一階微分方程

關(guān)于一階微分方程一、可分離變量方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法第2頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例1

求解微分方程解分離變量兩端積分典型例題第3頁,共88頁，2024年2月25日，星期天通解為解第4頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解由題設(shè)條件衰變規(guī)律第5頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例4

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度第6頁,共88頁，2024年2月25日，星期天設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:第7頁,共88頁，2024年2月25日，星期天即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為第8頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解例5

某車間體積為12000立方米,開始時(shí)空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含的的新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問鼓風(fēng)機(jī)開動6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后時(shí)刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量第9頁,共88頁，2024年2月25日，星期天的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到第10頁,共88頁，2024年2月25日，星期天二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義第11頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例6

求解微分方程微分方程的解為解第13頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例7

求解微分方程解第14頁,共88頁，2024年2月25日，星期天微分方程的解為第15頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例8

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖第16頁,共88頁，2024年2月25日，星期天得微分方程由夾角正切公式得第17頁,共88頁，2024年2月25日，星期天分離變量積分得第18頁,共88頁，2024年2月25日，星期天平方化簡得拋物線第19頁,共88頁，2024年2月25日，星期天可化為齊次的方程為齊次方程.（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程.2.解法1.定義第20頁,共88頁，2024年2月25日，星期天有唯一一組解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.第21頁,共88頁，2024年2月25日，星期天可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.可分離變量.第22頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解代入原方程得第23頁,共88頁，2024年2月25日，星期天分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)榈?4頁,共88頁，2024年2月25日，星期天利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為第25頁,共88頁，2024年2月25日，星期天一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.三、一階線性方程第26頁,共88頁，2024年2月25日，星期天齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第27頁,共88頁，2024年2月25日，星期天2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:第28頁,共88頁，2024年2月25日，星期天常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換第29頁,共88頁，2024年2月25日，星期天積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第30頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解例10第31頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例11如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程第32頁,共88頁，2024年2月25日，星期天所求曲線為第33頁,共88頁，2024年2月25日，星期天伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.伯努利方程解法:

需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.第34頁,共88頁，2024年2月25日，星期天求出通解后，將代入即得代入上式第35頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解例12第36頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例13

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為第37頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解分離變量法得所求通解為第38頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解代入原式分離變量法得所求通解為另解第39頁,共88頁，2024年2月25日，星期天四、全微分方程1.定義:則若有全微分形式例如全微分方程或恰當(dāng)方程所以是全微分方程.第40頁,共88頁，2024年2月25日，星期天2.解法:

應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為

用直接湊全微分的方法.全微分方程第41頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解是全微分方程,原方程的通解為例14第42頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例15第43頁,共88頁，2024年2月25日，星期天積分因子法定義:問題:如何求方程的積分因子?第44頁,共88頁，2024年2月25日，星期天1.公式法:求解不容易特殊地:第45頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第46頁,共88頁，2024年2月25日，星期天2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式第47頁,共88頁，2024年2月25日，星期天可選用的積分因子有解例16則原方程為第48頁,共88頁，2024年2月25日，星期天原方程的通解為(公式法)可積組合法第49頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解將方程左端重新組合,有例17求微分方程原方程的通解為第50頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例18求微分方程第51頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例19第52頁,共88頁，2024年2月25日，星期天解2整理得A用曲線積分法:B湊微分法:第53頁,共88頁，2024年2月25日，星期天C不定積分法:原方程的通解為第54頁,共88頁，2024年2月25日，星期天五、一階方程的近似解法定義1第55頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共88頁，2024年2月25日，星期天定義2等斜線的方程為在這條等斜線上的各點(diǎn)處方向場畫法第57頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例20畫出方程所確定的方向解方程的等斜線為畫出五條等斜線,場示意圖.第58頁,共88頁，2024年2月25日，星期天定義3如圖，的三條積分曲線．經(jīng)過點(diǎn)根據(jù)方向場即可大致描繪出積分曲線．第59頁,共88頁，2024年2月25日，星期天歐拉-柯西近似法問題:方法：近似積分法——?dú)W拉—柯西近似法．一階微分方程初值問題的解存在及唯一的充分條件如下定理：第60頁,共88頁，2024年2月25日，星期天注意第61頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第62頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第63頁,共88頁，2024年2月25日，星期天如此一段接一段地作下去，得一條折線，稱歐拉折線．第64頁,共88頁，2024年2月25日，星期天注意初值問題的近似解第65頁,共88頁，2024年2月25日，星期天例21解列表計(jì)算如下第66頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第67頁,共88頁，2024年2月25日，星期天分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.六、小結(jié)齊次方程齊次方程的解法可化為齊次方程的方程第68頁,共88頁，2024年2月25日，星期天齊次方程線性非齊次方程伯努利方程第69頁,共88頁，2024年2月25日，星期天思考題2求解微分方程方程是否為齊次方程?思考題1第70頁,共88頁，2024年2月25日，星期天思考題1解答為所求解.第71頁,共88頁，2024年2月25日，星期天思考題2解答方程兩邊同時(shí)對求導(dǎo):原方程是齊次方程.第72頁,共88頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1第73頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第74頁,共88頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1答案第75頁,共88頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題2第76頁,共88頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題2答案第77頁,共88頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題3第78頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第79頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第80頁,共88頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題3答案第81頁,共88頁，2024年2月25日，星期天第82頁,共88頁，2