng)nm時(shí)，SnSu（可以證明SS稱為數(shù)列{Sn}的極限.試根據(jù)以上敘述求出數(shù)列{Sn}的極限.31a：a，a…，an4滿足：a1，am，aak0或n12n1nk1（k1…，isaaaa，n1ijst,,,且兩兩不相等．其中ijst,n第10頁(yè)共249頁(yè)(1)若m2，直接寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)：①，，，，，；11112222③，，，，，，，，2(2)記Saaa，若，證明：；m3S12n(3)若，求n的最小值．m202232．給定正整數(shù)k，其中2，如果有限數(shù)列a同時(shí)滿足mkna為(k,m)(k,m)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最小n值為G(k,m)．條件①：a的每一項(xiàng)都屬于集合,k；nm條件②,k中任取列都是a的子列．na中選取第ii項(xiàng)、ii21…5n125新數(shù)列a,a,,a稱為a的一個(gè)子列．i3i2i5n(1)分別判斷下面兩個(gè)數(shù)列，是否為(3數(shù)列．并說(shuō)明理由！數(shù)列12,3；數(shù)列22,3,．(2)求Gk,2的值；k23k4(3)求證G(k,k)．233A:a,a,aNN,N3滿足ai,N.12Ni給定正整數(shù)s,t(st)k,m，都有asktk，則稱數(shù)列A是-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.(1)判斷數(shù)列A1,0,1,0,是否是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A2-N的最小值；第頁(yè)共249頁(yè)(3)若數(shù)列A:a,a,,a不是4-A:a,a,,a,1，12N112N數(shù)列A:a,a,,a,0與數(shù)列A:a,a,,a,1都是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，且212N312Na0，求a的值.3N34．設(shè)a為無(wú)窮數(shù)列，給定正整數(shù)k(k，如果對(duì)于任意，nN*n都有an2ka2a，則稱數(shù)列a具有性質(zhì)P(k)．nnkn(1)判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否具有性質(zhì)P(2)①等差數(shù)列：，，，…②等比數(shù)列：，，，．AB(2)已知數(shù)列a具有性質(zhì)11a22P(2)n的集合anNZ，求a的通項(xiàng)公式；*nn(3)若既具有性質(zhì)P(6)又具有性質(zhì)P(k)的數(shù)列a一定是等差數(shù)列，n求k的最小值．iSinnN(i)*35a的前項(xiàng)和為S項(xiàng)積n，nn則稱數(shù)列a“數(shù)列”.Zn(1)判斷下列數(shù)列是否是Z①488，2440，56(2)若數(shù)列a是數(shù)列，且.求S和T；Za22n33(3)是否存在等差數(shù)列是Z數(shù)列？請(qǐng)闡述理由.n36aa的前項(xiàng)和為S，nnn記S,S,,S中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為b．12nn(1)若an，試寫出數(shù)列b的前5項(xiàng)；nn(2)證明：“aai2,3,為偶數(shù)是“數(shù)列b為嚴(yán)格增數(shù)1in列的充分非必要條件；biin（a的通項(xiàng)公式．i(3)若a37．已知數(shù)列a．給出兩個(gè)性質(zhì)：n第12頁(yè)共249頁(yè)a,aijn①對(duì)于a中任意兩項(xiàng)，在a中都存在一項(xiàng)a，使得nijkaaa；kij②對(duì)于a中任意連續(xù)三項(xiàng)a，a，a，均有nnn1n212an1an20．a(chǎn)nan1an2an(1)分別判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否滿足性質(zhì)，并說(shuō)明理由：a21n；（）有窮數(shù)列a：nnbnn)（ⅱ）無(wú)窮數(shù)列b：．nn(2)若有窮數(shù)列a滿足性質(zhì)和性質(zhì)②nm的最大值；(3)若數(shù)列a滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②a0，a21，32n1n的通項(xiàng)公式．38．設(shè)a,a,a,a是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為dd0的等差數(shù)列1234(1)證明：2,2,2,2依次成等比數(shù)列；aaaa1234(2)是否存在a,d，使得a,a22,334,a4依次成等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；11(3)是否存在1,d及正整數(shù),k1,ank,n2k,an3k依次成等比數(shù)列，n并說(shuō)明理由．39a,b的項(xiàng)數(shù)均為m(m2)an,n2,,},a,bnnnn的前n項(xiàng)和分別為A,B，并規(guī)定AB0．對(duì)于k,，定nn00∣,，其中，M表示數(shù)集M中最大的義riBA,ikik數(shù).(1)若aaabbb，求r,r,r,r的值；1231230123(2)若ab，且2rrr,j,m，求r；11jj1j1n(3)證明：存在p,q,s,t,，滿足p,st,使得ptqs．40．如圖為一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)表，記數(shù)表中第i行第j列的數(shù)第13頁(yè)共249頁(yè)為ai,j，已知各行從左至右成等差數(shù)列，各列從上至下成公比相同的等比數(shù)列.1…620(1)若ai,j，求實(shí)數(shù)對(duì)i,j；(2)證明：所有正整數(shù)恰在數(shù)表中出現(xiàn)一次.41．懸鏈線是平面曲線，是柔性鏈條或纜索兩端固定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成的外形．在工程中有廣泛的應(yīng)用，例如懸索橋、架空電纜都用到了懸鏈線的原理，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間的探17xcxcc的方程是yeecc1時(shí)，2exex稱為雙曲線余弦函數(shù)．x2(1)解方程x3；(2)雙曲余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)成為雙曲正弦函數(shù)，記作x求x3x的最小值；時(shí)，x0n2n(3)已知n，求數(shù)列a）3e3n2k1k11a4,,1k,k，即當(dāng)42．設(shè)數(shù)列nk個(gè)k1kkk1時(shí)，．記Sn12Lnn*．k1knkN*an223(1)寫出1，S2，S，S4；bSk(2)令，求數(shù)列k的通項(xiàng)公式；kk2第14頁(yè)共249頁(yè)Snan(3)對(duì)于l*，定義集合PnZ,nN*,1nl，求集合P中元l2023素的個(gè)數(shù)．43．已知a是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列．該數(shù)列前n項(xiàng)的最大n值記為A，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an1,an2的最小值記為B，dAB．nnnnn(1)若a為2,4,2,4,，4nN*nan4ad，d，d，d的值；n1234(2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)．證明：dnd（n）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；(3)12，dn有無(wú)窮多項(xiàng)為1．1（na}的項(xiàng)只能是或者n12,m3的數(shù)列a，其中ai,m.44．給定項(xiàng)數(shù)為mmN*nik若存在一個(gè)正整數(shù)k2km1，若數(shù)列a中存在連續(xù)的項(xiàng)和該nk數(shù)列中另一個(gè)連續(xù)的k項(xiàng)恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列a“n階可重復(fù)數(shù)列”a:0.因?yàn)閍,a,a,a與a,a,a,a按n12344567次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列a是“4階可重復(fù)數(shù)列”.n(1)分別判斷下列數(shù)列①b:0.n②c.n是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請(qǐng)寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；(2)若項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列a一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則的最小值mn是多少？說(shuō)明理由；(3)假設(shè)數(shù)列a不是階可重復(fù)數(shù)列”a后再添nm加一項(xiàng)0或，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a41，求數(shù)第15頁(yè)共249頁(yè)列a的最后一項(xiàng)a的值.nm45a滿足aak1k2,3,,n1n2a為nk1n數(shù)列.記Saaaa.n123n(1)寫出一個(gè)滿足aa1，且S5的數(shù)列；155(2)若an，證明：數(shù)列a是遞增數(shù)列的充要條件是1nn2023；(3)對(duì)任意給定的整數(shù)nn3，是否存在首項(xiàng)為1的數(shù)列a，使n得S1數(shù)列ann說(shuō)明理由.46n、a、均為正整數(shù)，且nab，p為一素?cái)?shù)，n、a、的bbsssp進(jìn)制表示分別為nnipiaaipibip，其中，ii0i0i00nabp1i、、,s.證明：iiisdipdii,s，且對(duì)整數(shù)j0js均有（）若nii0nsdipippi1ijx表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最dippjijijij大整數(shù).（）pn!ab!╲|n!ab!iabni,s，其中，A表示iii,p1集合A中元素的個(gè)數(shù).47．已知有窮數(shù)列A:aaa(n中的每一項(xiàng)都是不大于n的正12n整數(shù).對(duì)于滿足1mn的整數(shù)mAm.kakm，k2，n記集合(m)中元素的個(gè)數(shù)為s(m)（約定空集的元素個(gè)數(shù)為）.(1)若(2)若，求及s；A:63253755111n，求證：a,a,,a互不相同；12ns(1)s(a2)s(an)(3)已知aa,abijiijn)都有i或，j(i)12第16頁(yè)共249頁(yè)ij(a)，求aaa的值.j12n(n)，48．已知無(wú)窮數(shù)列a滿足aa,aa,annn1n2n1n2其中max{x,y}表示y中最大的數(shù)，min{x,y}表示xy中最小的數(shù).(1)當(dāng)11，時(shí)，寫出a的所有可能值；a224n(2)若數(shù)列a中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列a中的項(xiàng)；n(3)若an0(n)Mn，都有anMM明理由.49．設(shè)為整數(shù)．有窮數(shù)列a的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其項(xiàng)數(shù)為mn數(shù)列：①am1，（m2a滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱a為Pnna1,an為奇數(shù),n且ii,m；②an1(n,man,an為偶數(shù)2(1)若a為P數(shù)列，且a5，求；n11(2)若a為1數(shù)列，求1的所有可能值；n(3)若對(duì)任意的P數(shù)列a，均有m2log2ad，求d的最小值．1n150．已知等比數(shù)列a的公比為（q1，ndd0CAB，等差數(shù)列b的公差為（n集合C中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列c．n(1)若集合C4,5,6,7,9}，寫出一組符合題意的數(shù)列a和b；nnN，數(shù)列b為無(wú)窮數(shù)列，，且數(shù)列n的2nABn(2)若nn1*前5項(xiàng)成公比為p的等比數(shù)列．當(dāng)ba時(shí)，求p的值；15(3)若數(shù)列b是首項(xiàng)為1的無(wú)窮數(shù)列，求證：存在無(wú)窮數(shù)列a，nn使AB”的充要條件是“d是正有理數(shù)．第17頁(yè)共249頁(yè)51A:x,x,x,,x.設(shè)集合Aiikk,i,n,n，k012nA如果對(duì)任意的整數(shù)k0kn都有集合A的元素個(gè)數(shù)等于xkk為完美數(shù)列”(1)分別判斷數(shù)列A:2,0,2,0和A0,1是否為“完美數(shù)列”，直接寫出12結(jié)論：(2)若是“完美數(shù)列”，求證：x2x3xnx2n2；A012n(3)若是“完美數(shù)列”，且x，求出所有滿足條件的數(shù)列.AA052Paa，，125P中存在不同的四項(xiàng)aaaa滿足aaqast，npqstpant則稱P為等和數(shù)列，集合Ma,a,a,a稱為P的一個(gè)等和子集，pqs否則稱P為不等和數(shù)列．(1)判斷下列數(shù)列是否是等和數(shù)列，若是等和數(shù)列，直接寫出它的所有等和子集；：，，，，；：，，，，；(2)已知數(shù)列：a，a，a，a，a是等和數(shù)列，并且對(duì)于任意的12345i,j1iPM5的一個(gè)等和子集滿足集合a,aMjji證：數(shù)列P是等差數(shù)列；nn92(3)若數(shù)列：a，a，，a是不等和數(shù)列，求證：．n12n4n53．若無(wú)窮數(shù)列a滿足，anan1n1，則稱a具有性質(zhì)Nnna具有性質(zhì)P．Pa滿足，nn41aN2n2n1nn21(1)若數(shù)列a具有性質(zhì)Pa0a3的所有可能取值；n1(2)若等差數(shù)列a具有性質(zhì)P，且a1，求2a的取值范圍；322n21(3)已知無(wú)窮數(shù)列a同時(shí)具有性質(zhì)P和性質(zhì)Pa30不是數(shù)列n125na的項(xiàng)，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式．n54A:aa、aTT1112n1第18頁(yè)共249頁(yè)將數(shù)列變換成數(shù)列TA:n、a1、a1、、a1A112n非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B:b、b、、b，定義變換T，T將數(shù)列各項(xiàng)從B12m22大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列2B；又定義SB2b2m2122bA是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮m02bb1數(shù)列，令k1TTAk．21k(1)如果數(shù)列A為、、，寫出數(shù)列A、；2A51301(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明STAS；A1(3)證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列0，存在正SA．整數(shù)，當(dāng)kK時(shí)，SAKk1kn55a項(xiàng)數(shù)為Np為a的“映射焦點(diǎn)”果p滿足：n,N；①2p②對(duì)于任意npk，存在kpN，滿足aa，并將最小的記nk作kn；(1)若，判斷an5時(shí)，4是否為映射焦點(diǎn)？5是否為映射焦N9n點(diǎn)？(2)若Nan6時(shí)，pp的最大值為4；n22(3)若anN*,i1a1iN),nk2p1np，N2p100,a5，inp求aaa的最小值.1210056．給定整數(shù)n3，由n元實(shí)數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集?TaabSabminT1S為一個(gè)n元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)f為其中所有元素絕對(duì)值之和.(1)判斷A2.5、B0.5,0.5,1.5明理由；(2)任取一個(gè)n元規(guī)范數(shù)集mM分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，第19頁(yè)共249頁(yè)求證：SSn1；,遍歷所有2023f的最小(3)當(dāng)Sa,a,L21值..注：minX、X分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù)Xxn57）x,nN，且1至x之間的整數(shù)中，有個(gè)是n的倍數(shù)．*nnn（）在n!中，質(zhì)數(shù)p的最高方次數(shù)是p(n．n13pp2p12n（x為實(shí)數(shù)，nxxxx．nn58．設(shè)n是正整數(shù)，一個(gè)有限整數(shù)數(shù)列a,a,a,,a，定義它的差集012nA為kk1k)構(gòu)成的集合.(1)求下列數(shù)列的差集A；①，，，，，，，；②，，，，，32,,22020，求0的最大值和最小值;(2)若n，A1,2,222021(3)若0aaaA1,3,32,,3n2n1,301n整數(shù)列的個(gè)數(shù)F(n).59．對(duì)于數(shù)列un}，若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有M0nN*|un1u||uu||uuM，則稱數(shù)列u}為B數(shù)列．nnn121n1(1)首項(xiàng)為的等比數(shù)列a}是否為數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由；Bn2(2)設(shè)S是數(shù)列a}的前n是a}是{Sn}Bnnn否為B數(shù)列？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉出一個(gè)例子；(3)若數(shù)列a}，b}都是數(shù)列，求證：數(shù)列ab}是數(shù)列．BBnnnn60a的通項(xiàng)公式是a21n列bnnn，Bb,b,,b,nN合Aa,a,,an,*AB中的元素按1212n第20頁(yè)共249頁(yè).從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為nn(1)若cnnN*，寫出一個(gè)符合條件的b的通項(xiàng)公式，并說(shuō)明理n由；(2)若n2nbnd在上嚴(yán)格單NnNn,dn3n1nn,n**n調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若ABc的前5cc8n19.所有滿足條件的數(shù)列n61．設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a,a,…,a為nn階“Q12n數(shù)列”：①aaa0；②aaa1．12n12n(1)分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階Q數(shù)列”；(2)若2018階“Q數(shù)列”是遞增的等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；1(3)記n階“Q數(shù)列”的前k項(xiàng)和為Sk,n，求證．Skk262．已知為正整數(shù)數(shù)列，滿足aaa．記12nA:a,aL,a12nSaaa．定義A的伴隨數(shù)列Tkn如下：k12n①10；k②k1Takn)，其中k0(k,)．kkkk(1)若數(shù)列：，，，，直接寫出相應(yīng)的伴隨數(shù)列kk；(2)當(dāng)n2時(shí)，若S，求證：an1；n2n1(3)當(dāng)n2時(shí)，若S，求證：T0．n2n1nN*Maa1ijn為ij63a,a,,aA12n數(shù)列A的伴隨集合.(1)已知有限數(shù)列P-12和數(shù)列Q4分別寫出第21頁(yè)共249頁(yè)和Q的伴隨集合；PnN*(2)已知有限等比數(shù)列A：4,4元素之和；2,,4n，求A的伴隨集合M中各50(3)已知有限等差數(shù)列：a,a,,a，，是否能同時(shí)A1220227屬于A的伴隨集合M，并說(shuō)明理由.64．已知無(wú)窮數(shù)列a滿足：a0，21，且當(dāng)n3時(shí)，總存在n1aiaa,n1，使得iani1n1．ni(1)求4的所有可能值；(2)求a2023的所有可能值中的最大值；1(3)求證：當(dāng)n3時(shí)，．a(chǎn)n1ann65a}的前n項(xiàng)和為Snnnm，使得Sa，則稱數(shù)列a}“數(shù)列”.Enmn(1)數(shù)列an}的前n項(xiàng)和3n(nN*)，判斷數(shù)列a}是否為“數(shù)列”，EnSn并說(shuō)明理由；(2)數(shù)列b}b1d0b}是“數(shù)列”，En1n求d的值；(3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列a}，總存在兩個(gè)“數(shù)列”b}和c}，Ennnn使得abcnN成立.nn66滿足：任意②任意xySxySSxSx0或xyS，則稱數(shù)集具有性質(zhì).SPB4(1)判斷數(shù)集A4和是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)集Ca,a,,a且aai,n具有性質(zhì).P12nii1（）當(dāng)n5時(shí)，求證：a，a…，a是等差數(shù)列；12n（）當(dāng)a，a，…，a不是等差數(shù)列時(shí)，求n的最大值.12n第22頁(yè)共249頁(yè)67．定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插入這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列以此類推可以得到n階和數(shù)列，如2,4的一階和數(shù)列是2,6,4，設(shè)n階和數(shù)列各項(xiàng)和為Sn．(1)試求數(shù)列4的二階和數(shù)列各項(xiàng)和S2與三階和數(shù)列各項(xiàng)和S3猜想SnSn32n1S3S12(2)設(shè)bnb的前m項(xiàng)和TTm的nm3m3n3最小值68．記|A|表示集合A中的元素個(gè)數(shù)，ABa∣a,b}．若1|AA|A|A|，則稱集合A有性質(zhì)T”．2(1)設(shè)Aa,a為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正有理數(shù)，證明集合A,a,,a12nn有性質(zhì)T”．(2)已知集合，B均有“性質(zhì)T，且|A|Bn，求|AB|的最小值．69a,a,,aN4a,a,,aZaaa．A12N12N12N若數(shù)列滿足11,NaN，當(dāng)iN1時(shí)，ii11或A:a,a,a12Na1，則稱：,,為數(shù)列的“緊數(shù)列．AAii112NA8的所有“緊數(shù)列”為583，，；，，，；，，，．(1)直接寫出數(shù)列：，，，，8的所有“緊數(shù)列”A；(2)已知數(shù)列Aa1a2NA的所有緊數(shù)列”均1NA為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為N1；(3)已知數(shù)列A滿足：10，，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，a22A第23頁(yè)共249頁(yè)??定義集合SAaai,N1，如果對(duì)任意xSA，都有iixSA為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”A存在“強(qiáng)緊數(shù)A列，求NN的代數(shù)式表示）70q,d1的整數(shù)ka滿足nnad,N*nk“an1，則稱數(shù)列annN為M(k)數(shù)列”.*nqan,N*k(1)設(shè)d3，q0，若首項(xiàng)為1的數(shù)列a為“M數(shù)列”，求a；n2022(2)若首項(xiàng)為1的等比數(shù)列b為“M(k)數(shù)列”，求數(shù)列b的通項(xiàng)公nn式，并指出相應(yīng)的k,d,q的值；(3)設(shè)d1q=21的數(shù)列c“M數(shù)列”cnn的前n項(xiàng)和10n.71．已知數(shù)列a}中a1，前n項(xiàng)和為S，若對(duì)任意的，均有nN*n1nSnankk（k是常數(shù)，且kN*）成立，則稱數(shù)列an}為“H(k)數(shù)列”.(1)若數(shù)列a}為“H數(shù)列”，求數(shù)列a}的前n項(xiàng)和S；nnn(2)若數(shù)列an}為“H(2)數(shù)列”，求證：a1a2anan1anan2nn*；(3)若數(shù)列a}為“H(2)數(shù)列”aa}，n2n使得|a2anan1|對(duì)一切n2，nN*數(shù)列a}的a的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.n272Mx|1xx（Zm是大于3的正整m項(xiàng)的數(shù)列a滿足：任意的jM，都有aiM，且n當(dāng)ij時(shí)有aaim時(shí)有|aa|=2或|aa|=3Piji1ii1i數(shù)列．(1)寫出所有滿足=5且11的P數(shù)列；(2)若數(shù)列a為P數(shù)列，證明：a不可能是等差數(shù)列；nn第24頁(yè)共249頁(yè)(3)已知含有100P數(shù)列a滿足aaaa100kn5105kd是公差為dd0等差數(shù)列，求所有可能的值．73．記實(shí)數(shù)a、中較小者為,b，例如1,21，1，bk對(duì)于無(wú)窮數(shù)列aha,a.若對(duì)任意均有hk1kN*nk2k12k稱數(shù)列a為趨向遞增數(shù)列”.nn12n(1)已知數(shù)列a、b的通項(xiàng)公式分別為a，nnn2數(shù)列a、b是否為“趨向遞增數(shù)列”？并說(shuō)明理由；nnqn(2)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列c是“趨向遞增數(shù)列”1比q的取值范圍；(3)若數(shù)列d滿足ddddddn12nn2n1n為趨向遞增數(shù)列”的必要非充分條件是d中沒(méi)有.0n74pp生成數(shù)列a(p)和其特征數(shù)列(p)如下：nn（）a(p10；a(p)n,a(p)np1（）a(p)n1a(p)nb(p)n，其中b(p)n.nnn(1)直接寫出1生成數(shù)列的前4項(xiàng)；(2)判斷以下三個(gè)命題的真假并說(shuō)明理由；①對(duì)任意實(shí)數(shù)p0，都有a(2p)na(p)n；n②對(duì)任意實(shí)數(shù)p0，都有a(p)na(p)n；n③存在自然數(shù)qpq和正整數(shù)N，對(duì)任意自然數(shù)nN，有a(p)a(q)C，其中C為常數(shù).nn(3)從一個(gè)無(wú)窮數(shù)列中抽出無(wú)窮多項(xiàng)，依原來(lái)的順序組成一個(gè)新的無(wú)窮數(shù)列，若新數(shù)列是遞增數(shù)列，則稱之為原數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮遞,pn增子列.求證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)生成數(shù)列a(p)存在無(wú)窮遞增子第25頁(yè)共249頁(yè)列.75．已知數(shù)列{an}為有限項(xiàng)數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為*N（m，m意2km1且kN都有|k1aaa，則稱{a}是“Ω數(shù)列”1k1n*(1)判斷數(shù)列216和，56是否是“Ω數(shù)列”(2)已知{an}為項(xiàng)數(shù)的等比數(shù)列，a1，若{a}是數(shù)列，1nm2022求其公比q的取值范圍；(3)已知{a}是2……2022ba1k2021nkk1若{a}和{}都是數(shù)列”，求a的所有可能值.n176．已知數(shù)列，，…，a的各項(xiàng)均為整數(shù)，且對(duì)任意的，i12NA:1a，…，N1，都有i1i1．將A的所有項(xiàng)之和記為SA．(1)若N=5，12，求SA的最大值；(2)若，求證：SA0；2022N(3)設(shè)N15．將所有符合題意且SA0的數(shù)列A的總個(gè)數(shù)記為M，判斷M是否為4的倍數(shù)，并說(shuō)明理由．A的絕對(duì)77A:a、、、annNa12nnnN，其中差分?jǐn)?shù)列B:b、b、、b12n1kk1a1knkNbbb，Bk12n1則稱數(shù)列是數(shù)列．AX(1)直接寫出下面兩個(gè)數(shù)列的絕對(duì)差分?jǐn)?shù)列，并判斷其是否為X數(shù)列：①A:1、、4、5；21②A:2、、8、；202(2)已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列A:a、、、a滿足aaa，Xa21101210第26頁(yè)共249頁(yè)并且其差分?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，若a，a6，求a的所有可能值；1410(3)已知數(shù)列A:a、、、a是、、、、nnnN的一Xa12312n個(gè)排列，若其差分?jǐn)?shù)列B:b、b、、b滿足bbbn2，12n112n1求n的所有可能值．1a2a23an1an78,,,兩兩不A:a,aL,a12n為數(shù)列.設(shè)GA1inGA中的元素ALi.個(gè)數(shù)為GA(1)判斷數(shù)列A4與數(shù)列A4是否為數(shù)列，并說(shuō)明理由；L12(2)若數(shù)列為數(shù)列，且，求證：GA的最小值為4；ALn9(3)若數(shù)列A:a,a,,a為GA6aaa132.L12321232Amm79mm3是由mm個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列1，的數(shù)表，且中所有數(shù)不全相同，中第行第j列的數(shù)aAAiAA記ri為的第行各數(shù)之和，cj為的第j列各數(shù)之和，其中im2rr2rmi,j.記,m.設(shè)集合Hi,jijri0fA2或ijcji,j,，記HA為集合H所含元素的個(gè)數(shù).2(1)對(duì)以下兩個(gè)數(shù)表1，，寫出fA，HA，fA，HA的值；A2112(2)若r1,r2,,rm中恰有s個(gè)正數(shù)，c1,c2,,cm中恰有t個(gè)正數(shù).求證：HA；HAfA(3)當(dāng)m5時(shí)，求的最小值.第27頁(yè)共249頁(yè)80Q:a,a,,a12kn,}，在Q中存在a,a,a,,ij(j0)，使得ii1i2ii1i2ijn，則稱Q為m連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷Q:4是否為5連續(xù)可表數(shù)列？是否為6連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若Q:a,a,,a為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；812k(3)若Q:a,a,,a為aaa．k712k12k81，a…，a(n，將數(shù)列變換TTA2nA:11成數(shù)列T():aa…aaT1()T()Tm()TTm()m223n1于數(shù)列A:aa…a與B:bbbABababab12n12n1122nn數(shù)列A:a，a，a(n滿足ai,n)為nA12ni數(shù)列．(1)若1，寫出T()，并求AT()；2(2)對(duì)于任意給定的正整數(shù)n(n，是否存在數(shù)列，使得AnAT()n3?若存在，寫出一個(gè)數(shù)列A，若不存在，說(shuō)明理由：(3)若數(shù)列滿足T()Tk1()nk,nA的個(gè)數(shù)．kAn82．已知集合N*，且M中的元素個(gè)數(shù)n大于等于若集合MM中存在四個(gè)不同的元素abcdM“關(guān)聯(lián)的”，并稱集合,,,d}是集合M的關(guān)聯(lián)子集”；若集合M不存在關(guān)聯(lián)子集”，則稱集合M是“獨(dú)立的”.(1)分別判斷集合{2,4,6,8,10}與是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨(dú)立的？(2)寫出（）中關(guān)聯(lián)的”集合的所有的“關(guān)聯(lián)子集；(3)已知集合Ma,a,a,a,a“關(guān)聯(lián)的”，且任取集合a,aM，ij12345總存在M的“關(guān)聯(lián)子集”得a,aA.若aaaaaij12345第28頁(yè)共249頁(yè)a，a，a，a，a是等差數(shù)列.1234583a滿足“對(duì)任意的正整數(shù)，ijk，n使得aaa”，則稱數(shù)列a具有“性質(zhì)．kijn(1)判斷數(shù)列a1和bn是否具有性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；nn1(2)若公比為的無(wú)窮等比數(shù)列a具有性質(zhì)”，求首項(xiàng)a的取值n13集合；(3)若首項(xiàng)a3的無(wú)窮等差數(shù)列a具有性質(zhì)”d的取值1n集合．84ana的一個(gè)無(wú)窮遞nbbn1n2bbn．n(1)若b1，b2，寫出數(shù)列b前項(xiàng)的所有可能情況；412n(2)求證：數(shù)列n存在無(wú)窮遞增子列；(3)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)M，都存在kN*，使得kM．p85．已知a為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列且對(duì)滿足2nq的正整數(shù)，napaq2an1an，n都有等式成立.21a1apq3n11(1)判斷數(shù)列an是否滿足等式（n(2)證明a的充要條件為a，a2；n1(3)證明：存在與1有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，都有1an.86．如果無(wú)窮數(shù)列a是等差數(shù)列，且滿足：①、*，，ijkN*n使得aaa②i、jN*aaaa“數(shù)kN*Hijkijkn列第29頁(yè)共249頁(yè)(1)下列無(wú)窮等差數(shù)列中，是“H數(shù)列”的為_(kāi)__________出結(jié)論）、、、a:135n、、、b:024n、0、0、c:0n、、、d:101n(2)證明：若數(shù)列a“數(shù)列”，則aZ且公差dN；Hn1n(3)若數(shù)列a“數(shù)列”且其公差為常數(shù)，求a的所有通項(xiàng)HdN*n公式.i87A:a,a,,an2.如果a,ni,nij時(shí)，12n，則稱數(shù)列A具有性質(zhì).對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)列，PPia1i,jnjaa,定義數(shù)列TA:t,t,,t，其中tkk1.k,n112n1kk1(1)對(duì)TA:，寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列；(2)對(duì)數(shù)列E:e,e,,en2，其中ei,n，證明：存在12n1i具有性質(zhì)的數(shù)列A，使得TA與為同一個(gè)數(shù)列；PE(3)對(duì)具有性質(zhì)的數(shù)列，若aan5且數(shù)列TA滿足P1n,，證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個(gè).i,n1i88．對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m2的有窮正整數(shù)數(shù)列an}，記，即b為a，a，……a中的最大值，ka,a,,a(k,)12kk12k稱數(shù)列為數(shù)列{a}的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如，，，，5“創(chuàng)新nn數(shù)列”為，，，，5.(1)若數(shù)列a}的“創(chuàng)新數(shù)列”為，，，，，寫出所有可能nn的數(shù)列an}；第30頁(yè)共249頁(yè)(2)設(shè)數(shù)列為數(shù)列a}的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足nnknk1k，，，，求證：abk,m,mkk(3)設(shè)數(shù)列為數(shù)列a}的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列中的項(xiàng)互不相等nnn且所有項(xiàng)的和等于所有項(xiàng)的積，求出所有的數(shù)列an}.89m為正整數(shù)，若無(wú)窮數(shù)列a滿足aii,;k)，niki則稱a為P數(shù)列.nm(1)數(shù)列是否為1數(shù)列？說(shuō)明理由；s,n2kkZ(2)已知a11其中s,t為常數(shù).若數(shù)列a為Ps,t；nt,n2k,kZn222(3)已知P數(shù)列a滿足a0，82，a6k，求an.a6k6(k2,)3n190．已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)A:a,aL,an12性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①aaam；12n②對(duì)于1ijn，使得aa的正整數(shù)對(duì)i,j)有k.ij(1)寫出所有4的1減數(shù)列；(2)若存在m的6減數(shù)列，證明：m6；(3)若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.nNkN，91a，，，N3NN*nkN*，有：（i）S*(k)aaaa123k（iicR(k)acacacac.對(duì)于kN*123kk存在非零常數(shù)cL(k)S*(k)c為數(shù)列a的階系數(shù).na2nn(1)設(shè)數(shù)列a的通項(xiàng)公式為S(4)2是否為數(shù)*n列的4階系數(shù)；第31頁(yè)共249頁(yè)a的階系數(shù)為3，m(2)設(shè)數(shù)列a的通項(xiàng)公式為nnnn求m的值；m(3)設(shè)數(shù)列a為等差數(shù)列，滿足-1，2均為數(shù)列a的階系數(shù)，nn且S*()，求m的最大值.92M,n3，M的所有元素個(gè)數(shù)nN為（KN，2≤K≤）的子集中，我們把每個(gè)K元子集的所有元素相加的和記為K（KN2≤K≤nK元子集的最大元素之和記為K（KN2≤≤nK元子集的最小元素之和記為K（KN，2≤K≤(1)當(dāng)＝4時(shí)，求a、b的值；33(2)當(dāng)＝10時(shí)，求4的值；KK(3)對(duì)任意的≥3，，給定的N，2≤K≤，是否為與n無(wú)nNK關(guān)的定值？若是，請(qǐng)給出證明并求出這個(gè)定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．93M數(shù)列：mm…mm（k0，n601nk，，…）等于m，m…，m中k出現(xiàn)的次數(shù).01n(1)若n6M數(shù)列為：，m，m，，，，，求m，m；1212(2)證明：存在M數(shù)列，且滿足mmmn1；01n(3)證明：M數(shù)列是唯一的.94a，a，a“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列A:TTA123B:b，b，bbii1ibaaBT()123i331續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”C:c，c，cBT123僅當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．(1)直接寫出，，4經(jīng)過(guò)1次“變換”得到的數(shù)列，及再經(jīng)A:TBB第32頁(yè)共249頁(yè)過(guò)3次“變換”得到的數(shù)列；TE(2)若經(jīng)過(guò)n“變換”后變換結(jié)束，求n的最大值；ATB(3)設(shè)A:a,a,aa,i2,3，BT()，a，的各項(xiàng)B:b123i之和為2022，若再經(jīng)過(guò)k次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，BT求k的最小值．95．已知數(shù)列a滿足以下條件：①aN*，且1an100②共有nn100A:a,a,a,,ai,為iii1i2i9數(shù)列a的一個(gè)“10階連續(xù)子列”．nn(1)若a的通項(xiàng)公式為ana的一個(gè)“10階連續(xù)子列”nn求其各項(xiàng)和；(2)求證：對(duì)于每個(gè)a，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不n小于505；(3)若對(duì)于每個(gè)a，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于n正整數(shù)M，求M的最大值．196．已知正實(shí)數(shù)列a滿足aa2，當(dāng)n3時(shí)，記集合naka∣1knk，且集合A中的最大元素為a.nnnnk(1)若aa2，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；12n(2)記數(shù)列前n項(xiàng)和為Sb,bn12a22Sn1a21b1數(shù)a,a與整數(shù)>1，都有,.注：對(duì)于任意實(shí)12n(nb21a,abb,ab數(shù)，，定義,.97aaa4,64Sn為數(shù)列n3n前n項(xiàng)之和，滿足bS,ccbm為常數(shù)，且1）.已知nnn1nm第33頁(yè)共249頁(yè)(2)n1cd，pn1,nd12d3d4(n1.d數(shù)列Q滿足1nnnnnm10，當(dāng)n為不等于1的奇數(shù)時(shí)，Qn123n1；當(dāng)n2n1為偶數(shù)時(shí)，nn11.n1(1)已知a2，求a,b,Q,T的通項(xiàng)公式；1nnnn(2)已知m1n為偶數(shù)時(shí)，n?Tn為奇數(shù)時(shí)，Q?Tnnn8恒成立，求m的取值范圍.49x37存在3-0.930.60，g(x)48x350x21.38，且當(dāng)x>1時(shí)，gx單調(diào)遞增）98，22則稱這個(gè)數(shù)列為“r”數(shù)列.11（）若數(shù)列a為“D數(shù)列a”3，a2，34mnr1mm的取值范圍；（的等差數(shù)列a“D數(shù)列項(xiàng)和S”n1nrn滿足Snnn？若存在，請(qǐng)求出a的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)n2明理由；（）已知等比數(shù)列a的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且a“D數(shù)列，”nnr2annann“”b不是D數(shù)列cn(n2n5nr3是否為“r數(shù)列”，并說(shuō)明理由.99．若定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，總有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)恒成立，我們稱f(x)為“類余弦型”函數(shù).5（）已知f(x)為類余弦型”，且f，求f(0)和f(2)的值；4（1n2f(nf()（n2,3求13a23a20193a20203log2log2log2log2的值；第34頁(yè)共249頁(yè)（）若f(x)為“類余弦型”，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)t，總有ft)1，證明：①函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；②設(shè)有理數(shù)x,x滿足xxf(x)和f(x).121212n100．對(duì)數(shù)列a，規(guī)定a為數(shù)列a的一階差分?jǐn)?shù)列，其中nn，規(guī)定a為a的二階差分?jǐn)?shù)列，其中nanan1annN*2n.2anan1annN*a是否為（）數(shù)列a的通項(xiàng)公式an2nN*，試判斷a，2nnnn等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由？（b是公比為q2nNq，*nq，使得bb，求所有可能的取值構(gòu)成的集合；nm都存在m*2N（）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列c的前項(xiàng)和為S，且n2n0，對(duì)滿足nnmnkm的任意正整數(shù)mnccSStSknkmnmn恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值.第35頁(yè)共249頁(yè)參考答案，僅供參考哦．(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析）第一問(wèn)直接根據(jù)新定義來(lái)即可.2）第二問(wèn)結(jié)合新定義、帶余除法以及費(fèi)馬小定理即可得證.3）根據(jù)新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可得證.）若pa2，又注意到1093111，所以ap10,.212p2時(shí)，此時(shí)X，此時(shí)bc1，bc1，故p)bacp)bp)c0，aa此時(shí)p)bp)abp)ac.ca當(dāng)p2時(shí)，因a,a2,,,ap2,相異，故a2，而aX，故a,p互質(zhì).記np)bc,np),np)c，a1a2a則m,mN，使得a11,a22c12故a12b2c，故a12p)，1設(shè)n2tp1s,0sp2則nns，121因?yàn)?,3,..p1除以p的余數(shù)兩兩相異，且,2,3,..pa除以p的余數(shù)兩兩相異，1p，p1故p1!a2aa,..p1ap)，故a故a12asp，而anb(mod其中0np2，(mod)第36頁(yè)共249頁(yè)故sn即p)bcp)abp)ac.a法：記a1a1,1p，a2a2,2p，a1,a2a1a2，其中m，mk是整數(shù)，則a12an.an,21an2anmmpkp，2121121可知a1,n,2nn,．a(chǎn)a12因?yàn)?a，a2,，…，ap2,兩兩不同，所以存在i,p，使得ap1,ai,，1可以被p整除，于是ap1i1可以被p整除，即a即ap1aiaip1iapi,1．若i0，則p1i,p，api,1，因此i0，ap1,1．記nlog(p)b，mp)c，nmnml(p，其中l(wèi)是整數(shù)，aa則an,am,anm,anml(p1),anm,al(p1),anm,，bc即log(p)bc)log(p)blog(p)．a(chǎn)aa3b2時(shí)，由（2）可得bp1p，若b1，則bp1p因?yàn)閚p)ab，所以anb也成立.p.另一方面，np2,1np2,xbk,ak,np2y21y2yaknbk1k1x1k1pxp.kp2kp2xbp由于xX，所以x2ynp2,.1法：由題設(shè)和（）的法2的證明知：kk2xbk,xbbbxan,an,an,xaaank，2)n(p2)n(p．p2,yn(p2),1111ak,ak,ak,ap2,ap2,anknk故2n(p2),xaaaap2,ap2,ap2,第37頁(yè)共249頁(yè)nkxap1,ap1,ap1,．由（）法2的證明知ap1,，所以yyn(p2).x．121小定理等初等數(shù)論知識(shí)即可順利得解.．(1)2；；4(2)證明見(jiàn)詳解(3)n4k2kN）由數(shù)列A:a,a,2,6具有性質(zhì)Pc的定義可得；232）由數(shù)列具有性質(zhì)Pc的定義和等差數(shù)列的定義可得.3n4k2kNn4kkN和n4k3kN三種情況討論即得.）由已知可得數(shù)列A共有5項(xiàng)，所以n5，當(dāng)i1時(shí)，有aa264，15當(dāng)i2時(shí)，有aaa24，所以a2，2422當(dāng)i3時(shí)，有aa4，所以a2，3332）數(shù)列A具有性質(zhì)P，且aaa,n為奇數(shù)，令nk1，012n可得ak10，設(shè)aaaa0ak2aa2k1，12kk13時(shí)，存在正整數(shù)，使得aaa，01i,jn由于當(dāng)i,ajkjik所以ak3ak2,ak4ak2,ak5ak2,a2k1ak2這k1項(xiàng)均為數(shù)列A中的項(xiàng)，且0k3k2k4k2k5k22k1k22k1，因此一定有ak3ak2ak2,ak4ak2ak3,ak5ak2ak4,,a2k1ak2a2k,即ak3ak2ak2,ak4ak3ak2,ak4ak3ak2,2k12kak2第38頁(yè)共249頁(yè)這說(shuō)明：ak2,ak3,ak4,a為公差為a的等差數(shù)列，再數(shù)列A具有性2k1k2質(zhì)0，以及ak10可得，數(shù)列A為等差數(shù)列；3）當(dāng)n4k2kN時(shí)，設(shè)：a，a，a，a，a2k1,a2k，a2k1,a2k2,a2k3,a2k4,,a4k1,a4k21234由于數(shù)列具有性質(zhì)P，且滿足2k12km，c由2k12km和a2k1a2kc，得cm，當(dāng)cmaamama，a112214k1當(dāng)cm時(shí)，同理可證，所以結(jié)論成立.當(dāng)n4kkN時(shí)，不妨設(shè)cm1，反例如下：2k,2k2k2k,2k2k2k2k,當(dāng)n4k3kN時(shí)，不妨設(shè)cm1，反例如下：k2k1k1k11k1k1,1kk,,2,1k1,k,1綜上所述，n4k2kN符合題意.【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于新定義題的思路有：1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；3）將已知條件代入新定義的要素中；4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.ⅠA不是“數(shù)列”，是“F數(shù)列Ⅲnm1FA21或nmmN*.第39頁(yè)共249頁(yè)）根據(jù)“F數(shù)列的定義”即可判斷；nnⅡ）根據(jù)定義，1k1akk11k1k，進(jìn)而討論n的奇偶性，k1k1將和式展開(kāi)即可得到答案；Ⅲ）對(duì)數(shù)列求和123n0212，進(jìn)一步可得：n1nn1xnnn12x2x，可知n1為偶數(shù)，判斷出n4m或122，進(jìn)而分兩種情況進(jìn)行討論得到答案.n4m1mN*）A不是“數(shù)列”，A2“F數(shù)列”.F1nnⅡ）因?yàn)?k1akk11k1kk1k1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nnk1ak1k1k11kk1k10xxxn1n1xn112n2xx0.0n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nnk1ak1k1k11kk1k10xxxn2n1n1xn112n3n2xx00nn所以1k1ak為定值0.k1Ⅲ）若，，，，n的一個(gè)排列：a,a,,a“數(shù)列”，則AF12n123n02x2，n1xn1nn1nn1即，所以xn1為偶數(shù).2x2122nn1，又nm2或nm3時(shí)mN*為奇數(shù)，2所以n4m或n4m1mN.*第40頁(yè)共249頁(yè)2k1k2m若n4m時(shí)，取排列：a，k8m2k2mk4.k,0k2,此時(shí)對(duì)應(yīng)的xmk,mkm,ki,iN*,k4mk2mk4,kiiN*.滿足題意，所以n4m符合題意；k1kmmk,mkm若nm1時(shí)，取排列：aAkk,0k2,mkmki,iN4mk2mk4mkiiN此時(shí)對(duì)應(yīng)的xmk,*,k*.滿足題意，所以nm1符合題意.綜上所述：n4m或n4m1mN.*采取特值法加深對(duì)題目條件的理解，細(xì)致分析，最終得到答案.．(1)，bnn2nn3(2)2(3)證明見(jiàn)解析1通項(xiàng)公式；Tb24nn,4nn2nn2nn2nan22n2n3結(jié)合集合有4個(gè)元素，求出；2第41頁(yè)共249頁(yè)89232n22n2，3ACCCCAn2462nn94n1n2n2nn22nn2n2n211設(shè)BCCCC，n1352n11從而求出B，求和證明出結(jié)論.n2a首項(xiàng)a2qq0b首項(xiàng)b1，nn11設(shè)公差d，5a3aq44aq2∵，即11，24aqb3d11∴q=2，q2d1，∴2n．nn；n，b4n2）4nb21223242b25627282b2b2b224n34n24n1其中b2b2b2b24n4n324n224n24n4，24n34n24n1Tb∴4n4,4n2nn2，n22nnn2nn2集合n,n，設(shè)，n2n2nn1n3nn2n23n1n，2n12n2n1所以當(dāng)n1時(shí)，DD，當(dāng)n2時(shí)，DDD．2123433計(jì)算可得D，D2，D，D，D，123452823因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，．24n1n,n2kkN3）n，a22nnnnNab,nk,knS2nCCCC，1232n設(shè)ACCCC222424622n22n①，6n2462n第42頁(yè)共249頁(yè)4n22446n222nn22n②，2上式①②得，2422n42n22n2222n2n22n2823A8224268n14222n282338n22n2n22n2，3389232n22n2所以n，94n1n4n2n11當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Cn，2n2nn22n2nn22nn2n2n2則BCCCCn1352n1111111223323325522n12122n121111，222n12n1282329125218329S2nnnn22n2n4n1.92【點(diǎn)評(píng)】常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法求和類型：111knnk11111分式型：，，nnk2n12n122n12n11111等；nn1n22nn1n1n22n112n1n211指數(shù)型：2n1根式型：n，等，1212n11nn2nn2n1n2n11nkn等，nnkka對(duì)數(shù)型：mn1mn1a，m0且m1mnn．(1)31是可表數(shù)，1024不是可表數(shù)，理由見(jiàn)解析；k(2)證明見(jiàn)解析；(3)8k第43頁(yè)共249頁(yè)）根據(jù)定義賦值及數(shù)列求和計(jì)算驗(yàn)證即可；2sT則有sT,,0T合間的基本關(guān)系得出T中最多含有33nN用定義先證n為m可表數(shù)，再根據(jù)三進(jìn)制的基本事實(shí)確定k的最小值k個(gè)元素，解不等式即可證明；1m313m1,mNn223m1131m為滿足成立的m，代入n求m即可.n22）31是，1024不是，理由如下：由題意可知xaxaxat，1122kk當(dāng)i2i1,k10時(shí)，有xx9xt,x，12i顯然若xxx0i7,8,9,10時(shí)，t31，16i而t20121212129110110231024，故是可表數(shù)，1024不是可表數(shù)；kk2）由題意可知若i0t0，即0T，使得xaxaxas，設(shè)sT，即xi1122kk所以122kk成立，故sT，s，且i所以若,T，則,,0T，即,0中的元素個(gè)數(shù)不能超過(guò)中的元素，T對(duì)于確定的Q，T中最多有3個(gè)元素，k31k所以2n13k；n23m1131m3）由題意可設(shè)nN,mN，使，n223m11又1x3x2xm22m2，x3311131313123m12第44頁(yè)共249頁(yè)所以km1，即km，31m而2m1，11131313231m即當(dāng)n時(shí)，取aaam1時(shí)，n為m可表數(shù)，12m231m因?yàn)閙123m1，21113131322由三進(jìn)制的基本事實(shí)可知，對(duì)任意的0pm1，存在ri,,，2i使p130231mm1，3m1所以p0r21rmm13013m1r312r1013r13r1m1，12m令xr1，則有x，,i,miii3m13m13m1設(shè)tt，p2223m131m由p的任意性，對(duì)任意的t,tZ，221021，mm1,x,i,m都有ti3m1又因?yàn)閚，所以對(duì)于任意的ntn,tZ，t為m可表數(shù)，23m1131m綜上，可知k的最小值為m，其中m滿足，n22371318又當(dāng)n時(shí)，，n22所以k的最小值為8.【點(diǎn)評(píng)】難點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)關(guān)鍵是根據(jù)定義可確定T中元素互為相反3m1131m利用第二問(wèn)的結(jié)論可設(shè)nN,mN，有，利用定義先n22證n為m可表數(shù)，再根據(jù)三進(jìn)制的基本