高一平面解析幾何初步復習講義解析

第四章平面解析幾何初步考綱導讀考綱導讀1．駕馭兩條直線平行和垂直的條件，駕馭兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠依據(jù)直線的方程推斷兩條直線的位置關(guān)系．2．會用二元一次不等式表示平面區(qū)域．3．了解簡潔的線性規(guī)劃問題，了解線性規(guī)劃的意義，并會簡潔的應用．4．了解解析幾何的基本思想，了解用坐標法探討幾何問題的方法．5．駕馭圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程的概念．簡潔的線性規(guī)劃直線的傾斜角和斜率直線方程的四種形式簡潔的線性規(guī)劃直線的傾斜角和斜率直線方程的四種形式兩條直線的位置關(guān)系直線圓的方程圓的一般方程圓的參數(shù)方程直線和圓圓的標準方程曲線和方程學問網(wǎng)絡高考導航高考導航在近幾年的高考試題中，兩點間的距離公式、中點坐標公式、直線方程的點斜式、斜截式、一般式、斜率公式及兩條直線的位置關(guān)系，圓的方程及直線及圓、圓及圓的位置關(guān)系是考查的熱點.但由于學問的相互滲透，綜合考查直線及圓錐曲線的關(guān)系始終是高考命題的大熱門，應當引起特殊留意，本章的線性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，近年來，在高考中常?？疾?，但基本上以中易題出現(xiàn)．考查的數(shù)學思想方法，主要是數(shù)形結(jié)合、分類探討、方程的思想和待定系數(shù)法等．第1課時直線的方程基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．傾斜角:對于一條及x軸相交的直線,把x軸圍著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角α叫做直線的傾斜角．當直線和x軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0°．傾斜角的范圍為________．斜率:當直線的傾斜角α≠90°時，該直線的斜率即k＝tanα；當直線的傾斜角等于90°時，直線的斜率不存在．2．過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式．若x1＝x2，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°．3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式點斜式兩點式截距式一般式典型例題典型例題例1.已知直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①當m＝時，直線的傾斜角為45°．②當m＝時，直線在x軸上的截距為1．③當m＝時，直線在y軸上的截距為－．④當m＝時，直線及x軸平行．⑤當m＝時，直線過原點．解：(1)－1⑵2或－⑶或－2⑷－⑸變式訓練1.（1）直線3y＋eq\r(3)x＋2=0的傾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）設(shè)直線的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直線上的三點，則x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，（3）直線l1及l(fā)2關(guān)于x軸對稱，l1的斜率是－eq\r(7)，則l2的斜率是（）A．eq\r(7)B．－C．D．－eq\r(7)（4）直線l經(jīng)過兩點（1，－2），（－3，4），則該直線的方程是．解：（1）D．提示：直線的斜率即傾斜角的正切值是－．（2）C．提示：用斜率計算公式．（3）A．提示：兩直線的斜率互為相反數(shù)．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直線方程的兩點式或點斜式例2.已知三點A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點在同一條直線上.證明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，∴A、B、C三點共線.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點共線.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴=（2，4），=（1，2），∴=2.又∵及有公共點B，∴A、B、C三點共線.變式訓練2.設(shè)a，b，c是互不相等的三個實數(shù)，假如A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同始終線上，求證：a+b+c=0.證明∵A、B、C三點共線，∴kAB=kAC，∴，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知實數(shù)x,y滿意y=x2-2x+2(-1≤x≤1).試求：的最大值及最小值.解：由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P（-2，-3）及曲線段AB上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴≤k≤8，故的最大值為8，最小值為.變式訓練3.若實數(shù)x,y滿意等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為（）A. B.C. D.答案D例4.已知定點P(6,4)及直線l1:y＝4x，過點P的直線l及l(fā)1交于第一象限的Q點，及x軸正半軸交于點M．求使△OQM面積最小的直線l的方程．解：Q點在l1:y＝4x上，可設(shè)Q(x0，4x0)，則PQ的方程為：令y＝0，得：x＝(x0>1)，∴M(，0)∴S△OQM＝··4x0＝10·＝10·[(x0－1)＋＋2]≥40當且僅當x0－1＝即x0＝2取等號，∴Q(2，8)PQ的方程為：，∴x＋y－10＝0變式訓練4.直線l過點M(2，1)，且分別交x軸y軸的正半軸于點A、B，O為坐標原點．(1)當△AOB的面積最小時，求直線l的方程；(2)當取最小值時，求直線l的方程．解：設(shè)l：y－1＝k(x－2)(k＜0)則A(2－，0)，B(0，1－2k)①由S＝(1－2k)(2－)＝(4－4k－)≥＝4當且僅當－4k＝－，即k＝－時等號成立∴△AOB的面積最小值為4此時l的方程是x＋2y－4＝0②∵|MA|·|MB|＝＝＝2≥4當且僅當－k＝－即k＝－1時等號成立此時l的方程為x＋y－3＝0（本題也可以先設(shè)截距式方程求解）小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．直線方程是表述直線上隨意一點M的坐標x及y之間的關(guān)系式，由斜率公式可導出直線方程的五種形式．這五種形式各有特點又相互聯(lián)系，解題時詳細選取哪一種形式，要依據(jù)直線的特點而定．2．待定系數(shù)法是解析幾何中常用的思想方法之一，用此方法求直線方程，要留意所設(shè)方程的適用范圍．如：點斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中橫縱截距存在且不為0，兩點式的橫縱坐標不能相同等（變形后除處）．3．在解析幾何中,設(shè)點而不求,往往是簡化計算量的一個重要方法.4．在運用待定數(shù)法設(shè)出直線的斜率時，就是一種默認斜率存在，若有不存在的狀況時，就會出現(xiàn)解題漏洞，此時就要補救：較好的方法是看圖，數(shù)形結(jié)合來找差距.第2課時直線及直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)（一）平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有三種________．1．當直線不平行坐標軸時，直線及直線的位置關(guān)系可依據(jù)下表判定直線條件關(guān)系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行重合相交(垂直)2．當直線平行于坐標軸時，可結(jié)合圖形判定其位置關(guān)系．（二）點到直線的距離、直線及直線的距離1．P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為______________．2．直線l1∥l2，且其方程分別為：l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1及l(fā)2的距離為．（三）兩條直線的交角公式若直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，則1．直線l1到l2的角θ滿意．2．直線l1及l(fā)2所成的角(簡稱夾角)θ滿意．（四）兩條直線的交點：兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)．（五）五種常用的直線系方程.①過兩直線l1和l2交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②及直線y＝kx＋b平行的直線系方程為y＝kx＋m(m≠b).③過定點(x0,y0)的直線系方程為y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④及Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C).⑤及Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程設(shè)為Bx－Ay＋C1＝0(AB≠0).典型例題典型例題例1.已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試推斷l(xiāng)1及l(fā)2是否平行；（2）l1⊥l2時，求a的值.解（1）方法一當a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當a=0時，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 當a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1:y=--3,l2:y=-(a+1),l1∥l2，解得a=-1, 綜上可知，a=-1時，l1∥l2，否則l1及l(fā)2不平行. 方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a∴l(xiāng)1∥l2a=-1, 故當a=-1時，l1∥l2，否則l1及l(fā)2不平行. （2）方法一當a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1及l(fā)2不垂直，故a=1不成立. 當a≠1時，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1), 由·=-1a=. 方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=變式訓練1.若直線l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，當a、b滿意什么條件時，直線l1及l(fā)2分別相交？平行？垂直？重合？解：當a=0時，直線l1斜率為0，l2斜率不存在，兩直線明顯垂直。當a≠0時，分別將兩直線均化為斜截式方程為：l1：y=－eq\f(a,4)x+5，l2：y=－eq\f(1,a)x+eq\f(b,a)。（1）當－eq\f(a,4)≠－eq\f(1,a)，即a≠±2時，兩直線相交。（2）當－eq\f(a,4)=－eq\f(1,a)且5≠eq\f(b,a)時，即a=2且b≠10或a=－2且b≠－10時，兩直線平行。（3）由于方程(－eq\f(a,4))(－eq\f(1,a))=－1無解，故僅當a=0時，兩直線垂直。（4）當－eq\f(a,4)=－eq\f(1,a)且5=eq\f(b,a)時，即a=2且b=10或a=－2且b=－10時，兩直線重合例2.已知直線l經(jīng)過兩條直線l1：x＋2y＝0及l(fā)2：3x－4y－10＝0的交點，且及直線l3：5x－2y＋3＝0的夾角為，求直線l的方程．解：由解得l1和l2的交點坐標為(2，－1)，因為直線l3的斜率為k3＝，l及l(fā)3的夾角為，所以直線l的斜率存在.設(shè)所求直線l的方程為y＋1＝k(x－2)．則tan＝＝＝1k＝或k＝－，故所求直線l的方程為y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0變式訓練2.某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點P在直線l上，l及水平地面的夾角為,tan=.試問，此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）？解如圖所示，建立平面直角坐標系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直線l的方程為y=(x-200)tan,則y=.設(shè)點P的坐標為（x,y），則P（x,）(x＞200).由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得tan∠BPC==(x＞200).要使tan∠BPC達到最大，只需x+-288達到最小，由均值不等式x+-288≥2-288,當且僅當x=時上式取得等號.故當x=320時，tan∠BPC最大.這時，點P的縱坐標y為y==60.由此實際問題知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大時，∠BPC最大.故當此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.例3.直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若A、B坐標分別為A(－4，2)、B(3，1)，求點C的坐標并推斷△ABC的形態(tài)．解：因為直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線，所以CA、CB所在直線關(guān)于y＝2x對稱，而A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x對稱點A1必在CB邊所在直線上設(shè)A1(x1，y1)則得即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB邊所在直線的方程為：3x＋y－10＝0又由解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形變式訓練3.三條直線l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能構(gòu)成三角形，求實數(shù)a的取值范圍。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三條直線能構(gòu)成三角形，故三條直線兩兩相交且不共點，即隨意兩條直線都不平行且三線不共點。（1）若l1、l2、l3相交于同一點，則l1及l(fā)2的交點（-a-1，1）在直線l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此時a=1或a=-2。（2）若l1∥l2，則-1=-eq\f(1,a)，a=1。（3）若l1∥l3，則-1=-a，a=1。（4）若l2∥l3，則-eq\f(1,a)=-a，a=±1。）例4.設(shè)點A(－3，5)和B(2，15)，在直線l：3x－4y＋4＝0上找一點p，使為最小，并求出這個最小值．解：設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點A'的坐標為(a，b)，則由AA′⊥l和AA′被l平分，則解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝5∵kA′B＝＝－18∴A′B的方程為y＋3＝－18(x－3)解方程組得P(，3)變式訓練4：已知過點A（1，1）且斜率為－m(m>0)的直線l及x、y軸分別交于P、Q兩點，過P、Q作直線2x＋y＝0的垂線，垂足分別為R、S，求四邊形PRSQ的面積的最小值．解：設(shè)l的方程為y－1＝－m(x－1)，則P（1＋，0），Q（0，1＋m）從則直線PR：x－2y－＝0；直線QS：x－2y＋2(m＋1)＝0又PR∥QS∴|RS|＝＝又|PR|＝，|QS|＝而四邊形PRSQ為直角梯形，∴SPRSQ＝×()×＝(m＋＋)2－≥(2＋)2－＝3.6∴四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．處理兩直線位置關(guān)系的有關(guān)問題時，要留意其滿意的條件．如兩直線垂直時，有兩直線斜率都存在和斜率為O及斜率不存在的兩種直線垂直．2．留意數(shù)形結(jié)合，依據(jù)條件畫出圖形，充分利用平面圖形的性質(zhì)和圖形的直觀性，有助于問題的解決．3．利用直線系方程可少走彎路，使一些問題得到簡捷的解法．4．解決對稱問題中，若是成中心點對稱的，關(guān)鍵是運用中點公式，而對于軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點，其關(guān)鍵抓住兩點：一是對稱點的連線及對稱軸垂直；二是兩對稱點的中點在對稱軸上，如例4第3課時圓的方程基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．圓心為C(a、b)，半徑為r的圓的標準方程為_________________．2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圓心為，半徑r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程的充要條件是．4．圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為_________．x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為________________．5．過兩圓的公共點的圓系方程：設(shè)⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，則經(jīng)過兩圓公共點的圓系方程為．典型例題典型例題例1.依據(jù)下列條件，求圓的方程．(1)經(jīng)過A(6，5)，B(0，1)兩點，并且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上．(2)經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長為6．解：(1)∵AB的中垂線方程為3x＋2y－15＝0由解得∴圓心為C(7，－3)，半徑r＝故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0將P、Q兩點坐標代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦長|x1－x2|＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0變式訓練1：求過點A（2，－3），B（－2，－5），且圓心在直線x－2y－3=0上的圓的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直線AB的斜率為kAB=eq\f(－5－(－3),－2－2)=eq\f(1,2),線段AB的中點為（0，－4），線段AB的中垂線方程為y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程組得∴圓心為（－1，－2），依據(jù)兩點間的距離公式，得半徑r=eq\r((2+1)2＋(－3＋2)2)=eq\r(10)所求圓的方程為（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿意條件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此時Δ＞0,圓心坐標為,半徑r=.方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點為M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程為:y-3=2,即：y=2x+4.由方程組解得M的坐標為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2∴(3-2)2+5=∴m=3.∴半徑為,圓心為.方法三設(shè)過P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，點O（0，0）在圓上.∴m-3=0，即m=3.∴圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圓心M，又圓在PQ上.∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圓心為，半徑為.變式訓練2：已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l及圓C恒相交；（2）求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程.（1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不論m取什么實數(shù)，它恒過兩直線x+y-4=0及2x+y-7=0的交點.兩方程聯(lián)立，解得交點為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴點（3，1）在圓內(nèi)部，∴不論m為何實數(shù)，直線l及圓恒相交.（2）解從（1）的結(jié)論和直線l過定點M（3，1）且及過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2=此時，kt=-,從而kt=-=2.∴l(xiāng)的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知點P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上隨意一點.（1）求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=.∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，最小值為d-r=-1=.（2）設(shè)t=x-2y,則直線x-2y-t=0及圓（x+2）2+y2=1有公共點.∴≤1.∴--2≤t≤-2，∴tmax=-2，tmin=-2-.（3）設(shè)k=，則直線kx-y-k+2=0及圓（x+2）2+y2=1有公共點，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.變式訓練3：已知實數(shù)x、y滿意方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b及圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-. （2）x2+y2表示圓上的一點及原點距離的平方，由平面幾何學問知，在原點及圓心連線及圓的兩個交點處取得最大值和最小值. 又圓心到原點的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4. 例4.設(shè)圓滿意：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．在滿意條件①②的全部圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程。解法一設(shè)圓的圓心為P（a,b),半徑為r，則點P到x軸y軸的距離分別為∣b∣、∣a∣。由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對的圓心角為90°，圓P截x軸所得的弦長為eq\r(2)r，故r2=2b2．又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2＋1,從而得2b2=a2＋1．點P到直線x－2y=0的距離為d=,∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab=2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋當且僅當a=b時取等號，此時，5d2=1,d取得最小值．由a=b及2b2=a2＋1得，進而得r2=2所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a－2b=±eq\r(5)da2=4b2±4eq\r(5)bd＋5d2,將a2=2b2－1代入整理得2b2±4eq\r(5)bd＋5d2＋1=0（※）把（※）看成關(guān)于b的二次方程，由于方程有實數(shù)根，故△≥0即8（5d2－1)≥0,5d2≥1可見5d2有最小值1，從而d有最小值eq\f(eq\r(5),5)，將其代入（※）式得2b2±4b＋2=0,b=±1,r2=2b2=2,a2=2b2－1=1,a=±1由∣a－2b∣=1知a、b同號故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2變式訓練4：如圖，圖O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N為切點)，使得PM＝PN，試建立平面直角坐標系，并求動點P的軌跡方程．O1O1O2NMPOxy－22O1O2NMP解：以O(shè)1、O2的中點為原點，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則O1(－2,0)、O2(2,0)．如圖：由PM＝PN得PM2＝2PN2∴PO12－1＝2(PO22－1)，設(shè)P(x，y)∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33為所求點P的軌跡方程．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．本節(jié)主要復習了圓的軌跡方程，要明確：必需具備三個獨立條件，才能確定一個圓的方程．2．求圓的方程時一般用待定系數(shù)法：若已知條件及圓心、半徑有關(guān)，可先由已知條件求出圓的半徑，用標準方程求解；若條件涉及過幾點，往往可考慮用一般方程；若所求的圓過兩已知圓的交點，則一般用圓系方程．3．求圓方程時,若能運用幾何性質(zhì),如垂徑定理等往往能簡化計算．4．運用圓的參數(shù)方程求距離的最值往往較便利．5．點及圓的位置關(guān)系可通過點的坐標代入圓的方程或點及圓心之間的距離及半徑的大小比較來確定.基礎(chǔ)過關(guān)第6課時直線及圓、圓及圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)1．直線及圓的位置關(guān)系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為△，圓心C到直線l的距離為d，則直線及圓的位置關(guān)系滿意以下關(guān)系：相切d＝r△＝0相交相離2．圓及圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R和r(R≥r)，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系滿意以下條件：外離d>R＋r外切相交內(nèi)切內(nèi)含3.圓的切線方程①圓x2＋y2＝r2上一點p(x0,y0)處的切線方程為l:.②圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點p(x0,y0)處的切線方程為l:.③圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點p(x0,y0)處的切線方程為.典型例題典型例題PP2P1P(4，2)xyO例1.過⊙：x2＋y2＝2外一點P(4，2)向圓引切線．⑴求過點P的圓的切線方程．⑵若切點為P1、P2求過切點P1、P2的直線方程．解：(1)設(shè)過點P(4，2)的切線方程為y－2＝k(x－4)即kx－y+2－4k＝0①則d＝∴＝解得k＝1或k＝∴切線方程為：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2)設(shè)切點Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則兩切線的方程可寫成l1:x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２因為點(4，2)在l1和l2上．則有4x1＋2y1＝24x2＋2y2＝2這表明兩點都在直線4x＋2y＝2上，由于兩點只能確定一條直線，故直線2x＋y－1＝0即為所求變式訓練1：（1）已知點P(1，2)和圓C：，過P作C的切線有兩條，則k的取值范圍是()

A.k∈RＢ.k＜Ｃ.D.（2）設(shè)集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},當A∩B=B時，r的取值范圍是（）A．（0，eq\r(2)－1）B．（0，1]C．（0，2－eq\r(2)]D．（0，eq\r(2)]（3）若實數(shù)x、y滿意等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值為()

A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.（4）過點M且被圓截得弦長為8的直線的方程為．（5）圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓和的交點的圓的方程是.解：（1）D．提示：P在圓外．（2）C．提示：兩圓內(nèi)切或內(nèi)含．（3）D．提示：從純代數(shù)角度看，設(shè)t=,則y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范圍。從數(shù)形結(jié)合角度看，是圓上一點及原點連線的斜率，切線的斜率是邊界．（4）．提示：用點到直線的距離公式，求直線的斜率．（5）.提示：經(jīng)過兩圓交點的圓的方程可用圓系方程形式設(shè)出，其中的一個待定系數(shù)，可依據(jù)圓心在已知直線上求得．例2.求經(jīng)過點A(4，－1)，且及圓：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于點B(1，2)的圓的方程．解：圓C的方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝5∴圓心C(－1，3)，直線BC的方程為：x＋2y－5＝0 ①又線段AB的中點D(，)，kAB＝－1∴線段AB的垂直平分線方程為：y－＝x－即x－y－2＝0②聯(lián)立①②解得x＝3，y＝1∴所求圓的圓心為E(3，1)，半徑|BE|＝∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5變式訓練2：求圓心在直線5x-3y=8上，且及坐標軸相切圓的標準方程．解：設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,∵圓及坐標軸相切，∴a=±b,r=｜a｜又∵圓心(a,b)在直線5x-3y=8上.∴5a-3b由得∴所求圓的方程為：（x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2＝1．例3.已知直線l：y＝k(x＋2)(k≠0)及圓O：x2＋y2＝4相交于A、B兩點，O為坐標原點．△AOB的面積為S．⑴試將S表示為k的函數(shù)S(k)，并求出它的定義域．⑵求S(k)的最大值，并求出此時的k值．解：(1)圓心O到AB的距離d＝由d<2－1<k<1|AB|＝4S(k)＝4(2)解法一：據(jù)(1)令1＋k2＝tk2＝t－1(1<t<2)S＝4＝4≤4·＝2當＝即k＝時，等號成立．∴k＝±為所求．解法二：△ABD的面積S＝|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB∴當∠AOB＝90°時，S可取最大值2，此時，設(shè)AB的中點為C．則OC＝|OA|＝由O到直線的距離為|OC|＝得＝，k＝±變式訓練3：點P在直線上，PA、PB及圓相切于A、B兩點，求四邊形PAOB面積的最小值．．答案：8。提示：四邊形可以分成兩個全等的直角三角形，要面積最小，只要切線長最小，亦即P到圓心距離要最?。?.已知圓C方程為：，直線l的方程為：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0（1）證明：無論m取何值，直線l及圓C恒有兩個公共點。（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，并求出此時的m值．提示：（1）用點到直線的距離公式，證明r2－d2＞0恒成立．（2）求（1）中r2－d2的最小值，得直線l被圓C截得的線段的最短長度為4eq\r(5)，此時的m值為－eq\f(3,4)．變式訓練4：已知圓系，其中a≠1,且a∈R,則該圓系恒過定點．答案：（1，1）．提示：將a取兩個特殊值，得兩個圓的方程，求其交點，必為所求的定點，故求出交點坐標后，只須再驗證即可。另一方面，我們將方程按字母a重新整理，要使得原方程對隨意a都成立，只須a的系數(shù)及式中不含a的部分同時為零．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．處理直線及圓、圓及圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，有代數(shù)法和幾何法兩種方法，但用幾何法往往較簡便．2．圓的弦長公式l＝2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)利用這一弦長公式比用一般二次曲線的弦長公式l＝要便利．3．為簡化運算，處理交點問題時，常采納“設(shè)而不求”的方法，一般是設(shè)出交點后，再用韋達定理處理，這種方法在處理直線及圓錐曲線的位置關(guān)系中也常常用到．《解析幾何初步》檢測試題一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．過點（1，0）且及直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=2.若直線及直線平行，則實數(shù)a等于（）A、B、C、D、3．若直線，直線及關(guān)于直線對稱，則直線的斜率為（） A．B．C． D．4.在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點O(0，0)，A(1，3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)5.直線對稱的直線方程是（）A． B． C． D．6.若直線及直線關(guān)于點對稱，則直線恒過定點() A．B．C． D．7．已知直線mx+ny+1=0平行于直線4x+3y+5=0，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為A.4和3B.-4和3C8．直線x-y+1=0及圓（x+1）2+y2=1的位置關(guān)系是（）A相切B直線過圓心C．直線不過圓心但及圓相交D．相離9．圓x2+y2－2y－1=0關(guān)于直線x-2y-3=0對稱的圓方程是（）A.（x－2)2+(y+3)2=EQ\F(1,2)B.（x－2)2+(y+3)2=2C.（x＋2)2+(y－3)2=EQ\F(1,2)D.（x＋2)2+(y－3)2=210．已知點在直線上移動，當取得最小值時，過點引圓的切線，則此切線段的長度為()A． B．C．D．11．經(jīng)過點作圓的弦，使點為弦的中點，則弦所在直線方程為（）A． B．C． D．12．直線及圓相交于M,N兩點，若，則k的取值范圍是（）A.B.C.D.二填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分.）13.已知點，點，點是直線上動點，當?shù)闹底钚r，點的坐標是。14．已知A、B是圓O：x2＋y2=16上的兩點，且|AB|=6，若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過點C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是。15.在平面直角坐標系xOy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________。16．及直線x-y-4=0和圓x2+y2+2x-2y=0都相切的半徑最小的圓的方程是_______。三、解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17．求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點P（3，2），且在兩坐標軸上的截距相等；（2）經(jīng)過點A（-1，-3），傾斜角等于直線y=x的傾斜角的2倍。（12分）18．已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試推斷l(xiāng)1及l(fā)2是否平行；（2）l1⊥l2時，求a的值.（12分）19．如圖所示，過點P（2，4）作相互垂直的直線l1、l2.若l1交x軸于A，l2交y